سرفصل‌های این مبحث

دایره

مفهوم دایره

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف دایره

دایره مجموعه نقاطی از یک صفحه است که فاصله آن نقاط از نقطه‌ای ثابت به نام مرکز، به‌یک اندازه ثابت باشد.

این اندازه ثابت را شعاع می‌نامیم.

دایره $C$ به‌مرکز $O$ و به‌شعاع $r$ را با نماد $C (O, r)$ نشان می‌دهیم.

تعریف کمان در دایره

کمان قسمتی از یک دایره است که بین دو نقطه محدود باشد.

اگر دو نقطه $A$ و $B$ را روی یک دایره اختیار کنیم ، دو کمان پدید می‌آید.

کمان کوچک‌تر را به‌صورت $\overset{⏜}{A B}$ و کمان بزرگ‌تر را به‌صورت $\overset{⏜}{A M B}$ می‌خوانیم.

تعریف وتر و قطر دایره

وتر، پاره‌خطی است که دو سر کمان را به‌هم وصل می‌کند.

هر دایره، تعداد بی‌شماری وتر دارد.

قطر، وتری است که از مرکز دایره می‌گذرد.

قضایای دایره

قضیه

دو وتری که از دو سر یک قطر به موازات یک‌دیگر رسم شوند، مساوی یک‌دیگرند.

اثبات

$\{\begin{cases} A C ||B D \\ A B (m o v a r a b) \end{cases}〉 \hat{A} = \hat{B} \Rightarrow \overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{A D}$

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{A C B} = \overset{⏜}{B D A} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overset{⏜}{A C B} - \overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{B D A} - \overset{⏜}{B C}; \overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{A D} \end{array}$

$\Rightarrow \overset{⏜}{A C B} - \overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{B D A} - \overset{⏜}{A D}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D} \\ \Rightarrow A C = B D \end{array}$

قضیه

در هر دایره، وترهای مساوی از مرکز دایره به‌یک فاصله‌اند.

اثبات

فرض آن‌است که:

$A B = C D$

می‌خواهیم ثابت کنیم (حکم):

$O H = O H^{'}$

نقاط $B$ و $D$ را به‌مرکز دایره وصل می‌کنیم:

$\{\begin{cases} A B = C D \Rightarrow \frac{A B}{2} = \frac{C D}{2} \Rightarrow H B = H^{'} D \\ O B = O D \\ \hat{H} = {\hat{H}}^{'} = 90^{\circ} \end{cases}$

$O \overset{△}{H} B = O \overset{△}{H^{'}} D \Rightarrow O H = O H^{'}$

قضیه

در هر دایره، وترهایی که از مرکز به‌یک فاصله‌اند، مساویند.

اثبات

فرض آن‌است که:

$O H = O H^{'}$

می‌خواهیم ثابت کنیم (حکم):

$A B = C D$

$\{\begin{cases} O B = O D \\ O H = O H^{'} \\ \hat{H} = {\hat{H}}^{'} = 90^{\circ} \end{cases}$

$\begin{matrix} O \overset{△}{H} B = O \overset{△}{H^{'} D} \\ \Rightarrow H B = H^{'} D \\ \Rightarrow 2 H B = 2 H^{'} D \\ \Rightarrow A B = C D \end{matrix}$

قضیه

در دایره $C (O, R)$ نشان دهید $A B > C D$ اگر و تنها اگر $O H < O H^{'}$ .

اثبات

دایره - پیمان گردلو

$O H$ و $O H^{'}$ فاصله $O$ از دو وتر $A B$ و $C D$ است.

فرض آن‌است که:

$A B > C D$

می‌خواهیم ثابت کنیم (حکم):

$O H < O H^{'}$

$\begin{array}{l} O B = O C = R, B H = \frac{A B}{2}, C H^{'} = \frac{C D}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} △ O B H : H = 90; B H^{2} = R^{2} - O H^{2} \end{array}$

$△ O C H^{'} : H^{'} = 90; C {H^{'}}^{2} = R^{2} - O {H^{'}}^{2}$

$\begin{array}{l} A B > C D \\ \Rightarrow \frac{A B}{2} > \frac{C D}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H > C H^{'} \\ \Rightarrow B H^{2} > C {H^{'}}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R^{2} - O H^{2} > R^{2} - O {H^{'}}^{2} \\ \Rightarrow - O H^{2} > - O {H^{'}}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O H^{2} < O {H^{'}}^{2} \\ \Rightarrow O H < O H^{'} \end{array}$

فرض آن‌است که:

$O H < O H^{'}$

می‌خواهیم ثابت کنیم (حکم):

$A B > C D$

$\begin{array}{l} O B = O C = R, 2 B H = A B, 2 C H^{'} = C D \end{array}$

$\begin{array}{l} △ O B H : H = 90; O H^{2} = R^{2} - B H^{2} \end{array}$

$△ O C H^{'} : H^{'} = 90; O {H^{'}}^{2} = R^{2} - C {H^{'}}^{2}$

$\begin{array}{l} O H < O H^{'} \\ \Rightarrow O H^{2} < O {H^{'}}^{2} \\ \Rightarrow R^{2} - B H^{2} < R^{2} - C {H^{'}}^{2} \\ \Rightarrow - B H^{2} < - C {H^{'}}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H^{2} > C {H^{'}}^{2} \\ \Rightarrow B H > C H^{'} \\ \Rightarrow 2 B H > 2 C H^{'} \\ \Rightarrow A B > C D \end{array}$

نکته

1- در هر دایره اگر دو وتر مساوی باشند، کمان‌های نظیرشان با هم مساوی است و بالعکس.

$A B = C D \Leftrightarrow \overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$

2- در هر دایره وتری که به مرکز دایره نزدیک‌تر باشد، بزرگ‌تر است.

3- هر دو وتری که از مرکز دایره به‌یک فاصله باشند، مساویند.

4- هر دو وتری که مساوی باشند، از مرکز دایره به‌یک فاصله‌اند.

5- اگر قطری از یک دایره بر وتری از آن عمود شود، آن وتر و کمان‌های نظیرش را نصف می‌کند.

6- اگر قطری از یک دایره به وسط کمانی از آن دایره وصل شود، بر وتر نظیر آن کمان عمود است و آن‌را نصف می‌کند.

7- کمان‌های محصور بین دو وتر موازی، مساویند و بالعکس.

8- دو وتر مساوی که از دو سر یک قطر می‌گذرند، موازیند.

9- دو وتر موازی که از دو سر یک قطر می‌گذرند، مساویند.

تمرین

از سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست چند دایره می گذرد؟

از سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست $A, B, M$ فقط یک دایره می‌گذرد که مرکز آن محل تلاقی عمود منصف‌های پاره خط‌هایی است که سه نقطه را به‌هم وصل می‌کند.

از سه نقطه واقع بر یک خط راست چند دایره می گذرد؟

اگر سه نقطه بر یک خط راست قرار گیرند، عمود‌منصف‌های پاره‌خط‌های واصل بین آن نقاط موازی یک‌دیگرند و نقطه تلاقی ندارند، بنابراین از سه نقطه واقع بر یک خط راست، دایره‌ای نمی‌گذرد.

دایره - پیمان گردلو

آیا از چهار نقطه که سه‌تای آنها بر یک خط راست قرار دارند، می‌توان دایره‌ای گذران؟ چرا؟

خیر. زیرا هیچ نقطه‌ای وجود ندارد که از سه نقطه واقع بر خط راست به‌یک فاصله باشد تا آن‌را به‌عنوان مرکز دایره اختیار کنیم.

یادآوری

در ادامه به روابط زیر در دایره می‌پردازیم:

دایره - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

مفهوم دایره

تعریف دایره

تعریف کمان در دایره

تعریف وتر و قطر دایره

قضایای دایره

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟