اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

آخرین ویرایش: 12 بهمن 1402
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:

قضیه

a+bn=an+n1!an1.b+n(n1)2!an2.b2+n(n1)(n2)3!an3.b3++bn

a-bn=ann1!an1.b+n(n1)2!an2.b2n(n1)(n2)3!an3.b3++(1)n.bn

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد بسط دو جمله‌ای نیوتن به‌دست می‌آوریم:

2x+y5

=12x5y0+1×51=52x4y1+5×42=102x3y2+10×33=102x2y3+10×24=52x1y4+5×15=12x0y5


=32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5

دریافت مثال

تعداد جملات و محاسبه ضریب هر جمله در بسط دو جمله‌‌ای نیوتن

نکته

1- همان‌طور كه ملاحظه می‌شود در جملات بسط، توان a از n شروع و به صفر ختم می‌شود و در هر جمله نسبت به جمله قبل، از درجه a یكی كم و به درجه b اضافه می‌شود.توان b از صفر شروع و به n ختم می‌شود.

2- ضریب هر جمله به این ترتیب به‌دست می‌آید كه ضریب جمله قبل را در توان a از همان جمله ضرب كرده، بر تعداد جملاتی كه تا آن جمله نوشته شده است تقسیم می‌كنیم.

3- بسط دو جمله ای a±bn دارای n+1 جمله است كه بر حسب a و b چند جمله‌ای درجه n متقارن و همگن است.

4- به طور كلی تعداد جملات در بسط زیر:  

(a1+a2+...+ak)n

برابر است با:

n+k1     k1=(n+k1)!(k1)!n!

دریافت مثال

مجموع ضرایب بسط دو جمله‌ای نیوتن

نکته

1- در بسط دو جمله‌ای a±bn جملاتی كه از دو طرف به یک فاصله هستند، دارای ضرایب مساوی می‌باشند.

این نتیجه از تساوی زیر حاصل می‌شود:

nk=   nnk

یعنی ضرایب جملات ank.bk و ak.bn-k با هم برابرند.


2-
در بسط دو جمله‌ای a-bn :

اگر n فرد باشد ضرایب جملات متساوی‌الفاصله از طرفین قرینه‌اند، مانند:

(ab)3=a33a2b+3ab2b3

اگر n زوج باشد، ضرایب جملات متساوی‌الفاصله از طرفین مساوی هستند، مانند:

(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4


3- به‌طور كلی در بسط a±bn اگر ضریب جمله k ام با ضریب جمله r ام مساوی باشد k+r=n+2 است.


4- مجموع ضرایب در بسط دو جمله‌ای a+bn برابر است با (1+1)n=2n كه به‌ازای a=b=1 در بسط فوق محاسبه شده است، بنابراین:

n0+n1++nk++nn=2n



دریافت مثال

نکته

5- مجموع ضرایب در بسط دو جمله‌ای a-bn برابر است با 1-1n=0 كه به ازای a=b=1 در بسط فوق محاسبه شده است، بنابراین:

n0n1+n2+(1)knk++(1)nnn=0

دریافت مثال

جمله عمومی در بسط دو جمله‌‌ای نیوتن

نکته

1- با توجه به مفهوم فاكتوریل و تركیب k شی از n شی یعنی:

Cnk=nk=n!k!(nk)!

ضرایب بسط دو جمله‌ای (a±b)n به‌صورت خلاصه به‌شرح زیر است:

a+bn=n0an+n1an1.b+n2an2.b2++nkank.bk++nnbn

a-bn=n0ann1an1.b+n2an2.b2+-1knkank.bk++-1nbn

2- جمع توان‌های a و b در هر جمله برابر n است.

3- اگر بسط فوق را به‌صورت زیر نشان دهیم:

(a+b)n=k=0nnkank.bk

جمله nkank.bk را جمله عمومی بسط می‌نامیم كه جمله k+1 ام بسط است، بنابراین:

 جمله k+1 ام:

Tk+1=nkank.bk  ;    k=0,1,2,....

تمرین

دو جمله ای زیر را بسط دهید.

2x-34

=k=04(4k)(2x)4k(3)k

=(40)(2x)4+(41)(2x)3(3)+(42)(2x)2(3)2+(43)(2x)(3)3+(44)(3)4

=(2x)4+4(2x)3(3)+4(3)2(2x)2(3)2+4(2x)(3)3+(3)4

=16x496x3+216x2216x+81

a+bn

=k=0n(nk)ankbk


=an+nan1b+n(n1)2!an2b2++nabn1+bn

9x

9x=3(1x9)12=3(1+(x9))12


9x=3(1+(x9))12

9x=3n=0(12n)(x9)n

9x=3[1+(12)(x9)+12(12)2(x9)2+12(12)(32)6(x9)3+]

9x=3x6x2216x33888

4+3x5

=k=05(5i)45k(3x)k

=(50)(45)+(51)(44)(3x)1+(52)(43)(3x)2+(53)(42)(3x)3+(54)(41)(3x)4+(55)(3x)5

=45+(5)(44)(3x)+5(4)2!(43)(3x)2+5(4)(3)3!(42)(3x)3+(5)(4)(3x)4+(3x)5

=1024+3840x+5760x2+4320x3+1620x4+243x5

9-x4

=k=04(4k)94k(x)k

=(40)(94)+(41)(93)(x)1+(42)(92)(x)2+(43)(91)(x)3+(44)(x)4

=94+(4)(93)(x)+4(3)2!(92)(x)2+(4)(91)(x)3+(x)4

=65612916x+486x236x3+x4

(1+3x)6

=k=0(6k)(3x)k

=1+(6)(3x)1+(6)(7)2!(3x)2+(6)(7)(8)3!(3x)3+

=118x+189x21512x3+

82x3

82x3=(8(114x))13=(8)13(114x)13=2(1+(14x))13


82x3=2(1+(14x))13


82x3=2k=0(13k)(14x)k


82x3=2[1+(13)(14x)1+(13)(23)2!(14x)2+(13)(23)(53)3!(14x)3+]


82x3=216x172x252592x3+

دریافت مثال

نکته

4- هرگاه Tk جمله k ام بسط (a+b)k باشد، آن‌گاه:

Tk+1=Tk.nk+1ka1.b


5- در بسط (a±b)n:

حالت اول) 

اگر n زوج باشد، آن‌گاه بسط دارای جمله وسط است كه جمله (n+1)+12=n2+1 ام است، لذا این جمله برابر است با:

T(n2+1)=nn2an2.bn2

در این جمله ضریب nn2 بزرگ‌ترین ضریب بسط از نظر قدرمطلق است.

حالت دوم) 

اگر n فرد باشد، آن‌گاه بسط (a±b)n جمله وسط ندارد اما دو جمله دارد كه ضرایب آنها از نظر قدرمطلق با هم مساوی است و از همه بزرگ‌تر هستند، این دو جمله عبارتند از:

 جمله n+12 ام:

T(n+12)=    nn12an+12.bn12

جمله n+32 ام:

T(n+32)=    nn+12an12.bn+12

دریافت مثال

 تعیین جمله مستقل از x 

 جمله k+1 ام را جمله عمومی بسط دو جمله‌ای می‌نامیم و برای تعیین جمله مستقل از x از این جمله استفاده می‌کنیم زیرا در محاسبات ساده‌تر از خود جمله k ام است.

در بسط a+bn  جمله k+1 ام یعنی Tk+1 به صورت زیر است:

Tk+1=nkank.bk

از جمله عمومیk+1 ام استفاده‌های زیادی می‌توان كرد:

مثلا هر جمله را می‌توانیم مشخص كنیم یا اگر در بسط جمله مستقل از بعضی متغیرها موجود باشد، می‌توان آن را پیدا كرد.

از جمله عمومی،توان آن متغیر را پیدا كرده، مساوی صفر قرار می‌دهیم و k مشخص می شود .سپس شماره جمله یعنی k+1 به‌دست می‌آید.

دریافت مثال

 جملات گویا در بسط دو جمله‌‌ای نیوتن

از جمله عمومی در بسط a±bn می‌توان استفاده كرد و جمله‌های گویا را پیدا نمود؛ مثلا اگر بخواهیم در بسط (xp+ym)n تعداد جملات گویا را نسبت به x یا  y یا نسبت به هر دو متغیر پیدا كنیم، ابتدا جمله عمومی را می‌نویسیم:

Tk+1=nk(xp)nk.(ym)kTk+1=nkxnkp.ykm

نکته

1- اگر نسبت به x جملات گویا باشند باید n-kp عددی صحیح باشد.

2- اگر نسبت به y جملات گویا باشند باید km عددی صحیح باشد. 0kn

3- اگر نسبت به x و y  هر دو گویا باشند باید nkp,km هر دو با هم گویا باشند یعنی مقادیری از k قابل قبول است كه به‌ازای آنها هر دوی کسرهای فوق گویا باشند.

تذکر

در بعضی حالات خاص می‌توان تعداد جملات گویای بسط (xp+ym)n را از رابطه nc+1 به‌دست آورد،كه c كوچک‌ترین مضرب مشترک بین m و p است.

این فرمول در حالت كلی درست نیست.

بنا به قضیه تقسیم برای مقدار جملات گویا نسبت به هر یک از حروف صحیح است. تعداد جملات گویا نسبت به y برابر است با np+1 (نماد جزء‌صحیح)

دریافت مثال

مثلث خیام (پاسكال)  

مثلث خیام و اتحادهای جبری

a+b0=1a+b1=1a+1ba+b2=1a2+2ab+1b2a+b3=1a3++3a2b+3ab2+1b3a+b4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4a+b5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5                                                                                                              

اگر ضرایب این چند جمله‌ای‌ها را به‌ترتیب زیر بنویسید، شكلی شبیه مثلث ساخت می‌شود كه هر عدد این جدول غیر از یک‌ها در راس و امتداد ساق‌ها قرار می‌گیرند و ثابت هستند، بقیه اعداد در واقع برابر مجموع دو عددی هستند كه در سطر بالایی در سمت چپ و راست آن عدد قرار می‌گیرند.

به‌عنوان نمونه داریم:

مثلث خیام - پیمان گردلو

جدول فوق به‌صورت زیر قابل نمایش است:

جدول خیام - پیمان گردلو

ساخت مثلث خیام

برای ساخت مثلث خیام، با عدد 1 در بالا شروع کنید، سپس اعداد را در زیر آن به صورت مثلثی قرار دهید.

هر عدد، از مجموع دو عدد مجاور در بالای خود، ساخته می‌شود.

مثلث خیام - پیمان گردلو

الگوهای درونی مثلث خیام

مثلث خیام - پیمان گردلو

  • اولین مورب، همگی از عدد یک ساخته شده‌اند.
  • دومین مورب، همگی از زیر مجموعه اعدا طبیعی ساخته شده‌اند.
  • سومین مورب، همگی از دنباله اعداد مثلثی به‌صورت زیر ساخته شده است:

1,3,6,10,15,21

نکته

دنباله اعداد مثلثی به‌شکل زیر است:

1  ,  3  ,  6  ,  10  ,  15  ,  21  ,  36  ,  48  ,  ....

اعداد فوق، به تعداد نقاط در هر الگوی مثلثی است که به‌صورت زیر می‌باشد:

مثلث خیام - پیمان گردلو

مثلث اول فقط یک نقطه دارد.

مثلث دوم دارای یک ردیف دیگر با دو نقطه اضافی است که 1+2=3 می‌شود.

مثلث سوم دارای یک ردیف دیگر با سه نقطه اضافی است که 1+2+3=6 می‌شود.

به‌طور کلی نقاط هر مثل از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

n2n+1

به‌عنوان نمونه:

if   n=5   n2n+1=525+1=15

تقارن در مثلث خیام

مثلث خیام - پیمان گردلو

اعداد سمت چپ دارای اعداد مشابهی در سمت راست هستند، مانند تصویر آینه.

مجموع افقی مثلث خیام

مثلث خیام - پیمان گردلو

رشد نمایی عدد 11 در مثلث خیام

مثلث خیام - پیمان گردلو

مربع کامل در مثلث خیام

مثلث خیام - پیمان گردلو

برای مورب دوم، مربع یک عدد برابر است با مجموع اعداد کنار آن و زیر هر دو عدد. به‌عنوان نمونه:

32=3+6=9

42=6+10=16

52=10+15=25

مثلث خیام و دنباله فیبوناتچی

مثلث خیام - پیمان گردلو

مثلث خیام و مثلث سیرپینسکی

مثلث سیرپینسکی یک الگوی مثلثی است که همیشه تکرار می‎شود، مانند شکل زیر:

مثلث سیرپینسکی

در زیر نحوه ایجاد یک مثلث سیرپینسکی آمده است:

  1. با یک مثلث شروع کنید.
  2. مثلث را تا نصف کوچک کنید و یک کپی در هر سه گوشه قرار دهید.
  3. مرحله دو را برای مثلث های کوچک‌تر، بارها و بارها، برای همیشه تکرار کنید.

در مثلث پاسکال داریم:

اگر اعداد فرد و زوج را رنگ آمیزی کنیم، الگویی مشابه مثلث سیرپینسکی به دست می‌آید:

مثلث خیام - پیمان گردلو

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

فرض کنید تساوی زیر برقرار باشد:

2+3n=5042+b3

که در آن n,b اعدادی صحیح است.

b چند است؟

  1. b=2911
  2. b=2191
  3. b=2119
  4. b=9211
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید