انتگرال معین (قضایا)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:

محاسبه انتگرال معین با استفاده از تعریف، یعنی این‌که عملا حد یک مجموع را پیدا کنیم، معمولا بسیار خسته کننده و تقریبا غیر ممکن است.

برای رسیدن به روش های بسیار ساده‌تر لازم است بعضی از قضایای انتگرال معین را بیان کنیم.

قضیه

اگر  افراز دلخواهی از بازه بسته a,b باشد، آن‌گاه:  

abdx=limΔ0i=1nΔix=ba

اثبات

i=1nΔixba=baba=0

برای هر ε>0 هر انتخاب دل‌خواه α>0 برقراری نامساوی زیر را تضمین می‌کند:

i=1nΔixba<ε   ,    Δ<α

ε>0   α>0    ;    Δ<αi=1nΔixba<εlimΔ0  i=1nΔix=ba

قضیه

اگر تابع y=fx بر بازه بسته a,b تعریف شده باشد و حد زیر موجود باشد.

limΔ0i=1nfξiΔix

و  افراز دل‌خواهی از بازه a,b باشد و k ثابت دل‌خواه، آن‌گاه داریم:    

limΔ0i=1nkfξiΔix=klimΔ0i=1nfξiΔix

به‌عبارت دیگر، اگر تابع f بر بازه بسته a,b انتگرال پذیر بوده و k ثابتی دل‌خواه باشد، آن‌گاه:  

abkfx  dx=kabfx  dx

قضیه

اگر k ثابتی دلخواه باشد، آن‌گاه:  

abkdx=kba

اثبات

روش اول:

abfxdx=  limΔ0   i=1nfξiΔix

اگر برای تمام xهای در a,b که fx=k باشد، آن‌گاه خواهیم داشت:  

abkdx=limΔ0i=1nkΔix=k  limΔ0  i=1nΔix=kba


روش دوم:

Δx=ban

lnf=i=1nfxi1Δx=i=1nkban=kbani=1n1=knban=kba

unf=i=1nfxiΔx=i=1nkban=kbani=1n1=knban=kba

abkdx=kba

تمرین

انتگرال زیر را حساب کنید.

354dx

354dx=453=48=32

دریافت مثال

قضیه

اگر توابع f و g بر بازه a,b انتگرال پذیر باشند، آن‌گاه f+g روی a,b انتگرال پذیر است و داریم:  

abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx

اثبات

طبق فرض توابع f و g بر بازه a,b انتگرال پذیر هستند:

abfxdx=Mabgxdx=N

برای این‌که ثابت کنیم f+g روی a,b انتگرال پذیر است، باید نشان دهیم:  

abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx=M+N

برای هر ε>0 یک α>0 وجود دارد به‌طوری‌که برای تمام افرازهای  با شرط Δ<α و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:     

i=1nfξi+gξiΔixM+N<β

چون:

N=abgx  dx=limΔ0   i=1ngξiΔix

M=abfx  dx=limΔ0  i=1mfξiΔix

برای هر ε>0 یک α1>0 و α2>0 وجود دارد به‌قسمی که به ازای تمام افرازهای  با شرط Δ<α1 و Δ<α2 و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:    

i=1ngξiΔixN<ε2i=1nfξiΔixM<ε2

اگر α=minα1,α2 باشد، آن‌گاه برای هر ε>0 و برای تمام افرازهای  با شرط Δ<α و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:        

i=1nfξiΔixM+i=1ngξiΔixN<ε2+ε2=ε    ;    1

با استفاده از نامساوی مثلثی داریم:

i=1nfξiΔixM+i=1ngξiΔixNi=1nfξiΔixM+i=1ngξiΔixN    ;    2

از نامساوی 2,1 داریم:

i=1nfξiΔix+i=1ngξiΔixM+N<ε    ;    3

هم‌چنین داریم:

i=1nfξiΔix+i=1ngξiΔix=i=1nfξi+gξiΔix    ;    4

با قرار دادن مقدار 4 در 3 می‌توان نتیجه گرفت:

برای هر ε>0 و برای تمام افرازهای  با شرط Δ<α و با انتخاب α=minα1,α2 و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:    

i=1nfξi+gξiΔixM+N<ε

بدین ترتیب ثابت می‌شود که f+g روی a,b انتگرال پذیر است و داریم:   

abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx

قضیه

اگر تابع f روی بازه های زیر انتگرال پذیر باشد:

c,b   ,   a,c   ,   a,b , a<c<b

آن‌گاه:

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

اثبات

مفهوم هندسی این قضیه آن است که:

می‌خواهیم اندازه مساحت ناحیه محصور بین منحنی y=fx و محور xها را از  a تا b که مساوی با مجموع اندازه مساحت های نواحی از  a تا c و از c تا b می‌باشد را اثبات کنیم:      

قضایای انتگرال - پیمان گردلو

فرض کنیم  افرازی از a,b باشد. افراز Δ' از بازه a,b را به‌صورت زیر تشکیل می‌دهیم:   

اگر c یکی از نقاط افراز  باشد مثلا c=xi برای یک i باشد، آن‌گاه Δ' دقیقا با  یکسان است.  

اگر c یکی از نقاط افراز  نباشد اما در زیر بازه xi1,xi قرار داشته باشد:

آن‌گاه افراز Δ' شامل تمام نقاط افراز  و به‌علاوه شامل نقطه c می‌باشد. بنابراین زیر بازه های افراز Δ' با زیر بازه های  یکسان هستند.     

با این استثنا که زیر بازه xi1,xi از افراز  به دو زیر بازه xi1,c و c,xi تقسیم می‌شود.   

اگر Δ' نورم Δ' و Δ نورم Δ باشد، آن‌گاه:  

Δ'Δ

اگر در افراز Δ' بازه a,c را به r زیر بازه و بازه c,b را به n-r زیر بازه تقسیم کنیم:

آن‌گاه قسمتی از افراز Δ' از a تا c مجموع ریمانی زیر را می‌دهد:    

i=1rfξiΔix

و قسمت دیگر افراز Δ' از c تا b مجموع ریمانی زیر را می‌دهد:  

i=r+1nfξiΔix

با استفاده از تعریف انتگرال معین و خواص نماد سیگما داریم:

abfxdx=limΔ0   i=1nfξiΔix

abfxdx=   limΔ0  i=1rfξiΔix+i=r+1nfξiΔix

abfxdx=limΔ0  i=1rfξiΔix  +   limΔ0  i=r+1nfξiΔix

چون 0<Δ'Δ می‌توانیم به‌جای Δ0 قرار دهیم Δ'0 که نتیجه می‌شود:

abfx  dx=  limΔ'0    i=1rfξiΔix+   limΔ'0  i=r+1nfξiΔix=acfx  dx+cbfx  dx

تمرین

مقدار انتگرال های زیر را حساب کنید.

11x+xdx

11x+xdx=11xdx+11xdx


11xdx=10xdx+01xdx=101dx+010dx=101+010=1


پیمان گردلو

11xdx=10xdx+01xdx=10xdx+01x  dx=12+12=1


پیمان گردلو

11x+xdx=11xdx+11xdx=-1+1=0

031x   xdx

=011xxdx+121xxdx+231xxdx

=010dx+121dx+232dx

=0+121+232=1

تمرین

اگر f تابعی انتگرال پذير و داشته باشیم:

27fxdx=337fxdx=10

آن‌گاه انتگرال زیر را بیابید.

23fxdx

37fxdx=32fxdx+27fxdx


10=32fxdx+3


32fxdx=7    ;    abfxdx=bafxdx


23fxdx=7

تمرین

نمودار تابع f مطابق شکل زیر است.

نمودار زیر را رسم کنيد.

Fx=  0  xftdt

if   0<x<1:


x=0F0=  0  0ftdt=0    ;    A0,0


x=1F1=  0  1ftdt=  0  13dt=3    ;    B1,3


if   1<x<3:


x=1F1=3    ;    B1,3


x=3F3=  0  3ftdt=1    ;    C3,1     Ι


Ι  :  1<x<3:Fx=  0  3ftdt


Fx=  0  1ftdt+  1  3ftdtFx=  0  13dt+  1  31dt

Fx=310+131

Fx=32Fx=1


تمرین

اگر داشته باشیم:

fx=  0  xtdt    ;    x0

نمودار f را در بازه 0,3 رسم کنيد.

x=0  :  f0=  0  0tdt=0    ;    A0,0


x=1  :  f1=  0  1tdt=010dt=0    ;    B1,00t1t=0


x=2  :  f2=  0  2tdt=  0  1tdt+  1  2tdt=0+  1  21dt=0+121=1    ;    C2,11t2t=1


x=3  :  f3=  0  3tdt=  0  1tdt+  1  2tdt+  2  3tdt=0+1+  2  32dt=1+232=3    ;    D3,32t3t=2


تمرین

نمودار تابع f در شکل زیر رسم شده است.

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

Fx=  0  xft  dt

F2=  0  2ft  dt=122+1=32


مساحت ذوزنقه در بازه 0,2 عدد 32 است.


F3=  0  3ft  dt=123+1=2


مساحت ذوزنقه در بازه 0,3 عدد 2 است.


F2=32=1.5F3=2


مشتق از مثبت به منفی تغيير علامت می‌دهد.


دریافت مثال

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته ای که شامل اعداد a و b و c است، انتگرال پذیر باشد آن‌گاه بدون توجه به ترتیب این اعداد، داریم:  

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

اثبات

اگر اعداد a و b و c متمایز از یکدیگر باشند، شش ترتیب ممکن برای این سه عدد به‌صورت زیر وجود دارد:

b<c<aa<c<b    ;    c<a<bb<a<c    ;    c<b<aa<b<c

که حالت a<c<b  از این قضیه استفاده کرده و ثابت می‌کنیم که تساوی زیر برقرار است:  

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

برای سایر ترتیب‌های اعداد a و b و c برقرار است. 

abfxdx+bcfxdx=acfxdx       ;    bcfxdx=cbfxdx

abfxdxcbfxdx=acfxdx

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

تمرین

اگر داشته باشیم:

24fxdx=114fxdx=4

آن‌گاه مقدار انتگرال زیر را به‌دست آورید:

21fxdx

21fxdx+14fxdx=24fxdx


21fxdx+4=121fxdx=5

تمرین

نامساوی انتگرالی زیر را ثابت کنید. 

04xdx>44.5xdx

یادآوری)

abkdx=kaddx=kba


A=04xdx


A=01xdx+12xdx+23xdx+34xdx


A=010dx+121dx+232dx+343dx


A=0+121+232+343


A=1+2+3A=6


0x<1x=01x<2x=12x<3x=23x<4x=3


B=44.5xdx


B=44.5xdx    ;    4x<4.5x=4


B=44.54dxB=44.54B=2


A>B04xdx>44.5xdx

تمرین

اگر f روی فاصله -1,2 انتگرال پذير باشد، حاصل عبارت زير را به‌دست آوريد.

A=12fxdx+20fxdx+01fxdx+11fxdx

A=12fxdx+20fxdx+01fxdx+11fxdx


A=10fxdx+01fxdx+11fxdx


A=11fxdx+11fxdx

A=0

تمرین

 اگر x>3 باشد، انتگرال زیر را محاسبه کنید.

2xtdt

یادآوری)


abkdx=kaddx=kba


2xtdt=23tdt+3xtdt


=232dt+3x3dt=232+3x3=3x7

دریافت مثال

قضیه

اگر توابع f و g بر بازه a,b انتگرال پذیر باشند.

برای تمام xهای متعلق به a,b داشته باشیم fxgx در این‌صورت:      

abfxdxabgxdx

اثبات

مفهوم هندسی:

قضایای انتگرال - پیمان گردلو

چون توابع f و g بر بازه a,b انتگرال هستند، پس انتگرال های زیر هر دو موجود هستند، بنابراین داریم:

abfxdxabgxdx

abfxdxabgxdx=abfxdx+abgxdx=abfxgxdx

فرض کنیم تابع h به‌صورت زیر تعریف شده است:

hx=fxgx

چون برای تمام xهای در a,b داریم fxgx در نتیجه:   

hx=fxgxfxgxfxgx0  hx0

می‌خواهیم ثابت کنیم که abfxgxdx0:

abfxgxdx=abhxdx=   limΔ0  i=1nhξiΔix

اثبات به برهان خلف است، فرض کنیم که:

Ι  :  limΔ0   i=1nhξiΔix=L<0

در این‌صورت با فرض ε=-L یک عدد مانند α>0 وجود دارد که:    

i=1nhξiΔixL<L  ,  Δ<α

i=1nhξiΔixLi=1nhξiΔixL

i=1nhξiΔixL<L    ;    Δ<α

i=1nhξiΔix<0                 ;    Δ<α

عبارت فوق غیر ممکن است چون هر hξi و Δix مثبت است پس به تناقض با فرض Ι رسیدیم، بنابراین Ι غلط است.    

limΔ0  i=1nhξiΔix0

abhxdx0

abfxgxdx0

abfxdxabgxdx0

abfxdxabgxdx

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نمی‌باشد.

تمرین

اگر داشته باشیم:

01x2dx=13

ثابت کنید:

13201x21+xdx13

if   0x111+x211+x2


1211+x1x22x21+xx2


01x22dx01x21+xdx01x2dx


1201x2dx01x21+xdx01x2dx

12×1301x21+xdx13

13201x21+xdx13

دریافت مثال

قضیه

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد.  

اگر m و M به‌ترتیب مقادیر min و max مطلق f بر a,b باشند، یعنی داشته باشیم:    

axbmfxMmbaabfxdxMba

اثبات

مفهوم هندسی:

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، قضیه اکسترمم وجود m و M را تضمین می‌کند، هم‌چنین داریم: 

abmdx=mbaabMdx=Mba

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، نتیجه می‌شود که f روی a,b انتگرال پذیر است.

از طرفی چون برای تمام xهای در a,b داشته باشیم fxm پس داریم:   

Ι   :  fxmabfxdxabm  dxabfx  dxmba

به‌طور مشابه، چون برای تمام xهای در a,b داشته باشیم Mfx پس داریم:    

ΙΙ   :   MfxabMdxabfxdxMbaabfxdx

از نامساوی هایی ΙΙ,Ι داریم:

Mbaabfx  dxabfx  dxmba

mbaabfxdxMba

تمرین

بازه بسته شامل انتگرال های زیر را پيدا کنيد.

  12  4x36x2+9x+1dx

ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع fx را می‌یابیم:

fx=x36x2+9x+1

f'x=3x212x+9    ;    f'x=0


3x212x+9=0x=1f1=5x=3f3=1M=5m=1


mbaabfxdxMba


m412124x36x2+9x+1dxM412


1412124x36x2+9x+1dx5412


72124x36x2+9x+1dx352


بنابراين بازه 72,352 شامل مقدار انتگرال معين فوق می‌باشد.

21x+1 23dx

ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع fx را می‌یابیم:

fx=x+1 23f'x=23x+1 13=23x+130


x=-1 نقطه بحرانی است.

f1=0f1=43f2=1m=0M=43


mbaabfxdxMba


01+221x+1 23dx431+2


021x+1 23343


بنابراين بازه 0,343 شامل مقدار انتگرال معين فوق می‌باشد.

   01x3+1dx

0x10x31


1x3+121x3+12


011dx01x3+1dx012dx


11001x3+1dx210


بازه مورد نظر 1,2 می‌باشد.

   A=111+x2dx

1x10x21


11+x2211+x22


111dx111+x2dx112dx


11+1111+x2dx21+1


2A22

تمرین

مقدار تقريبی انتگرال زیر را حساب کنيد.

I=  0  π21+12sin2x  dx

یادآوری)


mbaabfx  dxMba


0sin2x1

if   sin2x=0fx=1=1if   sin2x=1fx=1+12=32


1π200π21+12sin2xdx32π20


1.57I1.91I1.57+1.912I1.74

تمرین

اگر داشته باشیم:

A=π6π4sinxxdx

بازه با کم ترين طول شامل A را بیابید.

یادآوری)


mbaabfx  dxMba



fx=sinxx در بازه 0,π2 اکيد نزولی است. 


y'=xcosxsinxx2       0<xπ2if   y'<0


if   x=π4  :  fπ4= 22 π4=22π=m


if   x=π6  :  fπ6= 12 π6=3π=M


22ππ4π6π6π4sinxxdx3ππ4π626A14

دریافت مثال

قضیه

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، آن‌گاه:

abfx  dxabfxdx

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

fxfxfxif   fx0fxfxfxif   fx0fxfxfx

fxfxfx

fxdxfxdxfxdx    ;   A=fxdx

Afx  dxAfx  dxA

abfxdxabfxdx

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی ممکن است f روی یک بازه انتگرال پذیر نباشد، اما f انتگرال پذیر باشد.   

خرید پاسخ‌ها

انتگرال معین (قضایا)

4,400تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید