سرفصل‌های این مبحث

احتمالات

احتمال (یكنواخت)

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مدل احتمال یکنواخت

اگر نقاط فضای نمونه دارای شانس مساوی برای انتخاب شدن داشته باشند، آن‌گاه احتمال وقوع هر پیشامد $A$ در $S$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$P (A) = \frac{n (A)}{n (S)}; 0 \leq P (A) \leq 1$

$n (A)$ تعداد اعضای پیشامد $A$ است.
$n (S)$ تعداد فضای نمونه است.

مدل احتمال یکنواخت - پیمان گردلو

تمرین

فرض کنید در یک جعبه $12$ مهره آبی و $6$ مهره قرمز و $2$ مهره سبز وجود داشته باشد.

مدل احتمال یکنواخت - پیمان گردلو

اگر از این جعبه $1$ مهره به تصادف خارج کنیم، احتمال آبی بودن، قرمز بودن و سبز بودن مهره خارج شده را محاسبه کنید.

تعداد کل مهره‌ها:

$n (S) = 12 + 6 + 2 = 20$

$A$ پیشامد آن است که مهره آبی باشد:

$P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{12}{20} = \frac{6}{10}$

$B$ پیشامد آن است که مهره قرمز باشد:

$P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$C$ پیشامد آن است که مهره سبز باشد:

$P (C) = \frac{n (C)}{n (S)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

تمرین

در آزمايش پرتاب يک سکه، اگر $A$ پیشامد (آمدن شیر) باشد، در اين‌صورت احتمال آن را حساب کنيد.

$S = \{H, T\} \Rightarrow n (S) = 2$

$A$ : پیشامد (آمدن شیر) است.

$\begin{array}{l} A = \{H\} \Rightarrow n (A) = 1 \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{1}{2} \end{array}$

در آزمايش ريختن يک تاس، احتمال اين‌که عدد روی وجه بالایی تاس بزرگ‌تر از $2$ باشد، چقدر است؟

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n (S) = 6$

$A$ : پیشامد این‌که (عدد روی وجه بالایی تاس بزرگ‌تر از $2$ ) باشد.

$\begin{array}{l} A = \{3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n (A) = 4 \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{array}$

تمرین

تاسی را پرتاب می‌کنیم.

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

احتمال آن‌که عدد رو شده زوج باشد را محاسبه کنید.

$: A$ پیشامد رو شدن عدد زوج

$\begin{matrix} A = \{2, 4, 6\} \Rightarrow n (A) = 3 \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{matrix}$

احتمال آن‌که عدد رو شده زوج و از $2$ بزرگ‌تر باشد را محاسبه کنید.

$: B$ پیشامد رو شدن عدد زوج و بزرگ‌تر از $2$

$\begin{matrix} B = \{4, 6\} \Rightarrow n (B) = 2 \\ P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{matrix}$

احتمال آن‌که عدد رو شده زوج و اول باشد را محاسبه کنید.

$: C$ پیشامد رو شدن عدد زوج و اول

$\begin{matrix} C = \{2\} \Rightarrow n (C) = 1 \\ P (C) = \frac{n (C)}{n (S)} = \frac{1}{6} \end{matrix}$

احتمال آن‌که عدد رو شده کم‌تر از $3$ باشد.

$: D$ پیشامد رو شدن عددی که کم‌تر از $3$ باشد

$\begin{array}{l} D = \{1, 2\} \Rightarrow n (D) = 2 \\ P (D) = \frac{n (D)}{n (S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{array}$

تمرین

دو تاس را يکی سفيد و ديگری سياه با هم پرتاب می‌کنيم، مطلوب است:

احتمال اين‌که مجموع دو تاس $7$ باشد.

فضای نمونه اين آزمايش تصادفی به‌صورت زير است:

$S = \{(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1) ..., (6, 6)\} \Rightarrow n (S) = 36$

$A$ : پیشامد این‌که (مجموع دو تاس $7$ ) باشد.

$\begin{array}{l} A = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\} \Rightarrow n (A) = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{array}$

احتمال اين‌که مجموع دو تاس $8$ باشد.

$B$ : پیشامد این‌که (مجموع دو تاس $8$ ) باشد.

$\begin{array}{l} B = \{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\} \Rightarrow n (B) = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{5}{36} \end{array}$

تمرین

کيسه ای دارای $7$ گوی سفید و $9$ گوی سیاه است.

دو گوی به تصادف و هم‌زمان از کيسه بيرون می‌آوريم، مطلوب است.

پیمان گردلو

محاسبه احتمال اين‌که يکی از گوی ها سفيد و ديگری سياه باشد.

تعداد اعضای فضای نمونه اين آزمايش تصادفی به‌صورت زير به‌دست می‌آيد:

$n (S) = (\begin{array}{l} 16 \\ 2 \end{array})$

$A$ : پیشامد این‌که (يکی از گوی ها سفيد و ديگری سياه) باشد.

$\begin{array}{l} n (A) = (\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{l} 9 \\ 1 \end{array}) \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{(\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{l} 9 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{l} 16 \\ 2 \end{array})} \end{array}$

محاسبه احتمال اين‌که هر دو گوی سياه باشد.

$B$ : پیشامد این‌که (هر دو گوی سياه) باشد.

$\begin{array}{l} n (B) = (\begin{array}{l} 9 \\ 2 \end{array}) \\ P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{(\begin{array}{l} 9 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{l} 16 \\ 2 \end{array})} \end{array}$

تمرین

عقربه‌ای مطابق شکل زیر و به تصادف پس از به حرکت در آمدن روی یکی از $8$ ناحیه شکل می‌ایستد و عددی را نشان می‌دهد.

پیمان گردلو

چقدر احتمال دارد:

عقربه عددی اول را نشان دهد.

$n (S) = 8$

$A$ : پیشامد این‌که (عقربه عددی اول) را نشان دهد.

$\begin{array}{l} A = \{2, 3, 5, 7\} \Rightarrow n (A) = 4 \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}$

عقربه عددی اول یا فرد را نشان دهد.

$B$ : پیشامد این‌که (عقربه عددی اول یا فرد) را نشان دهد.

$\begin{array}{l} B = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 3, 5, 7\} = \{1, 2, 3, 5, 7\} \Rightarrow n (B) = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{5}{8} \end{array}$

عقربه روی عدد مضرب $3$ بایستد

$C$ : پیشامد این‌که (عقربه روی عدد مضرب $3$ ) بایستد.

$\begin{array}{l} C = \{3, 6\} \Rightarrow n (C) = 2 \\ P (C) = \frac{n (C)}{n (S)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \end{array}$

تمرین

به نمودار درختی این پدیده دقت کنید

پیمان گردلو

از روی شکل احتمالات زیر را حساب کنید:

پیشامد این‌که فرزندان به‌صورت یک در میان پسر و دختر (یا دختر و پسر) باشند.

$P (A) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

پیشامد این‌که هر سه فرزند پسر باشند.

$P (B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

پیشامد این‌که فرزند سوم دختر باشد.

$P (C) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

تمرین

عدد سه رقمی $\bar{a b c}$ را به تصادف انتخاب می‌کنیم و به‌کمک ارقام $a, b, c$ سهمی زیر را می‌سازیم:

$f (x) = a x^{2} - 2 b x + c$

احتمال این را حساب کنید که:

نمودار $f (x)$ به محور $x$ ها در نقطه $x = 1$ برخورد کند.

$x = 1$ ریشه $f (x)$ است زیرا نمودار، محور $x$ ها را در این نقطه قطع می‌کند.

$\begin{array}{l} f (1) = 0; f (x) = a x^{2} - 2 b x + c \\ \Rightarrow a - 2 b + c = 0 \\ \Rightarrow a + c = 2 b \end{array}$

فضای نمونه برای همه تعداد اعداد سه رقمی طبق اصل ضرب، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

برای $a$ غیر از رقم صفر بقیه ارقام به $9$ حالت می‌تواند در نظر گرفته شود.

برای $b$ همه ارقام به $10$ حالت می‌تواند در نظر گرفته شود.

برای $c$ همه ارقام به $10$ حالت می‌تواند در نظر گرفته شود.

$n (S) = 9 \times 10 \times 10 = 900$

$A$ : پیشامد این‌که تساوی $a + c = 2 b$ برقرار باشد.

برای این‌که تساوی فوق برقرار باشد بایستی $a, c$ هر دو زوج یا هر دو فرد باشند تا مجموعشان زوج شود، بنابراین با دو زیر پیشامدمواجه هستیم.

$A_{1}$ : اگر $a, c$ هر دو زوج باشند، داریم:

طبق اصل ضرب $a$ به غیر از رقم صفر چهار رقم زوج را می‌پذیرد و $c$ هم پنج رقم زوج را می‌پذیرد.

$A_{2}$ : اگر $a, c$ هر دو فرد باشند، داریم:

طبق اصل ضرب $a$ پنج رقم فرد را می‌پذیرد و $c$ هم پنج رقم فرد را می‌پذیرد.

طبق اصل جمع داریم:

$n (A) = n (A_{1}) + n (A_{2}) = (4) (5) + (5) (5) = 20 + 25 = 45$

برای محاسبه احتمال، داریم:

$P (S) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{45}{900} = \frac{1}{20}$

تمرین

در یک گروه $150$ نفری دانش آموزی:

$40$ نفر فقط بلیت فیلم (الف) را خریداری کرده اند.

$75$ نفر فقط بلیت فیلم (ب) را خریداری کرده اند.

اگر $P (A)$ و $P (B)$ به‌ترتیب احتمال خرید بلیت فیلم‌های (الف) و (ب) باشند:

بیشترین مقدار $\frac{P (A)}{P (B)}$ را بیابید.

$\frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\frac{n (A)}{n (S)}}{\frac{n (B)}{n (S)}} = \frac{n (A)}{n (B)} = \frac{40 + x}{75 + x}$

باید تلاش کنیم که اشتراک، حداکثر شود:

$x_{\max} = 150 - (75 + 40) = 35$

$\frac{P (A)}{P (B)} = \frac{40 + 35}{75 + 35} = \frac{75}{110} = \frac{15}{22}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

سکه‌ای را پرتاب می‌کنیم.

اگر رو بیاید، $2$ سکه پرتاب کرده و اگر پشت بیابید، $3$ سکه را پرتاب می‌کنیم.

با کدام احتمال همه سکه‌ها یکسان ظاهر می‌شوند؟

$\frac{3}{12}$
$\frac{3}{16}$
$\frac{5}{12}$
$\frac{5}{16}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

دو تاس با هم پرتاب می‌کنیم.

با کدام احتمال، عدد ظاهر شده یکی از تاس ها، اول بوده و مجموع آنها حداقل $6$ است؟

$\frac{2}{9}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{11}{18}$
$\frac{13}{18}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

کنکور ریاضی 1402

در یک گروه $150$ نفری دانش آموزی، $40$ نفر فقط بلیت فیلم (الف) و $75$ نفر فقط بلیت فیلم (ب) را خریداری کرده‌اند.

اگر $P (A)$ و $P (B)$ به‌ترتیب احتمال خرید بلیت فیلم‌های (الف) و (ب) باشند، بیشترین مقدار $\frac{P (A)}{P (B)}$ کدام است؟

$\frac{15}{29}$
$\frac{38}{45}$
$\frac{8}{15}$
$\frac{15}{22}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

تابع زیر را در دامنه $(- 5, 7)$ در نظر بگیرید:

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 1$

از میان نقاط با طول صحیح، یک نقطه به تصادف انتخاب و در آن نقطه خطی بر نمودار تابع، مماس می‌کنیم.

با کدام احتمال شیب خط مماس بر نمودار تابع منفی است؟

$\frac{3}{11}$
$\frac{4}{11}$
$\frac{5}{11}$
$\frac{6}{11}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

در یک مراسم قرعه کشی، اسم اشکان و $7$ نفر دیگر در یک جعبه قرار دارد.

اگر $3$ نفر به تصادف انتخاب شوند، احتمال آن که اشکان انتخاب نشود، چقدر است؟

$\frac{2}{7}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{5}{7}$
$\frac{5}{8}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

احتمال (یكنواخت)

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات

احتمال (یكنواخت)

مدل احتمال یکنواخت

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟