سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

تعبیر هندسی مشتق

آخرین ویرایش: 03 تیر 1403

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در $x = a$ پیوسته باشد:

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

فرض کنیم خط $(d)$ در نقاط زیر، منحنی $y = f (x)$ را قطع کند:

$A (a, f (a)), B (x, f (x))$

ضریب زاویه خط $(d)$ یعنی تانژانت زاویه ای که خط با جهت مثبت محور $x$ ها تشکیل می‌دهد با توجه به شکل عبارت است از:

$m = \tan α = \frac{B H}{A H} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

اگر $x$ به سمت $a$ میل کند یعنی $(x \to a)$ نقطه $B$ بی‌اندازه به نقطه $A$ نزدیک می‌شود و در وضعیت حدی قاطع، $d$ تبدیل به مماس در نقطه $A$ می‌شود.

$m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = f^{'} (a)$

نکته

ضریب زاویه خط مماس بر منحنی $y = f (x)$ در $x = a$ برابر است با مشتق تابع به ازای طول نقطه تماس در $x = a$ .

تمرین

ضریب زاویه خط (یا شیب خط ) مماس بر نمودار توابع زیر را در نقطه داده شده به‌دست آورید.

$f (x) = x^{2}; x = - 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - {(- 1)}^{2}}{x + 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x + 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} (x - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = (- 1 - 1) \\ \Rightarrow m = - 2 \end{array}$

از لحاظ هندسی، یعنی خط مماس در نقطه ای به طول $x = - 1$ با محور طول ها، زاویه ای می‌سازد که تانژانت این زاویه برابر با $m = - 2$ است.

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

$f (x) = x^{2} - x; x = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f (x) - f (\frac{1}{2})}{x - \frac{1}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} - x) - (- \frac{1}{4})}{x - \frac{1}{2}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} - x + \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{x - \frac{1}{2}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow m = 0 \end{array}$

از لحاظ هندسی، یعنی خط مماس در نقطه ای به طول $x = \frac{1}{2}$ با محور طول ها، زاویه ای می‌سازد که تانژانت این زاویه برابر با $m = 0$ است.

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

$k (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}; x = a$

$\begin{matrix} m = \lim_{x \to a} \frac{k (x) - k (a)}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{a}}}{x - a} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{\sqrt{x} . \sqrt{a}}}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{(x - a) \sqrt{x} \sqrt{a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{(x - a) \sqrt{x} \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a} + \sqrt{x}}{\sqrt{a} + \sqrt{x}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{(a - x)}{(x - a) (\sqrt{a} + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 1}{(\sqrt{a} + \sqrt{x}) \sqrt{x} . \sqrt{a}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 1}{(\sqrt{a} + \sqrt{a}) \sqrt{a} . \sqrt{a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \frac{- 1}{(2 \sqrt{a}) . a} \\ \Rightarrow m = \frac{- 1}{2 a \sqrt{a}} \end{matrix}$

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 1; x = 3$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{(\frac{1}{3} x^{2} - 1) - (\frac{1}{3} \times 9 - 1)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} x^{2} - 1 - 2}{x - 3} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} x^{2} - 3}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} (x^{2} - 9)}{x - 3} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} (x - 3) (x + 3)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{1}{3} (x + 3) \\ \Rightarrow m = \frac{1}{3} (3 + 3) \\ \Rightarrow m = 2 \end{array}$

$x (t) = t^{4}; t = a$

$\begin{array}{l} m = \lim_{t \to a} \frac{x (t) - x (a)}{t - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{t \to a} \frac{t^{4} - a^{4}}{t - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{t \to a} \frac{(t^{2} - a^{2}) (t^{2} + a^{2})}{t - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{t \to a} \frac{(t - a) (t + a) (t^{2} + a^{2})}{t - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{t \to a} (t + a) (t^{2} + a^{2}) \\ \Rightarrow m = (a + a) (a^{2} + a^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = (2 a) (2 a^{2}) \\ \Rightarrow m = 4 a^{3} \end{array}$

$y (u) = \frac{u}{1 + u}; u = a$

$\begin{array}{l} m = \lim_{u \to a} \frac{y (u) - y (a)}{u - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{\frac{u}{1 + u} - \frac{a}{1 + a}}{u - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{\frac{u (1 + a) - a (1 + u)}{(1 + u) (1 + a)}}{u - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{u + a u - a - a u}{(u - a) (1 + u) (1 + a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{u - a}{(u - a) (1 + u) (1 + a)} \\ \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{1}{(1 + u) (1 + a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{1}{(1 + a) (1 + a)} \\ \Rightarrow m = \frac{1}{{(1 + a)}^{2}} \end{array}$

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x; x = - 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(3 x^{2} - 4 x) - 7}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{x + 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (3 x - 7)}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} (3 x - 7) \\ \Rightarrow m = 3 (- 1) - 7 \\ \Rightarrow m = - 10 \end{array}$

یادآوری) برای تجزیه کسر، عبارت صورت را بر $(x + 1)$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 4 x - 7 x + 1 \\ \underline{\mp 3 x^{2} \mp 3 x} 3 x - 7 \\ - 7 x - 7 \\ \underline{\pm 7 x \pm 7} \\ 0 \\ 3 x^{2} - 4 x - 7 = (x + 1) (3 x - 7) \end{array}$

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}; x = a$

$m = \lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{a + 1}{a - 1}}{x - a} \end{matrix}$

$\Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{(x + 1) (a - 1) - (x - 1) (a + 1)}{(x - 1) (a - 1)}}{x - a}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{(x a - x + a - 1) - (x a + x - a - 1)}{(x - 1) (a - 1)}}{x - a} \end{matrix}$

$\Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{x a - x + a - 1 - x a - x + a + 1}{(x - a) (x - 1) (a - 1)}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 2 x + 2 a}{(x - a) (x - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 2 (x - a)}{(x - a) (x - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 2}{(x - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \frac{- 2}{(a - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\Rightarrow m = \frac{- 2}{{(a - 1)}^{2}}$

$y (x) = \sqrt{4 - x^{2}}; x = - 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to - 1} \frac{y (x) - y (- 1)}{x - (- 1)} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - \sqrt{3}}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - \sqrt{3}}{x + 1} \times \frac{\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3}}{\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(4 - x^{2}) - 3}{(x + 1) (\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{1 - x^{2}}{(x + 1) (\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3})} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(1 - x) (1 + x)}{(x + 1) (\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{1 - x}{\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow m = \frac{1 - (- 1)}{\sqrt{4 - {(- 1)}^{2}} + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{2}{2 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

$y (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}; x = 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 1} \frac{y (x) - y (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(1)}^{2}}}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (2)}}{x - 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2}}{2 (1 + x^{2}) (x - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{(1 - x) (1 + x)}{2 (1 + x^{2}) (x - 1)} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{- (1 + x)}{2 (1 + x^{2})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{- (1 + 1)}{2 [1 + {(1)}^{2}]} \\ \Rightarrow m = \frac{- 2}{4} \\ \Rightarrow m = \frac{- 1}{2} \end{array}$

$f (x) = \sin x; x = 0$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin (0)}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \\ \Rightarrow m = 1 \end{array}$

به نمودار زیر توجه کنید:

برای یافتن $α$ داریم:

یادآوری)

شیب هر خط (ضریب زاویه) برابر است با تانژانت زاویه‌ ای که خط با قسمت مثبت محور $x$ ها می‌سازد.

$\begin{array}{l} m = \tan α \\ \Rightarrow 1 = \tan α \\ \Rightarrow α = 45 ° \end{array}$

$f (x) = \tan x; x = 0$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \tan (0)}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \\ \Rightarrow m = 1 \end{array}$

به نمودار زیر توجه کنید:

برای یافتن $α$ داریم:

یادآوری) شیب هر خط (ضریب زاویه) برابر است با تانژانت زاویه‌ ای که خط با قسمت مثبت محور $x$ ها می‌سازد.

$\begin{array}{l} m = \tan α \\ \Rightarrow m = \tan α \\ \Rightarrow α = 45 ° \end{array}$

تمرین

نمودار تابع $f (x) = - x^{2} + 10 x$ در زیر رسم شده است:

$f' (5), f' (8)$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} f (x) = - x^{2} + 10 x \Rightarrow \{\begin{cases} f (5) = - {(5)}^{2} + 10 (5) = 25 \\ f (8) = - {(8)}^{2} + 10 (8) = 16 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (5) = \lim_{x \to 5} \frac{f (x) - f (5)}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 25}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{- {(x - 5)}^{2}}{x - 5} = \lim_{x \to 5} - (x - 5) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (8) = \lim_{x \to 8} \frac{f (x) - f (8)}{x - 8} = \lim_{x \to 8} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 16}{x - 8} = \lim_{x \to 8} \frac{- (x - 2) (x - 8)}{x - 8} = \lim_{x \to 8} - (x - 2) = - 6 \end{array}$

دو نقطه روی منحنی مشخص کنید که مقدار مشتق تابع در آنها قرینه یکدیگر باشند.

$A, F$

به کمک شکل توضیح دهید که تابع در چه نقاطی دارای مشتق مثبت و در چه نقاطی دارای مشتق منفی است؟

در نقاط $A, E, D$ که زاویه مماس بر منحنی با محور طول ها یعنی $0 < α < 90 °$ می‌باشد، دارای مشتق مثبت هستند.

$m = \tan α > 0$

در نقاط $B, G, F$ که زاویه مماس بر منحنی با محور طول ها یعنی $90 ° < α < 180 °$ می‌باشد، دارای مشتق منفی هستند.

$m = \tan α < 0$

بدون محاسبه و تنها به کمک نمودار، شیب خط های مماس بر منحنی در نقاط $3$ و $4$ را با هم مقایسه کنید.

$m_{E} > m_{D} \Rightarrow {f^{'}}_{} (3) > {f^{'}}_{} (4)$

با محاسبه $f' (3)$ و $f' (4)$ صحت حدس خود را بررسی کنید.

$\{\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 21}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{- (x - 3) (x - 7)}{x - 3} = 4 \\ {f^{'}}_{} (4) = \lim_{x \to 4} \frac{f (x) - f (4)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 24}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{- (x - 4) (x - 6)}{x - 4} = 2 \end{array}〉 {f^{'}}_{} (3) > {f^{'}}_{} (4)$

تمرین

منحنی تابع و جدول زیر را در نظر بگیرید:

نقاط داده شده روی منحنی فوق را با شیب های ارائه شده در جدول، نظیر کنید.

تمرین

نقاط $A, B, C, D, E, F$ را روی منحنی زیر در نظر بگیرید:

در مورد شیب منحنی در این نقاط، کدام گزاره درست و کدام نادرست است؟

شیب منحنی در همه این نقاط مثبت است.

نادرست.

$m_{A} < m_{B}$

نادرست.

$α$ زاویه ای که خط مماس در نقطه $A$ با محور طول ها می‌سازد ، بزرگ تر از $β$ زاویه ای که خط مماس در نقطه $B$ با محور طول ها می‌سازد.

$\tan α > \tan β \Rightarrow m_{A} > m_{B}$

$m_{A} > m_{B} > m_{E}$

درست.

شیب منحنی در نقاط $F, D, C$ منفی است.

درست.

تمرین

تابع $f (x)$ را در شکل زیر در نظر بگیرید:

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} f (4) = 25 \\ f^{'} (4) = 1.5 \end{cases}$

مختصات نقاط $A, B, C$ را بیابید.

$\begin{array}{l} m_{A B} = {f^{'}}_{} (4) \\ \Rightarrow \frac{f (B) - f (A)}{x_{B} - x_{A}} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (5) - f (4)}{5 - 4} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (5) - 25}{5 - 4} = 1.5 \\ \Rightarrow f (5) = 26.5 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} m_{A C} = {f^{'}}_{} (4) \\ \Rightarrow \frac{f (C) - f (A)}{x_{C} - x_{A}} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (3) - f (4)}{3 - 4} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (3) - 25}{- 1} = 1.5 \\ \Rightarrow f (3) = 23.5 \end{array} \end{matrix}$