سرفصل‌های این مبحث

عبارات جبری

اقسام عبارات جبری

آخرین ویرایش: 11 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

عبارات جبری معین و نامعین

عبارت جبری را به ازای یک مقدار از متغیر یا مقادیری از متغیرها معین گویند، هرگاه:

به ازای آن مقدار یا مقادیر کلیه عملیات به کار رفته قابل انجام باشد، در غیر این صورت عبارت جبری نامعین است.

در مجموعه اعداد حقیقی در صورتی که مخرج کسر به ازای مقادیری از متغیرها صفر شود عبارت نامعین است.

هم‌چنین یک عبارت جبری گنگ با فرجه زوج در صورتی نامعین است که به ازای مقادیری از متغیر، عبارت زیر رادیکال منفی باشد.

تمرین

مشخص کنید عبارات جبری زیر به ازای چه مقادیری از $x$ معین است.

$g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$

عبارت جبری فوق به ازای همه مقادیر حقیقی معین است زیرا نه مخرج دارد و نه رادیکال با فرجه زوج.

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

عبارت فوق به ازای ریشه های مخرجش یعنی $x = 1$ و $x = - 1$ تعریف نشده است و به ازای سایر مقادیر حقیقی معین است.

$Q (x) = \sqrt{x - 3}$

عبارت فوق به ازای همه اعداد حقیقی بزرگتر یا مساوی $3$ معین است.

$x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$

$P (x) = \sqrt[3]{x + 1}$

عبارت فوق نیز همواره معین است، زیرا فرجه رادیکال فرد است.

عبارات جبری صحیح

یک عبارت جبری را نسبت به متغیرهایش صحیح گویند در صورتی که توان متغیرهایش صحیح و نامنفی باشد، مانند:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + 3 x \end{array}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{5}$

عبارات جبری کسری

یک عبارت جبری نسبت به حرفی از آن، کسری است در صورتی که در مخرجش شامل آن حرف باشد، مانند:

$\begin{array}{l} f (x) = x + \frac{1}{x} \end{array}$

$g (x) = x + \frac{x}{x^{2} - 1}$

عبارات جبری گویا

یک عبارت جبری نسبت به حرفی از آن گویاست، هرگاه هیچ توان غیر صحیح از آن حرف در عبارت وجود نداشته باشد.

هرگاه لااقل یک توان غیر صحیح شامل یک متغیر در عبارت وجود داشته باشد عبارت نسبت به آن متغیر (گنگ) است.

عبارت زیر نسبت به $x$ گنگ نسبت به $y$ گویاست:

$f (x, y) = x + \sqrt{x + 1} + 2 y$

و توجه شود متغیرهایی که زیر رادیکال قرار می‌گیرند توان‌ آنها کسری است.

به طور کلی هر عبارت گویا، کسری است که صورت و مخرج آن چند جمله ای باشد.

یادآوری

از عبارت های گویا در ریاضیات، علوم، پزشکی، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر استفاده می‌شود.

به طور مثال سرعت متوسط اتومبیلی که مسیری را با سرعت $v_{1}$ طی کرده و سپس از همان مسیر با سرعت $v_{2}$ بازگشته است، از رابطه زیر به‌دست می‌آید که عبارت گویای جبری است.

$\frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$

با توجه به تعریف، عبارت های زیر گویا هستند:

$\begin{matrix} \frac{2}{5} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{- a}{4} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{- a}{b} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{1}{x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{x}{y} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{x^{3}}{1} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{x - 3}{4} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{10}{x + 2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{x + 5}{x - 1} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{3 x + \sqrt{7}}{x^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{x y^{2}}{{(x - y)}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{2 x - 5}{5 x^{3} - 2 x^{2} + 1} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{x^{2} - \sqrt{3} x + 1}{9 x y} \end{matrix}$

$x^{3} + 2 x - 7$

اما عبارت های زیر گویا نیستند:

$\begin{matrix} \sqrt{x y} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\sqrt{x}}{x + y} \end{matrix}$

$|x - y|$

$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

تمرین

مشخص کنید کدام یک از عبارات زیر گنگ و کدام یک گویا هستند.

$f (x) = x + \sqrt{2}$

عبارت فوق نسبت به متغیر $x$ گویا است.

$g (x) = \sqrt{x} + 2$

عبارت فوق نسبت به متغیر $x$ گنگ است.

$h (x) = 3 x^{2} + 2 x + \sqrt{x}$

عبارت فوق نسبت به متغیر $x$ گنگ است.

$t (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{3} x + 1$

عبارت فوق نسبت به متغیر $x$ گویا است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات جبری

اقسام عبارات جبری

عبارات جبری معین و نامعین

عبارات جبری صحیح

عبارات جبری کسری

عبارات جبری گویا

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟