تعریف ریشه

آخرین ویرایش: 13 بهمن 1402
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:

مقدمه

مربع یک عدد

اگر با مربع یک عدد آشنا شویم، آن‌گاه یافتن ریشه های آن مربع، کار راحتی است.

عددی مانند 4 را در نظر بگیرید.

اگر این عدد را در خودش ضرب کنیم، آن‌گاه به مربع زیر خواهیم رسید:

همان‌طور که در شکل مشاهده می‌کنید:

4×4=16

مربع (مجذور) اعداد 4 تا 6 را در زیر مشاهده می‌کنید:

42=4×4=16

52=5×5=25

62=6×6=36

درجدول فوق:

عدد 16 یک مربع کامل (مجذور) است، بنابراین ریشه دوم آن برابر است با عدد 4.

ریشه دوم عدد 16 را به‌فرم 162 نشان می‌دهیم که به آن، جذر آن عدد گفته می‌شود و به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود: 

16=42162=4

در عبارت 162 عدد 2 را فرجه می‌نامیم. 

به‌عنوان نمونه داریم: 

25=52252=5

36=62362=6

164=1821642=18

مکعب یک عدد  

اگر با مکعب یک عدد آشنا شویم، آن‌گاه یافتن ریشه های آن مکعب، کار راحتی است. 

عددی مانند 3 را در نظر بگیرید.

اگر این عدد را سه بار در خودش ضرب کنیم، آن‌گاه به مکعب زیر خواهیم رسید:

همان‌طور که در شکل مشاهده می‌کنید:

3×3×3=27

مکعب اعداد 2 تا 4 را در زیر مشاهده می‌کنید:

23=2×2×2=8

33=3×3×3=27

43=4×4×4=64

درجدول فوق:

عدد 8 یک مکعب است، بنابراین ریشه سوم آن برابر است با عدد 2.

ریشه سوم عدد 8 را به‌فرم 83 نشان می‌دهیم که به آن، کعب آن عدد گفته می‌شود و به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

8=2383=2

در عبارت 83 عدد 3 را فرجه می‌نامیم.

به‌عنوان نمونه داریم: 

27=33273=3

64=43643=4

1125=15311253=15

تعریف

فرض کنیم x عددی حقیقی و n>1 عددی طبیعی باشد.

منظور از ریشه n ام x که آن را با x 1n یا xn نشان می‌دهند، عددی حقیقی مانند y است که به ازای آن داشته باشیم:

yn=x

در عبارتxn عدد n را فرجه می‌نامند، لذا می‌توان گفت:

x=ynxn=y

به نمونه‌های زیر توجه کنید:

9=3292=3

110000=11041100004=110

64=43643=4

تذکر

با توجه به وضعیتِ زوج یا فرد بودنِ فرجه، دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم.

اگر فرجۀ رادیکال زوج باشد

در y=xn اگر n زوج باشد، x نمی‌تواند منفی باشد.

به عبارتی دیگر ریشه زوج اعداد منفی در محدوده اعداد حقیقی قابل تعریف نیست.

برای نمونه، تمام اعداد و عبارات رادیکالی زیر، در مجموعه اعداد حقیقی R بی‌معنی هستند:

4

816

52020

24k4

x2+144  ,    xR

تمرین

تعيين كنيد كدام‌يک از عبارت های راديكالی زير در مجموعه اعداد حقيقی بی معنی است.

2100101

=2100101R

در R معنی دار است.

2101100

=2101100R

در R بی معنی است.

22n2n

=2=2R

در R معنی دار است.

x2+14

x2+14R

در R بی معنی است.

دریافت مثال

تذکر

1- قرارداد می‌کنیم که اگر n=2 باشد، مقدار فرجه را ننویسیم، یعنی: 

x2=x

 به خاطر داشته باشید که:

0n=01n=1            ;    nN1n=1    ;    n=2k+1


2-
 اگر چه تساوی زیر برقرار است:

32=32=9

ولی قرار می‌گذاریم که بنویسیم:

92=3

حاصلِ ریشۀ زوج یک عدد غیر منفی، همواره عددی غیر منفی است. 

ما هرگز نمی‌نویسیم:  

92=-3

برای حل این مشکل از مفهوم قدرمطلق به ‌صورت زیر استفاده می‌کنیم:

a2=a

به تساوی های زیر توجه کنید:

62=6=6=6b4c4=b2c22=b2c2=b2c2a8=a42=a4=a4

تمرین

درستی تساوی ‌های زیر را با محاسبه‌ طرفین تساوی توضیح دهید.

32=3

32=9=33=3=332=3

52=5

52=25=55=552=5

42=42=4=4

42=16=442=16=44=4=44=442=42=4=4

دریافت مثال

اگر فرجۀ رادیکال فرد باشد

اگر n فرد باشد، علاوه بر اعداد مثبت، اعداد منفی هم زیر رادیکال با فرجه فرد قابل تعریف هستند.

به‌عنوان نمونه:

83=2

تمرین

مقدار عبارات زیر را به‌دست آورید.

1253

=533                       =5×5×53 =5                                   

-a33

=-a×a×a  3=-a                   

b63

=b233            =b2×b2×b23 =b2                    

x4x53

=x93                     =x333                 =x3×x3×x33      =x3                          

نکته

رادیکال گنگ یا اصم

اگر توانِ اعداد و یا عبارات جبری زیر رادیکال، مضرب صحیحی از فرجه رادیکالی نباشند، آن رادیکال را گنگ یا اصم می‌نامند، مانند:

2  ,  93  ,  345  ,  x2+1  ,  27574

نکته

رادیکال بی‌معنی در حوزه اعداد حقیقی

اگر فرجه رادیکال عددی زوج و عدد یا عبارت زیر رادیکال همواره منفی باشد، در این صورت آن عدد یا عبارت رادیکالی در مجموعه اعداد حقیقی بی‌معنی است. 

عبارات رادیکال زیر در مجموعه اعداد حقیقی، همگی بی‌معنی هستند:

4  ,  816     ,    52020  ,     24k4  ,     x2+144  ,  xR

تمرین

حاصل عبارت های زير را درصورت وجود بيابيد.

83

83=223=8

325

325=225=32

646

646=226=64

1325

=1255=12

33381

=349=329=99=0

2+83

=2+2=0

2528146254

=252344544=2535=1035=2

59+242332+2964

=532+242332+23282


=53+2433+238=12

7×49232+1031149

=7232232+10311232


=72323+1031123=14323+103223


=142+10223=03=0

20.1251100+40.2570.09

=2110251102+42510079100


=2110251102+4510273102


=21105110+45107310


=210510+20102110=25+202110=410=25

394322294+9234

=33223222322+322322


=33232232+3232=92323+3232=0

742524+4422

=74522+422=2820+162=22

تمرین

کدام‌یک از اعداد زیر از دیگری بزرگ‌تر است:

31042203

44=25644×10=256074=2401


2560>2401


44×10>74


10>7444


10>744


104>74


3104>374


43=6443×20=64×2043×20=1280113=1331


1280<1331


43×20<1331


43×20<113


20<11343


20<1143


203<114


2203<2114


3104>3742203<2114


37>211374>2114


3104>374>2114>22033104>2203

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعریف ریشه

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید