سرفصل‌های این مبحث

دایره

اوضاع نسبی دو ‌دایره

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

حالت اول

دو دایره، دو نقطه مشترک دارند:

دو دایره را که در دو نقطه مشترک داشته باشند، متقاطع می‌نامیم.

در این‌صورت طول پاره‌خطی که دو مرکز را به‌هم وصل می‌کند (خط المرکزین) از مجموع دو شعاع کوچک‌تر و از تفاضل دو شعاع بزرگ‌تر است.

$|R - R^{'}| < O O^{'} < R + R^{'}; C \cap C^{'} = \{A, B\}$

در مثلث $A O O^{'}$ داریم:

$\begin{array}{l} O O^{'} < R + R^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} R^{'} < O O^{'} + R \Rightarrow - O O^{'} < R - R^{'} \\ R < O O^{'} + R^{'} \Rightarrow R - R^{'} < O O^{'} \end{cases}〉 - O O^{'} < R - R^{'} < O O^{'} \Rightarrow |R - R^{'}| < O O^{'} \end{array}$

$|R - R^{'}| < O O^{'} < R + R^{'}$

نکته

1- دو دایره متقاطع، فقط دو مماس مشترک دارد.

2- پاره‌خط $A$ و $B$ که دو سر آن روی هر دو دایره است، وتر مشترک دو دایره متقاطع نامیده می‌شود.

$\{\begin{cases} O A = O B = R \\ O^{'} A = O^{'} B = R^{'} \end{cases}$

با توجه به خاصیت عمودمنصف، نقاط $O$ و $O^{'}$ روی عمودمنصف $A B$ قرار دارد.

چون عمود منصف هر پاره‌خط منحصر به‌فرد است، در نتیجه پاره‌خط $O O^{'}$ عمودمنصف ِ وتر مشترک $A B$ است.

تمرین

شعاع‌های دو دایره $3$ و $7$ سانتی‌متر و طول خط‌المرکزین $5$ سانتی‌متر است، دو دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

$\{\begin{cases} O O^{'} = 5 \\ R = 7 \\ R^{'} = 3 \end{cases}$

$\begin{matrix} 7 - 3 < 5 < 7 + 3 \Rightarrow R - R^{'} < O O^{'} < R + R^{'} \end{matrix}$

دو دایره متقاطع هستند.

دو نقطه $A$ و $B$ به فاصله $4$ سانتی‌متر در یک صفحه قرار دارند، نقاطی را تعیین کنید که فاصله آنها از $A$ برابر $2$ سانتی‌متر و از $B$ برابر $3$ سانتی‌متر باشند.

به‌مرکز $A$ و به‌شعاع $2$ سانتی‌متر و هم‌چنین به‌مرکز $B$ و به‌شعاع $3$ سانتی‌متر دو دایره رسم می‌کنیم.

چون طول خط‌المرکزین از جمع دو شعاع کوچک‌تر و از تفاضل دو شعاع بزرگ‌تر است دو دایره هم‌دیگر را در دو نقطه $M$ و $N$ قطع می‌کنند، این دو نقطه جواب مساله هستند.

چرا دو دایره متقاطع نمی‌توانند سه نقطه مشترک داشته باشند؟

با توجه به این‌که از سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست فقط یک دایره می‌گذرد، می‌توان گفت اگر دو دایره در سه نقطه مشترک باشند در واقع بر هم منطبقند.

دو دایره در دو نقطه $A$ و $B$ متقاطعند، دو خط موازی از نقاط $A$ و $B$ رسم می‌کنیم تا به‌ترتیب دایره اول را در $C$ و $E$ و دایره دوم را در $D$ و $F$ قطع کنند، ثابت کنید: $C E = D F$

از $A$ به $B$ وصل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} A C ||E B \Rightarrow \overset{⏜}{C E} = \overset{⏜}{A M B} \Rightarrow C E = A B \end{array}$

$\begin{array}{l} A D ||B F \Rightarrow \overset{⏜}{D F} = \overset{⏜}{A N B} \Rightarrow D F = A B \end{array}$

$\begin{matrix} C E = D F \end{matrix}$

از دو نقطه واقع در یک صفحه چند دایره می‌گذرد؟ مکان مرکزهای این دوایر چیست؟

از دو نقطه، تعداد بی‌شماری دایره می‌گذرد که مراکز این دوایر بر عمودمنصف پاره‌خط واصل بین آن دو نقطه قرار می‌گیرند.

حالت دوم

دو دایره فقط یک نقطه مشترک دارند (مماس بیرونی):

در این‌صورت طول خط‌المرکزین با مجموع دو شعاع برابر است:

$O O^{'} = R + R^{'}; C \cap C^{'} = \{A\}$

نکته

در نقطه مشترک دو دایره، یک خط بر هر دو دایره مماس است.

قضیه

طولِ مماس مشترک خارجی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$T T^{'} = 2 \sqrt{R R^{'}}$

اثبات

$O O^{'} = d$

$\begin{array}{l} T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(R - R^{'})}^{2}} \\ \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{{(R + R^{'})}^{2} - {(R - R^{'})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{(R^{2} + 2 R R^{'} + {R^{'}}^{2}) - (R^{2} - 2 R R^{'} + {R^{'}}^{2})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{4 R R^{'}} \\ \Rightarrow T T^{'} = 2 \sqrt{R R^{'}} \end{array}$

تمرین

دو نقطه $A$ و $B$ به‌فاصله $4$ سانتی‌متر در یک صفحه قرار دارند. نقاطی را پیدا کنید که فاصله آنها از $A$ برابر $1 / 5$ سانتی‌متر و از $B$ برابر $2 / 5$ سانتی‌متر باشند.

به‌مرکز $A$ و به‌شعاع $1 / 5$ سانتی‌متر و هم‌چنین به‌مرکز $B$ و به‌شعاع $2 / 5$ سانتی‌متر دو دایره رسم می‌کنیم.

چون فاصله دو مرکز با جمع دو شعاع مساوی است، پس دو دایره در یک نقطه بر هم مماس می‌شوند، که نقطه تماس جواب مساله است.

دو دایره مساوی در نقطه $M$ مماس خارجند و $A B$ و $C D$ دو قطر موازی از این دو دایره‌اند، ثابت کنید چهار ضلعی $A B C D$ لوزی است.

چون دو دایره مساویند، پس قطرهای آنها نیز مساوی است، پس دو قطر $A B$ و $C D$ هم موازی و هم مساویند، لذا می‌توان گفت چهار ضلعی $A B C D$ متوازی‌الاضلاع است.

به‌همین ترتیب می‌توان گفت چهار ضلعی $A O O^{'} D$ نیز متوازی‌الاضلاع است، بنابراین:

$\{\begin{cases} O O^{'} = A D = 2 R \\ A B = 2 R \end{cases}〉 A D = A B$

پس چهار ضلعی $A B C D$ لوزی است.

تمرین

سه دایره به شعاع‌های برابر $r$ دو‌به‌دو بر هم مماس هستند.

مطابق شکل، این سه دایره به‌وسیله نخی بسته شده‌اند.

نشان دهید طول این نخ برابر است با: $6 r + 2 π r$

طول نخ برابر است با:

محیط یک دایره $2 r + 2 r + 2 r +$

$= 6 r + 2 π r$

نشان دهید مساحت ناحیه محدود به سه دایره، برابر $r^{2} (\sqrt{3} - \frac{π}{2})$ است.

مجموع سه قطاع با زوایای مرکزی $C, B, A$ تشکیل یک نیم دایره می‌دهند:

مساحت ناحیه هاشور خورده برابر است با تفاضل مساحت مثلث $A B C$ و مساحت نیم دایره:

$\frac{\sqrt{3}}{4} {(2 r)}^{2} - \frac{π r^{2}}{2} = r^{2} (\sqrt{3} - \frac{π}{2})$

حالت سوم

دو دایره فقط یک نقطه مشترک دارند (مماس داخلی):

در این‌صورت طول خط‌المرکزین با تفاضل دو شعاع مساوی است:

$O O^{'} = |R - R^{'}|; C \cap C^{'} = \{A\}$

تمرین

طول خط‌المرکزین دو دایره مماس درونی $2$ سانتی‌متر و مساحت ناحیه محدو بین آنها $16 π$ سانتی‌متر مربع است. طول شعاع‌های دو دایره را به‌دست آورید.

مساحت محدود بین دو دایره:

$S_{C} - S_{C^{'}} = 16 π$

$\begin{array}{l} O O^{'} = 2 C M \\ O A = R, O^{'} A = R^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{C} - S_{C^{'}} = 16 π \\ \Rightarrow π R^{2} - π {R^{'}}^{2} = 16 π \\ \Rightarrow R^{2} - {R^{'}}^{2} = 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (R - R^{'}) (R + R^{'}) = 16; O O^{'} = R - R^{'} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (R + R^{'}) = 16 \\ \Rightarrow R + R^{'} = 8 \end{array}$

$\{\begin{array}{l} R + R^{'} = 8 \\ R - R^{'} = 2 \end{array}〉 \{\begin{cases} R = 5 \\ R^{'} = 3 \end{cases}$

شعاع‌های دو دایره $3$ و $7$ سانتی‌متر و طول خط‌المرکزین $4$ سانتی‌متر است، دو دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

$\{\begin{cases} O O^{'} = 4 \\ R = 7 \\ R^{'} = 3 \end{cases}$

$\begin{matrix} 4 = 7 - 3 \Rightarrow O O^{'} = R - R^{'} \end{matrix}$

با توجه به این‌که طول خط‌المرکزین با تفاضل دو شعاع مساوی است، بنابراین دو دایره مماس داخلند.

حالت چهارم

دو دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند (متخارج):

در این‌صورت طول خط‌المرکزین از مجموع دو شعاع بزرگ‌تر است.

$O O^{'} > R + R^{'}; C \cap C^{'} = \emptyset$

نکته

هر خطی یا پاره خطی که بر هر دو دایره مماس باشد، مماس مشترک دو دایره است.

اگر دو دایره در یک طرفِ خط باشند، آن را مماس مشترک خارجی گویند.

اگر دو دایره در دو طرفِ خط باشند، آن را مماس مشترک داخلی گویند.

قضیه

در شکل زیر چهارضلعی $T T^{'} O^{'} H$ مستطیل است.

اثبات

$O T ⊥ m, O^{'} T^{'} ⊥ m, O^{'} H ∥ m$

طبق قضیه خطوط موازی داریم:

$\{\begin{cases} \overset{\land}{T} = \overset{\land}{H} = 90 ° \\ \overset{\land}{T^{'}} = \overset{\land}{O^{'}} = 90 ° \end{cases}$

بنابراین چهار ضلعی $T T^{'} O^{'} H$ چهار زاویه قائمه دارد و مستطیل است.

قضیه

طولِ مماس مشترک خارجی در شکل زیر برابر است:

$T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(O T - O^{'} T^{'})}^{2}}$

اثبات

$\begin{array}{l} O O^{'} = d, O T = R, O^{'} T^{'} = R^{'}, O^{'} H = T T^{'} \end{array}$

$△ O O^{'} H : \overset{\land}{H} = 90 °$

$\begin{array}{l} O^{'} H^{2} + O H^{2} = O {O^{'}}^{2} \\ \Rightarrow O^{'} H^{2} = O {O^{'}}^{2} - O H^{2} \\ \Rightarrow O^{'} H = \sqrt{O {O^{'}}^{2} - O H^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{O {O^{'}}^{2} - O H^{2}} \\ \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(O T - H T)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(O T - O^{'} T^{'})}^{2}} \\ \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(R - R^{'})}^{2}} \end{array}$

قضیه

طولِ مماس مشترک داخلی در شکل زیر برابر است:

$T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(R + R^{'})}^{2}}$

اثبات

در مستطیل $T H O^{'} T^{'}$ داریم:

$\{\begin{cases} T H = O^{'} T^{'} = R^{'} \\ T T^{'} = O^{'} H \end{cases}$

$\begin{array}{l} O H = R + T H = R + R^{'} \\ △ O O^{'} H : \overset{\land}{H} = 90 ° \end{array}$

$\begin{array}{l} O^{'} H^{2} + O H^{2} = O {O^{'}}^{2} \\ \Rightarrow O^{'} H^{2} = O {O^{'}}^{2} - O H^{2} \\ \Rightarrow O^{'} H = \sqrt{O {O^{'}}^{2} - O H^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{O {O^{'}}^{2} - O H^{2}} \\ \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(O T + T H)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(O T + O^{'} T^{'})}^{2}} \\ \Rightarrow T T^{'} = \sqrt{d^{2} - {(R + R^{'})}^{2}} \end{array}$

نکته

1- اگر دو مماس مشترک $m$ و $n$ متقاطع باشند، نقطه تقاطع آنها یعنی $M$ روی خط $O O^{'}$ خواهد بود.

فرض کنیم دو مماس مشترک $m$ و $n$ در نقطه $M$ هم‌دیگر را قطع کنند.

$O M$ نیمساز زاویه $M$ و $O^{'} M$ نیمساز زاویه $M$ فقط یک نیمساز دارد، در نتیجه $O M$ و $O^{'} M$ بر هم منطبق هستند و نقطه نقاطع دو مماس $m$ و $n$ روی خط $O O^{'}$ قرار دارد.

2- اگر به‌مرکز $O$ و به شعاع $R - R^{'}$ دایره‌ای رسم کنیم، پاره‌خط $O^{'} H$ برای دایره رسم شده، مماس است.

$R - R^{'} = O T - O^{'} T^{'} = O T - H T = O H$

دایره‌ای به‌مرکز $O$ و به شعاع $R - R^{'} = O H$ رسم می‌کنیم. طبق شکل فوق، پاره خط $O^{'} H$ بر این دایره مماس است.

تمرین

دو نقطه $A$ و $B$ به‌فاصله $4$ سانتی‌متر در یک صفحه قرار دارند، نقاطی را پیدا کنید که فاصله آنها از $A$ برابر $1 / 5$ و از $B$ برابر $2$ سانتی‌متر باشند.

دو دایره به مراکز $A$ و $B$ به شعاع‌های $1 / 5$ و $2$ سانتی‌متر رسم می‌کنیم.

با توجه به این‌که فاصله دو مرکز از جمع دو شعاع بزرگ‌تر است، دو دایره یکدیگر را قطع نمی‌کنند، بنابراین نقطه‌ای وجود ندارد که فاصله آن از $A$ برابر $1 / 5$ و از $B$ برابر $2$ سانتی‌متر باشند.

فرض کنید دو دایره داده شده باشد، چگونه مماس مشترک دو دایره را رسم می‌کنیم؟

از آنجا که مرکزها و شعاع دو دایره معلوم است، داریم:

اگر به‌مرکز $O$ و به شعاع $R - R^{'}$ دایره‌ای رسم کنیم، پاره خط $O^{'} H$ برای دایره رسم شده، مماس است.

از نقطه $O$ به $H$ وصل می‌کنیم و امتداد می‌دهیم تا دایره $C$ را در نقطه $T$ قطع کند.

از این نقطه خطی موازی $O^{'} H$ رسم می‌کنیم. این خط در نقطه $T^{'}$ بر دایره $C^{'}$ مماس است.

طول شعاع‌های دو دایره متخارج را به‌دست آورید که طول مماس مشترک خارجی آنها مساوی $3 \sqrt{7}$ و طول مماس مشترک داخلی آنها $\sqrt{15}$ و طول خط‌المرکزین آنها مساوی $8$ واحد است.

بر اساس فرمول‌های مماس مشترک داخلی و خارجی داریم:

$\begin{array}{l} T_{1} {T_{2}}^{2} = d^{2} - {(R - R^{'})}^{2} \Rightarrow {(3 \sqrt{7})}^{2} = {(8)}^{2} - {(R - R^{'})}^{2} \Rightarrow 63 = 64 - {(R - R^{'})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {T_{1}}^{'} T_{2} {^{'}}^{2} = d^{2} - {(R + R^{'})}^{2} \Rightarrow {(\sqrt{15})}^{2} = {(8)}^{2} - {(R + R^{'})}^{2} \Rightarrow 15 = 64 - {(R + R^{'})}^{2} \end{array}$

$\{\begin{cases} 63 = 64 - {(R - R^{'})}^{2} \\ 15 = 64 - {(R + R^{'})}^{2} \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} {(R - R^{'})}^{2} = 1 \Rightarrow R - R^{'} = 1 \\ {(R + R^{'})}^{2} = 49 \Rightarrow R + R^{'} = 7 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} R = 4 \\ R^{'} = 3 \end{cases} \end{matrix}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

مقدار $r_{c}, r_{b}, r_{a}$ را بیابید.

$\begin{array}{l} S_{A B C} = S_{O A C} + S_{O A B} - S_{O B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} r_{a} b + \frac{1}{2} r_{a} c - \frac{1}{2} r_{a} a \Rightarrow S = \frac{1}{2} r_{a} (b + c - a) \end{array}$

$2 p - 2 a = (a + b + c) - 2 a = b + c - a$

$S = \frac{1}{2} r_{a} (2 p - 2 a) \Rightarrow S = r_{a} (p - a) \Rightarrow r_{a} = \frac{S}{p - a}$

به‌طور مشابه برای اضلاع دیگر داریم:

$r_{b} = \frac{S}{p - b}, r_{c} = \frac{S}{p - c}$

حالت پنجم

دو دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند (متداخل ):

در این‌صورت طول خط‌المرکزین از تفاضل دو شعاع کوچک‌تر است:

$O O^{'} < R - R^{'}; C \cap C^{'} = \emptyset$

یادآوری

دایره - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

اوضاع نسبی دو ‌دایره

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

حالت پنجم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟