سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مساحت و مفهوم انتگرال

چگونه می‌توان اندازه مساحت ناحیه‌ای از صفحه را به‌وسیله یک منحنی محصور شده است، به‌دست آورد؟

ناحیه $R$ را در شکل زیر در نظر بگیرید:

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع پایین ریمان - پیمان گردلو

ناحیه $R$ به‌وسیله محور $x$ ها ، خطوط و منحنی زیر محصور شده است.

$x = a, b$

$y = f (x)$

تابع $f$ در بازه $[a, b]$ پیوسته است.

می‌خواهیم عددی مانند $A$ را به عنوان اندازه مساحت ناحیه $R$ به‌دست آوریم:

برای این کار از یک فرایند حدی استفاده می‌کنیم:

بازه بسته $[a, b]$ را به $n$ قسمت و زیر بازه تقسیم می‌کنیم و طول این زیر بازه‌ها را مساوی و برابر با $∆ x$ در نظر می‌گیریم.

بنابراین $Δ x = \frac{b - a}{n}$ و نقاط انتهایی این زیر بازه‌ها را نشان می‌دهیم به‌طوری‌که:

$\begin{array}{l} x_{0} = a \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1} = a + Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{2} = a + 2 Δ x \\ ⋮ \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{i} = a + i Δ x \\ ⋮ \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{n - 1} = a + (n - 1) Δ x \end{array}$

$x_{n} = b$

فرض کنید، زیر بازه $i$ ام را با $[x_{i - 1}, x_{i}]$ نشان دهیم.

چون $f$ بر بازه بسته $[a, b]$ پیوسته است پس بر هر یک از بازه های موجود پیوسته است.

با توجه به قضیه اکسترمم در هر یک از این زیر بازه ها، عددی وجود دارد که $f$ به ازای آن دارای مقدار $m i n$ مطلق است.

فرض کنید در زیر بازه $i$ ام این عدد برابر $c_{i}$ باشد.

بنابراین $f (c_{i})$ مقدار $m i n$ مطلق $f$ بر بازه زیر باشد:

$[x_{i - 1}, x_{i}]$

$n$ مستطیل در نظر می‌گیریم که هر یک دارای طول قاعده $∆ x$ واحد و ارتفاع $f (c_{i})$ واحد باشد.

فرض کنید مجموع مساحت های این $n$ مستطیل $S_{n}$ واحد مربع باشد:

$\begin{array}{l} S_{n} = f (c_{1}) Δ x + f (c_{2}) Δ x + \dots + f (c_{i}) Δ x + \dots + f (c_{n}) Δ x \Rightarrow S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x \end{array}$

حال فرض کنید $n$ افزایش یابد، در این‌صورت تعداد مستطیل ها زیاد می‌شود:

هر چقدر $n$ افزایش یابد، مقدار $S_{n}$ افزایش می‌یابد.

اگر $f$ بر $[a, b]$ پیوسته باشد، در این‌صورت وقتی $n$ را به‌طور بی‌کران افزایش می‌دهیم.

مقدار $S_{n}$ ی که از معادله زیر به‌دست می‌آید به یک حد میل می‌کند و همین حد است که آن را به‌عنوان تعریف اندازه مساحت ناحیه $R$ در نظر می‌گیریم.

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x$

مساحت و فرایند حدی در انتگرال

فرض کنید تابع $f$ بر بازه بسته $[a, b]$ پیوسته باشد و برای تمام $x$ های در بازه $[a, b]$ داشته باشیم :

$f (x) \geq 0$

$R$ ناحیه محدود به منحنی $y = f (x)$ ، محور $x$ ها ، خطوط $x = a, b$ باشد.

بازه بسته $[a, b]$ را به $n$ زیر بازه، هریک به‌طول $Δ x = \frac{b - a}{n}$ تقسیم می‌کنیم و زیر بازه $i$ ام را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

$[x_{i - 1}, x_{i}]$

اگر $f (c_{i})$ مقدار $m i n$ مطلق تابع بر زیر بازه $i$ ام باشد، اندازه مساحت $R$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x$

این به آن معناست است که برای هر $ε > 0$ ، عددی مانند $N$ وجود دارد به‌قسمی که: ( $n$ عددی مثبت و صحیح است)

$|\sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x - A| < ε, n > N$

تذکر

می‌توان به‌جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی را در نظر گرفت:

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع پایین ریمان - پیمان گردلو

در این حالت مقدار $m a x$ مطلق تابع $f$ را بر هر زیر بازه به‌عنوان ارتفاع مستطیل اختیار می‌کنیم، بنابراین اندازه مساحت ناحیه $R$ را می‌توان با فرمول زیر تعریف کرد:

$A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (d_{i}) Δ x$

که $f (d_{i})$ مقدار $m a x$ مطلق تابع $f$ بر بازه $[x_{i - 1}, x_{i}]$ است.

تمرین

ناحيه‌ ای را که به منحنی $y = x^{2}$ و محور $x$ ها و خطوط $x = 0, 3$ محصور شده است را در نظر بگیرید.

مساحت این ناحیه را با استفاده از مستطيل های محاطی حساب کنيد.

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{1} = 0 + Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{2} = 0 + 2 Δ x \\ ⋮ \\ x_{i - 1} = 0 + (i - 1) Δ x \\ x_{i} = 0 + i Δ x \end{array}$

تابع $f$ بر بازه $[a, b]$ صعودی است.

مقدار $m i n$ مطلق تابع $y = f (x) = x^{2}$ به زير بازه $i$ ام يعنی $[x_{i - 1}, x_{i}]$ برابر $f (x_{i - 1})$ است.

$\begin{array}{l} A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \end{array}$

$f (x) = x^{2} \overset{x_{i - 1} = (i - 1) Δ x}{\to} f (x_{i - 1}) = {[(i - 1) Δ x]}^{2}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \\ = \sum_{i = 1}^{n} {[(i - 1) Δ x]}^{2} \times Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = 1}^{n} {(i - 1)}^{2} Δ^{3} x; Δ x = \frac{3}{n} \\ = \sum_{i = 1}^{n} {(i - 1)}^{2} {(\frac{3}{n})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{27}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} {(i - 1)}^{2} \\ = \frac{27}{n^{3}} [\sum_{i = 1}^{n} (i^{2} - 2 i + 1)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{27}{n^{3}} (\sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{27}{n^{3}} [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 2 \frac{n (n + 1)}{2} + n] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{9}{2} . \frac{2 n^{2} - 3 n + 1}{n^{2}} \end{array}$

$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x = \lim_{n \to \infty} (\frac{9}{2} . \frac{2 n^{2} - 3 n + 1}{n^{2}}) = 9$

مساحت این ناحيه را با استفاده از مستطيل های محيطی حساب کنيد.

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2}; [0, 3] \\ Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n} \end{array}$

$x_{0} = 0, x_{1} = 0 + Δ x, x_{2} = 0 + 2 Δ x, ...., x_{i - 1} = 0 (i - 1) Δ, x_{i} = 0 + i Δ x$

$\begin{array}{l} A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \\ f (x) = x^{2} \overset{x_{i} = i Δ x}{\to} f (x_{i}) = {(i Δ x)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \\ = \sum_{i = 1}^{n} {(i Δ x)}^{2} Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{3}{n})}^{3} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} \\ = {(\frac{3}{n})}^{3} \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \\ = \frac{27}{n^{3}} \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \end{array}$

$A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{n^{3}} \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{\infty}{\infty} \Rightarrow A = \lim_{n \to \infty} \frac{27 \times 2 n^{3}}{6 n^{3}} = 9$

تمرین

مساحت ناحیه محدود بین خطوط زیر و محور $x$ ها را با در نظر گرفتن مستطيل های محاطی به‌دست آوريد.

$\{\begin{cases} y = 2 x \\ x = 1 \\ x = 4 \end{cases}$

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 1}{n} = \frac{3}{n} \end{array}$

$x_{0} = 1, x_{1} = 1 + Δ x, x_{2} = 1 + 2 Δ x, ...., x_{i - 1} = 1 + (i - 1) Δ x, ....$

پیمان گردلو

مینیمم مطلق در بازه $[x_{i - 1}, x_{i}]$ نقطه $f (x_{i - 1})$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x \overset{x_{i - 1} = 1 + (i - 1) Δ x}{\to} f (x_{i - 1}) = 2 [1 + (i - 1) Δ x] \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \\ = \sum_{i = 1}^{n} 2 [1 + (i - 1) Δ x] Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = 1}^{n} [2 Δ x + 2 (i - 1) Δ^{2} x] \\ = \sum_{i = 1}^{n} [2 (\frac{3}{n}) + 2 (i - 1) {(\frac{3}{n})}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = 1}^{n} 2 (\frac{3}{n}) + \sum_{i = 1}^{n} 2 (i - 1) {(\frac{3}{n})}^{2} \\ = \frac{6}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 + \frac{18}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) \\ = \frac{6}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 + \frac{18}{n^{2}} (\sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{i = 1}^{n} 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{6}{n} \times n + \frac{18}{n^{2}} [\frac{n (n + 1)}{2} - n] \\ = 6 + \frac{18}{n^{2}} (\frac{n^{2} - n}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 6 + \frac{18}{2} \frac{n^{2} - n}{n^{2}} \\ = 6 + 9. \frac{n^{2} - n}{n^{2}} \end{array}$

$A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x = \lim_{n \to + \infty} [6 + 9. \frac{n^{2} - n}{n^{2}}] = 6 + 9 = 15$

تمرین

مساحت ناحيه $R$ واقع بين نمودار تابع با ضابطه زی و محور $x$ ها و خطوط $x = - 1, 2$ را بيابيد.

$f (x) = - x^{2} + 2 x$

روی فاصله $[- 1, 0]$ داریم:

$f (x) \leq 0$

مساحت منحنی در فاصله فوق است:

$- f (x) = x^{2} - 2 x \geq 0$

مجموع مساحت های محاطی، به‌صورت زير به‌دست می‌آيد:

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{0 + 1}{n} = \frac{1}{n}; x_{i} = x_{0} + i Δ x = - 1 + i Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - 2 x; x_{i} = i Δ x - 1 \\ \Rightarrow f (x_{i}) = {(i Δ x - 1)}^{2} - 2 (i Δ x - 1) \\ \Rightarrow f (x_{i}) = i^{2} {(Δ x)}^{2} - 4 i Δ x + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \\ = \sum_{i = 1}^{n} [i^{2} {(Δ x)}^{2} - 4 i Δ x + 3] . Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = 1}^{n} [i^{2} {(Δ x)}^{3} - 4 i {(Δ x)}^{2} + 3 Δ x] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = 1}^{n} [i^{2} {(\frac{1}{n})}^{3} - 4 i {(\frac{1}{n})}^{2} + 3 (\frac{1}{n})] \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{n})}^{3} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 4 {(\frac{1}{n})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} i + (\frac{3}{n}) \sum_{i = 1}^{n} 1 \end{array}$

$= \frac{1}{n^{3}} [\frac{n}{6} (n + 1) (2 n + 1)] - \frac{4}{n^{2}} [\frac{n}{2} (n + 1)] + \frac{3}{n} (n)$

$A \underset{n \to \infty}{= \lim} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \lim_{n \to \infty} [\frac{1}{n^{3}} [\frac{n}{6} (n + 1) (2 n + 1)] - \frac{4}{n^{2}} [\frac{n}{2} (n + 1)] + \frac{1}{n} (3 n)] = \frac{4}{3}$

برای محاسبه روی فاصله $[0, 2]$ به همان طريق محاسبه کنیم و $B = \frac{4}{3}$ می شود.

مساحت نهايی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$S = A + B = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

تمرین

فرض کنيد سرعت يک جسم متحرک در لحظه $t$ برابر تابع زیر باشد:

$v (t) = 2 t$

جسم در فاصله زمانی $[0, 1]$ چه مسافتی را می‌پيمايد؟

$\begin{array}{l} Δ t = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} t_{0} = 0, t_{1} = 0 + Δ t, t_{2} = 0 + 2 Δ t, ...., t_{i} = 0 + i Δ t, .... \end{array}$

$v (t) = 2 t \overset{t_{i} = i Δ x}{\to} v (t_{i}) = 2 i Δ t$

$\begin{array}{l} x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} v (t_{i}) Δ t \\ \Rightarrow x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (2 i Δ t) . Δ t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \lim_{n \to \infty} [2 {(Δ t)}^{2} \sum_{i = 1}^{n} i]; Δ t = \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \lim_{n \to \infty} [\frac{2}{n^{2}} (1 + 2 + ... + n)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{n^{2}} \times n \frac{n + 1}{2}) \\ \Rightarrow x = 1 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مجموع پایین ریمان

اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار، از مستطیل های محاطی استفاده شود، مقدار به‌دست آمده را تقریب نقصان می‌نامیم.

این مقدار را مجموع‌ پایین ریمان نامیده و با $L_{n} (f)$ نمایش می‌دهیم.

$\begin{array}{l} n = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{n} (f) = f (x_{0}) Δ x + f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x = \sum_{i = 1}^{3} f (x_{i - 1}) Δ x \end{array}$

$S = \lim_{n \to + \infty} L_{n} (f) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{3} f (x_{i - 1}) Δ x$

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع پایین ریمان - پیمان گردلو

مجموع بالای ریمان

اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار، از مستطیل های محیطی استفاده شود،‌ مقدار به‌دست آمده را تقریب اضافی می‌نامیم که این مقدار را مجموع بالای ریمان نامیده و با $u_{n} (f)$ نشان می‌دهیم.

$\begin{array}{l} n = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} u_{n} (f) = f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + f (x_{3}) Δ x = \sum_{i = 1}^{3} f (x_{i}) Δ x \end{array}$

$S = \lim_{n \to + \infty} u_{n} (f) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{3} f (x_{i}) Δ x$

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع پایین ریمان - پیمان گردلو

تذکر

اگر $\lim_{n \to \infty} L_{n} (f) \neq \lim_{n \to \infty} u_{n} (f)$ باشد، در این‌صورت مساحتی برای تابع نمی‌توان در نظر گرفت.

شرط لازم و کافی برای انتگرال پذیری تابع $f$ در $[a, b]$ آن است که تساوی فوق برابر باشند و مقادیرشان عددی حقیقی باشد.

قضیه

اگر $f$ تابعی نامنفی و یکنوا روی $[a, b]$ باشد، آن‌گاه محدوده خطا برای تقریب‌های اضافی و نقصانی مجموع، برابر‌ است با:

$u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (b) - f (a)| \frac{b - a}{n}$

اثبات

فرض کنیم $f$ صعودی باشد (برای حالت نزولی نیز مانند آن است) و $n$ یک افراز منظم $[a, b]$ باشد، در این‌صورت:

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} \\ x_{0} = a \\ x_{1} = a + Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{2} = a + 2 Δ x \\ ⋮ \\ x_{i - 1} = a + (i - 1) Δ x \\ x_{i} = a + i Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} u_{n} (f) - l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x - \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (a + i Δ x) Δ x - \sum_{i = 1}^{n} f (a + (i - 1) Δ x) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f [a + i \frac{(b - a)}{n}] (\frac{b - a}{n}) - \sum_{i = 1}^{n} f [a + (i - 1) \frac{b - a}{n}] (\frac{b - a}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = \frac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^{n} [f (a + i \frac{b - a}{n}) - f (a + (i - 1) \frac{b - a}{n})] \end{array}$

$\Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = \frac{b - a}{n} [f (b) - f (a)]$

از قاعده ادغام در سری ها استفاده شده است.

تمرین

مساحت بین نمودار تابع زیر در بازه گفته شده را به‌دست آورید.

$f (x) = x + 2; x \in [1, 5]$

محاسبه مساحت با استفاده از مجموع مساحت های مستطيل های نقصانی

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{n} = \frac{4}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{0} = 1, x_{1} = 1 + Δ x, ...., x_{i - 1} = 1 + (i - 1) Δ x, x_{i} = 1 + i Δ x \end{array}$

$f (x) = x + 2 \overset{x_{i - 1} = 1 + (i - 1) Δ x}{\to} f (x_{i - 1}) = x_{i - 1} + 2 = [1 + (i - 1) Δ x] + 2$

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \{[1 + (i - 1) Δ x] + 2\} Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} [1 + (i - 1) \frac{4}{n} + 2] \frac{4}{n} \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} [3 + (i - 1) \frac{4}{n}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} [3 n + \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} (i - 1)] \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} [3 n + \frac{4}{n} . \frac{(n - 1) n}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} (3 n + \frac{4 n - 4}{2}) \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} (5 n - 2) \\ \Rightarrow l_{n} (f) = 20 - \frac{8}{n} \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) = \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{i = 1}^{n} 1 = \frac{n (n + 1)}{2} - n = \frac{n^{2} + n - 2 n}{2} = \frac{n^{2} - n}{2} = \frac{n (n - 1)}{2} \end{array}$

$\lim_{n \to + \infty} l_{n} (f) = \lim_{n \to + \infty} (20 - \frac{8}{n}) = 20$

محاسبه مساحت با استفاده از مجموع مساحت های مستطيل های اضافی

$\begin{array}{l} x_{i} = 1 + i Δ x \end{array}$

$f (x) = x + 2 \overset{x_{i} = 1 + i Δ x}{\to} f (x_{i}) = x_{i} + 2 = (1 + i Δ x) + 2 = (3 + i Δ x)$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \\ \Rightarrow u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} (3 + i Δ x) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} (3 + i \frac{4}{n}) \frac{4}{n} \\ \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} (3 + i \frac{4}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{4}{n} (3 n + \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} i) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{4}{n} [3 n + \frac{4}{n} . \frac{n (n + 1)}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) = 20 + \frac{8}{n} \end{array}$

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} (f) = \lim_{n \to + \infty} (20 + \frac{8}{n}) = 20$

در اين تمرین چون تابع $f$ اکیدا یکنوا است، لذا ماکزیمم و مینیمم تابع در هر بازه به سادگی مشخص است.

تمرین

مجموع بالا و پايين ريمان تابع زیر در بازه $[1, 2]$ وقتی اين بازه به $n$ بازه مساوی تقسيم می‌شود را محاسبه نمائيد.

$f (x) = - x^{2} + 5$

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 1}{n} = \frac{1}{n} \end{array}$

$x_{0} = 1, x_{1} = 1 + Δ x, x_{2} = 1 + 2 Δ x, ...., x_{i - 1} = 1 + (i - 1) Δ x, x_{i} = 1 + i Δ x$

$\begin{array}{l} f (x) = - x^{2} + 5 \\ \Rightarrow f (x_{i - 1}) = - {(x_{i - 1})}^{2} + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x_{i - 1}) = - {[1 + (i - 1) Δ x]}^{2} + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x_{i - 1}) = - {[1 + (i - 1) \frac{1}{n}]}^{2} + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \times \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \{- {[1 + (i - 1) \frac{1}{n}]}^{2} + 5\} \frac{1}{n} \end{array}$

$\Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} - [1 + 2 (i - 1) \frac{1}{n} + {(i - 1)}^{2} \frac{1}{n^{2}} + 5] \frac{1}{n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = - \frac{1}{n} [\sum_{i = 1}^{n} 6 + \sum_{i = 1}^{n} 2 (i - 1) \frac{1}{n} + \sum_{i = 1}^{n} {(i - 1)}^{2} \frac{1}{n^{2}}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = - \frac{6}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 - \frac{2}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) - \frac{1}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} {(i - 1)}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow l_{n} (f) = - \frac{6}{n} . n - \frac{2}{n^{2}} (\sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{i = 1}^{n} 1) - \frac{1}{n^{3}} (\sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1)$

$\lim_{n \to \infty} l_{n} (f) = \lim_{n \to \infty} A = 2. \bar{6}$

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود:

$\lim_{n \to \infty} u_{n} (B) = \lim_{n \to \infty} B = 2. \bar{6}$

اين تساوی به‌معنای آن است که در تابع زیر:

$f (x) = - x^{2} + 5$

وقتی تعداد مستطيل هايی که در محاسبه مجموع بالا و پايين مورد استفاده قرار گرفته‌اند، بي نهايت شود، اين دو مقدار به‌سمت عدد يکسانی ميل می‌کند.

تمرین

مساحت بين نمودار تابع زیر را در بازه $[- 2, 1]$ پيدا کنيد.

$f (x) = 4 - x^{2}$

تابع زیر در فاصله $[- 2, 1]$ در نظر بگيريد، تابع در اين بازه يکنوا نمی‌باشد.

$f (x) = 4 - x^{2}$

توابعی مانند اين تابع در بازه مورد نظر تابع يکنوا نمی‌باشد.

برای تعيين $m a x$ يا $m i n$ مطلق در بازه ها که برای تعيين ابعاد مستطيل ها به‌کار می‌رود به‌سادگی قابل محاسبه نمی‌باشد.

بنابراين در اين مثال بازه $[- 2, 1]$ را به دو زير بازه تقسيم می‌کنيم.

الف) در بازه $[- 2, 0]$ تابع اکيدا صعودی است.

$m a x$ مطلق در هر بازه در انتهای راست بازه و $m i n$ مطلق در هر بازه در انتهای چپ آن بازه رخ می‌دهد.

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{0 + 2}{n} = \frac{2}{n} \end{array}$

$x_{0} = - 2, x_{1} = - 2 + Δ x, x_{2} = - 2 + 2 Δ x, \{\begin{cases} x_{i - 1} = - 2 + (i - 1) Δ x \\ x_{i} = - 2 + i Δ x \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (x) = 4 - x^{2}; x_{i - 1} = - 2 + (i - 1) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x_{i - 1}) = 4 - {(x_{i - 1})}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow f (x_{i - 1}) = 4 - {[- 2 + (i - 1) Δ x]}^{2}$

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \{4 - {[- 2 + (i - 1) Δ x]}^{2}\} Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \{4 - {[- 2 + (i - 1) \frac{2}{n}]}^{2}\} (\frac{2}{n}) \end{array}$

$\Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} \{4 - [4 - 4 (i - 1) \frac{2}{n} + {(i - 1)}^{2} \frac{4}{n^{2}}]\} (\frac{2}{n})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} [4 (i - 1) \frac{2}{n} - {(i - 1)}^{2} \frac{4}{n^{2}}] (\frac{2}{n}) \\ ⋮ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2}{n} [(- \frac{8}{n} - \frac{4}{n^{2}}) \sum_{i = 1}^{n} (1) + (\frac{8}{n} + \frac{8}{n^{2}}) \sum_{i = 1}^{n} i - \frac{4}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2}{n} [(- \frac{8}{n} - \frac{4}{n^{2}}) n + (\frac{8}{n} + \frac{8}{n^{2}}) \frac{n (n + 1)}{2} - \frac{4}{n^{2}} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] \end{array}$

$\Rightarrow l_{n} (f) = \frac{16}{3} - \frac{4}{n} - \frac{4}{3 n^{2}}$

$\lim_{n \to + \infty} l_{n} (f) = \lim_{n \to + \infty} \frac{16}{3} - \frac{4}{n} - \frac{4}{3 n^{2}} = \frac{16}{3}$

ب) در بازه $[0, 1]$ تابع اکيدا نزولی است.

$m a x$ مطلق در هر بازه در ابتدا بازه و $m i n$ مطلق در هر بازه در انتهای آن بازه رخ می‌دهد.

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{0} = 0, x_{1} = 0 + Δ x, ...., x_{i - 1} = 0 + (i - 1) Δ x, x_{i} = 0 + i Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \frac{11}{3} \end{array}$

$S = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = \frac{27}{3} = 9$

تمرین

تابع زیر در بازه $[0, 2]$ مفروض است.

$f (x) = x^{3}$

مجموع بالا و مجموع پايين ريمان $f$ را در اين بازه پيدا کنيد.

تابع در بازه $[0, 2]$ اکيدا صعودی است:

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{2}{n} \end{array}$

$x_{0} = 0, x_{1} = 0 + Δ x, x_{2} = 0 + 2 Δ x, \{\begin{cases} x_{i - 1} = 0 + (i - 1) Δ x \\ x_{i} = 0 + i Δ x \end{cases}$

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} {[(i - 1) (Δ x)]}^{3} . Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{8}{n^{3}}) {(i - 1)}^{3} \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{16}{n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} {(i - 1)}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{16}{n^{4}} {[\frac{(n - 1) n}{2}]}^{2} \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4 {(n - 1)}^{2}}{n^{2}} \end{array}$

$u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} \frac{8 i^{3}}{n^{3}} . \frac{2}{n} = \frac{16}{n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{16}{n^{4}} {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = \frac{4 {(n + 1)}^{2}}{n^{2}}$

واضح است که:

$\lim_{n \to \infty} l_{n} (f) = \lim_{n \to \infty} u_{n} (f) = 4$

بنابراين $f$ در بازه $[0, 2]$ انتگرال پذير و داریم:

$\int_{0}^{2} x^{3} d x = 4$

برای قسمت دوم می‌توانيم از قضيه استفاده کنيم:

$\begin{array}{l} u_{n} (f) - l_{n} (f) = (f (b) - f (a)) \frac{b - a}{n} = (f (2) - f (0)) \frac{(2 - 0)}{n} = \frac{16}{n} \end{array}$

کم ترين تعداد زير بازه ها را پيدا کنيد که اختلاف مجموع بالا و پايين کمتر يا مساوی $\frac{1}{1000}$ باشد. (افراز را منظم فرض می کنيم)

$\frac{16}{n} \leq \frac{1}{1000} \Rightarrow n \geq 16000$

تمرین

تابع زیر در بازه $[0, 2]$ مفروض است.

$f (x) = x^{2}$

کم ترين تعداد زير بازه ها را پيدا کنيد که اختلاف مجموع بالا و پايين کمتر يا مساوی $\frac{1}{100}$ باشد. (افراز را منظم فرض می کنيم)

یادآوری)

$\begin{array}{l} u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (b) - f (a)| \frac{b - a}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (2) - f (0)| \frac{2 - 0}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = |4 - 0| \frac{2}{n} = \frac{8}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{8}{n} \leq \frac{1}{100} \\ \Rightarrow n \geq 800 \end{array}$

تمرین

تابع با ضابطه زیر در بازه $[0, 4]$ مفروض است.

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x \neq 3 \\ 1 x = 3 \end{cases}$

مجموع پايين ريمان $f$ در اين بازه را بیابید.

الف) عدد $3$ يا به يک زير بازه تعلق دارد که در اين صورت $m i n$ مطلق در آن $1$ و در $(n - 1)$ زير بازه ديگر $2$ است.

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \frac{4}{n} \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} (1) + \frac{4}{n} [2 (n - 1)] \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4 (2 n - 1)}{n} \end{array}$

اگر $3$ به دو زير بازه تعلق داشته باشد، آن‌گاه $m i n$ مطلق در دو زير بازه $1$ است.

ب) اگر عدد $3$ به دو زير بازه تعلق داشته باشد، $m i n$ مطلق در هر دو زیر بازه $1$ و در $(n - 2)$ زير بازه ديگر $2$ است.

$\begin{array}{l} l_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \frac{4}{n} \\ \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4}{n} (1) + \frac{4}{n} (1) + \frac{4}{n} [2 (n - 2)] \end{array}$

$\Rightarrow l_{n} (f) = \frac{4 (2 n - 1)}{n}$

تمرین

در تابع با ضابطه زیر مجموع بالای ريمان در بازه $[0, 2]$ را به‌دست آوريد.

$f (x) = [x] + [- x]$

در دو زير بازه شامل $0, 2$ ماکزیمم مطلق صفر است.

اگر $1$ نقطه درونی زير بازه باشد، ماکزیمم مطلق صفر است.

اگر $1$ مرز دو زير بازه باشد، در دو زير بازه ماکزیمم مطلق صفر است.

در ساير زير بازه ها ماکزیمم مطلق $(- 1)$ است.

$\begin{array}{l} u_{n} (f) = (n - 3) (- 1) \frac{2}{n} = - \frac{2 (n - 3)}{n} = (3 - n) \frac{2}{n} \end{array}$

$u_{n} (f) = (n - 4) (- 1) \frac{2}{n} = - \frac{2 (n - 4)}{n} = (4 - n) \frac{2}{n}$

تمرین

تابع با ضابطه زیر در بازه $[1, 3]$ مفروض است.

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases}$

مجموع بالای ريمان $f$ در اين بازه به‌دست آورید.

هر زير بازه شامل نامتناهی نقاط اصم و گويا است، پس ماکزیمم مطلق در هر زير بازه $2$ ، مینیمم مطلق صفر است.

در نتیجه داریم:

$\begin{array}{l} u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \frac{2}{n} = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) = \frac{2}{n} (2 n) = 4 \end{array}$

$l_{n} (f) = 0$

چون $l_{n} (f) \neq u_{n} (f)$ ، انتگرال پذير نمی‌باشد.

تمرین

تابع با ضابطه زیر در بازه $[0, 1]$ مفروض است.

$f (x) = \{\begin{cases} x^{3} x \in Q \\ 0 x \in ℝ - Q \end{cases}$

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} (f)$ را بیابید. (مجموع بالای ريمان است)

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{1}{n} \end{array}$

$x_{0} = 0, x_{1} = 0 + Δ x, x_{2} = 0 + 2 Δ x, \{\begin{cases} x_{i - 1} = 0 + (i - 1) Δ x \\ x_{i} = 0 + i Δ x = \frac{i}{n} \end{cases}$

$\begin{array}{l} u_{n} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \frac{1}{n} \\ \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (\frac{i}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i^{3}}{n^{3}} \\ \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{1}{n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} i^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{1}{n^{4}} {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} \\ \Rightarrow u_{n} (f) = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4 n^{4}} \end{array}$

$\lim_{n \to \infty} u_{n} (f) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4 n^{4}} = \frac{1}{4}$

توجه شود که $\frac{i}{n} \in Q$ می‌باشد.

تمرین

تابع $f$ روی بازه $[0, 1]$ تعريف شده و نامنفی و صعودی است.

اگر داشته باشیم:

$f (1) = 3, f (0) = 1$

مقدار زیر را محاسبه کنید.

$u_{n} (f) - l_{n} (f)$

$\begin{array}{l} u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (b) - f (a)| \frac{b - a}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (1) - f (0)| \frac{1 - 0}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = |3 - 1| \frac{1}{n} \end{array}$

$\Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = \frac{2}{n}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$f (x) = x^{3} + x; x \in [0, 2]$

حد زیر را بیابید.

$\lim_{n \to + \infty} (u_{n} (f) - l_{n} (f))$

$\begin{array}{l} u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (b) - f (a)| \frac{b - a}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = |f (2) - f (0)| = \frac{2 - 0}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = |10 - 0| \frac{2}{n} \\ \Rightarrow u_{n} (f) - l_{n} (f) = \frac{20}{n} \end{array}$

$\lim_{n \to + \infty} (u_{n} (f) - l_{n} (f)) = \lim_{n \to + \infty} (\frac{20}{n}) = \frac{20}{+ \infty} = 0$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

3,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

مساحت و مفهوم انتگرال

مساحت و فرایند حدی در انتگرال

مجموع پایین ریمان

مجموع بالای ریمان

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟