سرفصل‌های این مبحث

اتحادهای جبری

تعریف اتحاد

آخرین ویرایش: 23 آذر 1402

دسته‌بندی: اتحادهای جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

به‌نظر شما دو تساوی زیر، چه تفاوت هایی باهم دارند؟

$10 (y + 1) = 10$

$10 (y + 1) = 10 y + 10$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تساوی اول فقط به‌ازای $y = 0$ برقرار است اما تساوی دوم به‌ازای هر مقداری برای $y$ برقرار است.

تعریف

اتحادها، تساوی‌هایی جبری هستند كه به‌ازای هر مقدار عددی كه به‌جای متغیرهایشان قرار دهیم، همواره برقرار باشند.

تذکر

تفاوت اتحاد و معادله جبری در این است كه اتحاد به‌ازای تمام مقادیر برقرار است و معادله به‌ازای تعداد محدودی عدد حقیقی برقرار است.

تمرین

در تساوی های زیر، اتحادها را مشخص کنید.

$x (x - 1) = x^{2} - x$

$\begin{array}{l} i f x = - 2; (- 2) (- 2 - 1) \overset{?}{=} {(- 2)}^{2} - (- 2); 6 = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = - 1; (- 1) (- 1 - 1) \overset{?}{=} {(- 1)}^{2} - (- 1); 2 = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 0; (0) (0 - 1) \overset{?}{=} {(0)}^{2} - (0); 0 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1; (1) (1 - 1) \overset{?}{=} {(1)}^{2} - (1); 0 = 0 \\ ⋮ \end{array}$

تساوی فوق به ازای هر مقدار $x$ برقرار است لذا یک اتحاد است.

$x^{2} + 1 = 2 x$

$\begin{array}{l} i f x = - 2; {(- 2)}^{2} + 1 \overset{?}{=} 2 (- 2); 5 \neq - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = - 1; {(- 1)}^{2} + 1 \overset{?}{=} 2 (- 1); 2 \neq - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 0; {(0)}^{2} + 1 \overset{?}{=} 2 (0); 1 \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1; {(1)}^{2} + 1 \overset{?}{=} 2 (1); 2 = 2 \\ ⋮ \end{array}$

تساوی فوق فقط به ازای $x = 1$ برقرار است، بنابراین اتحاد نیست.

$x + x = 2 x$

تساوی فوق به ازای هر مقدار $x$ برقرار است لذا یک اتحاد است.

$x + x = x^{2}$

تساوی فوق به ازای هر مقادیر $x$ برقرار نیست، بنابراین اتحاد نیست.

تمرین

كدام‌يک از عبارات زير اتحاد است؟

$x^{4} - x^{2} = x^{2} (x - 1) (x + 1)$

تساوی‌ فوق به‌ازای هر مقداری از $x$ برقرار است، بنابراین اتحاد است.

$3 x + y = x + 3 y$

تساوی‌ فوق به‌ازای هر مقداری از $x$ برقرار نیست، بنابراین اتحاد نیست.

$y^{2} + 1 = y$

تساوی‌ فوق به‌ازای هر مقداری از $x$ برقرار نیست، بنابراین اتحاد نیست.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1) = x^{6} - 1$

تساوی‌ فوق به‌ازای هر مقداری از $x$ برقرار است، بنابراین اتحاد است.

$2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 30$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 6 x = 2 x^{2} + 30 \\ \Rightarrow 6 x = 30 \\ \Rightarrow x = 5 \end{array}$

اين تساوی فقط به‌ازای $x = 5$ برقرار است، بنابراين اتحاد نيست.

$2 (3 x - 1) = 6 x - 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 x - 2 = 6 x - 2 \\ \Rightarrow 6 x - 6 x = - 2 + 2 \\ \Rightarrow (6 - 6) x = 0 \\ \Rightarrow 0 \times x = 0 \end{array}$

تساوی‌ فوق به‌ازای هر مقداری از $x$ برقرار است، بنابراین اتحاد است.

تمرین

$a$ و $b$ را چنان تعيين كنيد كه تساوی زیر يک اتحاد باشد.

$(a - b) x^{2} + 2 b (x - 1) + a + c = x^{2} - 4 x + 3$

$(a - b) x^{2} + 2 b x - 2 b + a + c = x^{2} - 4 x + 3$

$\Rightarrow (a - b) x^{2} + (2 b) x + (- 2 b + a + c) = (1) x^{2} + (- 4) x + 3$

از طرفین تساوی، ضرایب جملات متشابه را مساوی قرار می‌دهیم:

$\Rightarrow \{\begin{cases} a - b = 1 \\ 2 b = - 4 \\ - 2 b + a + c = 3 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 2 \\ c = 0 \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

اتحادهای جبری

تعریف اتحاد

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟