سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

کره

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: هندسه فضائی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

کره زمین و توپ بسکتبال نمونه‌هایی از حجم‌های کروی هستند.

کره - پیمان گردلو

تعریف کره

مجموعه نقاطی از فضا را که از یک نقطه ثابت به‌نام مرکز به فاصله $R$ باشند، کره نامیده می‌شود.

نقطه ثابت را مرکز و مقدار ثابت $R$ را شعاع کره می‌گویند.

کره - پیمان گردلو

اگر یک کره را نصف کنیم به هر نیم آن یک نیم کره گویند و دایره‌ای که از نیم کردن کره بدست می‌آید، دایره عظیمه نام دارد.

کره - پیمان گردلو

حجم کره

روش اول محاسبه حجم کره

چون حجم کره دو برابر حجم نیم‌کره است، اگر بتوانیم حجم نیم‌کره را پیدا کنیم و آن را دو برابر می‌کنیم تا حجم کره به‌دست می‌آید.

حجم نیم‌کره را چگونه می‌توان پیدا کرد؟

یک راه تجربی آن بدین صورت است که یک ظرف به شکل نیم‌کره و به‌شعاع $R$ و ظرف دیگری به شکل مخروط، طوری اختیار کنیم که شعاع قاعده و ارتفاع آن مساوی $R$ باشد:

کره - پیمان گردلو

سپس ظرف مخروطی شکل را از آب پر کرده و در ظرف دیگر خالی کنیم، خواهیم دید که ظرف نیم‌کره‌ای شکل پر نمی‌شود، اما اگر عمل مذکور را یک‌بار دیگر تکرار کنیم، ظرف نیم‌کره‌ای شکل پر خواهد شد.

این تجربه نشان می‌دهد که حجم این نیم‌کره دو برابر حجم مخروط و لذا حجم کره چهار برابر حجم مخروط است.

حجم مخروط برابر است با:

$\frac{1}{3} π R^{2} \times R = \frac{1}{3} π R^{3}$

بنابراین حجم کره با شعاع $R$ برابر است با:

$V = 4 \times [\frac{1}{3} π R^{3}] = \frac{4}{3} π R^{3}$

روش دوم محاسبه حجم کره

یک توپ پلاستیکی کروی را در نظر گرفته و مطابق شکل با قرار دادن دو سطح صاف موازی، قطر کره را اندازه می‌گیریم:

کره - پیمان گردلو

مانند شکل فوق به کمک طلق، یک استوانه درست می‌کنیم، به‌طوری که توپ کروی به طور کامل درون آن قرار گیرد و از اطراف، بالا و پایین بر آن مماس باشد.

در این حالت کره در استوانه محاط شده است و استوانه بر کره محیط شده است.

اگر شعاع کره $R$ باشد، ارتفاع استوانه و شعاع قاعده آن را برحسب $R$ نشان می‌دهیم:

کره - پیمان گردلو

ارتفاع استوانه $2 R$ است.
شعاع قاعده استوانه $R$ است.

حجم استوانه به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$π R^{2} \times 2 R = 2 π R^{3}$

توپ را از استوانه خارج می‌کنیم و با دقت آن را به دو نیم‌کره مساوی تبدیل می‌کنیم.

یکی از نیم‌کره‌ها را داخل استوانه می‌گذاریم و نیم‌کره دیگر را از آب پر کرده و در استوانه خالی می‌کنیم.

حجم استوانه $3$ برابر حجم نیم کره است و $\frac{3}{2}$ برابر حجم کره است و حجم کره $\frac{2}{3}$ برابر حجم استوانه می‌باشد:

$V_{k o r e h} = \frac{2}{3} V_{o s t o v a n e h} = \frac{2}{3} \times 2 π R^{3} = \frac{4}{3} π R^{3}$

تمرین

کره‌ای در استوانه‌ای به قطر قاعده و ارتفاع $10$ سانتی‌متر محاط شده است:

کره - پیمان گردلو

حجم کره را محاسبه کنید.

$V_{1} = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π \times {(5)}^{3} = \frac{500}{3} π c m^{3}$

حجم استوانه را محاسبه کنید.

$V_{2} = 2 π R^{3} = 2 π \times 5^{3} = 250 π c m^{3}$

حجم فضای بین کره و استوانه را محاسبه کنید.

$V_{2} - V_{1} = 250 π - \frac{500}{3} π = \frac{250}{3} π c m^{3}$

مساحت کره

روش اول محاسبه مساحت کره

مانند شکل زیر، نیم‌کره‌ای را که از نصف کردن توپ پلاستیکی به‌دست آورده‌ایم روی یک صفحه کاغذ قرار داده، دو بار روی کاغذ دایره رسم می‌کنیم به‌طوری‌که نیم‌کره بتواند روی این دایره‌ها قرار گیرد و آن را بپوشاند.

کره - پیمان گردلو

این دو دایره کاغذی را برش می‌زنیم و کاغذهای بریده شده را روی سطح نیم‌کره طوری می‌چسبانیم که کل سطح نیم‌کره را بپوشاند.

ثابت می‌شود که مساحت رویه یک نیم‌کره به‌شعاع $R$ دو برابر مساحت دایره است. (منظور قاعده نیم‌کره)

مساحت رویه نیم‌کره برابر است با:

$2 π R^{2}$

در نتیجه مساحت کره به‌شعاع $R$ برابر است با:

$S = 2 \times (2 π R^{2}) = 4 π R^{2}$

روش دوم محاسبه مساحت کره

چون مساحت کره دو برابر مساحت جانبی نیم‌کره است، اگر مساحت جانبی نیم‌کره را پیدا کنیم و آن را دو برابر کنیم، مساحت کره به‌دست خواهد آمد.

مساحت جانبی نیم‌کره را چگونه می‌توان پیدا کرد؟

یک نیم‌کره چوبی به‌شعاع $R$ تهیه کرده و میخی مانند شکل زیر در راس آن می‌کوبیم.

نخی را دور این میخ طوری می‌پیچیم که روی سطح نیم‌کره قرار گرفته و تمام سطح جانبی نیم‌کره را بپوشاند.

نخ را باز کرده و طول قسمتی از آن را که سطح جانبی نیم‌کره را پوشانده بود، اندازه می‌گیریم.

بار دیگر میخ را مانند شکل زیر در مرکز دایره عظیمه همان نیم‌کره کوبیده و نخی از همان جنس را دور این میخ طوری می‌پیچیم که سطح دایره عظیمه را کاملا بپوشاند.

این نخ را هم باز کرده و طول قسمتی از آن را که سطح دایره عظیمه نیم‌کره را پوشانده، اندازه گرفته و یادداشت می‌کنیم.

پس از انجام این کارها اگر اندازه نخ اول را با اندازه نخ دوم مقایسه کنیم خواهیم دید که اندازه نخ اول دو برابر اندازه نخ دوم است، یعنی مساحت جانبی نیم‌کره دو برابر مساحت دایره عظیمه‌اش است، یعنی مساحت کل کره‌ای به‌شعاع $R$ برابر است با:

$S = 4 π R^{2}$

نکته

1- با دوران یک ربع دایره حول شعاعش یک نیم‌کره با دوران یک نیم‌دایره حول قطرش یک کره پدید می‌آید.

کره - پیمان گردلو

2- اگر مکعبی را در یک کره محاط کنیم، قطر مکعب با قطر کره مساوی است.

کره - پیمان گردلو

3- اگر کره‌ای در یک مکعب محاط شود قطر کره با ضلع مکعب مساوی است.

کره - پیمان گردلو

4- اگر کره‌ای در یک استوانه محاط شود ارتفاع استوانه برابر قطر کره و شعاع قاعده استوانه با شعاع کره مساوی است.

کره - پیمان گردلو

5- اگر استوانه‌ای داخل کره‌ای محاط شود، وسط ارتفاع استوانه بر مرکز کره قرار می‌گیرد.

کره - پیمان گردلو

تمرین

قطر تقریبی کره زمین حدود $12 / 800$ کیلومتر است.

شعاع کره زمین را محاسبه کنید.

قطر کره‌ زمین:

$12800 = 1_{/} 28 \times 10^{4} k m$

شعاع کره‌ زمین:

$12800 \div 2 = 6400 k m = 6_{/} 4 \times 10^{3} k m$

مساحت تقریبی رویه (سطح) کره زمین بر حسب کیلومتر را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} R = 6_{/} 4 \times 10^{3} k m \\ S = 4 π R^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 4 \times (3_{/} 14) \times {(6_{/} 4 \times 10^{3})}^{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S = 4 \times 3_{/} 14 \times {(6 / 4)}^{2} \times 10^{6} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 514 / 4576 \times 10^{6} \\ \Rightarrow S = 5_{/} 144576 \times 10^{8} k m^{2} \end{array}$

مساحت کشور عزیزمان ایران حدود $1 / 648 / 000$ کیلومتر مربع است. مساحت ایران چه کسری از مساحت کره زمین است؟

مساحت کره زمین:

$S ≃ 5_{/} 144576 \times 10^{8} k m^{2}$

$\frac{1_{/} 648 \times 10^{6}}{5_{/} 144576 \times 10^{8}} = \frac{x}{100}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x = \frac{1_{/} 648 \times 10^{6} \times 10^{2}}{5_{/} 144576 \times 10^{8}} = \frac{1_{/} 648}{5_{/} 144576} ≃ 0_{/} 32 % \end{matrix}$

تمرین

حجم محصور بين دو کره هم مرکز به شعاع های $3$ و $6$ چند برابر حجم کره کوچک‌تر است؟

کره - پیمان گردلو

حجم کره کوچک‌تر:

$\frac{4}{3} π {(3)}^{3} = 36 π$

حجم کره بزرگ‌تر:

$\frac{4}{3} π {(6)}^{3} = 288 π$

حجم محصور بين دو کره:

$288 π - 36 π = 252 π = 7 \times (36 π)$

حجم محصور بین دو کره، هفت برابر حجم کره کوچک‌تر است.

کره ای در داخل يک مکعب به ضلع $6 c m$ محاط شده است، حجم فضای داخلی بين دو کره و مکعب را حساب کنيد.

اگر کره ای در يک مکعب محاط شود، قطر کره با ضلع مکعب مساوی است.

کره - پیمان گردلو

حجم کره:

$\frac{4}{3} π {(3)}^{3} = 36 π = 113.04 c m^{3}$

حجم مکعب:

$6^{3} = 216 c m^{3}$

حجم محصور بين کره و مکعب:

$216 - 113.04 = 102.96 c m^{3}$

در کره ای به شعاع $4 m$ استوانه ای به شعاع قاعده $\sqrt{7} m$ محاط کرده ايم، حجم اين استوانه چند متر مکعب است؟

کره - پیمان گردلو

ابتدا بايد ارتفاع استوانه را بيابيم:

$O B^{2} = B A^{2} - O A^{2} = 4^{2} - {(\sqrt{7})}^{2} = 16 - 7 = 9 \Rightarrow O B = 3 m$

پس ارتفاع استوانه $3 \times 2 = 6 m$ است.

حجم استوانه:

$π r^{2} h = π \times {(\sqrt{7})}^{2} \times 6 = 42 π$

مساحت کره ای به شعاع $5 c m$ چند سانتی متر مربع است؟

$S = 4 π R^{2} = 4 π {(5)}^{2} = 100 π ≃ 314 c m^{2}$

حجم يک نيم کره به شعاع $5 c m$ چند برابر حجم يک مخروط به شعاع قاعده $5 c m$ و ارتفاع $5 c m$ است.

حجم نيم کره:

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} \times π \times 5^{3}) = \frac{250 π}{3}$

حجم مخروط:

$\frac{1}{3} \times π \times 5^{2} \times 5 = \frac{125 π}{3}$

ملاحظه می‌شود که حجم نيم کره دو برابر حجم مخروط است.

ربع دايره زير به شعاع $3 c m$ را حول $A B$ به اندازه $90^{\circ}$ دوران می‌دهيم، حجم حادث چند سانتی متر مکعب است؟

کره - پیمان گردلو

$V = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} π r^{3}) = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} \times π \times 3^{3}) = \frac{9 π}{2}$

می‌خواهيم سطح کره ای را با کاغذ رنگی بپوشانيم. اگر شعاع کره $3 c m$ باشد، طول کاغذ رنگی $40 c m$ عرض کاغذ چند سانتی متر بايد باشد؟

اگر $x$ عرض کاغذ باشد:

مساحت کره:

$4 π R^{2} ≃ 4 \times 3.14 \times 9 = 113.04 c m^{2}$

مساحت مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول در عرض:

$113.04 = 40 \times x \Rightarrow x = 2.826 c m$

حجم کره ای $113.04 m^{3}$ است، مساحت اين کره چند متر مربع است؟

حجم کره:

$\frac{4}{3} π R^{3} = 113.04 \Rightarrow R^{3} ≃ \frac{113.04 \times 3}{4 \times 3.14} = 27 \Rightarrow R = 3$

مساحت کره:

$4 π R^{2} ≃ 4 \times 3.14 \times {(3)}^{2} = 113.04 m^{2}$

ليوانی به شکل استوانه که محيط دهانه آن $15.7 c m$ و ارتفاع ليوان $10 c m$ است.

می‌خواهيم با اين ليوان نيم کره ای به شعاع $15 c m$ را پر از آب کنيم. چند بار بايد ليوان پر از آب را در ظرف، خالی کرد؟

کره - پیمان گردلو

محيط دايره:

$2 π r = 15.7 \Rightarrow r = \frac{15.7}{6.28} = 2.5 c m$

حجم ليوان:

$π r^{2} h ≃ 3.14 \times {(2.5)}^{2} \times 10 = 196.25 c m^{3}$

حجم نيم کره:

$\frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} π R^{3}) ≃ \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times 15^{3} = 7065 c m^{3}$

تعداد دفعه‌ای که بايد ليوان پر از آب را در ظرف خالی کرد:

$7065 \div 196.25 = 36$

نيم دايره ای به شعاع $6 c m$ را حول قطر آن دوران می‌دهيم، حجم و مساحت کره حاصل را حساب کنيد.

کره - پیمان گردلو

حجم کره:

$\frac{4}{3} \times π \times r^{3} = \frac{4}{3} \times π \times {(6)}^{3} = 288 π$

مساحت کره:

$4 \times (π r^{2}) = 4 \times π \times 6^{2} = 144 π$

نسبت حجم کره ای به شعاع $R$ به حجم استوانه ای به همان شعاع قاعده و همان ارتفاع چيست؟

نسبت حجم کره به حجم استوانه:

$\frac{\frac{4}{3} π R^{3}}{π R^{2} \times R} = \frac{4}{3}$

حجم حادث از دوران قسمت حاشوری حول ضلع $A B$ چند واحد مکعب است؟

کره - پیمان گردلو

از حجم يک نيم کره بايد حجم يک مخروط را کم کنيم:

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times π \times 4^{3} - \frac{1}{3} \times π \times 4^{2} \times 4 = \frac{128 π}{3} - \frac{64 π}{3} = \frac{64 π}{3}$

مکعبی به ضلع $10 c m$ را در کره ای محاط کرده‌ايم، حجم کره را حساب کنيد.

اگر مکعبی را در يک کره محاط کنيم، قطر مکعب با قطر کره مساوی است.

کره - پیمان گردلو

قطر مکعبی به ضلع $10$ برابر $10 \sqrt{3}$ است، پس قطر کره $10 \sqrt{3}$ و شعاع آن $5 \sqrt{3}$ می‌شود.

حجم کره:

$\frac{4}{3} \times π \times {(5 \sqrt{3})}^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 125 \times 3 \sqrt{3} = 500 π \sqrt{3}$

شکل زير را حول $A B$ دوران کامل می‌دهيم، حجم حادث از ناحيه حاشور خورده چند واحد مکعب است.

کره - پیمان گردلو

کافی است از حجم يک استوانه به شعاع قاعده $\frac{a}{2}$ و ارتفاع $a$ حجم يک نيم کره به شعاع $\frac{a}{2}$ را کم کنيم:

$π \times {(\frac{a}{2})}^{2} \times a - \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π {(\frac{a}{2})}^{3} = \frac{π a^{3}}{4} - \frac{π a^{3}}{12} = \frac{2 π a^{3}}{12} = \frac{π a^{3}}{6}$

پیمانه‌ای به شکل نیم کره و به قطر دهانه $24$ سانتی متر را از آب پر کرده و آب آن را در لیوانی استوانه ای شکل با همان قطر خالی می‌کنیم. آب در لیوان تا چه ارتفاعی بالا می‌آید؟

شعاع سطح مقطع:

$R = 24 \div 2 = 12$

حجم نیم‌ کره:

$S_{1} = \frac{1}{2} \times [\frac{4}{3} π R^{3}] = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π {(12)}^{3} = 1152 π$

حجم استوانه برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع:

$S_{2} = π R^{2} \times h = {(12)}^{2} π \times x$

حجم آب درون استوانه با حجم نیم‌کره را می‌بایست مساوی یکدیگر قرار دهیم:

$1152 π = {(12)}^{2} π \times x \Rightarrow x = \frac{1152 π}{144 π} = 8$

تمرین

یک کپسول گاز از قرار گرفتن یک نیم کره روی یک استوانه به‌صورت زیر درست شده است:

اگر قطر دایره قاعده کپسول $60 c m$ سانتی متر و ارتفاع آن یک متر باشد، حجم کپسول را برحسب متر مکعب به‌دست آورید.

کره - پیمان گردلو

حجم نیم ‌کره:

$V_{1} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π {(0_{/} 3)}^{3} = 0_{/} 018 π m^{3}$

حجم استوانه:

$V_{2} = π \times {(0_{/} 3)}^{2} \times 0_{/} 7 = 0_{/} 063 π m^{3}$

حجم کل:

$V = 0_{/} 018 π + 0_{/} 063 π = 0_{/} 081 π m^{3}$

اگر بخواهیم سطح کل این کپسول را رنگ کنیم، چند کیلو گرم رنگ لازم است به شرط این‌که رنگ آمیزی هر متر مربع به $100$ گرم رنگ نیاز داشت باشد؟

سطح قاعده استوانه:

$S_{1} = π R^{2} = {(0_{/} 3)}^{2} π = 0 / 09 π$

سطح رویه استوانه:

$S_{2} = 2 π R h = 2 π R \times 0 / 7 = 0_{/} 6 π \times 0_{/} 7 = 0 / 42 π$

سطح نیم ‌کره:

$S_{3} = \frac{1}{2} \times 4 π \times {(0_{/} 3)}^{2}$

$S = 0_{/} 09 π + 0_{/} 42 π + 0_{/} 18 π = 0_{/} 69 π m^{2}$

$100 g r = 0_{/} 1 k g$

رنگ لازم:

$0_{/} 69 π \times 0_{/} 1 = 0_{/} 069 π k g$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه فضائی

کره

تعریف کره

حجم کره

روش اول محاسبه حجم کره

روش دوم محاسبه حجم کره

مساحت کره

روش اول محاسبه مساحت کره

روش دوم محاسبه مساحت کره

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟