سرفصل‌های این مبحث

عبارات جبری

مقدار عددی عبارات جبری

آخرین ویرایش: 17 آبان 1403

دسته‌بندی: عبارات جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

هر عبارت جبری روی مجموعه اعداد بیان شده است، بنابراین خود نشان دهنده یک عدد است که این عدد بر حسب مقادیری که به جای متغیر قرار می‌دهیم، محاسبه می‌شود.

نکته

اگر $f (x)$ یک عبارت جبری باشد، مقدار عددی عبارت را به ازای $x = a$ به صورت $f (a)$ نشان می‌دهیم.

تمرین

دو عبارت $\frac{x + 1}{x - 1}$ و $\frac{x^{2} + x}{x^{2} - x}$ را در نظر بگیرید.

مقدار این دو عبارت را به ازای $x = 3$ و $x = - 5$ و $x = \frac{1}{2}$ حساب و با هم مقایسه کنید.

$i f x = 3$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} + x}{x^{2} - x} = \frac{{(3)}^{2} + 3}{{(3)}^{2} - 3} = \frac{9 + 3}{9 - 3} = \frac{12}{6} = 2 \end{array}$

به‌ازای $x = 3$ دو عبارت با هم برابرند.

$i f x = - 5$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{- 5 + 1}{- 5 - 1} = \frac{- 4}{- 6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} + x}{x^{2} - x} = \frac{{(- 5)}^{2} + (- 5)}{{(- 5)}^{2} - (- 5)} = \frac{25 - 5}{25 + 5} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \end{array}$

به‌ازای $x = - 5$ دو عبارت با هم برابرند.

$i f x = \frac{1}{2}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{\frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{- \frac{1}{2}} = - \frac{6}{2} = - 3 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} + x}{x^{2} - x} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{- \frac{1}{4}} = - \frac{4 \times 3}{4} = - 3 \end{array}$

به‌ازای $x = \frac{1}{2}$ دو عبارت با هم برابرند.

به ازای مقدار دیگری برای $x$ به دل‌خوا خود در نظر بگیرید و دو عبارت را حساب کنید.

فرض می‌کنیم $x = - 1$ باشد:

$\begin{array}{l} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{- 1 + 1}{- 1 - 1} = \frac{0}{- 2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} + x}{x^{2} - x} = \frac{{(- 1)}^{2} + (- 1)}{{(- 1)}^{2} - (- 1)} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 \end{array}$

به‌ازای $x = - 1$ دو عبارت با هم برابرند.

تمرین

مقدار عددی عبارات جبری را به‌ازای مقادير مختلف داده شده، به‌دست آوريد.

$f (x) = 2 x - 1; x = 5$

$\begin{matrix} f (5) \\ = 2 (5) - 1 \\ = 10 - 1 \\ = 9 \end{matrix}$

$f (x) = x^{2} - 1; x = 3$

$\begin{array}{l} f (3) \\ = {(3)}^{2} - 1 \\ = 9 - 1 \\ = 8 \end{array}$

$f (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{17}; x = 1$

$\begin{array}{l} f (1) \\ = {[{(1)}^{2} - 2 (1) + 1]}^{17} \\ = {(1 - 2 + 1)}^{17} \\ = {(0)}^{17} \\ = 0 \end{array}$

$f (x) = (x + y + z) (x y + y z + x z) - x y z; x = - y$

$\begin{array}{l} f (- y) \end{array}$

$= [(- y) + y + z] [(- y) y + y z + (- y) z] - (- y) (y) (z)$

$\begin{array}{l} = (z) (- y^{2} + y z - y z) + y^{2} z \\ = (z) (- y^{2}) + y^{2} z \\ = - y^{2} z + y^{2} z \\ = 0 \end{array}$

$f (x) = x^{4} + x^{2} + 1; x = \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} f (\sqrt{2}) \\ = {(\sqrt{2})}^{4} + {(\sqrt{2})}^{2} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[{(\sqrt{2})}^{2}]}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 1 \\ = {(2)}^{2} + 2 + 1 \\ = 4 + 2 + 1 \\ = 7 \end{array}$

$f (a, b) = {(a + b)}^{3}; a = 2, b = - 3$

$\begin{array}{l} f (2, - 3) \\ = {[2 + (- 3)]}^{3} \\ = {(- 1)}^{3} \\ = - 1 \end{array}$

$f (a, b) = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}; a = 2, b = - 3$

$\begin{array}{l} f (2, - 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} (- 3) + 3 (2) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = 8 - 36 + 54 - 27 \\ = - 1 \end{array} \end{matrix}$

$f (a, b) = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}; a = 2, b = - 3$

$\begin{array}{l} f (2, - 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} (- 3) + 3 (2) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = 8 - 36 + 54 - 27 \\ = - 1 \end{array} \end{matrix}$

$f (a, b, c) = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c); a = 2, b = 1, c = - 3$

$\begin{array}{l} f (2, 1, - 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [2 + 1 + (- 3)] [{(2)}^{2} + {(1)}^{2} + {(- 3)}^{2} - (2) (1) - (2) (- 3) - (1) (- 3)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (0) \end{array}$

$f (a, b, c) = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}; a = 4, b = - 4, c = - 3$

$\begin{array}{l} f (4, - 4, - 3) \\ = \frac{- (- 4) + \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 (4) (- 3)}}{2 (4)} \\ = \frac{4 + \sqrt{16 + 48}}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} = \frac{4 + \sqrt{64}}{8} \\ = \frac{4 + 8}{8} \\ = \frac{12}{8} \\ = \frac{3}{2} \end{array} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} c = 10, b = 8, a = 6 \end{array}$

مقدار عددی عبارت زیر را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} p = \frac{a + b + c}{2} \end{array}$

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{(6) + (8) + (10)}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$\begin{array}{l} S = \sqrt{12 (12 - 6) (12 - 8) (12 - 10)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} \\ \Rightarrow S = \sqrt{576} \\ \Rightarrow S = 24 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

${(a + 1)}^{20} + {(b - 1)}^{20} = 0$

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

${(a^{2} - b^{2})}^{2000}$

${(a + 1)}^{20} + {(b - 1)}^{20} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1 \\ b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} {(a^{2} - b^{2})}^{2000} \\ = {[{(- 1)}^{2} - {(1)}^{2}]}^{2000} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(1 - 1)}^{2000} \\ = {(0)}^{2000} \\ = 0 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} {(a - 4 b)}^{50} + {(b - 2 c)}^{100} = 0 \end{array}$

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$\frac{10 a b}{c (a + b)}$

$\begin{matrix} {(a - 4 b)}^{50} + {(b - 2 c)}^{100} = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} a - 4 b = 0 \Rightarrow a = 4 b \\ b - 2 c = 0 \Rightarrow b = 2 c \Rightarrow c = \frac{b}{2} \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{10 a b}{c (a + b)} \\ = \frac{10 (4 b) b}{c (4 b + b)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{40 b^{2}}{c \times 5 b} \\ = \frac{40 b^{2}}{(\frac{b}{2}) \times 5 b} \\ = \frac{40 b^{2}}{\frac{5}{2} b^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{40 \times 2}{5} \\ = \frac{80}{5} \\ = 16 \end{array}$

تمرین

مقدار عددی دو عبارت زیر را به‌ازای $a = 10$ به‌دست آورید.

${(2 a)}^{3}$

$\begin{array}{l} {(2 \times 10)}^{3} = {(20)}^{3} = 8000 \end{array}$

$2 a^{3}$

$2 \times {(10)}^{3} = 2 \times 1000 = 2000$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (1) = 7 \\ f (x) = a x^{2} + x + 4 \end{cases} \end{array}$

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$f (- 3)$

$\begin{array}{l} f (1) = 7 \\ \Rightarrow a {(1)}^{2} + (1) + 4 = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 5 = 7 \\ \Rightarrow a = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = a x^{2} + x + 4; \{\begin{cases} x = - 3 \\ a = 2 \end{cases} \\ \Rightarrow f (- 3) = 2 {(- 3)}^{2} + (- 3) + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (- 3) = (2 \times 9) - 3 + 4 \\ \Rightarrow f (- 3) = 18 + 1 \\ \Rightarrow f (- 3) = 19 \end{array}$

تمرین

مقادیر خواسته شده را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} i f f (x) = 1 - 2 x \Rightarrow f (x - 1) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = 1 - 2 x \\ \Rightarrow f (x - 1) = 1 - 2 (x - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x - 1) = 1 - 2 x + 2 \\ \Rightarrow f (x - 1) = 3 - 2 x \end{array}$

$\begin{array}{l} i f f (n) = f (n - 1) + 4 n^{3} \Rightarrow f (1) - f (- 1) = ? \end{array}$

$\{\begin{cases} f (1) = f (1 - 1) + 4 {(1)}^{3} = f (0) + 4 \\ f (- 1) = f (- 1 - 1) + 4 {(- 1)}^{3} = f (- 2) - 4 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} f (1) - f (- 1) \\ = [f (0) + 4] - [f (- 2) - 4] \\ = f (0) - f (- 2) + 8 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f f (x + 2) = 3 x - 1 \Rightarrow f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x + 2) = 3 x - 1; x \to x - 2 \\ \Rightarrow f [(x - 2) + 2] = 3 (x - 2) - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = 3 x - 6 - 1 \\ \Rightarrow f (x) = 3 x - 7 \end{array}$

$i f f (x) = x^{2} + 2 \Rightarrow f (x - \frac{1}{x}) = ?$

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + 2; x \to x - \frac{1}{x} \\ \Rightarrow f (x - \frac{1}{x}) = {(x - \frac{1}{x})}^{2} + 2 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد مقدماتی ریاضی

اگر $\frac{x}{x^{2} + x + 1} = a$ باشد، آن‌گاه:

$\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ برحسب $a$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$\frac{a^{2}}{1 + 2 a}$
$\frac{2 a^{2}}{1 - 2 a}$
$\frac{a^{2}}{1 - 2 a}$
$\frac{2 a^{2}}{1 + 2 a}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مقدار عددی عبارات جبری

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات جبری

مقدار عددی عبارات جبری

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟