سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال معین (تعریف)

آخرین ویرایش: 15 خرداد 1404

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

در بخش قبل، اندازه مساحت یک ناحیه مفروض را به‌صورت حد زیر تعریف کردیم:

$A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x$

برای رسیدن به این تعریف، بازه بسته $[a, b]$ را به زیر بازه هایی با طول مساوی تقسیم کردیم و $c_{i}$ را به‌عنوان نقطه ای در زیر بازه $i$ ام در نظر گرفتیم که به ازای آن $f$ دارای مقدار $m i n$ مطلق باشد.

هم‌چنین مقادیر تابع $f (x)$ را محدود به اعداد غیر منفی بر بازه $[a, b]$ نمودیم و به‌علاوه گفتیم که $f$ باید بر بازه $[a, b]$ پیوسته باشد.

این بازه را به $n$ زیر بازه با انتخاب $(n - 1)$ نقطه دل‌خواه بین نقاط $a$ و $b$ تقسیم می‌کنیم.

$x_{n} = b, x_{0} = a$

و نقاط $x_{n - 1}, ..., x_{2}, x_{1}$ نقاط میانی به‌صورت زیر باشند:

$x_{0} < x_{1} < x_{2} < .... < x_{n - 1} < x_{n}$

نقاط $x_{n}, x_{n - 1}, ..., x_{2}, x_{1}, x_{0}$ لزوما از یکدیگر به یک فاصله نیستند.

فرض کنیم $Δ_{1} x = x_{1} - x_{0}$ طول اولین زیر بازه باشد.

$Δ_{2} x = x_{2} - x_{1}$ طول دومین زیر بازه باشد.

$Δ_{i} x = x_{i} - x_{i - 1}$ طول $i$ امین زیر بازه باشد.

انتگرال معین - پیمان گردلو

مجموعه‌ای از همه این زیر بازه های $[a, b]$ را یک افراز از بازه $[a, b]$ نامیده و با $∆$ نشان می‌دهند.

افراز $∆$ شامل $n$ زیر بازه است:

$[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], ...., [x_{n - 1}, x_{n}]$

یکی از این زیر بازه ها طویل‌ترین زیر بازه است، ولی ممکن است بیش از یک طویل‌ترین زیر بازه وجود داشته باشد.

طول طویل‌ترین زیر بازه از افراز $∆$ را نورم افراز نامیده می‌شود و با علامت $||Δ||$ نشان می‌دهند.

در هر یک از این زیر بازه های افراز $∆$ نقطه ای انتخاب کنید.

فرض کنید $ξ_{1}$ نقطه انتخابی در بازه $[x_{0}, x_{1}]$ باشد، به‌طوری‌که $x_{0} \leq ξ_{1} \leq x_{1}$ باشد.

هم‌چنین $ξ_{2}$ نقطه انتخابی در بازه $[x_{1}, x_{2}]$ باشد به‌طوری‌که $x_{1} \leq ξ_{2} \leq x_{2}$ و الی آخر.

بنابراین $ξ_{i}$ نقطه انتخابی در زیر بازه $[x_{i - 1}, x_{i}]$ بوده و $x_{i - 1} \leq ξ_{i} \leq x_{i}$ می‌باشد. حاصل مجموع زیر را در نظر بگیرید:

$f (ξ_{1}) Δ_{1} x + f (ξ_{2}) Δ_{2} x + f (ξ_{3}) Δ_{3} x + ... + f (ξ_{i}) Δ_{i} x + ... + f (ξ_{n}) Δ_{n} x = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x$

چنین مجموعی را مجموع ریمانی می‌نامند و شکل زیر داریم:

انتگرال معین - پیمان گردلو

چون مقادیر تابع $f$ در پاره ای نقاط منفی است، بعضی از $f (ξ_{i})$ منفی می‌باشند.

در چنین مواقعی تعبییر هندسی مجموع ریمانی عبارت است از مجموع اندازه مساحت مستطیل هایی که بالای محور $x$ ها قرار می‌گیرند و قرینه اندازه مساحت مستطیل هایی که زیر محور $x$ ها واقعند و در این حالت چون:

$f (ξ_{3}), f (ξ_{4}), f (ξ_{5}), f (ξ_{8}), f (ξ_{9}), f (ξ_{10})$

اعداد منفی می‌باشند، بنابراین داریم:

$\sum_{i = 1}^{10} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = A_{1} + A_{2} - A_{3} - A_{4} - A_{5} + A_{6} + A_{7} - A_{8} - A_{9} - A_{10} = L$

فرض کنید $f$ تابعی است که دامنه آن شامل بازه بسته $[a, b]$ است.

تصور کنید عددی مانند $L$ وجود دارد به‌طوری‌که برای تمام افرازهای $∆$ که نورم های آنها به اندازه کافی کوچک هستند.

برای هر $ξ_{i}$ دل‌خواه در بازه $[x_{i - 1}, x_{i}]$ برای $i = 1, 2, ..., n$ قدرمطلق زیر بتواند به اندازه دل‌خواه کوچک باشد:

$|\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x - L|$

در چنین حالتی $f$ را در بازه $[a, b]$ انتگرال پذیر گویند:

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} f (x) = L \end{array}$

$\forall ε > 0 \exists M > 0; n > M \Rightarrow |f (x) - L| < ε$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x] = L \end{array}$

$\forall ε > 0 \exists M > 0; n > M \Rightarrow |\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x - L| < ε$

یادآوری

مجموع پایین ریمانی

هرگاه در تعریف مجموع ریمانی، هر $ξ_{i}$ چنان اختیار شوند که $f (ξ_{i})$ در آن $m i n$ مطلق $f$ در بازه $[x_{i - 1}, x_{i}]$ باشد.

آن‌گاه این مجموع را مجموع پایین ریمانی $f$ در بازه $[a, b]$ گویند و مقدارش به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

$l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x$

مجموع بالای ریمانی

هرگاه در تعریف مجموع ریمانی، هر $ξ_{i}$ چنان اختیار شوند که $f (ξ_{i})$ در آن $m a x$ مطلق $f$ در بازه $[x_{i - 1}, x_{i}]$ باشد.

آن‌گاه این مجموع را مجموع بالای ریمانی $f$ در بازه $[a, b]$ گویند و مقدارش به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

$u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x$

تعریف تابع انتگرال پذیر

فرض کنید $f$ تابعی است که دامنه آن شامل بازه بسته $[a, b]$ است.

می‌گوییم $f$ بر بازه بسته $[a, b]$ انتگرال پذیر است، اگر برای هر $ε$ و $α$ شرط زیر صادق باشد:

$\forall ε > 0 \exists α > 0; ||Δ|| < α \Rightarrow |\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x - L| < ε$

در چنین حالتی می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = L \end{array}$

$\{\begin{cases} Δ x = \frac{b - a}{n} \\ i f n \to \infty \Rightarrow Δ x = \frac{b - a}{\infty} \Rightarrow Δ x \to 0, ||Δ|| \to 0 \end{cases}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = \lim_{||Δ|| \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = L$

$\begin{array}{l} \lim_{||Δ|| \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = L \end{array}$

$\forall ε > 0 \exists α > 0; |||Δ|| - 0| < α \Rightarrow |\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x - L| < ε$

تعریف انتگرال معین

فرض کنید $f$ تابعی است که دامنه آن شامل بازه بسته $[a, b]$ است، آن‌گاه انتگرال معین $f$ از $a$ تا $b$ را به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

برای محاسبه آن داریم:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{||Δ|| \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x$

به‌شرطی که حد فوق وجود داشته باشد.

در نماد انتگرال معین $\int_{a}^{b} f (x) d x$ :

تابع $f (x)$ را انتگران می‌نامیم.
اعداد $a$ و $b$ را به‌ترتیب (حد بالا) و (حد پایین) انتگرال می‌نامیم.

سوالی که مطرح می‌شود آن است که تحت چه شرایطی تابع دارای انتگرال می‌باشد؟

یعنی عددی مانند $L$ یافت می‌شود که انتگرال زیر موجود است:

$\lim_{||Δ|| \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = L$

به‌وسیله قضیه زیر جوابی به این سوال داده می‌شود:

قضیه

اگر تابع $f$ بر بازه بسته $[a, b]$ پیوسته باشد، آن‌گاه تابع $f$ روی بازه $[a, b]$ انتگرال پذیر است.

تذکر

اگر تابع $f$ بر بازه بسته $[a, b]$ پیوسته باشد، قضیه فوق به ما اطمینان می‌دهد که $\int_{a}^{b} f (x) d x$ موجود است.

اما امکان دارد که انتگرال موجود باشد، ولی تابع در بعضی از اعداد متعلق به $[a, b]$ پیوسته نباشد.

قضیه

اگر تابع $f$ روی فاصله بسته $[a, b]$ انتگرال پذیر باشد‌، مقدار این انتگرال یکتاست.

اثبات

فرض کنیم:

$\begin{array}{l} 1) \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = \int_{a}^{b} f (x) d x = L_{1} \end{array}$

$2) \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = \int_{a}^{b} f (x) d x = L_{2}$

نشان می‌دهیم $L_{1} = L_{2}$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} \forall ε > 0 \exists M_{1} > 0; n > M_{1} \Rightarrow |(\int_{a}^{b} f (x) d x) - L_{1}| < \frac{ε}{2} \end{array}$

$\forall ε > 0 \exists M_{2} > 0; n > M_{2} \Rightarrow |(\int_{a}^{b} f (x) d x) - L_{2}| < \frac{ε}{2}$

یادآوری می‌کنیم که:

$|A + B| \leq |A| + |B|$

$\begin{array}{l} |L_{2} - L_{1}| = |\underset{A}{\underset{⏟}{[(\int_{a}^{b} f (x) d x) - L_{1}]}} + \underset{B}{\underset{⏟}{[L_{2} - (\int_{a}^{b} f (x) d x)]}}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |L_{2} - L_{1}| \leq |\int_{a}^{b} f (x) d x - L_{1}| + |\int_{a}^{b} f (x) d x - L_{2}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |L_{2} - L_{1}| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \\ \Rightarrow |L_{2} - L_{1}| < ε \end{array}$

اگر $n > \max (M_{1}, M_{2})$ باشد، می‌توان نتیجه گرفت $|L_{1} - L_{2}| < ε$ پس $L_{1} = L_{2}$ است.

اگر $L_{1} \neq L_{2}$ باشد، آن‌گاه $ε = |L_{1} - L_{2}|$ و داریم $|L_{1} - L_{2}| < |L_{1} - L_{2}|$ و این یک تناقض است.

تمرین

تابع زیر در بازه $[- 1, 1]$ مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} 0; x \neq 0 \\ 1; x = 0 \end{cases}$

با توجه به اين‌که اين تابع پيوسته نمی‌باشد، ثابت کنيد که انتگرال پذير است.

می‌خواهيم بگویيم که لزومی ندارد تابع برای انتگرال پذيری حتما پيوسته باشد، ولی می‌دانيم اگر تابع پيوسته باشد حتما انتگرال پذير می‌باشد.

بررسی پيوستگی تابع:

$\begin{array}{l} f (0) = 1 \\ \lim_{x \to 0} f (x) = 0 \\ \lim_{x \to 0} f (x) \neq f (0) \end{array}$

بررسی انتگرال پذيری تابع:

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} f (x_{i}) = 0 \\ u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \underset{0}{\underset{⏟}{f (x_{i})}} Δ x = 0 = L \end{array}$

تمرین

تابع زیر در بازه $[0, 2]$ مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} 1; x \neq 1 \\ 0; x = 1 \end{cases}$

انتگرال پذيری آن را در بازه گفته شده بررسی کنيد.

بازه $[0, 2]$ را به $n$ زير بازه تقسيم می‌کنيم، واضح است که ماکزیمم مطلق در هر بازه عدد $(1)$ می‌باشد.

پیمان گردلو

$u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \frac{2}{n} = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} (1) = \frac{2}{n} n = 2$

مینیمم مطلق در هر زير بازه که شامل $(1)$ نباشد هم برابر $(1)$ است اما اگر بازه شامل $(1)$ باشد برابر $(0)$ است.

حالت اول -

عدد $(1)$ يا به يک زير بازه تعلق دارد که در اين‌صورت مینیمم مطلق در آن $(0)$ و در $(n - 1)$ زیر بازه دیگر $(1)$ است.

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \frac{2}{n} \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2}{n} [1 \times (n - 1)] + \frac{2}{n} (0) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2 (n - 1)}{n} \end{array}$

حالت دوم -

اگر $(1)$ به دو زير بازه تعلق داشته باشد، مینیمم مطلق در هر دو زير بازه صفر و در $(n - 2)$ زير بازه ديگر $(1)$ است.

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \frac{2}{n} [1 \times (n - 2)] + \frac{2}{n} (0) + \frac{2}{n} (0) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2 (n - 2)}{n} \end{array}$

در هر دو حالت داریم:

$\lim_{n \to \infty} L_{n} (f) = 2; x \in [0, 2]$

بنابراین تابع در بازه بیان شده، انتگرال پذیر است.

تمرین

نشان دهيد تابع زیر روی اعداد حقيقی انتگرال پذير نيست.

$f (x) = \{\begin{cases} 1 x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f x \in ℝ - Q \overset{f (ξ_{i}) = 0}{\to} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = 0 \end{array}$

$\forall ε > 0 \exists α > 0; ||Δ|| < α \Rightarrow |\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x - 0| = |0 - 0| = 0$

$\begin{array}{l} i f x \in Q \overset{f (ξ_{i}) = 1}{\to} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = \sum_{i = 1}^{n} Δ_{i} x = (x_{1} - x_{0}) + (x_{2} - x_{1}) + ... + (x_{n} - x_{n - 1}) = x_{n} - x_{0} = b - a \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = b - a \end{array}$

$\forall ε > 0 \exists α > 0; ||Δ|| < α \Rightarrow |\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x - (b - a)| < ε \Rightarrow |(b - a) - (b - a)| < ε \Rightarrow 0 < β$

برای حد مجموع ريمانی روی فاصله $[a, b]$ دو مقدار $0$ و $b - a$ به‌دست آمده که يک تناقض است.

پس تابع $f$ روی $R$ انتگرال پذير نيست.

تمرین

تابع زیر مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} 1 x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases}$

ثابت کنيد تابع در بازه $[0, 1]$ انتگرال پذير نمی‌باشد.

بازه $[0, 1]$ را به $n$ زير بازه با طول های مساوی تقسيم می‌کنيم، پس طول هر زير بازه:

$Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n}$

هر بازه هم شامل اعداد گويا و هم شامل اعداد اصم است.

پس در هر زير بازه $m i n$ مطلق برابر صفر و $m a x$ مطلق برابر $(1)$ است:

$\begin{array}{l} L_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \frac{1}{n} = \sum_{i = 1}^{n} 0 (\frac{1}{n}) = 0 \end{array}$

$u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \frac{1}{n} = \sum_{i = 1}^{n} 1 (\frac{1}{n}) = (\frac{1}{n}) \sum_{i = 1}^{n} 1 = \frac{1}{n} (n) = 1$

تابع انتگرال پذير نمی‌باشد زيرا:

$\lim_{n \to \infty} L_{n} (f) \neq \lim_{n \to \infty} u_{n} (f)$

تمرین

تابع زیر در بازه $[0, 1]$ مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} x x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases}$

مجموع بالا و پايين ريمان را در بازه پيدا کنيد.

نمودار اين تابع قابل رسم نيست.

خط $y = x$ در نقاط اصم سوراخ و خط $y = 0$ در نقاط گويا سوراخ است.

اگر $n$ افراز دل‌خواهی از $[0, 1]$ باشد، آن‌گاه:

هر بازه نابديهی هم شامل اعداد اصم و هم شامل اعداد گويا است.

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{1}{n} \end{array}$

$x_{0} = 0, x_{1} = 0 + Δ x, ..., x_{i - 1} = 0 + (i - 1) Δ x, x_{i} = 0 + i Δ x$

$m i n$ مطلق در هر زير بازه صفر و $m a x$ مطلق در هر زير بازه $f (x_{i})$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} L_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \underset{0}{\underset{⏟}{f (x_{i - 1})}} Δ x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} (i Δ x) Δ x = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{1}{n^{2}} \frac{n (n + 1)}{2} \end{array}$

$\lim_{n \to \infty} u_{n} (f) = \lim_{n \to \infty} \frac{n (n + 1)}{2 n^{2}} = \frac{1}{2}$

آيا تابع در بازه $[0, 1]$ انتگرال پذير است؟

تابع انتگرال پذير نيست:

$\lim_{n \to \infty} L_{n} (f) \neq \lim_{n \to \infty} u_{n} (f)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعریف افراز منظم

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x = \lim_{Δ x \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x \end{array}$

$i f Δ x = \frac{b - a}{n} \Rightarrow n = \frac{b - a}{Δ x} \Rightarrow \{\begin{cases} i f n \to + \infty \\ Δ x \to 0 \end{cases}$

اگر برای تعیین مساحت، بازه $[a, b]$ را به $n$ زیر بازه با طول مساوی تقسیم کنیم چنین افرازی از بازه $[a, b]$ را یک افراز منظم می‌نامیم.

در کاربردهای انتگرال معین، اغلب افراز منظم به کار می‌رود. در یک افراز منظم $∆ x$ با نورم $||Δ||$ برابر است.

بنابراین $R$ ناحیه‌ای محدود به منحنی $y = f (x)$ ، محور $x$ ها ، خطوط $x = a, b$ می‌باشد.

در این‌صورت اندازه مساحت ناحیه $R$ عبارت است از:

$A = \lim_{||Δ|| \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ_{i} x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

تعریف فوق می‌گوید که اگر برای تمام $x$ های در $[a, b]$ داشته باشیم $f (x) \geq 0$ در این‌صورت انتگرال معین $\int_{a}^{b} f (x) d x$ را می‌توان از نظر هندسی به‌عنوان اندازه مساحت ناحیه $R$ در شکل زیر تعبیر کرد:

تذکر

از تساوی زیر:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x$

می‌توان برای یافتن مقدار دقیق انتگرال معین استفاده کرد.

تمرین

انتگرال معین زیر را در نظر بگیرید:

$\int_{1}^{3} x^{2} d x$

مقدار دقيق انتگرال معين را حساب کنید.

يک افراز منظم از بازه بسته $[1, 3]$ به $n$ زير بازه مساوی را در نظر می‌گيريم:

$Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{n} = \frac{2}{n}$

اگر $ξ_{i}$ نقطه انتهايی طرف راست هر يک از زير بازه ها باشد:

$\begin{array}{l} ξ_{1} = 1 + Δ x, ξ_{2} = 1 + 2 Δ x, ..., ξ_{i} = 1 + i Δ x, ..., ξ_{n} = 1 + n (\frac{2}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = x^{2} \\ ξ_{i} = 1 + i Δ x \Rightarrow f (ξ_{i}) = {ξ_{i}}^{2} = {(1 + i Δ x)}^{2} = {[1 + i (\frac{2}{n})]}^{2} = {(1 + \frac{2 i}{n})}^{2} \end{cases} \end{array}$

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x$

$\begin{array}{l} \int_{1}^{3} x^{2} d x = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(1 + \frac{2 i}{n})}^{2} \times \frac{2}{n} \\ \Rightarrow \int_{1}^{3} x^{2} d x = \lim_{n \to + \infty} \frac{2}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} (n^{2} + 4 n i + 4 i^{2}) \end{array}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3} x^{2} d x = \lim_{n \to + \infty} \frac{2}{n^{3}} [n^{2} \sum_{i = 1}^{n} 1 + 4 n \sum_{i = 1}^{n} i + 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{2}]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int_{1}^{3} x^{2} d x = \lim_{n \to + \infty} \frac{2}{n^{3}} [n^{2} n + 4 n . \frac{n (n + 1)}{2} + \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int_{1}^{3} x^{2} d x = \lim_{n \to + \infty} \frac{2}{n^{3}} [n^{3} + 2 n^{3} + 2 n^{2} + \frac{2 n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{3}] \end{array}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3} x^{2} d x = \frac{26}{3}$

نتيجه را به‌طور هندسی تعبير کنيد.

چون برای تمام $x$ های در بازه بیان شده، $x^{2} \geq 0$ پس ناحيه محصور بين منحنی $y = x^{2}$ و محور $x$ ها و خطوط $x = 1$ و $x = 3$ مقدار $\frac{26}{3}$ واحد مربع، مساحت دارد.