سرفصل‌های این مبحث

اتحادهای جبری

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

آخرین ویرایش: 17 آبان 1403

دسته‌بندی: اتحادهای جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول)

قضیه

$\forall a, b \in R : {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} \\ = {(a + b)}^{1} . {(a + b)}^{1} \\ = (a) (a) + (a) (b) + (b) (a) + (b) (b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = a^{2} + (a b + a b) + b^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

تمرین

توان رسانی را در عبارت ${(x + 5)}^{2}$ انجام دهید و یک اتحاد از طریق آن بنویسید.

$\begin{array}{l} {(x + 5)}^{2} \\ = {(x + 5)}^{1} . {(x + 5)}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x) (x) + (x) (5) + (5) (x) + (5) (5) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{2} + 5 x + 5 x + 25 \\ = x^{2} + (5 x + 5 x) + 25 \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول) به‌دست می‌آوریم:

${(x + 1)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(x)}^{2} + 2 (x) (1) + {(1)}^{2} \\ = x^{2} + 2 x + 1 \end{array}$

${(2 a + b)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2 a)}^{2} + 2 (2 a) (b) + {(b)}^{2} \\ = 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} \end{array}$

${(2 x + \frac{1}{2})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2 x)}^{2} + 2 (2 x) (\frac{1}{2}) + {(\frac{1}{2})}^{2} \\ = 4 x^{2} + 2 x + \frac{1}{4} \end{array}$

$105^{2}$

$\begin{array}{l} {(100 + 5)}^{2} \\ = {(100)}^{2} + 2 (100) (5) + {(5)}^{2} \\ = 10000 + 1000 + 25 \\ = 11025 \end{array}$

${(5 x^{3} + 3 x^{2})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(5 x^{3})}^{2} + 2 (5 x^{3}) (3 x^{2}) + {(3 x^{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 25 x^{6} + 30 x^{5} + 9 x^{4} \end{array}$

${(2 x y^{2} + 3 x^{2} y)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2 x y^{2})}^{2} + 2 (2 x y^{2}) (3 x^{2} y) + {(3 x^{2} y)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 x^{2} y^{4} + 12 x^{3} y^{3} + 9 x^{4} y^{2} \end{array}$

${(- a - b)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(- a)}^{2} + 2 (- a) (- b) + {(- b)}^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

$235^{2} - 230^{2} - 5^{2}$

$\begin{array}{l} = {(230 + 5)}^{2} - 230^{2} - 5^{2} \end{array}$

$= [{(230)}^{2} + 2 (230) (5) + {(5)}^{2}] - 230^{2} - 5^{2}$

$\begin{array}{l} = 2 (230) \times (5) \\ = 2300 \end{array}$

تمرین

جاهای خالی را چنان پر کنید که عبارات زیر کامل شوند:

$x^{4} + \dots + \frac{1}{x^{4}}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2})}^{2} + \dots + {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2})}^{2} + 2 (x^{2}) (\frac{1}{x^{2}}) + {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} \end{array}$

$= {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2}$

$9 a + \dots + 4 b$

$\begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} + \dots + {(2 \sqrt{b})}^{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} + 2 (3 \sqrt{a}) (2 \sqrt{b}) + {(2 \sqrt{b})}^{2} \end{array} \end{matrix}$

$= {(3 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b})}^{2}$

تمرین

تمام مقادیر حقیقی $x, y$ را در تساوی زیر بیابید:

$x^{2} + y^{2} + x y = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (x^{2} + y^{2} + x y) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + x^{2} + y^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + y)}^{2} + x^{2} + y^{2} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x = y = 0$

تمرین

اگر تساوی زیر برقرار باشد:

$25^{x} + 25^{- x} = 14$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$5^{x} + 5^{- x}$

$\begin{array}{l} A = 5^{x} + 5^{- x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = {(5^{x} + 5^{- x})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = {(5^{x})}^{2} + 2 (5^{x}) (5^{- x}) + {(5^{- x})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 5^{2 x} + 2 (5^{x}) (\frac{1}{5^{x}}) + 5^{- 2 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = (25^{x} + 25^{- x}) + 2 \end{array}; 25^{x} + 25^{- x} = 14$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 14 + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 16 \end{array}$

$\Rightarrow A = \pm 4; A > 0$

$\Rightarrow A = 4$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a^{2} = a + 3 \end{array}$

نشان دهید تساوی زیر برقرار است.

$a^{5} = 19 a + 21$

$\begin{array}{l} a^{5} \\ = a . a^{4} \\ = a {(a^{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a {(a + 3)}^{2} \\ = a (a^{2} + 6 a + 9) \\ = a [(a + 3) + 6 a + 9] \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (7 a + 12) \\ = 7 a^{2} + 12 a \\ = 7 (a + 3) + 12 a \\ = 19 a + 21 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a^{2} = 2 a + 1 \end{array}$

نشان دهید تساوی زیر برقرار است.

$a^{5} = 29 a + 12$

$\begin{array}{l} a^{5} = a . a^{4} \\ = a . {(a^{2})}^{2} \\ = a {(2 a + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (4 a^{2} + 4 a + 1) \\ = a [4 (2 a + 1) + 4 a + 1] \\ = a (8 a + 4 + 4 a + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (12 a + 5) \\ = 12 a^{2} + 5 a \end{array}$

$\begin{array}{l} = 12 (2 a + 1) + 5 a \\ = 24 a + 12 + 5 a \\ = 29 a + 12 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} i f 3 x + \frac{1}{2 x} = 4 \Rightarrow 9 x^{2} + \frac{1}{4 x^{2}} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 x + \frac{1}{2 x} = 4 \\ \Rightarrow {(3 x + \frac{1}{2 x})}^{2} = {(4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(3 x)}^{2} + 2 (3 x) (\frac{1}{2 x}) + {(\frac{1}{2 x})}^{2} = 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 9 x^{2} + 3 + \frac{1}{4 x^{2}} = 16 \\ \Rightarrow 9 x^{2} + \frac{1}{4 x^{2}} = 16 - 3 \\ \Rightarrow 9 x^{2} + \frac{1}{4 x^{2}} = 13 \end{array}$

$i f x = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{x}} = ?$

$\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{{(2 + \sqrt{3})}^{2} + 1}{2 + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{[{(2)}^{2} + 2 (2) (\sqrt{3}) + {(\sqrt{3})}^{2}] + 1}{2 + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{(4 + 4 \sqrt{3} + 3) + 1}{2 + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{4 (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{x}} = \sqrt{4} \\ \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{x}} = 2 \end{array}$

تمرین

المپیاد ریاضی

مقدار $A$ را در زیر به‌دست آورید.

$A = \sqrt{\sqrt{61 \times 63 \times 65 \times 67 + 16} - 122}$

$\begin{array}{l} i f x = 61 \\ x (x + 2) (x + 4) (x + 6) + 16 \\ = [x (x + 6)] [(x + 2) (x + 4)] + 16 \end{array}$

$= (x^{2} + 6 x) (x^{2} + 6 x + 8) + 16; x^{2} + 6 x = t$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = t (t + 8) + 16 \\ = t^{2} + 8 t + 16 \\ = {(t + 4)}^{2}; t = x^{2} + 6 x \\ = {(x^{2} + 6 x + 4)}^{2} \end{array} \end{matrix}$

برای محاسبه $A$ داریم:

$\begin{array}{l} A = \sqrt{\sqrt{61 \times 63 \times 65 \times 67 + 16} - 122}; \{\begin{cases} x = 61 \\ x (x + 2) (x + 4) (x + 6) + 16 = {(x^{2} + 6 x + 4)}^{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{\sqrt{{(x^{2} + 6 x + 4)}^{2}} - 122} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{\sqrt{{(x^{2} + 6 x + 4)}^{2}} - 122}; \{\begin{cases} x = 61 \\ 2 x = 122 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{(x^{2} + 6 x + 4) - 2 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} \\ \Rightarrow A = x + 2; x = 61 \\ \Rightarrow A = 61 + 2 \\ \Rightarrow A = 63 \end{array}$

تمرین

به عدد مثبتی که در شرط زیر صدق کند، عدد طلایی می‌گویند:

$t^{2} = t + 1$

مقدار $t^{5}$ را محاسبه کنید.

$t^{2} = t + 1$

طرفین را به توان عدد دو می‌رسانیم:

${(t^{2})}^{2} = {(t + 1)}^{2}$

$\Rightarrow t^{4} = t^{2} + 2 t + 1; t^{2} = t + 1$

$\Rightarrow t^{4} = (t + 1) + 2 t + 1$

$\Rightarrow t^{4} = 3 t + 2$

طرفین تساوی را در $t$ ضرب می‌کنیم:

$\Rightarrow t \times (t^{4}) = t \times (3 t + 2)$

$\Rightarrow t^{5} = 3 t^{2} + 2 t; t^{2} = t + 1$

$\Rightarrow t^{5} = 3 (t + 1) + 2 t$

$\Rightarrow t^{5} = 5 t + 3$

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول) توجه کنید:

اتحاد اول

$S_{A C E G} = S_{A B I H} + S_{B C D I} + S_{I D E F} + S_{H I F G}$

$\Rightarrow \begin{array}{l} (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + b^{2} + a b \end{array}$

$\Rightarrow {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

به عبارت دیگر:

اتحاد اول

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم)

قضیه

$\forall a, b \in R : {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} \end{array}$

$= (a - b) (a - b)$

$\begin{array}{l} = (a) (a) + (a) (- b) + (- b) (a) + (- b) (- b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} - a b - b a + b^{2} \end{array}$

$= a^{2} - 2 a b + b^{2}$

تمرین

توان رسانی را در عبارت ${(2 x - 6)}^{2}$ انجام می‌دهیم و یک اتحاد از طریق آن می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} {(2 x - 6)}^{2} \\ = {(2 x - 6)}^{1} . {(2 x - 6)}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (2 x) (2 x) + (2 x) (- 6) + (- 6) (2 x) + (- 6) (- 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36 \\ = 4 x^{2} + (- 12 x - 12 x) + 36 \\ = 4 x^{2} - 24 x + 36 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) به دست می‌آوریم:

${(x - 1)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(x)}^{2} - 2 (x) (1) + {(1)}^{2} \\ = x^{2} - 2 x + 1 \end{array}$

${(a - 3 b)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(a)}^{2} - 2 (a) (3 b) + {(3 b)}^{2} \\ = a^{2} - 6 a b + 9 b^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(4 x - 3 y)}^{2} \end{array}$

$= {(4 x)}^{2} - 2 (4 x) (3 y) + {(3 y)}^{2}$

$= 16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2}$

$\begin{array}{l} {(3 x^{2} - 2 x)}^{2} \end{array}$

$= {(3 x^{2})}^{2} - 2 (3 x^{2}) (2 x) + {(2 x)}^{2}$

$= 9 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2}$

$9999^{2}$

$\begin{array}{l} = {(10.000 - 1)}^{2} \\ = {(10.000)}^{2} - 2 (10.000) (1) + {(1)}^{2} \\ = 100.000.000 - 20.000 + 1 \\ = 99.980.001 \end{array}$

${(2^{\frac{1}{5}} - 2^{0.5})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 (2^{\frac{1}{5}}) (2^{0.5}) + {(2^{0.5})}^{2} \\ = (2^{\frac{2}{5}}) - 2 (2^{\frac{1}{5} + 0.5}) + (2^{1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{\frac{2}{5}} - 2 \times 2^{\frac{7}{10}} + 2 \\ = 2^{\frac{2}{5}} - 2^{\frac{17}{10}} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} (2 a - 3 b) (3 b - 2 a) \end{array}$

$\begin{array}{l} = - (2 a - 3 b) (2 a - 3 b) \\ = - {(2 a - 3 b)}^{2} \\ = - [{(2 a)}^{2} - 2 (2 a) (3 b) + {(3 b)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = - (4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}) \\ = 12 a b - 4 a^{2} - 9 b^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} 99^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(100 - 1)}^{2} \\ = [{(100)}^{2} - 2 (100) (1) + {(1)}^{2}] \\ = 10000 - 200 + 1 \\ = 9801 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [{(x)}^{2} + 2 (x) (2) + {(2)}^{2}] - [{(x)}^{2} - 2 (x) (1) + {(1)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 4 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 1) \\ = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} - x^{2}) + (4 x + 2 x) + (4 - 1) \\ = 0 + 6 x + 3 \\ = 6 x + 3 \end{array}$

تمرین

جاهای خالی را چنان پر کنید که عبارات زیر به مربع تفاضل دو جمله تبدیل شوند.

$4 x^{2} - \dots + y^{2}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = {(2 x)}^{2} - \dots + {(y)}^{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(2 x)}^{2} - 2 (2 x) (y) + {(y)}^{2} \end{array}$

$= {(2 x - y)}^{2}$

$9 a - 6 \sqrt{a} b + \dots$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} - \dots + {(b)}^{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} - 2 (3 \sqrt{a}) (b) + {(b)}^{2} \end{array}$

$= {(3 \sqrt{a} - b)}^{2}$

تمرین

با استفاده از اتحاد دوم (اتحاد مربع تفاضل دو جمله) محل‌ های نقطه ‌چین را با عبارت مناسب پر کنید.

$\begin{array}{l} {(x - 6 y)}^{2} = x^{2} - \dots + 36 y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x - 6 y)}^{2} \\ = {(x)}^{2} - 2 (x) (6 y) + {(6 y)}^{2} \\ = x^{2} - (12 x y) + 36 y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a x - 3)}^{2} = \dots - 6 a x + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a x - 3)}^{2} \\ = {(a x)}^{2} - 2 (a x) (3) + {(3)}^{2} \\ = (a^{2} x^{2}) - 6 a x + (9) \end{array}$

${(x^{2} - y z)}^{2} = x^{4} - \dots + \dots$

$\begin{array}{l} {(x^{2} - y z)}^{2} \\ = {(x^{2})}^{2} - 2 (x^{2}) (y z) + {(y z)}^{2} \\ = x^{4} - (2 x^{2} y z) + (y^{2} z^{2}) \end{array}$

تمرین

عبارت زیر را به‌صورت مجموع مربعات چهار عدد صحیح بنویسید.

$4 a^{2} + 4 b^{2} + 4 a b$

$\begin{array}{l} = 4 a^{2} + 4 b^{2} + 4 a b + 2 a b - 2 a b \end{array}$

$\begin{array}{l} = (3 a^{2} + 3 b^{2} + 6 a b) + (a^{2} + b^{2} - 2 a b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 (a^{2} + b^{2} + 2 a b) + (a^{2} + b^{2} - 2 a b) \end{array}$

$= 3 {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را به‌دست آورید:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

${\begin{array}{l} A^{2} = (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}) \end{array}}^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = (2 + \sqrt{3}) - 2 \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} + (2 - \sqrt{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 4 - 2 \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 4 - 2 \sqrt{4 - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 4 - 2 (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 2 \end{array}$

$\Rightarrow A = \pm \sqrt{2}; A > 0$

$\Rightarrow A = \sqrt{2}$

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{1^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 + \sqrt{2}) - |1 - \sqrt{2}| \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 + \sqrt{2}) - [- (1 - \sqrt{2})] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) \end{array}$

$= 2$

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) توجه کنید:

$S_{A C D G} = S_{A B H G} + S_{B C D H}$

$\Rightarrow a (a - b) = (a - b) (a - b) + b (a - b)$

$\Rightarrow a^{2} - a b = {(a - b)}^{2} + (b a - b^{2})$

$\Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

تذکر

در اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) داریم :

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} \geq 0 \end{array}$

$\Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{2} \geq a b$

با استفاده از روش هندسی به اثبات نامساوی فوق می‌‌پردازیم:

$\begin{array}{l} S_{O A C} + S_{O D F} \geq S_{O A B F} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (O A) (A B + B C) + \frac{1}{2} (O F) (D F) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (a) (b + b) + \frac{1}{2} (b) (\frac{B F}{2}) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (a) (2 b) + \frac{1}{2} (b) (\frac{a}{2}) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (a) (a) + \frac{1}{2} (b) (b) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} \geq a \times b \end{array}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{2} \geq a \times b$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اتحادهای فرعی حاصل از اتحادهای مربع مجموع و تفاضل دو جمله

قضیه

$a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$

اثبات

$\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b \end{matrix}$

قضیه

$a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$

اثبات

$\begin{matrix} {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b \end{matrix}$

قضیه

${(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2} \\ = 4 a b \end{array}$

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید:

قضیه

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} \\ = 2 a^{2} + 2 b^{2} \\ = 2 (a^{2} + b^{2}) \end{array}$

تمرین

اگر تساوی های زیر برقرار باشد:

$\{\begin{cases} x + y = 7 \\ x y = 10 \end{cases}$

با شرط $x > y$ حاصل عبارات زير را به دست آوريد.

$x^{2} + y^{2}$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(7)}^{2} - 2 (10) \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 49 - 20 \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 29 \end{array}$

$x - y$

$\begin{array}{l} {(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \\ \Rightarrow {(x - y)}^{2} = (29) - 2 (10) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - y)}^{2} = 9 \\ \Rightarrow x - y = \pm 3; x > y \\ \Rightarrow x - y = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{x} + \sqrt{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2} = x + y + 2 \sqrt{x y} \\ \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2} = 7 + 2 \sqrt{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = \pm \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}; x > y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} \end{array}$

$x^{4} + y^{4}$

$\begin{array}{l} x^{4} + y^{4} \\ = {(x^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} \\ = {(29)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(29)}^{2} - 2 {(10)}^{2} \\ = 641 \end{array}$

تمرین

اگر $a + \frac{1}{a} = A$ باشد، حاصل زیر را به‌دست آورید:

$a^{2} + \frac{1}{a^{2}}; a > 0$

$\begin{array}{l} = {(a + \frac{1}{a})}^{2} - 2 a (\frac{1}{a}) \\ = A^{2} - 2 \end{array}$

$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} + 2 (\sqrt{a}) (\frac{1}{\sqrt{a}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = a + \frac{1}{a} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = A + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |a + \frac{1}{\sqrt{a}}| = \sqrt{A + 2} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{A + 2} \\ \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = - \sqrt{A + 2} \end{cases}$

چون $\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$ مثبت است، پس تنها جواب زیر قابل قبول است:

$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{A + 2}$

تمرین

اگر تساوی زیر برقرار باشد:

$\{\begin{cases} x, y \in R \\ (x^{2} + 1) (y^{2} + 1) + 9 = 6 (x + y) \end{cases}$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$x^{2} + y^{2}$

$\begin{array}{l} (x^{2} + 1) (y^{2} + 1) + 9 = 6 (x + y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 1) + 9 = 6 x + 6 y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 1 + 9 - 6 x - 6 y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} y^{2} - 2 x y + 1) + (x^{2} + y^{2} + 9 + 2 x y - 6 x - 6 y) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x y - 1)}^{2} + {(x + y - 3)}^{2} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x y - 1 = 0 \Rightarrow x y = 1 \\ x + y - 3 = 0 \Rightarrow x + y = 3 \end{cases}$

$x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y \Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(3)}^{2} - 2 (1) = 7$

تمرین

اگر مجموع دو عدد $a$ و $b$ مقداری ثابت باشد، ثابت كنيد:

$a b$ وقتی ماکزیمم است که $a = b$ باشد.

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \\ \Rightarrow 2 a b = a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a b = \frac{1}{2} [a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2}] \\ \Rightarrow a b = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) - \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} \end{array}$

در تساوی فوق $a b$ وقتی حداكثر مقدار خود را داراست كه ${(a - b)}^{2}$ مينيموم شود.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow a - b = 0 \\ \Rightarrow a = b \end{array} \end{array}$

تمرین

با توجه به شرط های بیان شده، مقدار مناسبی برای هریک از عبارت ها زیر به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = 5 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \end{array} = ?$

یادآوری)

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b \\ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \\ = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \\ = {(5)}^{2} - 2 \\ = 25 - 2 \\ = 23 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = a \Rightarrow x - \frac{1}{x} = ?; x > \frac{1}{x} \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 \\ \Rightarrow a^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(x - \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} - 4 \\ \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \end{array} \end{array}$

$i f x > \frac{1}{x} \Rightarrow x - \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = + (x - \frac{1}{x})$

$\begin{matrix} |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \Rightarrow x - \frac{1}{x} = \sqrt{a^{2} - 4} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = a \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = ?; x > \frac{1}{x} \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a)}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \end{array}$

$i f x > \frac{1}{x} \Rightarrow x - \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = + (x - \frac{1}{x})$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \Rightarrow x - \frac{1}{x} = \sqrt{a^{2} - 4} \end{array} \end{array}$

$\begin{matrix} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = (x - \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) = (\sqrt{a^{2} - 4}) (a) = a \sqrt{a^{2} - 4} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f a^{2} - 6 a b + b^{2} = 0 \Rightarrow \frac{a + b}{a - b} = ?; a > b > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{2} - 6 a b + b^{2} = 0 \\ \Rightarrow a^{2} - 2 a b - 4 a b + b^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} = 4 a b \\ \Rightarrow {(a - b)}^{2} = 4 a b \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b \\ \Rightarrow {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = {(a - b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a - b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} \\ \Rightarrow 2 {(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{2} |a - b| = |a + b|; i f a > b > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} |a - b| = + (a - b) \\ |a + b| = + (a + b) \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{2} (a - b) = (a + b) \\ \Rightarrow \frac{a + b}{a - b} = \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = \frac{2}{5} \\ \Rightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} \\ \Rightarrow (x + \frac{1}{x} + 2) = \frac{25}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{17}{4} \\ \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{4}{17} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} A = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow A^{2} = {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \\ \Rightarrow A^{2} = (x + 2 \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = x + 2 + \frac{1}{x} \\ \Rightarrow A^{2} = (x + \frac{1}{x}) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 2 + 2 \\ \Rightarrow A^{2} = 4; A > 0 \\ \Rightarrow A = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \\ = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \\ = {(2)}^{2} - 2 \\ = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{4} + \frac{1}{x^{4}} \\ = {(x^{2})}^{2} + \frac{1}{{(x^{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2} - 2 x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} \\ = {(2)}^{2} - 2 \\ = (4) - 2 \\ = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = 1 \Rightarrow \frac{x^{4}}{x^{8} + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = 1 \\ \Rightarrow \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 1 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2} = 1 \\ \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2 x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 1 - 2 \\ \Rightarrow \frac{x^{8} + 1}{x^{4}} = - 1 \\ \Rightarrow \frac{x^{4}}{x^{8} + 1} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} - 2 \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\frac{x + 1}{\sqrt{x}})}^{2} - 2 = 4 \\ \Rightarrow {(\frac{x + 1}{\sqrt{x}})}^{2} = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{6} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}$

$i f \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = ?$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} = {(4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 2 x \times \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 16 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 16 - 2 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = 14 \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = \frac{1}{14} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x - \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x^{2} + x^{- 2} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} x - \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{x})}^{2} = {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 2 \times x \times \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} + 2 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} + 2 + 2 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} + 4 \\ \Rightarrow x^{2} + x^{- 2} = x + \frac{1}{x} + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f 2 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x y - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x + y = ? \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} i f u^{2} + v^{2} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} u = 0 \\ v = 0 \end{cases} \\ 2 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x y - 2 x + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 2 x + 1) + (4 y^{2} - 4 x y + x^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(2 y - x)}^{2} = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ 2 y - x = 0 \Rightarrow 2 y = x \Rightarrow 2 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} x + y = (1) + (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow x^{500} + \frac{1}{x^{500}} = ? \end{array}$

$\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} + x = - 1 \Rightarrow - x^{2} - x = 1 \\ x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow x (x + 1 + \frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow (x + 1 + \frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = - 1 \\ x^{2} = - x - 1 \Rightarrow x^{3} = - x^{2} - x \Rightarrow x^{3} = 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} x^{500} + \frac{1}{x^{500}} \\ = {(x^{3})}^{166} \cdot x^{2} + \frac{1}{{(x^{3})}^{166} \cdot x^{2}} \\ = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \\ = {(- 1)}^{2} - 2 \\ = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow 5 x^{234} - x^{99} = ? \end{array}$

$x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} - x^{2} - x = 1 \\ x^{2} = - x - 1 \Rightarrow x^{3} = - x^{2} - x \Rightarrow x^{3} = 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 5 x^{234} - x^{99} \\ = 5 {(x^{3})}^{78} - {(x^{3})}^{33} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = 5 {(1)}^{78} - {(1)}^{33} \\ = 5 - 1 \\ = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{x}{x^{2} + 1} = a \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} + 1} = a \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} A = \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = {(\frac{1}{a})}^{2} - 2 \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{1}{a^{2}} - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{1 - 2 a^{2}}{a^{2}} \\ \Rightarrow A = \frac{a^{2}}{1 - 2 a^{2}} \end{array}$

$i f x - \frac{1}{x} = 4 \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = ?; x > 0$

$\begin{array}{l} x - \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{x})}^{2} = {(4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 = 16 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 18 \\ \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 18 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} = 20; x > 0 \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt{20} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \sqrt{5} \end{array}$

$A = x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = (x - \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) = (4) (2 \sqrt{5}) = 8 \sqrt{5}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$a + b = 1$

ثابت کنید:

$a^{2} (a + 1) + b^{2} (b + 1) = 2 - 5 a b$

$\begin{array}{l} a + b = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} b = 1 - a \\ a = 1 - b \end{cases} \\ a^{2} (a + 1) + b^{2} (b + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} [(1 - b) + 1] + b^{2} [(1 - a) + 1] \\ = a^{2} (2 - b) + b^{2} (2 - a) \\ = 2 a^{2} - a^{2} b + 2 b^{2} - a b^{2} \\ = (2 a^{2} + 2 b^{2}) - a b (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 (a^{2} + b^{2}) - a b (a + b) \\ = 2 [{(a + b)}^{2} - 2 a b] - a b (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 [{(1)}^{2} - 2 a b] - a b (1) \\ = 2 - 4 a b - a b \\ = 2 - 5 a b \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y - 6 x + 9 = 0 \Rightarrow x, y = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y - 6 x + 9 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - y)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \Rightarrow x = y \\ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 3 \end{cases} \end{array}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 8 z + 29 = 0 \Rightarrow x, y, z = ?$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 8 z + 29 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) + (z^{2} - 8 z + 16) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ y + 3 = 0 \Rightarrow y = - 3 \\ z - 4 = 0 \Rightarrow z = 4 \end{cases} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{9}$

$38 \sqrt{5} + 17$
$38 \sqrt{5} - 17$
$17 \sqrt{5} + 38$
$17 \sqrt{5} - 38$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$9 a^{2} + 4 b^{2} + 12 a b = 0$

تمام مقادیر حقیقی $a$ و $b$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$(a, b) = (- \frac{1}{3} x, x)$
$(a, b) = (\frac{1}{3} x, x)$
$(a, b) = (- \frac{2}{3} x, x)$
$(a, b) = (\frac{2}{3} x, x)$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

برای اعداد حقیقی و مثبت $x, y > 0$ داریم:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x^{4} + y^{4} = \frac{17}{18} \end{cases}$

مقدار $x y$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a$

$a + b + c$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$3 a$
$2 b$
$a b c$
$2 c$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

معادله زیر چند ریشه دارد؟

$x^{2} - 5 x - 4 \sqrt{x} + 13 = 0$

یک ریشه
ریشه ندارد
دو ریشه
سه ریشه

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

المپیاد مقدماتی ریاضی

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$\sqrt{5 + \sqrt{2}} + \sqrt{5 - \sqrt{2}}$

این عبارت مساوی کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$\sqrt{10 + 3 \sqrt{23}}$
$\sqrt{10 + 2 \sqrt{23}}$
$\sqrt{10 + 2 \sqrt{22}}$
$\sqrt{10 + 3 \sqrt{22}}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 7

المپیاد مقدماتی ریاضی

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{8} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{8}$

این عبارت مساوی کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$36$
$35$
$49$
$47$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 8

المپیاد مقدماتی ریاضی

در تساوی زیر، مقدار $a$ چند است؟

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} - a b - b c - c d - d + \frac{2}{5} = 0; d, c, b, a \in R > 0$

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 9

المپیاد ریاضی

مجموعه $S$ را مجموعه همه اعداد حقیقی مثل $a$ می‌گیریم که برای آنها اعداد حقیقی $x, y$ موجود باشند به‌گونه ای که:

$a (a - 1) + x (x - 1) + y (y - 1) = \frac{3}{2}$

می‌دانیم که $S$ یک بازه است، طول این بازه چقدر است؟

$[- 2, 1]$
$[- 2, - 1]$
$[2, - 1]$
$[- 1, 2]$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

اتحادهای جبری

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول)

اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم)

اتحادهای فرعی حاصل از اتحادهای مربع مجموع و تفاضل دو جمله

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟