سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق پذیری در یک نقطه

آخرین ویرایش: 19 آبان 1403

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف مشتق

تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر گویند، هر‌گاه دو شرط زیر برقرار باشد.

الف) تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوسته باشد.

ب) حد تابع زیر موجود و متناهی باشد.

$\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = f^{'} (a)$

تمرین

پیوستگی و مشتق پذیری توابع زیر را در نقاط بیان شده بررسی کنید.

$g (x) = 3 x + 5; x = 1$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} 1) g (1) = 8 \\ \underset{x \to 1}{2) \lim} g (x) = \lim_{x \to 1} (3 x + 5) = 8 \\ \underset{x \to 1}{3) \lim} g (x) = g (1) \end{array}$

تابع در نقطه $x = 1$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{g (x) - g (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{(3 x + 5) - [3 (1) + 5]}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{3 x + 5 - 3 (1) - 5}{x - 1} \\ \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{3 x - 3 a}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{3 (x - a)}{x - a} \\ \Rightarrow g^{'} (1) = 3 \end{array}$

تابع $g$ در نقطه $x = 1$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$g^{'} (1) = 3$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}; x = - 1$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = - 1$ :

$\begin{array}{l} 1) f (- 1) = \frac{1}{2} \end{array}$

$\underset{x \to - 1}{2) \lim} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$

$\underset{x \to - 1}{3) \lim} f (x) = f (- 1)$

تابع در نقطه $x = - 1$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = - 1$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} \\ \Rightarrow f^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{2}}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2 - (1 - x)}{2 (1 - x)}}{x + 1} \\ \Rightarrow f^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{2 (1 - x) (x + 1)} \\ \Rightarrow f^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 (1 - x)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (- 1) = \frac{1}{2 [1 - (- 1)]} \\ \Rightarrow f^{'} (- 1) = \frac{1}{2 (2)} \\ \Rightarrow f^{'} (- 1) = \frac{1}{4} \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = - 1$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (- 1) = \frac{1}{4}$

$f (x) = (x^{2} - [x^{2}]); x = 0$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 0 \\ 2) \lim_{x \to 0} f (x) = 0 \\ 3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0) \end{array}$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{(x^{2} - [x^{2}]) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} [\frac{1}{x^{2}}] & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} x^{2} [\frac{1}{x^{2}}] \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0} x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} [\frac{1}{x^{2}}] - 1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} ([\frac{1}{x^{2}}] - \frac{1}{x^{2}})}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x ([\frac{1}{x^{2}}] - \frac{1}{x^{2}}) \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{\sin x}{x} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 1 \\ 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\ 3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0) \end{array}$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - 1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^{2}} = \frac{0}{0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{6} x^{3}}{x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) \overset{}{=} \lim_{x \to 0} (- \frac{1}{6} x) \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} . \cos \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} x^{2} . \cos \frac{1}{x} = 0 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \cos \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x . \cos \frac{1}{x} = 0$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} \sin^{2} x . \cos (\frac{1}{\sin x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \sin^{2} x . \cos (\frac{1}{\sin x}) = 0 \times \cos (\infty) = 0 \end{array}$

$3) f (0) = \lim_{x \to 0} f (x)$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x \cos (\frac{1}{\sin x})}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \cos (\frac{1}{x})}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x . \cos (\frac{1}{x}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \times \cos \infty \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 0$

$f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{array}; x = 0$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = {(0)}^{2} = 0 \\ 2) \lim_{x \to 0} f (x) = 0 \\ 3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0) \end{array}$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

یادآوری)

چنان‌چه در فصل حد ثابت کرده‌ايم در هر $x \in R$ که $x \neq 0$ باشد، تابع حد ندارد و ناپيوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}; \frac{f (x)}{x} = x \times g (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} [x \times g (x)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x \times \lim_{x \to 0} g (x) \\ \Rightarrow f^{'} (0) = (0) \times \lim_{x \to 0} g (x) \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 0$

یادآوری) تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{f (x)}{x} = x \times g (x)$

برای یافتن تساوی فوق، داریم:

$\begin{array}{l} \frac{f (x)}{x} = \{\begin{cases} \frac{x^{2}}{x} x \in Q \\ \frac{0}{x} x \in R - Q \end{cases} \\ \Rightarrow \frac{f (x)}{x} = \{\begin{cases} x x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{f (x)}{x} = x \times \{\begin{cases} 1 x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases}; g (x) = \{\begin{cases} 1 x \in Q \\ 0 x \in R - Q \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{f (x)}{x} = x \times g (x)$

$g (x)$ در هيچ نقطه ای حد ندارد اما در $R$ کران دار است.

تمرین

مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده تعیین کنید. (شرط پیوستگی برقرار است)

$f (x) = 3 x - 1; x = 2$

$\begin{array}{l} f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} \\ \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{(3 x - 1) - [3 (2) - 1]}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{3 x - 1 - 5}{x - 2} \\ \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{3 x - 6}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \\ \Rightarrow f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} (3) \\ \Rightarrow f^{'} (2) = 3 \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = 2$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (2) = 3$

$f (x) = \frac{x}{1 + x}; x = 0$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1 + x} - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x (1 + x)} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \frac{1}{1 + 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 1 \end{array}$

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$f^{'} (0) = 1$

$f (x) = 2 \sqrt{1 - x}; x = - 3$

ابتدا مقدار تابع را در نقطه $x = - 3$ به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} f (x) = 2 \sqrt{1 - x}; x = - 3 \\ \Rightarrow f (- 3) = 2 \sqrt{1 - (- 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (- 3) = 2 \sqrt{1 + 3} \\ \Rightarrow f (- 3) = 4 \end{array}$

به محاسبه مشتق تابع می‌پردازیم:

$f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{f (x) - f (- 3)}{x - (- 3)}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{2 \sqrt{1 - x} - 4}{x + 3} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{2 \sqrt{1 - x} - 4}{x + 3} \times \frac{2 \sqrt{1 - x} + 4}{2 \sqrt{1 - x} + 4} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{{(2 \sqrt{1 - x})}^{2} - {(4)}^{2}}{(x + 3) (2 \sqrt{1 - x} + 4)} \end{matrix}$

$\Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{4 (1 - x) - 16}{(x + 3) (2 \sqrt{1 - x} + 4)}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{4 - 4 x - 16}{(x + 3) (2 \sqrt{1 - x} + 4)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{- 4 x - 12}{(x + 3) (2 \sqrt{1 - x} + 4)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{- 4 (x + 3)}{(x + 3) (2 \sqrt{1 - x} + 4)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \lim_{x \to - 3} \frac{- 4}{2 \sqrt{1 - x} + 4} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \frac{- 4}{2 \sqrt{1 - (- 3)} + 4} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- 3) = \frac{- 4}{8} \end{matrix}$

$\Rightarrow f^{'} (- 3) = - \frac{1}{2}$

$g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}; x = - 1$

$\begin{array}{l} g^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{g (x) - g (- 1)}{x - (- 1)} \\ \Rightarrow g^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{- 1 + 1}{- 1 - 1}}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x + 1}{x - 1}}{x + 1} \\ \Rightarrow g^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (- 1) = \lim_{x \to - 1} \frac{1}{x - 1} \\ \Rightarrow g^{'} (- 1) = \frac{1}{- 1 - 1} \\ \Rightarrow g^{'} (- 1) = - \frac{1}{2} \end{array}$

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2; x = 1$

ابتدا مقدار تابع را در نقطه $x = 1$ به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2; x = 1 \\ \Rightarrow f (1) = {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 2 \\ \Rightarrow f (1) = 2 \end{array}$

به محاسبه مشتق تابع می‌پردازیم:

$\begin{array}{l} f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} + 3 x^{2} - 2) - 2}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1} \\ \Rightarrow f^{'} (1) \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)}{x - 1} \\ \Rightarrow f^{'} (1) = \lim_{x \to 1} (x^{2} + 4 x + 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = {(1)}^{2} + 4 (1) + 4 \\ \Rightarrow f^{'} (1) = 9 \end{array}$

یادآوری) عبارت صورت را بر $(x - 1)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

$\begin{array}{l} x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 1 \\ \underline{\mp x^{3} \pm x^{2}} x^{2} + 4 x + 4 \\ 4 x^{2} - 4 \\ \underline{\mp 4 x^{2} \pm 4 x} \\ 4 x - 4 \\ \underline{\mp 4 x \pm 4} \\ 0 \end{array}$

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)$

$f (x) = a x^{2} + b x + c; x = - \frac{b}{2 a}$

ابتدا مقدار تابع را در نقطه $x = - \frac{b}{2 a}$ به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} f (x) = a x^{2} + b x + c; x = - \frac{b}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (- \frac{b}{2 a}) = a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (- \frac{b}{2 a}) = a (\frac{b^{2}}{4 a^{2}}) - \frac{b^{2}}{2 a} + c = \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (- \frac{b}{2 a}) = \frac{b^{2} - 2 b^{2} + 4 a c}{4 a} \\ \Rightarrow f (- \frac{b}{2 a}) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{array}$

به محاسبه مشتق تابع می‌پردازیم:

$f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} \frac{f (x) - f (- \frac{b}{2 a})}{x - (- \frac{b}{2 a})}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} \frac{(a x^{2} + b x + c) - \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}}{x + \frac{b}{2 a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} \frac{\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - 4 a c + b^{2}}{4 a}}{x + \frac{b}{2 a}} \end{matrix}$

$\Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} \frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2}}{4 a (x + \frac{b}{2 a})}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} \frac{4 a^{2} (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}})}{4 a (x + \frac{b}{2 a})} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} \frac{4 a^{2} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}}{4 a (x + \frac{b}{2 a})} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = \lim_{x \to - \frac{b}{2 a}} a (x + \frac{b}{2 a}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = a (- \frac{b}{2 a} + \frac{b}{2 a}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = a (0) \end{matrix}$

$\Rightarrow f^{'} (- \frac{b}{2 a}) = 0$

$f (x) = x (x - 1) (x - 2) \cdot \cdot \cdot (x - n); x = 0$

$\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}; f (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x (x - 1) (x - 2) ... (x - n) - f (0)}{x - 0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} (x - 1) (x - 2) \cdot \cdot \cdot (x - n) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = (- 1) . (- 2) \cdot \cdot \cdot (- n) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = {(- 1)}^{n} (1 \times 2 \times \cdot \cdot \cdot \times n) \\ \Rightarrow f^{'} (0) = {(- 1)}^{n} n! \end{array}$

$f (x) = x \cos \frac{π}{x^{2} + 1}; x = 0$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos \frac{π}{x^{2} + 1} - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \cos \frac{π}{x^{2} + 1} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \cos π \\ \Rightarrow f^{'} (0) = - 1 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} x \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

$f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin \frac{1}{x} - (0 \times \sin \frac{1}{0})}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (0) = \sin \frac{1}{0} \end{matrix}$

$\Rightarrow f^{'} (0) = \sin \infty; - 1 \leq \sin \infty \leq 1$

$\sin (\infty)$ در بازه $[- 1, 1]$ در حال نوسان است و یک عدد نامشخص است.

حد فوق موجود نیست و تابع در $x = 0$ مشتق‌ پذیر نیست.

$g (x) = \{\begin{matrix} x^{2} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

$g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x) - g (0)}{x - 0}$

$\begin{matrix} \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x} - [{(0)}^{2} \sin \frac{1}{0}]}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x . \sin \frac{1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x . \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow g^{'} (0) = 0 \times \sin \infty \end{matrix}$

$= 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} \sin \frac{1}{x^{3} + 1} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x^{3} + 1} - 0}{x - 0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x . \sin \frac{1}{x^{3} + 1} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = (0) . \sin 1 \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} \sin^{2} x \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \times \sin \frac{1}{x}}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} x + x^{2} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x + x^{2} \sin \frac{1}{x} - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} (1 + x \sin \frac{1}{x}) \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 1 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2}; x \in Q \\ x; x \in R - Q \end{cases}; x = 0$

$f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to 0} \{\begin{cases} x; x \in Q \\ 1; x \in R - Q \end{cases}〉 f^{'} (0) = 1$

تمرین

مقادیر مجهول را به‌دست آورید.

$i f \{\begin{cases} g (x) = x f (x) \\ f (0) = \lim_{x \to 0} f (x) \end{cases}〉 g^{'} (0) = ?$

$g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x) - g (0)}{x - 0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x f (x) - [0 \times f (0)]}{x} \\ \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x f (x) - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (0) = \lim_{x \to 0} f (x) \\ \Rightarrow g^{'} (0) = f (0) \end{array}$

$i f \{\begin{cases} g (x) = (x - 1) f (x) \\ f (1) = \lim_{x \to 1} f (x) \end{cases}〉 g^{'} (1) = ?$

$\begin{array}{l} g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{g (x) - g (1)}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) f (x) - [(1 - 1) f (1)]}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) f (x) - 0}{x - 1} \\ \Rightarrow g^{'} (1) = \lim_{x \to 1} f (x) \\ \Rightarrow g^{'} (1) = f (1) \end{array}$

$i f \{\begin{cases} f (x) = \frac{(3 - x) g (x - 2)}{{(5 x + 14)}^{9} + \sqrt[3]{x + 2 + \sqrt[3]{9 x}}} \\ g (1) = 3 \end{cases}〉 f^{'} (3) = ?$

$\begin{array}{l} f^{'} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{(3 - x) g (x - 2)}{{(5 x - 14)}^{9} + \sqrt[3]{x + 2 + \sqrt[3]{9 x}}} - 0}{x - 3} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{- g (1)}{{(1)}^{9} + \sqrt[3]{3 + 2 + \sqrt[3]{9 \times 3}}} \\ \Rightarrow f^{'} (3) = \frac{- 3}{1 + 2} \\ \Rightarrow f^{'} (3) = - 1 \end{array}$

تمرین

اگر $f$ در $x = 0$ مشتق پذير باشد، ثابت كنيد.

$\lim_{x \to a} \frac{x f (a) - a f (x)}{x - a} = f (a) - a f^{'} (a)$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} \frac{x f (a) - a f (x)}{x - a} \\ = \lim_{x \to a} \frac{x f (a) - a f (a) + a f (a) - a f (x)}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to a} \frac{f (a) (x - a) - a [f (x) - f (a)]}{x - a} \\ = \lim_{x \to a} [f (a) - a . \frac{f (x) - f (a)}{x - a}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = f (a) - a \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ = f (a) - a f^{'} (a) \end{array}$

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} g (x) \sin \frac{1}{x^{2} + x}; x \neq 0 \\ 0; x = 0 \end{cases}$

اگر داشته باشیم:

$g (0) = g^{'} (0) = 0$

$f^{'} (0)$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x) \sin \frac{1}{x^{2} + x} - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x)}{x} . \sin \frac{1}{x^{2} + x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x) - g (0)}{x - 0} . \sin \frac{1}{x^{2} + x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = g^{'} (0) . \sin \frac{1}{0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \times \sin \infty \\ \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

تمرین

تابع با ضابطه زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = x^{m} [x]; m \in N$

به‌ازای چه مقادير $m$ در $x = 0$ تابع فوق، مشتق دارد؟

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{m} [x]}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} x^{m - 1} [x]; i f \{\begin{cases} m \in N \\ m - 1 \geq 1 \Rightarrow m \geq 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{matrix}$

برای اين‌كه $f^{'} (0) = 0$ باشد، بايستی $m \geq 2$ باشد.

تمرین

تابع‌ زیر، معادله‌ حرکت متحرک بر محور $x$ هاست.

$x (t) = t^{2} - 2 t - 1$

$t$ برحسب ثانیه و $x$ برحسب سانتی‌ متر است.

مطلوب است:

محاسبه‌ سرعت متوسط این متحرک در فاصله‌ زمانی $t_{1} = 1, t_{2} = 4$

$\{\begin{cases} t_{1} = 1 \Rightarrow x (1) = {(1)}^{2} - 2 (1) - 1 = - 2 \\ t_{2} = 4 \Rightarrow x (4) = {(4)}^{2} - 2 (4) - 1 = 7 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \bar{V} = \frac{Δ x}{Δ t} \\ \Rightarrow \bar{V} = \frac{x (t_{2}) - x (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \bar{V} = \frac{x (4) - x (1)}{4 - 1} \\ \Rightarrow \bar{V} = \frac{7 - (- 2)}{4 - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \bar{V} = \frac{9}{3} \\ \Rightarrow \bar{V} = 3 c m / s \end{array}$

محاسبه‌ سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان ‌های $t = 0, 1, 3$

محاسبه سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان $t = 0$ :

$\begin{array}{l} V (0) = x^{'} (0) \\ \Rightarrow V (0) = \lim_{t \to 0} \frac{x (t) - x (0)}{t - 0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (0) = \lim_{t \to 0} \frac{(t^{2} - 2 t - 1) - (- 1)}{t} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (0) = \lim_{t \to 0} \frac{t^{2} - 2 t}{t} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (0) = \lim_{t \to 0} \frac{t (t - 2)}{t} \\ \Rightarrow V (0) = \lim_{t \to 0} (t - 2) \\ \Rightarrow V (0) = - 2 \end{array}$

محاسبه سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان $t = 1$ :

$\begin{array}{l} V (1) = x^{'} (1) \\ \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{x (t) - x (1)}{t - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{(t^{2} - 2 t - 1) - (- 2)}{t - 1} \\ \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{t^{2} - 2 t + 1}{t - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{{(t - 1)}^{2}}{t - 1} \\ \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} (t - 1) \\ \Rightarrow V (1) = 0 \end{array}$

محاسبه سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان $t = 3$ :

$\begin{array}{l} V (3) = x^{'} (3) \\ \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{x (t) - x (3)}{t - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{(t^{2} - 2 t - 1) - 2}{t - 3} \\ \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{t^{2} - 2 t - 3}{t - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{(t - 3) (t + 1)}{t - 3} \\ \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} (t + 1) \\ \Rightarrow V (3) = 4 \end{array}$

تمرین

توپی را با سرعت اولیه $30$ متر در ثانیه به‌طور قائم از زمین به بالا پرتاب می‌کنیم.

اگر جهت مثبت فاصله از نقطه پرتاب به طرف بالا باشد و معادله حرکت به‌صورت زیر باشد:

$x = f (t) = - 4 / 9 t^{2} + 30 t$

مطلوب است:

محاسبه‌ سرعت لحظه‌ای توپ در پایان یک ثانیه پس از پرتاب.

$\begin{array}{l} V (1) = f^{'} (1) \\ \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{f (t) - f (1)}{t - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{(- 4 / 9 t^{2} + 30 t) - (- 4 / 9 + 30)}{t - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{- 4 / 9 t^{2} + 30 t - 25 / 1}{t - 1} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} \frac{(t - 1) (- 4 / 9 t + 25 / 1)}{t - 1} \\ \Rightarrow V (1) = \lim_{t \to 1} (- 4 / 9 t + 25 / 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (1) = - 4 / 9 + 25 / 1 \\ \Rightarrow V (1) = 20 / 2 \end{array}$

یادآوری)

عبارت صورت را بر $(t - 1)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:‌

$\begin{array}{l} - 4 / 9 t^{2} + 30 t - 25 / 1 t - 1 \\ \underline{\pm 4 / 9 t^{2} \mp 4 / 9 t} - 4 / 9 t + 25 / 1 \\ 25 / 1 t - 25 / 1 \\ \underline{\mp 25 / 1 t \pm 25 / 1} \\ 0 \end{array}$

$- 4 / 9 t^{2} + 30 t - 25 / 1 = (t - 1) (- 4 / 9 t + 25 / 1)$

محاسبه‌ سرعت لحظه‌‌ ای توپ در پایان سه ثانیه پس از پرتاب.

$\begin{array}{l} V (3) = f^{'} (3) \\ \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{f (t) - f (3)}{t - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{(- 4 / 9 t^{2} + 30 t) - 45 / 9}{t - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{- 4 / 9 t^{2} + 30 t - 45 / 9}{t - 3} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} \frac{(t - 3) (- 4 / 9 t + 15 / 3)}{t - 3} \\ \Rightarrow V (3) = \lim_{t \to 3} (- 4 / 9 t + 15 / 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V (3) = - 4 / 9 (3) + 15 / 3 \\ \Rightarrow V (3) = 0 / 6 m / s \end{array}$

یادآوری) عبارت صورت را بر $(t - 3)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:‌

$\begin{array}{l} - 4 / 9 t^{2} + 30 t - 45 / 9 t - 3 \\ \underline{\pm 4 / 9 t^{2} \mp 14 / 7 t} - 4 / 9 t + 15 / 3 \\ 15 / 3 t - 45 / 9 \\ \underline{\mp 15 / 3 t \pm 45 / 9} \\ 0 \end{array}$

$- 4 / 9 t^{2} + 30 t - 45 / 9 = (t - 3) (- 4 / 9 t + 15 / 3)$

تمرین

تابع زیر مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} - {(x - 1)}^{2} + 4; x \leq 0 \\ - {(x + 1)}^{2} + 4; x > 0 \end{cases}$

نقطه $A (0, 3)$ و نقطه $B (x, f (x))$ را سمت راست $A$ در نظر می‌گیریم.

حد شیب خط $A B$ را وقتی $B$ به $A$ نزدیک می‌شود را حساب کنید.

شیب خط $A B$ را به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$m_{A B} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{f (x) - 3}{x - 0} = \frac{f (x) - 3}{x}$

محاسبه‌ حد شیب خط $A B$ :

وقتی $B$ به $A$ نزدیک می‌شود، یعنی $x$ از سمت راست به صفر نزدیک می‌شود:

$\lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - 3}{x}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{[- {(x + 1)}^{2} + 4] - 3}{x} = \frac{0}{0} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- {(x + 1)}^{2} + 1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- (x^{2} + 2 x + 1) + 1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{2} - 2 x - 1 + 1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{2} - 2 x}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (- x - 2)}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{+}} (- x - 2) \end{matrix}$

$\Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = - 2$

وقتی $B$ از سمت چپ به $A$ نزدیک می‌شود، یعنی $x$ از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود.

در این حالت شیب خط $A B$ را محاسبه می‌کنیم:

$\lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - 3}{x}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{[- {(x - 1)}^{2} + 4] - 3}{x} = \frac{0}{0} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- {(x - 1)}^{2} + 1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- (x^{2} - 2 x + 1) + 1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x^{2} + 2 x - 1 + 1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x^{2} + 2 x}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (- x + 2)}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = \lim_{x \to 0^{-}} (- x + 2) \end{matrix}$

$\Rightarrow \lim_{B \to A} m_{A B} = 2$

مشتق راست و مشتق چپ

حد تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = f^{'} (a)$

به حد راست در تابع فوق، مشتق راست می‌گوییم و به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$\lim_{x \to a^{+}} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = {f^{'}}_{+} (a)$

به حد چپ در تابع فوق، مشتق چپ می‌گوییم و به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$\lim_{x \to a^{-}} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = {f^{'}}_{-} (a)$

تمرین

پیوستگی و مشتق پذیری توابع زیر را در نقاط بیان شده بررسی کنید.

$f (x) = |x - a|; x = a$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = a$ :

$\begin{array}{l} 1) f (a) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} |x - a| = |a - a| = 0 \end{array}$

$3) \lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

تابع در نقطه $x = a$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = a$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{|x - a| - 0}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (a) = \lim_{x \to a^{+}} \frac{|x - a|}{x - a} = \lim_{x \to a^{+}} \frac{+ (x - a)}{x - a} = 1 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (a) = \lim_{x \to a^{-}} \frac{|x - a|}{x - a} = \lim_{x \to a^{-}} \frac{- (x - a)}{x - a} = - 1$

مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه $x = a$ برابر نيستند.

تابع $f$ مشتق پذير نیست.

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}; x = 0$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 0 \\ 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}} = 0 \\ 3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0) \end{array}$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = a$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{|x| \sqrt{x + 3}}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x| \sqrt{x + 3}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(+ x) \times \sqrt{x + 3}}{x} = \sqrt{3} \end{array}$

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x| \sqrt{x + 3}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(- x) \sqrt{x + 3}}{x} = - \sqrt{3}$

مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه $x = 0$ برابر نيستند.

تابع $f$ مشتق پذير نیست.

$f (x) = [x] + {(x - [x])}^{2}; x = 0$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} ([x] + {(x - [x])}^{2}) = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} ([x] + {(x - [x])}^{2}) = (- 1) + {(0 - (- 1))}^{2} = 0$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{([x] + {(x - [x])}^{2}) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{[x] + {(x - [x])}^{2}}{x}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{[x] + {(x - [x])}^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{[0^{+}] + {(x - [0^{+}])}^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{[x] + {(x - [x])}^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{[0^{-}] + {(x - [0^{-}])}^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- 1 + {(x + 1)}^{2}}{x} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x + 1)}{1} = 2$

مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه $x = 0$ برابر نيستند.

تابع $f$ مشتق پذير نیست.

$f (x) = x^{2} [x]; x = 0, 1$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} x^{2} [x] = 0 \times (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} x^{2} [x] = 0 \times (- 1) = 0 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 0$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} [x]}{x} = \lim_{x \to 0} x [x] \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} x [x] = 0 (0) = 0 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} x [x] = 0 (- 1) = 0$

مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه $x = 0$ برابر هستند.

تابع $f$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = 0 \end{array}$

برای درک بهتر، مشتق پذیری تابع را در نقطه $x = 1$ بررسی می‌کنیم.

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} 1) f (1) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} x^{2} [x] = 1 \times (1) = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^{2} [x] = 1 \times (0) = 0$

تابع در نقطه $x = 1$ حد ندارد، بنابراین تابع در این نقطه پیوسته نیست.

شرط اول مشتق پذیری یعنی پیوستگی، برقرار نیست، پس تابع در این نقطه مشتق پذیر هم نیست.

تمرین

مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده روی شکل، تعیین کنید. (شرط پیوستگی بر قرار است)

$f (x) = |x|; x = 0$

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو

محاسبه مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x| - |0|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x)}{x} = 1$

محاسبه مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(- x)}{x} = - 1$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع $f$ در $x = 0$ مشتق‌ پذیر نیست.‌

$f (x) = 2 |x + 1|; x = - 1$

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو

محاسبه مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (- 1) = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 |x + 1| - 0}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 1} = 2$

محاسبه مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (- 1) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 |x + 1| - 0}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 [- (x + 1)]}{x + 1} = - 2$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع $f$ در $x = - 1$ مشتق‌ پذیر نیست.‌

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1; x \leq 0 \\ - x^{2} + 1; x > 0 \end{cases}$

محاسبه مشتق راست:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(- x^{2} + 1) - [{(0)}^{2} + 1]}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{2} + 1 - 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} (- x) = 0 \end{array}$

محاسبه مشتق چپ:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(x^{2} + 1) - [{(0)}^{2} + 1]}{x} = = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + 1 - 1}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (x) = 0 \end{array}$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر هستند، بنابراین تابع $f$ در $x = 0$ مشتق‌ پذیر است.

مشتق تابع $f$ در نقطه $x = 0$ برابر است با:

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = 0 \end{array}$

$f (x) = |1 - x^{2}|; x = \pm 1$

1- بررسی مشتق در نقطه $x = 1$ :

محاسبه مشتق راست:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{|1 - x^{2}| - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- (1 - x^{2})}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} (x + 1) = 2 \end{array}$

محاسبه مشتق چپ:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{|1 - x^{2}| - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{+ (1 - x^{2})}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(1 - x) (1 + x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} [- (1 + x)] = - 2 \end{array}$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع $f$ در $x = 1$ مشتق‌ پذیر نیست.‌

2- بررسی مشتق در نقطه $x = - 1$ :

محاسبه مشتق راست:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (- 1) = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{|1 - x^{2}| - 0}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{+ (1 - x^{2})}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{(1 - x) (1 + x)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{+}} (1 - x) = 2 \end{array}$

محاسبه مشتق چپ:

$\begin{array}{l} f_{-}^{- 1} (- 1) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{|1 - x^{2}| - 0}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- (1 - x^{2})}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} (x - 1) = - 2 \end{array}$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع $f$ در $x = - 1$ مشتق‌ پذیر نیست.‌

$f (x) = - |x| + |x - 1|$

$\begin{array}{l} x = 0 \\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}$

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو

$\begin{matrix} x \leq 0 \Rightarrow y = - (- x) + [- (x - 1)] = x - x + 1 \Rightarrow y = 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 0 < x \leq 1 \Rightarrow y = - (+ x) + [- (x - 1)] = - x - x + 1 = - 2 x + 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} x > 1 \Rightarrow y = - (+ x) + [+ (x - 1)] = - x + x - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{matrix}$

$f (x) = - |x| + |x - 1| = \{\begin{cases} 1; x \leq 0 \\ - 2 x + 1; 0 < x \leq 1 \\ - 1; x > 1 \end{cases}$

1- بررسی مشتق در نقطه $x = 0$ :

محاسبه مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(- 2 x + 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x}{x} = - 2$

محاسبه مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1 - 1}{x} = 0$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع $f$ در $x = 0$ مشتق‌ پذیر نیست.‌

2- بررسی مشتق در نقطه $x = 1$ :

محاسبه مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(- 1) - [- 2 (1) + 1]}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- 1 + 1}{x - 1} = 0$

محاسبه مشتق چپ:

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(- 2 x + 1) - [- 2 (1) + 1]}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(- 2 x + 1) + 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 2 x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 2 (x - 1)}{x - 1} = - 2 \end{array}$

مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع $f$ در $x = 1$ مشتق‌ پذیر نیست.‌

$f (x) = |x| - [|x|]; x = 0$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x| - [|x|]}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x - [x]}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} (1 - \frac{[x]}{x}) = 1 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x| - [|x|]}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x - [- x]}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (- 1 - \frac{[- x]}{x}) = - 1$

$f (x) = [x] + \sqrt{x - [x]}; x \to 1^{-}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{[x] + \sqrt{x - [x]} - 1}{x - 1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \frac{1}{2} \end{array}$

$f (x) = \sqrt{\sin x^{2}}; x = 0$

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\sin x^{2}} - 0}{x} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \{\begin{cases} 1 x \to 0^{+} \\ - 1 x \to 0^{-} \end{cases} \end{array}$

${f^{'}}_{+} (0) = 1, {f^{'}}_{-} (0) = - 1$

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = \{\begin{cases} g (x) \sin \frac{1}{x}; x \neq 0 \\ 0; x = 0 \end{cases}$

اگر داشته باشیم:

$g (0) = g^{'} (0) = 0$

$f^{'} (0)$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x) \sin \frac{1}{x}}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x)}{x} . \sin \frac{1}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{g (x) - g (0)}{x - 0} . \sin \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = g^{'} (0) . \sin \frac{1}{0} \\ = 0. \sin \infty \\ = 0 \end{array}$

تمرین

تابع زیر داده شده است:

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x - 4; x < 0 \\ x^{2}; 0 \leq x \leq 3 \\ x + 6; x > 3 \end{cases}$

نمودار تابع $f$ را رسم کنید.

با توجه به نمودار تابع بگویید که چرا $f' (0)$ و $f' (3)$ وجود ندارد.

بررسی $f' (0)$ :

$f$ در $x = 0$ مشتق پذير نیست زیرا در این نقطه تابع پیوسته نیست و $f' (0)$ وجود ندارد.

بررسی $f' (3)$ :

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x - 4; x < 0 \\ x^{2}; 0 \leq x \leq 3 \\ x + 6; x > 3 \end{cases}〉 f^{'} (x) = \{\begin{cases} 5; x < 0 \\ 2 x; 0 < x < 3 \\ 1; x > 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (3) = 1 \\ {f^{'}}_{-} (3) = 2 (3) = 6 \end{array}〉 {f^{'}}_{+} (3) \neq {f^{'}}_{-} (3) \end{array}$

$f$ در $x = 3$ مشتق پذير نیست زیرا مشتق راست ومشتق چپ با هم برابر نیستند.

ضابطه تابع مشتق را بنویسید.

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x - 4; x < 0 \\ x^{2}; 0 \leq x \leq 3 \\ x + 6; x > 3 \end{cases}〉 f^{'} (x) = \{\begin{cases} 5; x < 0 \\ 2 x; 0 < x < 3 \\ 1; x > 3 \end{cases}$

نمودار تابع $f'$ را رسم کنید.

تذکر

مشتق تابع $y = f (x)$ را نسبت به $x$ علاوه بر نماد $f^{'} (x)$ با نمادهای زیر هم نشان می‌دهند:

اویلر $(1707 - 1783)$ نماد $f (x)$ را برای تابع و $\frac{∆ y}{∆ x}$ را برای مشتق به کار برد.

لایبنیز $(1646 - 1716)$ نماد $\frac{d y}{d x}$ را برای مشتق به کار برد که به صورت های $\frac{d f (x)}{d x}$ یا $\frac{d}{d x} (f (x))$ یا $\frac{d f}{d x} (x)$ نیز نشان داده می‌شود.

لاگرانژ $(1734 - 1813)$ نماد $f^{'}$ را برای مشتق به کار برده است.

قضیه پیوستگی و مشتق پذیری تابع در یک نقطه

قضیه

اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر باشد، آنگاه $f$ در نقطه $x = a$ پیوسته است.

اثبات

روش اول:

تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر است:

$f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوسته است:

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

برای اثبات داریم:

$\begin{array}{l} f (x) = f (a) + f (x) - f (a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = f (a) + (x - a) . \frac{f (x) - f (a)}{(x - a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} [f (a) + (x - a) . \frac{f (x) - f (a)}{(x - a)}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} f (a) + \lim_{x \to a} [(x - a) . \frac{f (x) - f (a)}{(x - a)}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = f (a) + \lim_{x \to a} (x - a) . \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{(x - a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = f (a) + 0 \times f^{'} (a) \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

روش دوم:

پیوستگی یک تابع مانند $f$ در نقطه ای مانند $a$ به معنای آن است که $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

این تساوی معادل با آن است که $\lim_{x \to a} [f (x) - f (a)] = 0$ .

ما می‌توانیم درستی این تساوی را از شرط مشتق پذیری $f$ در $a$ بدست آوریم:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} [f (x) - f (a)] = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} . (x - a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} [f (x) - f (a)] = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} . \lim_{x \to a} (x - a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} [f (x) - f (a)] = f^{'} (a) . (0) \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} [f (x) - f (a)] = 0$

تمرین

بنا به قضيه تقسيم:

اگر $f (x)$ يک چند‌ جمله ای و $a$ عددی حقيقی باشد، چند جمله ای $g (x)$ وجود دارد به‌قسمی كه:

$f (x) = (x - a) g (x) + f (a)$

اگر $f (a)$ باقيمانده $f (x)$ بر $(x - a)$ باشد، مطلوب است:

$\lim_{x \to a} g (x)$

$\begin{array}{l} f (x) = (x - a) g (x) + f (a) \\ \Rightarrow f (x) - f (a) = (x - a) g (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g (x) = \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} g (x) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} g (x) = f^{'} (a) \end{array}$

یادآوری

1- هر تابع پیوسته ای، مشتق پذیر نیست:

پیوستگی تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ شرط لازم برای مشتق پذیری است و در صورتی که حد $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ عددی موجود و متناهی باشد، تابع $y = f (x)$ مشتق پذیر است.

2- هر تابع مشتق پذیری پیوسته است:

اگر $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ متناهی و عددی حقیقی باشد، در این حالت اگر حتی پیوستگی هم ذکر نشود، وجود دارد.

توابع سینوس و کسینوس از انواع این توابع هستند.

این حالت مهم‌ ترین حالت‌ها است، زیرا $f$ مشتق پذیر و همواره یک مماس غیر عمودی بر نمودار در نقطه $a$ وجود دارد و نمودار یک منحنی صاف و هموار است.

تمرین

تابع با ضابطه زیر در نقطه $x = 2$ مشتق پذير است.

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} & x \geq 2 \\ a x + b & x < 2 \end{matrix}$

$a, b$ را بیابید.

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 2$ :

$\begin{array}{l} 1) f (2) = 4 \end{array}$

تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} x^{2} = 4 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a x + b) = 2 a + b$

$3) L_{1} = L_{2} = f (2)$

چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.

چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.

$2 a + b = 4 (Ι)$

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 2$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 4}{x - 2} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (2) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{f (x) - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x}{1} = 4 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (2) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{f (x) - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{(a x + b) - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a x + b - (2 a + b)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a (x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} a = a$

چون تابع در $x = 2$ مشتق پذير است پس مشتق چپ و راست در این نقطه با‌هم برابرند.

$\{\begin{cases} a = 4 \\ 2 a + b = 4 \Rightarrow 2 (4) + b = 4 \Rightarrow b = - 4 \end{cases}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{matrix} (x^{2} - b x) ([x] - 2) & x \geq 3 \\ x^{2} [x] + a & x < 3 \end{matrix}$

به‌ازای چه مقادير $a, b$ تابع در $x = 3$ مشتق پذير است؟

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 3$ :

$\begin{array}{l} 1) f (3) = (3^{2} - 3 b) (3 - 2) = (9 - 3 b) \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 3} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} (x^{2} - b x) ([x] - 2) = (9 - 3 b) (3 - 2) = 9 - 3 b \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} (x^{2} [x] + a) = {(3)}^{2} (2) + a = 18 + a \end{array}$

$3) L_{1} = L_{2} = f (3)$

چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.

چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.

$9 - 3 b = 18 + a \Rightarrow a + 3 b = - 9 (Ι)$

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 2$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (2)}{x - 3} = ? \end{array}$

محاسبه مشتق راست تابع در نقطه $x = 3$ :

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (3) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{+} (3) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x^{2} - b x) ([x] - 2) - (9 - 3 b)}{x - 3}; i f x \to 3^{+} \Rightarrow [x] = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{+} (3) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x^{2} - b x) (3 - 2) - (9 - 3 b)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{+} (3) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x^{2} - b x - 9 + 3 b}{x - 3} = \frac{0}{0} \\ \overset{H}{\to} {f^{'}}_{+} (3) \lim_{x \to 3^{+}} \frac{2 x - b}{1} = 6 - b \end{array}$

محاسبه مشتق چپ تابع در نقطه $x = 3$ :

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{-} (3) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (3) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x^{2} [x] + a - (9 - 3 b)}{x - 3}; i f x \to 3^{-} \Rightarrow [x] = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (3) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2 x^{2} + a - 9 + 3 b}{x - 3}; a + 3 b = - 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (3) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2 x^{2} - 9 - 9}{x - 3} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (3) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2 x^{2} - 18}{x - 3} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} {f^{'}}_{-} (3) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{4 x}{1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (3) = 12 \end{array}$

چون تابع در $x = 3$ مشتق پذير است پس مشتق چپ و راست در این نقطه با‌هم برابرند.

$\begin{array}{l} i f {f^{'}}_{+} (3) = {f^{'}}_{-} (3); 6 - b = 12 (Ι Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} (Ι), (Ι Ι) \Rightarrow \{\begin{cases} a + 3 b = - 9 \\ 6 - b = 12 \end{cases}〉 \{\begin{cases} b = - 6 \\ a = 9 \end{cases} \end{array}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{m^{2}}{|x|} & |x| > c \\ a + b x^{2} & |x| \leq c \end{matrix}$

به‌ازای چه مقاديری از $a, b$ تابع در نقاط $x = |c|$ مشتق پذير است؟

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{m^{2}}{|x|} x > c \lor x < - c \\ a + b x^{2} - c \leq x \leq c \end{cases}$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = c$ :

$\begin{array}{l} 1) f (c) = a + b c^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to c} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to c^{+}} f (x) = \lim_{x \to c^{+}} \frac{m^{2}}{|x|} = \lim_{x \to c^{+}} \frac{m^{2}}{x} = \frac{m^{2}}{c} \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to c^{-}} f (x) = \lim_{x \to c^{-}} (a + b x^{2}) = a + b c^{2} \end{array}$

$3) L_{1} = L_{2} = f (c)$

چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.

چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.

$\frac{m^{2}}{c} = a + b c^{2}$

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = c$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (c) = \lim_{x \to c} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (c) = \lim_{x \to c^{+}} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} = \lim_{x \to c^{+}} \frac{\frac{m^{2}}{|x|} - (a + b c^{2})}{x - c} = \lim_{x \to c^{+}} \frac{\frac{m^{2}}{x} - \frac{m^{2}}{c}}{x - c} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to c^{+}} \frac{- \frac{m^{2}}{x^{2}}}{1} = - \frac{m^{2}}{c^{2}} \end{array}$

${f^{'}}_{-} (c) = \lim_{x \to c^{-}} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} = \lim_{x \to c^{-}} \frac{a + b x^{2} - (a + b c^{2})}{x - c} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to c^{-}} \frac{2 b x}{1} = 2 b c$

چون تابع در $x = c$ مشتق پذير است پس مشتق چپ و راست در این نقطه با‌هم برابرند.

${f^{'}}_{+} (c) = {f^{'}}_{-} (c); \frac{- m^{2}}{c^{2}} = 2 b c \Rightarrow b = - \frac{m^{2}}{2 c^{3}}$

$\begin{array}{l} \frac{m^{2}}{c} = a + b c^{2} \\ \Rightarrow \frac{m^{2}}{c} = a + (- \frac{m^{2}}{2 c^{3}}) c^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = \frac{m^{2}}{c} + \frac{m^{2}}{2 c} \\ \Rightarrow a = \frac{3 m^{2}}{2 c} \end{array}$

تمرین

با چه شرطی، تابع زیر در $x = 1$ مشتق پذير است؟

$f (x) = \{\begin{cases} a [x^{2}] + b x^{2}; x \geq 1 \\ x [x] + 2 b x; x < 1 \end{cases}$

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} 1) f (1) = a + b \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (a [x^{2}] + b x^{2}) = a + b \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x [x] + 2 b x) = 2 b \end{array}$

$3) L_{1} = L_{2} = f (1)$

چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.

چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.

$a + b = 2 b \Rightarrow a = b$

ب) بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه $x = 1$ :

محاسبه مشتق راست تابع در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a [x^{2}] + b x^{2} - (a + b)}{x - 1}; i f a = b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a [x^{2}] + a x^{2} - 2 a}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a + a x^{2} - 2 a}{x - 1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a x^{2} - a}{x - 1} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 a x}{1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{+} (1) = 2 a \end{array}$

محاسبه مشتق چپ تابع در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x [x] + 2 b x - (a + b)}{x - 1}; i f a = b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x [x] + 2 a x - (a + a)}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(1) (0) + 2 a x - 2 a}{x - 1}; i f a = b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 a x - 2 a}{x - 1} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 a}{1} \\ \Rightarrow {f^{'}}_{-} (1) = 2 a \end{array}$

${f_{+}}^{'} (1) = {f_{-}}^{'} (1) = 2 a$

با شرط $a = b$ مشتق چپ و راست در این نقطه با هم برابرند و $f$ در $x = 1$ مشتق پذير است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- تابع با ضابطه $f (x) = [x]$ در نقاط $x \in Z$ حد ندارد، پیوسته نیست و مشتق پذیر نیست.

2- تابع با ضابطه $f (x) = [x]$ در نقاط $x \in R - Z$ حد دارد، پیوسته است و مشتق پذیر بوده و مشتق آن صفر است.

3- تابع با ضابطه $f (x) = x^{n + 1} [x]$ و $n \in N$ در نقطه $x = 0$ مشتق پذیر است.

4- تابع با ضابطه $f (x) = |x - a|$ فقط در $x = a$ مشتق پذیر نیست.

5- تابع با ضابطه $f (x) = {(x - a)}^{n} |x - a|$ و $n \in N$ در $R$ مشتق پذیر است.

6- تابع با ضابطه $f (x) = |(x - a) {(x - b)}^{2} {(x - c)}^{3} \cdot \cdot \cdot|$ فقط در $x = a$ مشتق پذیر نیست.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

به‌ازای هر مقدار حقیقی و ناصفر $a$ ، تابع زیر روی $R$ مشتق پذیر است:

$f (x) = \{\begin{cases} b x + c; x < a \\ \frac{1}{x}; x \geq a \end{cases}$

مقدار $a . c$ کدام است؟

$- 1$
$1$
$- 2$
$2$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مشتق پذیری در یک نقطه

24,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مشتق

مشتق پذیری در یک نقطه

تعریف مشتق

مشتق راست و مشتق چپ

قضیه پیوستگی و مشتق پذیری تابع در یک نقطه

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟