سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق پذیری در یک فاصله

آخرین ویرایش: 04 مرداد 1403

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

تاکنون با مفهوم مشتق تابع در یک نقطه معین، آشنا شده‌اید.

حال به دنبال یافتن رابطه‌ای بین مجموعه نقاط متعلق به دامنه یک تابع و مشتق تابع در آن نقاط هستیم.

تابع با ضابطه زیر را در نظر می‌گیریم:

$f (x) = x^{2}$

در جدول زیر، مشتق تابع در برخی نقاط حساب شده‌اند:

با استفاده از تعریف مشتق در یک نقطه، جدول زیر را کامل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{f (x) - f (- 3)}{x + 3} = \lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{x + 3} = \lim_{x \to - 3} (x - 3) = - 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x - 1) = - 2 \end{array}$

$f^{'} (\frac{1}{2}) = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f (x) - f (\frac{1}{2})}{x - \frac{1}{2}} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} (x + \frac{1}{2}) = 1$

می‌خواهیم حدس بزنیم که مشتق تابع فوق، در چه نقاطی وجود دارد.

این نقاط همگی در فاصله ای قرار دارد، بنابراین بررسی مشتق تابع در یک فاصله، موضوع مهمی است.

می‌دانیم مشتق تابع در یک نقطه (درصورت وجود) برابر با شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.

از طرفی مماس بر منحنی در هر نقطه یکتا است، بنابراین ${f^{'}}_{} (x)$ تابعی از $x$ است.

در قضیه زیر، مشتق یک تابع را در یک فاصله بررسی می‌کنیم:

قضیه

اگر $y = f (x)$ در فاصله ای پیوسته باشد و در تمام نقاط $x$ متعلق به این فاصله، مشتق پذیر باشد، آن‌گاه

تابع مشتق به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (a)}{h}$

اثبات

مشتق تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

$\begin{array}{l} i f x - a = h; \{\begin{cases} x \to a \Rightarrow h \to 0 \\ x = a + h \end{cases} \end{array}$

$f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \Rightarrow f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

تحلیل هندسی فرمول فوق به صورت زیر است:

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

شیب خط مماس بر تابع $y = f (x)$ در هر فاصله پیوسته، عبارت است از:

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

$f^{'} (x)$ را تابع مشتق تابع $y = f (x)$ می‌نامیم.

تعریف

اگر $x$ عضوی از دامنه تابع $f$ باشد، تابع مشتق $f$ در $x$ را با $f^{'} (x)$ نمایش می‌دهیم و آن را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

مشروط بر آنکه حد فوق موجود باشد.

مجموعه نقاطی از دامنه $f$ که برای آنها $f^{'}$ موجود باشد را دامنه $f^{'}$ می‌نامیم.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = x^{2}$

تابع مشتق $f$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h) \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x \end{array}$

دامنه تابع مشتق را محاسبه کنید.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تابع مشتق به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$f^{'} (x) = 2 x; D_{f^{'}} = R$

به‌کمک تابع مشتق ، مشتق را در بعضی نقاط دل‌خواه، محاسبه کنید.

$\begin{matrix} f (x) = x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x \Rightarrow \{\begin{cases} f^{'} (- 3) = - 6 \\ f^{'} (- 2) = - 4 \\ f^{'} (- 1) = - 2 \\ f^{'} (0) = 0 \end{cases} \end{matrix}$

یادآوری

1- هرگاه بخواهیم با استفاده از تعریف مشتق، مشتق $f$ را در هر نقطه از $x \in (a, b)$ بررسی کنیم، از فرمول فوق استفاده می‌نمائیم. این فرمول برای محاسبه مشتق تابع در یک فاصله استفاده می‌شود.

2- از تعریف مشتق نتیجه می‌شود برای این‌که $f^{'} (x)$ وجود داشته باشد، لازم است که $f (x)$ تعریف شده باشد پس دامنه $f^{'}$ زیر مجموعه ای از دامنه $f$ به‌صورت $D_{f^{'}} \subset D_{f}$ است.

3- اگر تابع $f$ در فاصله بسته $[a, b]$ تعریف شده و در فاصله باز $(a, b)$ مشتق پذیر باشد و در نقطه $x = a$ مقدار ${f^{'}}_{+} (a)$ موجود و متناهی و در نقطه $x = b$ مقدار ${f^{'}}_{-} (b)$ موجود و متناهی باشد، آنگاه گوئیم تابع $f$ در فاصله بسته $[a, b]$ مشتق پذیر است و تابع مشتق به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\{\begin{cases} f^{'} : [a, b] \to R \\ f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \end{cases}$

4- فرمول $f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ را به صورت زیر هم نمایش می‌دهند:

$\{\begin{cases} a = x \\ h = Δ x \end{cases}〉 f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

در این فرمول $∆ x$ را نمو متغیر می‌نامیم.

تمرین

نمودار تابع با ضابطه زیر رسم شده است:

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2}; - 2 \leq x \leq 1 \\ x + 1; x > 1 \end{cases}$

مشتق پذیری تابع $f$ را روی بازه های مختلف بررسی کنید.

تابع $f$ روی بازه های $[- 2, 1]$ و $(1, + \infty)$ مشتق پذیر است.

تابع $f$ روی بازه $[1, 2]$ مشتق پذیر نیست، زیرا در نقطه $x = 1$ تابع پیوسته نیست.

تمرین

تابع چند ضابطه ای زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 4; x < - 1 \\ x^{2} - 1; - 1 \leq x < 2 \\ - x + 5; 2 < x < 5 \end{cases}$

نمودار $f$ را رسم کنید.

مشتق پذیری $f$ را روی بازه های $[- 1, 1]$ و $(2, 5)$ و $[- 2, 0]$ بررسی کنید.

تابع در بازه $[- 1, 1]$ پیوسته و مشتق پذیر است.

تابع در بازه $(2, 5)$ پیوسته و مشتق پذیر است.

تابع در بازه $[- 2, 0]$ پیوسته نیست و مشتق پذیر نیست.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

مشتق تابع فوق را در نقطه $x = 2$ به‌دست آوريد.

$f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2}}{x - 2} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}}{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{4}}$

مشتق تابع فوق را در هر نقطه دل‌خواه به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{h} \times \frac{[\sqrt[3]{{(x + h)}^{2}} + \sqrt[3]{(x + h) x} + \sqrt[3]{x^{2}}]}{[\sqrt[3]{{(x + h)}^{2}} + \sqrt[3]{(x + h) x} + \sqrt[3]{x^{2}}]} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h [3 \sqrt[3]{x^{2}}]} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{3 \sqrt[3]{x^{2}} \times h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \end{array}$

تمرین

تابع مشتق توابع زیر را در دامنه هایشان به‌دست آورید.

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) + 1}{(x + h) - 1} - \frac{x + 1}{x - 1}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h + 1}{x + h - 1} - \frac{x + 1}{x - 1}}{h} \\ \begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h + 1) (x - 1) - (x + 1) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^{2} - x + h x - h + x - 1) - (x^{2} + x h - x + x + h - 1)}{h (x + h - 1) (x - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x - h - 1 - x^{2} - x h - h + 1}{h (x + h - 1) (x - 1)} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{- 2 h}{h (a + h - 1) (a - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 2}{(x - 1) (x - 1)} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} \end{array}$

تابع مشتق $f$ و دامنه‌ آن به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$f^{'} (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}; D_{f^{'}} = ℝ - \{1\}$

$f (x) = |x|$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{|x + h| - |x|}{h} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{|x + h| - |x|}{h} \times \frac{|x + h| + |x|}{|x + h| + |x|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h (|x + h| + |x|)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} . \frac{(x + h) + x}{|x + h| + |x|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (1) \times \frac{(x + h) + x}{|x + h| + |x|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 x}{|x| + |x|} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 |x|} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{x}{|x|} \end{array}$

$i f \{\begin{cases} f (x) = |x| \\ D_{f} = R \end{cases}〉 \{\begin{cases} f^{'} (x) = \frac{x}{|x|} = \{\begin{matrix} 1 & x > 0 \\ - 1 & x < 0 \end{matrix} \\ D_{f^{'}} = R - \{0\} \end{cases}$

$f (x) = 2 x^{2} - 16 x + 35$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \end{aligned}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{2} - 16 (x + h) + 35 - (2 x^{2} - 16 x + 35)}{h}$

$\begin{aligned} \Rightarrow f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{2 x^{2} + 4 x h + 2 h^{2} - 16 x - 16 h + 35 - 2 x^{2} + 16 x - 35}{h} \end{aligned}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 x h + 2 h^{2} - 16 h}{h}$

$\begin{aligned} \Rightarrow f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{h (4 x + 2 h - 16)}{h} \end{aligned}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = lim_{h \to 0} 4 x + 2 h - 16$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 4 x - 16$

$R (z) = \sqrt{5 z - 8}$

$\begin{aligned} R^{'} (z) & = lim_{h \to 0} \frac{R (z + h) - R (z)}{h} \end{aligned}$

$\Rightarrow R^{'} (z) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{5 (z + h) - 8} - \sqrt{5 z - 8}}{h}$

$\begin{aligned} \Rightarrow R^{'} (z) & = lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{5 (z + h) - 8} - \sqrt{5 z - 8})}{h} \frac{(\sqrt{5 (z + h) - 8} + \sqrt{5 z - 8})}{(\sqrt{5 (z + h) - 8} + \sqrt{5 z - 8})} \end{aligned}$

$\Rightarrow R^{'} (z) = lim_{h \to 0} \frac{5 z + 5 h - 8 - (5 z - 8)}{h (\sqrt{5 (z + h) - 8} + \sqrt{5 z - 8})}$

$\Rightarrow R^{'} (z) = lim_{h \to 0} \frac{5 h}{h (\sqrt{5 (z + h) - 8} + \sqrt{5 z - 8})}$

$\begin{aligned} \Rightarrow R^{'} (z) & = lim_{h \to 0} \frac{5}{\sqrt{5 (z + h) - 8} + \sqrt{5 z - 8}} \end{aligned}$

$\Rightarrow R^{'} (z) = \frac{5}{\sqrt{5 z - 8} + \sqrt{5 z - 8}}$

$\Rightarrow R^{'} (z) = \frac{5}{2 \sqrt{5 z - 8}}$

$g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

$g^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}$

$\Rightarrow g^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1 - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)}{h}$

$\begin{aligned} \Rightarrow g^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) + x + h - 1 - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)}{h} \end{aligned}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 x h - 2 h^{2} + x + h - 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{h} \end{array}$

$\Rightarrow g^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4 x - 2 h + 1)}{h}$

$\Rightarrow g^{'} (x) = lim_{h \to 0} (3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4 x - 2 h + 1)$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x) = \sqrt{x}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sqrt{x + Δ x} - \sqrt{x}}{Δ x} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(\sqrt{x + Δ x} - \sqrt{x})}{Δ x} \cdot \frac{(\sqrt{x + Δ x} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x + Δ x} + \sqrt{x})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x) - x}{Δ x (\sqrt{x + Δ x} + \sqrt{x})} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x (\sqrt{x + Δ x} + \sqrt{x})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{(\sqrt{x + Δ x} + \sqrt{x})} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{(\sqrt{x} + \sqrt{x})} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$

$i f \{\begin{cases} f (x) = \sqrt{x} \\ D_{f} = [0, + \infty) \end{cases}〉 \{\begin{cases} f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ D_{f^{'}} = (0, + \infty) \end{cases}$

$f (x) = a^{x}; 0 < a \neq 1$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{x + Δ x} - a^{x}}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{x} a^{Δ x} - a^{x}}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{x} (a^{Δ x} - 1)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = a^{x} \lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{Δ x} - 1}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = a^{x} \lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{Δ x} - a^{0}}{Δ x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = a^{x} f^{'} (0) \end{array}$

تمرین

توابع $\{\begin{cases} f : R \to R \\ g : R \to R \end{cases}$ مفروضند به‌طوری که:

$\begin{array}{l} 1) \forall x, \forall y \in R; f (x + y) = f (x) f (y) \\ 2) \forall x \in R; f (x) = 1 + x g (x) \\ 3) \lim_{x \to 0} g (x) = 1 \end{array}$

مشتق تابع $f$ را درهر نقطه از $x$ پيدا کنيد.

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x) f (Δ x) - f (x)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x) [f (Δ x) - 1]}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x) [1 + Δ x . g (Δ x) - 1]}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x) [Δ x g (Δ x)]}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} f (x) g (Δ x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} f (x) \times 1 \\ \Rightarrow f^{'} (x) = f (x) \end{array}$

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = x^{3}$ را در نظر بگیرید.

مشتق تابع فوق را در نقطه دلخواه $x = a$ حساب کنید.

$\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ \Rightarrow f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{{(a + h)}^{3} - a^{3}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}) - a^{3}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} (3 a^{2} + 3 a h + h^{2}) \\ \Rightarrow f^{'} (a) = 3 a^{2} \end{array}$

معادله خط مماس بر نمودار تابع را در نقطه $A (1, 1)$ بدست ‌آورید.

$y - y_{A} = f^{'} (a) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 1 = (3 a^{2}) (x - 1)$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{matrix} g (x) \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

اگر داشته باشیم:

$g (0) = g^{'} (0) = 0$

$f^{'} (0)$ را محاسه کنید.

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x) - 0}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (Δ x) . \sin \frac{1}{Δ x}}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{Δ x \to 0} [\frac{g (Δ x)}{Δ x}] . \sin \frac{1}{Δ x} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (0 + Δ x) - g (0)}{Δ x} . \sin \frac{1}{Δ x} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = g^{'} (0) . \sin \infty \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0. \sin \infty \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \cos \sqrt[3]{x - 1}$

$f^{'} (2)$ را محاسه کنید.

$\begin{array}{l} f^{'} (2) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos \sqrt[3]{Δ x + 1} - \cos 1}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 \sin \frac{\sqrt[3]{Δ x + 1} - 1}{2} . \sin \frac{\sqrt[3]{Δ x + 1} + 1}{2}}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) \overset{(\equiv)}{=} \lim_{Δ x \to 0} \frac{- (\sqrt[3]{Δ x + 1} - 1)}{Δ x} \cdot \sin \frac{(\sqrt[3]{Δ x + 1} + 1)}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) \overset{(\equiv)}{=} \lim_{Δ x \to 0} \frac{- \frac{Δ x}{3}}{Δ x} \cdot \sin \frac{(\sqrt[3]{Δ x + 1} + 1)}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) = \frac{- 1}{3} \sin 1 \end{array}$

تمرین

فرض کنيد به‌ازای هر $x, y$ داريم:

$f (x + y) = f (x) f (y)$

اگر داشته باشیم:

$f^{'} (0) = 1, f (0) = 1, f (5) = 2$

$f^{'} (5)$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} f^{'} (5) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (5 + Δ x) - f (5)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (5) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (5) . f (Δ x) - f (5)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (5) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (5) [f (Δ x) - 1]}{Δ x}; f (5) = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (5) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 [f (Δ x) - 1]}{Δ x}; f (0) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (5) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 [f (0 + Δ x) - f (0)]}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (5) = 2 f^{'} (0); f^{'} (0) = 1 \\ \Rightarrow f^{'} (5) = 2 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مشتق راست متناهی

فرض کنیم تابع $f$ در بازه $[a, a + α)$ تعریف شده و $α > 0$ باشد، هرگاه حدود زیر:

$\begin{matrix} {f^{'}}_{+} (a) = \lim_{x \to a^{+}} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \end{matrix}$

${f^{'}}_{+} (a) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

موجود و متناهی و عدد حقیقی باشند، آن را مشتق راست متناهی تابع $f$ در نقطه $x = a$ می‌نامیم.

از نظر هندسی یک مماس راست یا یک نیم مماس راست غیر عمود بر نمودار تابع در نقطه $x = a$ وجود دارد که شیب آن برابر $m = {f^{'}}_{+} (a)$ است.

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

در شکل فوق، مماس بر هر نقطه از تابع $y = f (x)$ با محور $x$ ها زاویه حاده می‌سازد، بنابراین علامت مشتق مثبت است.
اگر تابع $y = f (x)$ در $x = a$ دارای مماس راست غیر عمودی باشد، آنگاه از راست در $x = a$ پیوسته است و عکس این قضیه همواره صحیح نمی‌باشد.

مشتق چپ متناهی

فرض کنیم تابع $f$ در بازه $(a - α, a]$ تعریف شده و $α > 0$ باشد، هرگاه حدود زیر:

$\begin{matrix} {f^{'}}_{-} (a) = \lim_{x \to a^{-}} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \end{matrix}$

${f^{'}}_{-} (a) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

موجود و متناهی و عدد حقیقی باشند، آن را مشتق چپ متناهی تابع $f$ در نقطه $x = a$ می‌نامیم.

از نظر هندسی یک مماس چپ یا یک نیم مماس چپ غیر عمود بر نمودار تابع در نقطه $x = a$ وجود دارد که شیب آن برابر $m = {f^{'}}_{-} (a)$ است.

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

در شکل فوق، مماس بر هر نقطه از تابع $y = f (x)$ با محور $x$ ها زاویه منفرجه می‌سازد، بنابراین علامت مشتق منفی است.
اگر تابع $y = f (x)$ در $x = a$ دارای مماس چپ غیر عمودی باشد، آنگاه از چپ در $x = a$ پیوسته است و عکس این قضیه همواره صحیح نمی‌باشد.

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = |x^{2} - 2 x|$ را در نظر بگیرید.

آیا این تابع در $x = 2$ پیوسته است؟

$\{\begin{array}{l} f (2) = 0 \\ \lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} |x^{2} - 2 x| = 0 \end{array}〉 \lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$

تابع در $x = 2$ پیوسته است.

مشتق تابع را در $x = 2$ بررسی کنید.

$f (2) = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 2 x| - 0}{x - 2} = \frac{0}{0}$

بررسی مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (2) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x^{2} - 2 x) - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x (x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} x = 2$

بررسی مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (2) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{[- (x^{2} - 2 x)] - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{- x (x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} (- x) = - 2$

مشتقات راست و چپ متناهی تابع را بررسی کنید.

$\begin{matrix} {f^{'}}_{+} (2) = 2 \\ {f^{'}}_{-} (2) = - 2 \end{matrix}$

تمرین

تابع مشتق تابع زیر را در دامنه اش به‌دست آورید.

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 - x^{2} & |x| \leq 1 \\ |x| - 1 & |x| > 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} f (x) = \{\begin{matrix} 1 - x^{2} & |x| \leq 1 \\ |x| - 1 & |x| > 1 \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = \{\begin{cases} 1 - x^{2} - 1 \leq x \leq 1 \\ |x| - 1 x > 1 \lor x < - 1 \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow f (x) = \{\begin{cases} 1 - x^{2} - 1 \leq x \leq 1 \\ x - 1 x > 1 \\ - x - 1 x < - 1 \end{cases}$

نمودار تابع را در زیر مشاهده می‌کنید:

تابع در $R$ پيوسته می‌باشد.

الف) مشتق پذيری در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1) - 0}{x - 1} = 1 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(1 - x^{2}) - 0}{x - 1} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 2 x}{1} = - 2$

تابع در $x = 1$ مشتق پذير نيست و این نقطه جزء دامنه $f'$ نمی‌باشد.

ب) مشتق پذيری در نقطه $x = - 1$ :

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (- 1) = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{(1 - x^{2}) - 0}{x + 1} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{- 2 x}{1} = 2 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (- 1) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(- x - 1) - 0}{x + 1} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- 1}{1} = - 1$

تابع در $x = - 1$ مشتق پذير نيست و این نقطه جزء دامنه $f'$ نمی‌باشد.

پ) مشتق پذيری در بازه $- 1 < x < 1$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{[1 - {(x + Δ x)}^{2}] - (1 - x^{2})}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{1 - (x^{2} + 2 x Δ x + Δ^{2} x) - 1 + x^{2}}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 x Δ x - Δ^{2} x}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x (- 2 x - Δ x)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} (- 2 x - Δ x) \\ \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 x \end{array}$

$i f - 1 < x < 1 \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 x$

ج) مشتق پذيری در بازه $x > 1$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{[(x + Δ x) - 1] - (x - 1)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{x + Δ x - 1 - x + 1}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 1 \end{array}$

$i f x > 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 1$

د) مشتق پذيری در بازه $x < - 1$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{[- (x + Δ x) - 1] - (- x - 1)}{Δ x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- x - Δ x - 1 + x + 1}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- Δ x}{Δ x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = - 1 \end{array}$

$f^{'} (x) = \{\begin{cases} 1; x > 1 \\ - 2 x; - 1 < x < 1 \\ - 1; x < - 1 \end{cases}, D_{f^{'}} = R - \{- 1, + 1\}$

مشتق راست نامتناهی

فرض کنیم تابع $f$ در بازه $[a, a + α)$ تعریف شده و $α > 0$ باشد و در نقطه $x = a$ پیوستگی راست داشته باشد، هرگاه حدود زیر:

$\begin{matrix} {f^{'}}_{+} (a) = \lim_{x \to a^{+}} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \end{matrix}$

${f^{'}}_{+} (a) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

برابر با $(- \infty)$ یا $(+ \infty)$ باشند، آن را مشتق راست نامتناهی در نقطه $x = a$ می‌نامیم، در این صورت از لحاظ هندسی یک مماس راست عمود یا نیم مماس راست به معادله $x = a$ بر نمودار وجود دارد.

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ، مماس بر هر نقطه $f$ با محور $x$ ها زاویه حاده می‌سازد، بنابراین علامت $\infty$ مثبت است.

در شکل سمت راست، مماس بر هر نقطه $f$ با محور $x$ ها زاویه منفرجه می‌سازد، بنابراین علامت $\infty$ منفی است.

اگر $f$ در $a$ پیوستگی راست داشته باشد و هر یک از حدهای فوق $(+ \infty)$ یا $(- \infty)$ باشد، خط $x = a$ مماس راست بر نمودار تابع است، که خطی قائم است.

مشتق چپ نامتناهی

فرض کنیم تابع $f$ در بازه $(a - α, a]$ تعریف شده و $α > 0$ باشد و در نقطه $x = a$ پیوستگی چپ داشته باشد، هرگاه حدود زیر:

$\begin{matrix} {f^{'}}_{-} (a) = \lim_{x \to a^{-}} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \end{matrix}$

${f^{'}}_{-} (a) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

برابر با $(- \infty)$ یا $(+ \infty)$ باشند، آن را مشتق چپ نامتناهی در نقطه $x = a$ می‌نامیم، در این صورت از لحاظ هندسی یک مماس چپ عمود یا نیم مماس چپ به معادله $x = a$ بر نمودار وجود دارد.

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

در شکل سمت راست، مماس بر هر نقطه $f$ با محور $x$ ها زاویه حاده می‌سازد، بنابراین علامت $\infty$ مثبت است.

در شکل سمت چپ، مماس بر هر نقطه $f$ با محور $x$ ها زاویه منفرجه می‌سازد، بنابراین علامت $\infty$ منفی است.

اگر $f$ در $a$ پیوستگی چپ داشته باشد و هر یک از حدهای فوق $(+ \infty)$ یا $(- \infty)$ باشد، خط $x = a$ مماس چپ بر نمودار تابع است، که خطی قائم است.

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ را در نظر بگیرید.

آیا این تابع در $x = 1$ پیوسته است؟

$\{\begin{array}{l} f (1) = 0 \\ \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0 \end{array}〉 f (1) = \lim_{x \to 1} f (x) = 0$

تابع در $x = 1$ پیوسته است.

مشتق تابع را در $x = 1$ بررسی کنید.

$\begin{array}{l} f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} - 0}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}}} \\ \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{\frac{1}{x - 1}} \end{array}$

بررسی مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \sqrt[3]{\frac{1}{x - 1}} = \lim_{x \to 1^{+}} \sqrt[3]{\frac{1}{1^{+} - 1}} = \lim_{x \to 1^{+}} \sqrt[3]{\frac{1}{0^{+}}} = + \infty$

بررسی مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \sqrt[3]{\frac{1}{x - 1}} = \lim_{x \to 1^{-}} \sqrt[3]{\frac{1}{1^{-} - 1}} = \lim_{x \to 1^{-}} \sqrt[3]{\frac{1}{0^{-}}} = - \infty$

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = - \sqrt[3]{x - 1}$ را در نظر بگیرید.

آیا این تابع در $x = 1$ پیوسته است؟

$\{\begin{array}{l} f (1) = 0 \\ \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} (- \sqrt[3]{x - 1}) = 0 \end{array}〉 f (1) = \lim_{x \to 1} f (x) = 0$

تابع در $x = 1$ پیوسته است.

مشتق تابع را در $x = 1$ بررسی کنید.

$\begin{array}{l} f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{- \sqrt[3]{x - 1} - 0}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} - \sqrt[3]{\frac{x - 1}{{(x - 1)}^{3}}} \\ \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}} \end{array}$

بررسی مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- 1}{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}} = - \infty$

بررسی مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 1}{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}} = - \infty$

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

نکته

در تابع با ضابطه $f (x) = \sqrt[n]{{(x - a)}^{m}}$ با شرط مفروض $(n, m \in N) n > m$ :

اگر $n$ زوج باشد و $m$ فرد، آنگاه در نقطه $(a, f (a))$ فقط یک نیم مماس راست یا چپ عمودی به معادله $x = a$ داریم.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

در مورد تابع چند جمله ای $f$ با دامنه $R$ می‌دانیم:

$f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 x y (x + y)$

مقدار $f^{'} (5) - f^{'} (0)$ کدام است؟

$73$
$75$
$77$
$78$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مشتق پذیری در یک فاصله

7,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مشتق

مشتق پذیری در یک فاصله

مقدمه

تعریف

مشتق راست متناهی

مشتق چپ متناهی

مشتق راست نامتناهی

مشتق چپ نامتناهی

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟