سرفصل‌های این مبحث

رادیکال

تعریف ریشه

آخرین ویرایش: 07 مرداد 1403

دسته‌بندی: رادیکال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

مربع یک عدد

اگر با مربع یک عدد آشنا شویم، آن‌گاه یافتن ریشه های آن مربع، کار راحتی است.

عددی مانند $4$ را در نظر بگیرید.

اگر این عدد را در خودش ضرب کنیم، آن‌گاه به مربع زیر خواهیم رسید:

همان‌طور که در شکل مشاهده می‌کنید:

$4 \times 4 = 16$

مربع (مجذور) اعداد $4$ تا $6$ را در زیر مشاهده می‌کنید:

$\begin{array}{l} 4^{2} = 4 \times 4 = 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \end{array}$

$6^{2} = 6 \times 6 = 36$

درجدول فوق:

عدد $16$ یک مربع کامل (مجذور) است، بنابراین ریشه دوم آن برابر است با عدد $4$ .

ریشه دوم عدد $16$ را به‌فرم $\sqrt[2]{16}$ نشان می‌دهیم که به آن، جذر آن عدد گفته می‌شود و به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$16 = 4^{2} \Leftrightarrow \sqrt[2]{16} = 4$

در عبارت $\sqrt[2]{16}$ عدد $2$ را فرجه می‌نامیم.

به‌عنوان نمونه داریم:

$\begin{array}{l} 25 = 5^{2} \Leftrightarrow \sqrt[2]{25} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} 36 = 6^{2} \Leftrightarrow \sqrt[2]{36} = 6 \end{array}$

$\frac{1}{64} = {(\frac{1}{8})}^{2} \Leftrightarrow \sqrt[2]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$

مکعب یک عدد

اگر با مکعب یک عدد آشنا شویم، آن‌گاه یافتن ریشه های آن مکعب، کار راحتی است.

عددی مانند $3$ را در نظر بگیرید.

اگر این عدد را سه بار در خودش ضرب کنیم، آن‌گاه به مکعب زیر خواهیم رسید:

همان‌طور که در شکل مشاهده می‌کنید:

$3 \times 3 \times 3 = 27$

مکعب اعداد $2$ تا $4$ را در زیر مشاهده می‌کنید:

$\begin{array}{l} 2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \end{array}$

$4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$

درجدول فوق:

عدد $8$ یک مکعب است، بنابراین ریشه سوم آن برابر است با عدد $2$ .

ریشه سوم عدد $8$ را به‌فرم $\sqrt[3]{8}$ نشان می‌دهیم که به آن، کعب آن عدد گفته می‌شود و به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$8 = 2^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{8} = 2$

در عبارت $\sqrt[3]{8}$ عدد $3$ را فرجه می‌نامیم.

به‌عنوان نمونه داریم:

$\begin{array}{l} 27 = 3^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{27} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} 64 = 4^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{64} = 4 \end{array}$

$\frac{1}{125} = {(\frac{1}{5})}^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

تعریف

فرض کنیم $x$ عددی حقیقی و $n > 1$ عددی طبیعی باشد.

منظور از ریشه $n$ ام $x$ که آن را با $x^{\frac{1}{n}}$ یا $\sqrt[n]{x}$ نشان می‌دهند، عددی حقیقی مانند $y$ است که به ازای آن داشته باشیم:

$y^{n} = x$

در عبارت $\sqrt[n]{x}$ عدد $n$ را فرجه می‌نامند، لذا می‌توان گفت:

$x = y^{n} \Leftrightarrow \sqrt[n]{x} = y$

به نمونه‌های زیر توجه کنید:

$9 = 3^{2} \Leftrightarrow \sqrt[2]{9} = 3$

$\begin{array}{l} \frac{1}{10000} = {(\frac{1}{10})}^{4} \Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{1}{10000}} = \frac{1}{10} \end{array}$

$- 64 = {(- 4)}^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{- 64} = - 4$

تذکر

با توجه به وضعیتِ زوج یا فرد بودنِ فرجه، دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم.

اگر فرجۀ رادیکال زوج باشد

در $y = \sqrt[n]{x}$ اگر $n$ زوج باشد، $x$ نمی‌تواند منفی باشد.

به عبارتی دیگر ریشه زوج اعداد منفی در محدوده اعداد حقیقی قابل تعریف نیست.

برای نمونه، تمام اعداد و عبارات رادیکالی زیر، در مجموعه اعداد حقیقی $R$ بی‌معنی هستند:

$\begin{array}{l} \sqrt{- 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[6]{- 81} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[20]{- 5^{20}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[4]{- {(- 2)}^{4 k}} \end{array}$

$\sqrt[4]{- {(x^{2} + 1)}^{4}}, x \in R$

تمرین

تعيين كنيد كدام‌يک از عبارت های راديكالی زير در مجموعه اعداد حقيقی بی معنی است.

$\sqrt[101]{- 2^{100}}$

$= - \sqrt[101]{2^{100}} \in R$

در $R$ معنی دار است.

$\sqrt[100]{{(- 2)}^{101}}$

$= \sqrt[100]{- 2^{101}} \notin R$

در $R$ بی معنی است.

$\sqrt[2 n]{{(- 2)}^{2 n}}$

$= |- 2| = 2 \in R$

در $R$ معنی دار است.

$\sqrt[4]{- (x^{2} + 1)}$

$\sqrt[4]{- (x^{2} + 1)} \notin R$

در $R$ بی معنی است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

1- قرارداد می‌کنیم که اگر $n = 2$ باشد، مقدار فرجه را ننویسیم، یعنی:

$\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$

به خاطر داشته باشید که:

$\begin{array}{l} \sqrt[n]{0} = 0 \\ \sqrt[n]{1} = 1; n \in N \\ \sqrt[n]{- 1} = - 1; n = 2 k + 1 \end{array}$

2- اگر چه تساوی زیر برقرار است:

$3^{2} = {(- 3)}^{2} = 9$

ولی قرار می‌گذاریم که بنویسیم:

$\sqrt[2]{9} = 3$

حاصلِ ریشۀ زوج یک عدد غیر منفی، همواره عددی غیر منفی است.

ما هرگز نمی‌نویسیم:

$\sqrt[2]{9} = - 3$

برای حل این مشکل از مفهوم قدرمطلق به ‌صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt{a^{2}} = |a|$

به تساوی های زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} \sqrt{{(- 6)}^{2}} = |- 6| = |6| = 6 \\ \sqrt{b^{4} c^{4}} = \sqrt{{(b^{2} c^{2})}^{2}} = |(b^{2} c^{2})| = b^{2} c^{2} \\ \sqrt{a^{8}} = \sqrt{{(a^{4})}^{2}} = |(a^{4})| = a^{4} \end{array}$

تمرین

درستی تساوی ‌های زیر را با محاسبه‌ طرفین تساوی توضیح دهید.

$\begin{array}{l} \sqrt{{(- 3)}^{2}} = |- 3| \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ |- 3| = |3| = 3 \end{array}〉 \sqrt{{(- 3)}^{2}} = |- 3|$

$\begin{array}{l} \sqrt{5^{2}} = |5| \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5 \\ |5| = 5 \end{array}〉 \sqrt{5^{2}} = |5|$

$\sqrt{4^{2}} = \sqrt{{(- 4)}^{2}} = |- 4| = |4|$

$\{\begin{array}{l} \sqrt{4^{2}} = \sqrt{16} = 4 \\ \sqrt{{(- 4)}^{2}} = \sqrt{16} = 4 \\ |- 4| = |4| = 4 \\ |4| = 4 \end{array}〉 \sqrt{4^{2}} = \sqrt{{(- 4)}^{2}} = |- 4| = |4|$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اگر فرجۀ رادیکال فرد باشد

اگر $n$ فرد باشد، علاوه بر اعداد مثبت، اعداد منفی هم زیر رادیکال با فرجه فرد قابل تعریف هستند.

به‌عنوان نمونه:

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$

تمرین

مقدار عبارات زیر را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 125} \end{array}$

$\begin{matrix} = \sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} \\ = \sqrt[3]{(- 5) \times (- 5) \times (- 5)} \\ = - 5 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- a^{3}} \end{array}$

$\begin{matrix} = - \sqrt[3]{a \times a \times a} \\ = - a \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{b^{6}} \end{array}$

$\begin{matrix} = \sqrt[3]{{(b^{2})}^{3}} \\ = \sqrt[3]{b^{2} \times b^{2} \times b^{2}} \\ = b^{2} \end{matrix}$

$\sqrt[3]{x^{4} x^{5}}$

$\begin{matrix} = \sqrt[3]{x^{9}} \\ = \sqrt[3]{{(x^{3})}^{3}} \\ = \sqrt[3]{x^{3} \times x^{3} \times x^{3}} \\ = x^{3} \end{matrix}$

نکته

رادیکال گنگ یا اصم

اگر توانِ اعداد و یا عبارات جبری زیر رادیکال، مضرب صحیحی از فرجه رادیکالی نباشند، آن رادیکال را گنگ یا اصم می‌نامند، مانند:

$\sqrt{2}, \sqrt[3]{9}, \sqrt[5]{34}, \sqrt{x^{2} + 1}, \sqrt[74]{275}$

نکته

رادیکال بی‌معنی در حوزه اعداد حقیقی

اگر فرجه رادیکال عددی زوج و عدد یا عبارت زیر رادیکال همواره منفی باشد، در این صورت آن عدد یا عبارت رادیکالی در مجموعه اعداد حقیقی بی‌معنی است.

عبارات رادیکال زیر در مجموعه اعداد حقیقی، همگی بی‌معنی هستند:

$\sqrt{- 4}, \sqrt[6]{- 81}, \sqrt[20]{- 5^{20}}, \sqrt[4]{- {(- 2)}^{4 k}}, \sqrt[4]{- {(x^{2} + 1)}^{4}}, x \in R$

تمرین

حاصل عبارت های زير را درصورت وجود بيابيد.

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 8} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 8} = - 2 \Leftrightarrow {(- 2)}^{3} = - 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{32} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{32} = 2 \Leftrightarrow 2^{5} = 32 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[6]{64} \end{array}$

$\sqrt[6]{64} = 2 \Leftrightarrow {(2)}^{6} = 64$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{\frac{- 1}{32}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[5]{{(- \frac{1}{2})}^{5}} \\ = - \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{(- 3) {(- 3)}^{3}} - \sqrt{81} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{{(- 3)}^{4}} - 9 \\ = {(- 3)}^{2} - 9 \\ = 9 - 9 \\ = 0 \end{array}$

$2 + \sqrt[3]{- 8}$

$\begin{array}{l} = 2 + (- 2) \\ = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{5^{2}} - \sqrt[4]{81} - \sqrt[4]{625} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sqrt{5^{2}} - \sqrt[4]{3^{4}} - \sqrt[4]{5^{4}} \\ = 2 (5) - (3) - (5) \\ = 10 - 3 - 5 \\ = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} 5 \sqrt{9} + 2 \sqrt{{(- 4)}^{2}} - 3 \sqrt{{(- 3)}^{2}} + 2 \sqrt{9} - \sqrt{64} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 5 \sqrt{3^{2}} + 2 \sqrt{{(- 4)}^{2}} - 3 \sqrt{{(- 3)}^{2}} + 2 \sqrt{3^{2}} - \sqrt{8^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 5 (3) + 2 (4) - 3 (3) + 2 (3) - 8 \\ = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} 7 \times \sqrt{\frac{4}{9}} - \sqrt{{(\frac{- 2}{3})}^{2}} + \frac{10}{3} - 11 \sqrt{\frac{4}{9}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 7 \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} - \sqrt{{(\frac{- 2}{3})}^{2}} + \frac{10}{3} - 11 \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 7 (\frac{2}{3}) - (\frac{2}{3}) + \frac{10}{3} - 11 (\frac{2}{3}) \\ = \frac{14}{3} - \frac{2}{3} + \frac{10}{3} - \frac{22}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{14 - 2 + 10 - 22}{3} \\ = \frac{0}{3} \\ = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{{(- 0.1)}^{2}} - 5 \sqrt{\frac{1}{100}} + 4 \sqrt{0.25} - 7 \sqrt{0.09} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sqrt{{(- \frac{1}{10})}^{2}} - 5 \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2}} + 4 \sqrt{\frac{25}{100}} - 7 \sqrt{\frac{9}{100}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sqrt{{(- \frac{1}{10})}^{2}} - 5 \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2}} + 4 \sqrt{{(\frac{5}{10})}^{2}} - 7 \sqrt{{(\frac{3}{10})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 (\frac{1}{10}) - 5 (\frac{1}{10}) + 4 (\frac{5}{10}) - 7 (\frac{3}{10}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2}{10} - \frac{5}{10} + \frac{20}{10} - \frac{21}{10} \\ = \frac{2 - 5 + 20 - 21}{10} \\ = - \frac{4}{10} \\ = - \frac{2}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 \sqrt{\frac{9}{4}} - \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2}} - 2 \sqrt{\frac{9}{4}} + \frac{\sqrt{9}}{2} - \frac{3}{\sqrt{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2}} - \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2}} - 2 \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2}} + \frac{\sqrt{{(3)}^{2}}}{2} - \frac{3}{\sqrt{{(2)}^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 (\frac{3}{2}) - (\frac{3}{2}) - 2 (\frac{3}{2}) + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \\ = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \\ = 0 \end{array}$

$7 \sqrt{{(- 4)}^{2}} - 5 \sqrt{{(- 2)}^{4}} + \sqrt{{(- 4)}^{4}} - \sqrt{{(- 2)}^{2}}$

$\begin{array}{l} = 7 (4) - 5 (2^{2}) + 4^{2} - 2 \\ = 28 - 20 + 16 - 2 \\ = 22 \end{array}$

تمرین

کدام‌یک از اعداد زیر از دیگری بزرگ‌تر است:

$\{\begin{cases} 3^{\sqrt[4]{10}} \\ 2^{\sqrt[3]{20}} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 4^{4} = 256 \Rightarrow 4^{4} \times 10 = 2560 \\ 7^{4} = 2401 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2560 > 2401 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4^{4} \times 10 > 7^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 10 > \frac{7^{4}}{4^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 10 > {(\frac{7}{4})}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt[4]{10} > \frac{7}{4} \end{array}$

$\Rightarrow 3^{\sqrt[4]{10}} > 3^{\frac{7}{4}}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 4^{3} = 64 \Rightarrow 4^{3} \times 20 = 64 \times 20 \Rightarrow 4^{3} \times 20 = 1280 \\ 11^{3} = 1331 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1280 < 1331 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4^{3} \times 20 < 1331 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4^{3} \times 20 < 11^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 20 < \frac{11^{3}}{4^{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 20 < {(\frac{11}{4})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt[3]{20} < \frac{11}{4} \end{array}$

$\Rightarrow 2^{\sqrt[3]{20}} < 2^{\frac{11}{4}}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 3^{\sqrt[4]{10}} > 3^{\frac{7}{4}} \\ 2^{\sqrt[3]{20}} < 2^{\frac{11}{4}} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3^{7} > 2^{11} \Rightarrow 3^{\frac{7}{4}} > 2^{\frac{11}{4}} \end{array}$

$3^{\sqrt[4]{10}} > 3^{\frac{7}{4}} > 2^{\frac{11}{4}} > 2^{\sqrt[3]{20}} \Rightarrow 3^{\sqrt[4]{10}} > 2^{\sqrt[3]{20}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$\sqrt{9999^{2} + 19999}$

$10^{7}$
$10^{6}$
$10^{4}$
$10^{5}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

تعریف ریشه

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

رادیکال

تعریف ریشه

مقدمه

مربع یک عدد

مکعب یک عدد

تعریف

اگر فرجۀ رادیکال زوج باشد

اگر فرجۀ رادیکال فرد باشد

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟