قانون اول رادیکال

آخرین ویرایش: 02 تیر 1403
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:

مقدمه

توان‌ های كسری تعمیمی از توان های صحیح اند و قواعد محاسبه آنها نباید طوری باشد كه با دانسته های قبلی ما از قواعد توان، در تضاد باشد.

به عبارت دیگر تمام قواعدی كه در محاسبه با توان‌ های صحیح گفته شد، برای محاسبه با توان‌های كسری نیز برقرار است.

23×53=2×53=103

2 13×5 13=2×5 13=10 13=103

تعریف

قضیه

حاصل‌ضرب دو رادیکال با فرجه برابر

اگر a و b دو عدد حقیقی ، an  و bn قابل تعریف باشند، آنگاه:     

an.bn=abn

این قضیه بیان می‌كند كه رادیكال های هم فرجه را می‌توان درهم ضرب كرد.

اثبات

a1n.b1n=a 1n.b 1n=a.b  1n=ab1n=abn

به‌عنوان نمونه، جدول زیر را کامل می‌کنیم: 

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، بر طبق قضیه فوق و جدول بالا جواب ‌های هر دو سطر برابرند.

با انتخاب چند عدد دیگر برای a و b داریم:

تمرین

حاصل ضرب عبارات راديكالی زير را محاسبه کنید.

28×7

=28×7=196=142=14

363×63

=36×63=2163=633=6

32×827

=32×827=49

=232=23

0/013×0/83

=0/01×0/83=0/0083

=0/233=0/2

32×23

=3×2×2×3=66

35×220

=3×2×5×20=6100

=6102=6×10=60

2×18

=2×18=36=62=6

23×6×57×14×10

=23×6×57×14×10=2×2×5×2×10

=20×20=202=20

2a4b33×a2b3

=2a4b3×a2b3=2a6b3×b3

=2a2b33×b3=2a2bb3

243×323

=2×3×4×23=683

=6233=6×2=12

2b23×4b43

=2b2×4b43=8b63

=2b233=2b2

تمرین

عبارات راديكالی زير را محاسبه کنید.

163

=8×23=83×23

=233×23=223

543

=27×23=273×23

=333×23=323

2150

=2×25×6=2×25×6

=2×5×6=106

0/0033

=3×0/0013=33×0/0013

=33×0/133=33×0/1=0/133

128a5

=2×64×a4×a=64×a4×2×a

=8×a2×2a=8a22a

تمرین

درستی تساوی‌ های زیر را نشان دهید.

2×32=8

2×32=2×32

=64=8

93×33=3

93×33=9×33

=273=3

ba23×ab23=ab

ba23×ab23=ba2ab23

=a3.b33=ab33=ab

a32=a23

a32=a3a3

=a.a3=a23

0/2×0/18=610110

0/2×0/18=210×18100=361000

=110×36100=110×6102=610110

56×218=603

56×218=5×2×6×18=10108=1036×3

=10×36×3=10×62×3=10×6×3=603

35×220=60

35×220=3×2×5×20=6100

=6102=6×10=60

23×53=103

23×53=2×53=103

14×7×2=14

14×7×2=14×7×2=14×14

=142=14

9173×9+173=4

9173×9+173=917×9+173=921723

=81173=643=433=4

35×95×355×595×275=3

35×95×355×595×275=3×9×35×59×275=9×275

=32×335=355=3

2a4b×3a2b3=6a3b2

2a4b×3a2b3=2×3×a4b×a2b3

=6a6b4=6a3b22=6a3b2

abc3×a2b5c83=ab2c3

abc3×a2b5c83=abc×a2b5c83

=a3×b6×c93=ab2c333=ab2c3

2a4b33×a2b3=2a2bb3

2a4b33×a2b3=2a4b3×a2b3

=2a6b3×b3=2a2b33×b3=2a2bb3

a2+b23×a4+2a2b2+b43=a2+b2

a2+b23×a4+2a2b2+b43=a2+b2a4+2a2b2+b43

=a2+b2a2+b223=a2+b233=a2+b2

a2bc3×ab2c3×c3=abc

a2bc3×ab2c3×c3=a2bc×ab2c×c3

=a3b3c33=abc33=abc

a2b35×a3b25=ab

a2b35×a3b25=a2b3×a3b25

=a5b55=ab55=ab

a2b3c7×a3b2c47×a2b2c27=abc

a2b3c7×a3b2c47×a2b2c27=a2b3c×a3b2c4×a2b2c27

=a7b7c77=abc77=abc

ab3×a2+ab+b23×a3b323=a3b3

ab3×a2+ab+b23×a3b323

=aba2+ab+b2a3b323


=a3b3a3b323=a3b333=a3b3

214×2+14=1

214×2+14=212+14=22124

=214=14=1

x4x2+14×x2+1x6+124=x6+134

x4x2+14×x2+1x6+124

=x2+1x4x2+1x6+124


=x6+1x6+124=x6+134

a4b57×a3bc37×bc47=abc

a4b57×a3bc37×bc47=a4b5×a3bc3×bc47

=a7×b7×c77=abc77=abc

305×16535×55=2

305×16535×55=30×1653×55

=30×163×55=3215=255=2

3225+26=1

3225+26=3232+25+26=5265+26

=52262=254×6=1

352+215=8

352+215=3235+5+215

=8215+215=8

3721022110+2212=256

3721022110+2212


=3237+71022110+2212


=102211022110+2212


=10221210+2212=1022110+2212=10022122

=1004×212=100842=162=256

2+3×2+2+3×2+2+2+3×22+2+3=1

2+3×2+2+3×2+2+2+3×22+2+3


=2+3×2+2+3×2+2+2+3×22+2+3


=2+3×2+2+3×2+2+2+3×22+2+3


=2+3×2+2+3×4(2+2+3


=2+3×2+2+3×22+3


=2+3×42+3=2+3×23


=43=1

تمرین

مجموع ارقام حاصل عبارت زیر را بیابید.

A=1.111.111.11122.222

A=1.111.100.000+11.111211.111    ;    a=11.111

A=a00.000+a2aA=a00.0012aA=99999a

A=911.111a    ;    a=11.111A=9aaA=9a2

A=3aA=311.111A=33.333


مجموع ارقام 15 می‌باشد. 

دریافت مثال

نکته

در قضیه فوق بیان کردیم an.bn=abn

عكس قضیه فوق در حالت كلی برقرار نیست، یعنی تساوی abn=an.bn همواره برقرار نیست.

به‌عنوان نمونه:

232×3

تمرین

درستی تساوی های زیر را بررسی کنید. 

300=103

300=100×3=100×3=103

2434=334

2434=81×34=814×34=344×34=334

a+b43=a+ba+b3

a+b43=a+b3×a+b3=a+b33×a+b3=a+ba+b3

a7×b6×c105=abc2a2×b5

a7×b6×c105=a5×a2×b5×b×c255=a5×b5×c255×a2×b5=abc2a2×b5

x74×y7570=xyx4×y570

x74×y7570=x70×x4×y70×y570

=x70×y7070×x4×y570=xyx4×y570

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

قانون اول

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید