اوضاع نسبی خط و دایره

آخرین ویرایش: 15 دی 1402
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

اگر خط D و نقطه A غیر واقع بر D داده شده باشد و نقطه H پای عمودی باشد که از A به D رسم می‌شود.

اندازه پاره خط AH همان فاصله نقطه A از خط D است که کوتاه‌ترین فاصله محسوب می‌شود و فاصله نقطه A از نقاط دیگرِ خط D بزرگ‌تر است.

AB>AH

 

حالت اول

خط D، دایره C را در دو نقطه A و B قطع می‌کند که در این‌صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع کوچک‌تر است:  

d<R    ;    C∩D=A,B

در حالتی که خط و دایره، دو نقطه مشترک A و B داشته باشند، خط و دایره را متقاطع می‌نامیم و در این حالت خط را نسبت به دایره، قاطع می‌گوییم.

حالت دوم

خط D بر دایره C در نقطه A مماس است، که در این صورت فاصله خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است:

d=R    ;    C∩D=A

قضیه

یک خط و یک دایره بر هم مماس هستند اگر این خط در نقطه تماس با دایره بر شعاع آن نقطه عمود باشد.

اثبات

خط D بر دایره C در نقطه A مماس است. می‌خواهیم ثابت کنیم OA بر D عمود است. 

فرض کنیم OA بر D عمود نباشد.  

عمودOB را بر D رسم می‌کنیم، خواهیم داشت: 

OB>ROA=R  OB>OA

اما می‌دانیم کوتاه‌ترین فاصله بین یک نقطه و یک خط، پاره‌خطی است که از نقطه به خط عمود شود‌، پس رابطه  OB>OA درست نیست.

این نتیجه غلط از آنجا ناشی شد که فرض کردیم OA بر D عمود نیست. لذا OA بر D عمود است.    

نکته

1- در حالتی که خط و دایره تنها در یک نقطه مشترک باشند، اصطلاحا گفته می‌شود خط بر دایره مماس است.

2- فاصله نقطه مشترک A تا مرکز O با شعاع مساوی است و فاصله بقیه نقاط خط تا مرکز دایره از شعاع بیش‌تر است. 

تمرین

در شکل زیر AB بر دایره مماس است:

 

در شکل فوق AB=OB اندازه زاویه C را حساب کنید.

OC=OB⇒B^1=C^AB=OB⇒O^1=A^O^1=B^1+C^=C^+C^=2C^


OB⊥AB⇒O^1+A^=90∘⇒2C^+2C^=90∘⇒C=22.5∘

حالت سوم

خط D خارج از دایره C است که در این‌صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر است:

d>R    ;    C∩D==∅

تمرین

خطوط D3,D2,D1 به‌ترتیب به‌فاصله 7,5,3 سانتی‌متری مرکز دایره‌ای به‌شعاع 5 سانتی‌متر واقعند، وضعیت این سه خط نسبت به دایره چگونه است؟ 

فاصله خط D1 تا مرکز دایره از شعاع کوچک‌تر است، لذا خط D1 دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.


فاصله خط D2 تا مرکز دایره با شعاع مساوی است، لذا خط D2 بر دایره مماس است.


فاصله خط D3 تا مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر است، لذا خط D3 خارج از دایره است. 

خط D و نقطه A به‌فاصله 1/5 سانتی‌متر از آن مفروضند، نقاطی از خط D را پیدا کنید که فاصله آنها تا نقطه A برابر 2 سانتی‌متر باشند. 

به‌مرکز A و به‌شعاع 2 سانتی‌متر دایره‌ای رسم می‌کنیم، این دایره  خط را در دو نقطه M و N قطع می‌کند، این دو نقطه جواب مساله است.


   

شعاع دایره‌ای 10 سانتی‌متر و فاصله یک خط تا مرکز این دایره 7 سانتی‌متر است، خط و دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟


چون فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع کوچک‌تر است، بنابراین خط، دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.

خط D به‌فاصله 5 سانتی‌متر از مرکز دایره‌ای به‌شعاع 2 سانتی‌متر قرار دارد، معین کنید خط و دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟


فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر است، بنابراین خط خارج دایره است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید