سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

هرم

آخرین ویرایش: 19 دی 1402

دسته‌بندی: هندسه فضائی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده یا وجه زیرین آن یک چندضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث می‌باشند.

این مثلث‌ها یک راس مشترک به‌نام $S$ دارند.

هرمی که قاعده آن مثلث باشد، هرم مثلث‌القاعده نامیده می‌شود:

هرم - پیمان گردلو

هرمی که قاعده آن مربع باشد، هرم مربع‌القاعده نامیده می‌شود:

هرم - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه اهرام ثلاثه مصر هرم مربع‌القاعده هستند:

هرم - پیمان گردلو

ارتفاع هرم

پاره‌خطی که از راس هرم بر صفحه قاعده آن عمود شود، ارتفاع نامیده می‌شود.

در شکل زیر $S H$ ارتفاع هرم می‌باشد:

هرم - پیمان گردلو

نکته

1- سهم هرم

در این هرم ارتفاع هر وجه جانبی (ارتفاع مثلث های جانبی) را سهم هرم می‌نامند. در شکل زیر $S O$ را سهم هرم گویند.

هرم - پیمان گردلو

2- در شکل‌های زیر مثلث‌های قاعده هم‌نهشت هستند:

هرم - پیمان گردلو

چون ارتفاع $O H$ بزرگ‌تر از $O^{'} H^{'}$ است، حجم هرم $O A B C$ از هرم $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ بیش‌تر است.

3- در شکل‌های زیر ارتفاعات دو هرم با هم برابر هستند. $O H = O' H'$

هرم - پیمان گردلو

چون مثلث با قاعده $A B C$ کوچک‌تر از مثلث با قاعده $A^{'} B^{'} C^{'}$ است، پس حجم هرم $O A B C$ کم‌تر است.

4- در شکل‌های زیر ارتفاعات دو هرم $M A B C D$ و $N A B C D$ با هم برابر هستند. $O H = O' H'$

هرم - پیمان گردلو

چون مساحت قاعده $A B C D$ در هر دو هرم یکسان است، بنابراین حجم‌های آنها برابرند.

مساحت جانبی هرم

مساحت جانبی هرم برابر است با مجموع مساحت‌های وجوه جانبی آن.

هرم - پیمان گردلو

تمرین

قاعده یک هرم منتظم، مربعی به‌ضلع $12 m$ و ارتفاع آن $8 m$ می‌باشد.

هرم - پیمان گردلو

مساحت جانبی و مساحت کل این هرم را بیابید.

$S M^{2} = S H^{2} + H M^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow S M = 10 m$

مساحت جانبی برابر است با:

$4 \times \frac{B C \times S M}{2} = 4 \times \frac{12 \times 10}{2} = 240 m^{2}$

مساحت کل برابر است با:

$240 + 12^{2} = 240 + 144 = 384 m^{2}$

حجم هرم

به شکل‌های زیر نگاه کنید:

در این‌جا سه هرم را کنار هم گذاشته‌ایم و یک مکعب که خود یک منشور است‌، ساخته‌ایم.

این کار مانند آن است که یک مکعب را به سه هرم با حجم‌های مساوی تجزیه کرده باشیم.

با استفاده از ایده تجزیه شکل‌ها، می‌توان حجم هرم را در حالت کلی محاسبه کرد.

با پذیرفتن این موضوع که دو هرم با سطح قاعده‌ها و ارتفاع‌های مساوی دارای حجم‌های یکسان هستند:

کافی است که حجم یک هرم با قاعده مربع را پیدا کنیم‌، زیرا برای هر هرم دیگری می‌توان هرمی با قاعده مربع ساخت که مساحت قاعده و ارتفاع آن با مساحت قاعده و ارتفاع آن هرم برابر باشد.

برای این منظور مکعب مستطیلی می‌سازیم که قاعده آن همان قاعده هرم و ارتفاع آن با ارتفاع هرم برابر باشد.

این مکعب مستطیل را به سه هرم تجزیه می‌کنیم.

این سه هرم دارای حجم‌های برابر می‌باشند، چون حجم مکعب مستطیل مساوی مجموع حجم این سه هرم است، بنابراین:

حجم هرم $= \frac{1}{3} \times S \times h$

حجم مکعب مستطیل $= \frac{1}{3} \times$ حجم هرم

در فرمول فوق:

$S$ مساحت قاعده هرم است.
$h$ ارتفاع است.

تذکر

برای محاسبه حجم هرم، منشور زیر را در نظر بگیرید:

با توجه به مراحل زیر، منشور فوق را به سه هرم تجزیه می‌کنیم:

هرم - پیمان گردلو

مساحت قاعده دو هرم یعنی مثلث‌های $A B D$ و $B D E$ باهم برابرند و اندازه ارتفاع این هرم‌ها یعنی فاصله نقطه $C$ از وجه $A B D E$ نیز یکسان می‌باشد.

مساحت قاعده دو هرم یعنی مثلث‌های $A B C$ و $D E F$ با هم برابرند $A D = C F$ پس ارتفاع برابر دارند.

در نتیجه دارای حجم‌های برابر خواهند بود. نتیجه می‌گیریم حجم هر سه هرم با هم مساوی است و حجم هر یک از آن‌ها یک سوم حجم منشور است.

تمرین

قاعده یک هرم، مربعی به‌ضلع $8$ و ارتفاع آن $3$ است.

هرم - پیمان گردلو

مساحت جانبی، مساحت کل و حجم این هرم را حساب کنید. اندازه هر یال هرم چقدر است؟

اگر $M$ وسط ضلع $B C$ باشد، داریم:

$S M^{2} = O S^{2} + O M^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \Rightarrow S M = 5$

مساحت جانبی برابر است با:

$4 \times (\frac{5 \times 8}{2}) = 80$

مساحت کل برابر است با:

$80 + (8 \times 8) = 144$

حجم هرم برابر است با:

$\frac{1}{3} \times 8 \times 8 \times 3 = 64$

$S B^{2} = O S^{2} + O B^{2} = 3^{2} + {(4 \sqrt{2})}^{2} = 9 + 32 = 41 \Rightarrow S B = \sqrt{41}$

تمرین

در داخل يک استوانه به شعاع قاعده $5 \sqrt{2} m$ و ارتفاع $15 m$ هرمی مربع القاعده چنان محاط کرده ايم که قاعده آن در يک قاعده استوانه محاط و راس هرم به مرکز قاعده ديگر استوانه منطبق است، حجم هرم را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} O H = B H = \frac{A B}{2} \\ O B^{2} = O H^{2} + H B^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(5 \sqrt{2})}^{2} = {(\frac{A B}{2})}^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 50 = \frac{{(A B)}^{2}}{4} + \frac{{(A B)}^{2}}{4} \\ \Rightarrow 100 = A B^{2} \\ \Rightarrow A B = 10 \end{array}$

حجم هرم:

$V = \frac{1}{3} \times 10^{2} \times 15 = 100 m^{3}$

در شکل زير $S A B C$ يک هرم مثلث القاعده است، حجم اين هرم چند واحد مکعب است؟

هرم - پیمان گردلو

ضلع مقابل به زاویه $30^{\circ}$ نصف وتر است:

$\begin{array}{l} A H = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{A \overset{△}{B} C} = \frac{1}{2} \times B C \times A H = \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{5}{2} = 10 \end{array}$

$\frac{1}{3} \times S_{A \overset{△}{B} C} \times 12 = \frac{1}{3} \times 10 \times 12 = 40$

حجم هرمی $225 c m^{3}$ و مساحت قاعده آن $75 c m^{2}$ است. ارتفاع هرم چند سانتی‌متر است؟

$\frac{1}{3} \times 75 \times h = 225 \Rightarrow h = \frac{3 \times 225}{75} = 9 c m$

ظرفی به شکل منشور $729$ ليتر گنجايش دارد، حجم ظرف هرم شکلی که هم قاعده و هم ارتفاع آن باشد، چند متر مکعب است؟

$V = \frac{1}{3} \times 729 = 243 l i t r = 0.243 m^{3}$

قاعده هرمی به شکل لوزی است که قطرهای $6 c m$ و $8 c m$ و ارتفاع هرم $12 c m$ می‌باشد، حجم اين هرم چند سانتی‌متر مکعب است؟

$\begin{array}{l} S = \frac{6 \times 8}{2} = 24 c m^{2} \\ V = \frac{1}{3} \times 24 \times 12 = 96 c m^{3} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه فضائی

هرم

تعریف هرم

ارتفاع هرم

مساحت جانبی هرم

حجم هرم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟