سرفصل‌های این مبحث

تجزیه عبارات جبری

تجزیه به‌ کمک دسته‌ بندی و فاکتورگیری

آخرین ویرایش: 17 آبان 1403

دسته‌بندی: تجزیه عبارات جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$x^{2} + 2 x + x y + 2 y$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تمام جمله های موجود در این عبارت، عامل مشترک ندارد.

ابتدا جملات را طوری دسته بندی می‌کنیم تا در هر دسته، عامل یا عامل های مشترک ظاهر شوند:

$= (x^{2} + x y) + (2 x + 2 y)$

در هر دسته، از عامل یا عامل های مشترک فاکتور می‌گیریم:

$= x (x + y) + 2 (x + y)$

در این مرحله، فاكتور مشتركی مانند $(x + y)$ ظاهر می‌شود:

$= (x + y) . (x + 2)$

تعریف

اگر تمام جمله های موجود در یک عبارت، عامل مشترک نداشته باشند:

ابتدا جملات را دسته بندی می‌کنیم.
نهایتا در هر دسته، از عامل مشترک فاكتور می‌گیریم، به طوری كه در مرحله بعد نیز فاكتور مشتركی ظاهر شود.

تمرین

عبارات زیر را به کمک دسته بندی و فاکتورگیری، تجزیه می‌کنیم:

$z^{3} - z^{2} - 9 z + 9$

$\begin{array}{l} = (z^{3} - z^{2}) - (9 z - 9) \\ = z^{2} (z - 1) - 9 (z - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (z - 1) (z^{2} - 9) \\ = (z - 1) [(z - 3) (z + 3)] \\ = (z - 1) (z - 3) (z + 3) \end{array}$

$3 x^{2} - 2 x + 12 x - 8$

$= (3 x^{2} - 2 x) + (12 x - 8)$

$= x (3 x - 2) + 4 (3 x - 2)$

$= (3 x - 2) (x + 4)$

$x^{5} + x - 2 x^{4} - 2$

$= (x^{5} + x) - (2 x^{4} + 2)$

$= x (x^{4} + 1) - 2 (x^{4} + 1)$

$= (x^{4} + 1) (x - 2)$

$x^{5} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 6$

$= (x^{5} - 3 x^{3}) - (2 x^{2} - 6)$

$= x^{3} (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} - 3)$

$= (x^{2} - 3) (x^{3} - 2)$

$9 b + a + 3 a b + 3$

$\begin{array}{l} = (9 b + 3 a b) + (a + 3) \\ = 3 b (3 + a) + (a + 3) \\ = (a + 3) (3 b + 1) \end{array}$

$x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 6$

دانشگاه استنفورد 2008

$\begin{array}{l} = (x^{4} - 5 x^{2} + 6) + (- x^{3} + 3 x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} - 3) [(x^{2} - 2) - x] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} - 3) (x^{2} - x - 2) \end{array}$

$= (x^{2} - 3) (x + 1) (x - 2)$

$x^{5} - 2 x^{2} - 9 x - 6$

$= \begin{array}{l} (x^{5} - 9 x) + (- 2 x^{2} - 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x (x^{4} - 9) - 2 (x^{2} + 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x (x^{2} - 3) (x^{2} + 3) - 2 (x^{2} + 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 3) [x (x^{2} - 3) - 2] \end{array}$

$= (x^{2} + 3) (x^{3} - 3 x - 2)$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 3) [(x^{3} + 1) - 3 x - 3] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 3) [(x^{3} + 1) - 3 (x + 1)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 3) [(x + 1) (x^{2} - x + 1) - 3 (x + 1)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 3) [(x + 1) (x^{2} - x + 1 - 3)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 3) (x + 1) (x^{2} - x - 2) \end{array}$

$= (x^{2} + 3) (x + 1) (x + 1) (x - 2)$

$7 x + 7 x^{3} + x^{4} + x^{6}$

$= (7 x + 7 x^{3}) + (x^{4} + x^{6})$

$= 7 x (1 + x^{2}) + x^{4} (1 + x^{2})$

$= x (1 + x^{2}) (7 + x^{3})$

$18 x + 33 - 6 x^{4} - 11 x^{3}$

$(18 x + 33) - (6 x^{4} + 11 x^{3})$ $=$

$= 3 (6 x + 11) - x^{3} (6 x + 11)$

$= (6 x + 11) (3 - x^{3})$

$a^{3} - 2 a + a^{2} - 2$

$\begin{array}{l} = (a^{3} - 2 a) + (a^{2} - 2) \\ = a (a^{2} - 2) + (a^{2} - 2) \\ = (a^{2} - 2) (a + 1) \end{array}$

$a b (a + b) - b c (b + c) + a c (a - c)$

یادآوری)

$\begin{array}{l} a + b = (b + c) + (a - c) \\ a b (a + b) - b c (b + c) + a c (a - c) \end{array}$

$= a b [(b + c) + (a - c)] - b c (b + c) + a c (a - c)$

$\begin{array}{l} = a b (b + c) + a b (a - c) - b c (b + c) + a c (a - c) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (b + c) (a b - b c) + (a - c) (a b + a c) \\ = (b + c) b (a - c) + (a - c) a (b + c) \\ = (b + c) (a - c) (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a + b + c)}^{3} - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[(a + b) + c]}^{3} - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [{(a + b)}^{3} + 3 {(a + b)}^{2} c + 3 (a + b) c^{2} + c^{3}] - a^{3} - b^{3} - c^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) + 3 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} + c^{3}] - a^{3} - b^{3} - c^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} c + 6 a b c + 3 b^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} + c^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 a^{2} b + 3 b^{2} a + 3 a^{2} c + 3 b^{2} c + 3 c^{2} a + 3 c^{2} b + 6 a b c \end{array}$

$= 3 (a^{2} b + a^{2} c + b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} b + 2 a b c)$

$\begin{array}{l} = 3 [(a^{2} b + b^{2} a + a b c + b^{2} c) + (a^{2} c + a c^{2} + b c^{2} + a b c)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 [b (a^{2} + a b + a c + b c) + c (a^{2} + a b + a c + b c)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 (a^{2} + a b + a c + b c) (b + c) \\ = 3 [a (a + b) + c (a + b)] (b + c) \\ = 3 (a + b) (a + c) (b + c) \end{array}$

$\begin{array}{l} 4 x^{4} - 4 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{4} y^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (4 x^{4} - 4 x^{2} y^{2} + y^{4}) - 4 x^{4} y^{4} \\ = {(2 x^{2} - y^{2})}^{2} - 4 x^{4} y^{4} \end{array}$

$= (2 x^{2} - y^{2} - 2 x^{2} y^{2}) (2 x^{2} - y^{2} + 2 x^{2} y^{2})$

$y^{3} (a - x) - x^{3} (a - y) + a^{3} (x - y)$

$\begin{array}{l} = a y^{3} - x y^{3} - a x^{3} + y x^{3} + a^{3} x - a^{3} y \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a y^{3} - a x^{3}) + (- y^{3} x + y x^{3}) + (- a^{3} y + a^{3} x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (y^{3} - x^{3}) - y x (y^{2} - x^{2}) - a^{3} (y - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [a (y - x) (y^{2} + y x + x^{2})] - y x (y - x) (y + x) - a^{3} (y - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (y - x) [(a (y^{2} + x^{2} + x y) - y x (y + x) - a^{3})] \end{array}$

$= (y - x) (a y^{2} + a x^{2} + a x y - y^{2} x - y x^{2} - a^{3})$

$2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + x + 2$

$\begin{array}{l} = 2 x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + x + 2 \\ = (2 x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}) + (2 x^{2} + x + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{2} (2 x^{2} + x + 2) + (2 x^{2} + x + 2) \\ = (2 x^{2} + x + 2) (x^{2} + 1) \end{array}$

$x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$

$\begin{array}{l} = (x^{5} + x^{4}) + (x^{3} + x^{2}) + (x + 1) \\ = x^{4} (x + 1) + x^{2} (x + 1) + (x + 1) \\ = (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x + 1) [(x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2}] \\ = (x + 1) [{(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2}] \\ = (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) \end{array}$

$x^{2} y + x y^{2} + x^{2} z + x z^{2} + y^{2} z + y z^{2} + 3 x y z$

$\begin{array}{l} = (x^{2} y + x y^{2} + x y z) + (x^{2} z + x z^{2} + x y z) + (y^{2} z + y z^{2} + x y z) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x y (x + y + z) + x z (x + z + y) + y z (y + z + x) \end{array}$

$= (x + y + z) (x y + y z + z x)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کدام گزینه یکی از عوامل اول در عبارت زیر است؟

$a^{5} + a^{4} + 1$

$a^{3} - a + 1$
$a^{3} + a + 1$
$a^{3} - a - 1$
$2 a^{3} + a - 1$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

تساوی زیر مفروض است:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z}$

به ازای چه مقدار $n$ تساوی زیر برقرار است؟

$\frac{1}{x^{n}} + \frac{1}{y^{n}} + \frac{1}{z^{n}} = \frac{1}{{(x + y + z)}^{n}}$

هر عدد طبیعی و فرد $n$
هر عدد طبیعی و زوج $n$
هر عدد طبیعی $n$
به ازای هیچ مقادیری از $n$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

دستگاه زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} x + y + z = x y + y z + z x \\ x y z = 1 \end{cases}$

کدام‌یک از گزینه های زیر صحیح است؟

حداقل یکی از مقادیر $z, y, x$ برابر $(0)$ است.
حداقل یکی از مقادیر $z, y, x$ برابر $(\frac{1}{2})$ است.
حداقل یکی از مقادیر $z, y, x$ برابر $(1)$ است.
حداقل یکی از مقادیر $z, y, x$ برابر $(- 1)$ است.

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

تجزیه به‌کمک دسته‌بندی و فاکتورگیری

6,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تجزیه عبارات جبری

تجزیه به‌ کمک دسته‌ بندی و فاکتورگیری

مقدمه

تعریف

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟