سرفصل‌های این مبحث

دایره

اوضاع نسبی خط و دایره

آخرین ویرایش: 15 دی 1402

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

اگر خط $D$ و نقطه $A$ غیر واقع بر $D$ داده شده باشد و نقطه $H$ پای عمودی باشد که از $A$ به $D$ رسم می‌شود.

اندازه پاره خط $A H$ همان فاصله نقطه $A$ از خط $D$ است که کوتاه‌ترین فاصله محسوب می‌شود و فاصله نقطه $A$ از نقاط دیگرِ خط $D$ بزرگ‌تر است.

$A B > A H$

حالت اول

خط $D$ ، دایره $C$ را در دو نقطه $A$ و $B$ قطع می‌کند که در این‌صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع کوچک‌تر است:

$d < R; C \cap D = \{A, B\}$

در حالتی که خط و دایره، دو نقطه مشترک $A$ و $B$ داشته باشند، خط و دایره را متقاطع می‌نامیم و در این حالت خط را نسبت به دایره، قاطع می‌گوییم.

حالت دوم

خط $D$ بر دایره $C$ در نقطه $A$ مماس است، که در این صورت فاصله خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است:

$d = R; C \cap D = \{A\}$

قضیه

یک خط و یک دایره بر هم مماس هستند اگر این خط در نقطه تماس با دایره بر شعاع آن نقطه عمود باشد.

اثبات

خط $D$ بر دایره $C$ در نقطه $A$ مماس است. می‌خواهیم ثابت کنیم $O A$ بر $D$ عمود است.

فرض کنیم $O A$ بر $D$ عمود نباشد.

عمود $O B$ را بر $D$ رسم می‌کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{cases} O B > R \\ O A = R \end{cases}〉 O B > O A$

اما می‌دانیم کوتاه‌ترین فاصله بین یک نقطه و یک خط، پاره‌خطی است که از نقطه به خط عمود شود‌، پس رابطه $O B > O A$ درست نیست.

این نتیجه غلط از آنجا ناشی شد که فرض کردیم $O A$ بر $D$ عمود نیست. لذا $O A$ بر $D$ عمود است.

نکته

1- در حالتی که خط و دایره تنها در یک نقطه مشترک باشند، اصطلاحا گفته می‌شود خط بر دایره مماس است.

2- فاصله نقطه مشترک $A$ تا مرکز $O$ با شعاع مساوی است و فاصله بقیه نقاط خط تا مرکز دایره از شعاع بیش‌تر است.

تمرین

در شکل زیر $A B$ بر دایره مماس است:

در شکل فوق $A B = O B$ اندازه زاویه $C$ را حساب کنید.

$\begin{array}{l} O C = O B \Rightarrow {\hat{B}}_{1} = \hat{C} \\ A B = O B \Rightarrow {\hat{O}}_{1} = \hat{A} \\ {\hat{O}}_{1} = {\hat{B}}_{1} + \hat{C} = \hat{C} + \hat{C} = 2 \hat{C} \end{array}$

$O B ⊥ A B \Rightarrow {\hat{O}}_{1} + \hat{A} = 90^{\circ} \Rightarrow 2 \hat{C} + 2 \hat{C} = 90^{\circ} \Rightarrow C = {22.5}^{\circ}$

حالت سوم

خط $D$ خارج از دایره $C$ است که در این‌صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر است:

$d > R; C \cap D = \{\} = \emptyset$

تمرین

خطوط $D_{3}, D_{2}, D_{1}$ به‌ترتیب به‌فاصله $7, 5, 3$ سانتی‌متری مرکز دایره‌ای به‌شعاع $5$ سانتی‌متر واقعند، وضعیت این سه خط نسبت به دایره چگونه است؟

فاصله خط $D_{1}$ تا مرکز دایره از شعاع کوچک‌تر است، لذا خط $D_{1}$ دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.

فاصله خط $D_{2}$ تا مرکز دایره با شعاع مساوی است، لذا خط $D_{2}$ بر دایره مماس است.

فاصله خط $D_{3}$ تا مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر است، لذا خط $D_{3}$ خارج از دایره است.

خط $D$ و نقطه $A$ به‌فاصله $1 / 5$ سانتی‌متر از آن مفروضند، نقاطی از خط $D$ را پیدا کنید که فاصله آنها تا نقطه $A$ برابر $2$ سانتی‌متر باشند.

به‌مرکز $A$ و به‌شعاع $2$ سانتی‌متر دایره‌ای رسم می‌کنیم، این دایره خط را در دو نقطه $M$ و $N$ قطع می‌کند، این دو نقطه جواب مساله است.

شعاع دایره‌ای $10$ سانتی‌متر و فاصله یک خط تا مرکز این دایره $7$ سانتی‌متر است، خط و دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

چون فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع کوچک‌تر است، بنابراین خط، دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.

خط $D$ به‌فاصله $5$ سانتی‌متر از مرکز دایره‌ای به‌شعاع $2$ سانتی‌متر قرار دارد، معین کنید خط و دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر است، بنابراین خط خارج دایره است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

اوضاع نسبی خط و دایره

مقدمه

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟