تعریف سری

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402
دسته‌بندی: سری های ریاضی
امتیاز:

تعریف سری

دنباله an از اعداد حقیقی را در نظر می‌گیریم، فرض کنیم:

S1=a1

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3

                                                        

Sn=a1+a2+a3+...+an=k=1nak

                                                        

از تعریف فوق نتایج زیر گرفته می‌شود:

1- دنباله زیر را یک سری نامتناهی یا به‌طور ساده یک سری می‌نامیم.

Sn=S1  ,  S2  ,  S3  ,  ...  ,  Sn  ,  ....

2- مقدار Sn را حاصل جمع جزیی nام سری می‌نامیم و به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

Sn=a1+a2+...+an=k=1nak

3- نماد زیر را برای نمایش سری به کار می‌بریم و در آن ....,a2  ,  a1 را جملات سری و an را جمله عمومی سری می‌گوییم.

n=1+an=a1+a2+...+an+...

4- اگر limnSn=S یعنی به سمت عدد متناهی S میل کند، دنباله Sn همگراست و S حد دنباله Sn است.  

S=limnSn=limna1+a2+...+an+...=n=1an

5- اگر limnSn به‌سمت عدد متناهی میل نکند، آن‌گاه سری واگرا است. 

  • هرگاه در یک سری واگرا، limn+Sn برابر با + یا - شود، سری را واگرای مشخص می‌نامند.
  • هرگاه در یک سری واگرا، limn+Sn موجود نباشد و ± هم نباشند، سری را واگرای نوسانی می‌نامند.

نکته

لفظ سری همواره دو نوع دنباله را در ذهن تداعی می‌کند، یکی دنباله مولد سری یعنی: 

a1  ,  a2  ,  ...  ,  an

دیگری دنباله حاصل از مجموعه های جزیی که آن را سری نامیده یعنی:

S1  ,  S2  ,  S3  ,  ...  ,  Sn

که به‌صورت زیر بیان می‌شود:

Sn=k=1nak

تذکر

در کار با سری ها اغلب با دو نوع پرسش مواجه هستیم:

گاهی در بررسی یک سری تنها اطلاع از همگرایی یا واگرایی آن کافی است و نیازی به یافتن مقدار حاصل جمع آن در مساله مورد نظر نداریم که در این حالت کار قدری ساده‌تر است.

گاهی از ما خواسته می‌شود که همگرای یک سری را بررسی کنیم و در صورت همگرا بودن حاصل جمع آن را به‌دست آوریم .

در این مورد مثال هایی ارائه خواهیم کرد و بر ما معلوم خواهد شد که به‌دست آوردن مقدار دقیق حاصل جمع یک سری همگرا همواره کار آسانی نیست.

تمرین

اگر a>0  آن‌گاه مقدار سری زیر  چقدر است؟

n=2a2n+1a2n1

Sn=a5a3+a7a5+...+a2n+1a2n1


Sn=a2n+1a3

limn+Sn=limn+a2n+1a3


limn+Sn=limn+a 12n+1a3


limn+Sn=1a3S=1a3

دریافت مثال

قضایای سری

قضیه

اگر n=1an و n=1bn دو سری همگرا باشد و c عدد ثابتی باشد، آن‌گاه سری های زیر همگرایند و داریم:

n=1an±bn=n=1an±n=1bnn=1can=cn=1an

اثبات

n=1an±n=1bn

=a1+a2+...+an+...±b1+b2+...+bn+...

=a1±b1+a2±b2+...+an±bn+...

=n=1an±bn

S=n=1an

S=limna1+a2+...+an+...

cS=climna1+a2+...+an+...

cS=limnca1+ca2+...+can+...

cn=1an=n=1can

تذکر

فرض کنیم c0 یک عدد ثابت دلخواهی باشد، اگر سری n=1an واگرا باشد، آن‌گاه سری n=1c.an هم واگرا است.  

قضیه

اگر سری n=1an همگرا و سری n=1bn واگرا باشد، آن‌گاه سری های زیر واگرا هستند:

n=1an±bn=n=1an±n=1bn

اثبات

اثبات به برهان خلف است، یعنی فرض کنیم که سری زیر همگرا بوده و حاصل جمع آن S است.  

n=1an+bn

سری n=1an همگرا است و فرض کنیم که حاصل جمع سری n=1an برابر r باشیم:   

n=1bn=n=1an+bnan=n=1an+bnn=1an=Sr

سری n=1bn همگرا بوده و حاصل جمع آن Sr است، اما این با فرض واگرا بودن n=1an+bn متناقض است، بنابراین سری n=1bn واگرا است.   

تذکر

اگر سری های n=1an و n=1bn هر دو واگرا باشند، آن‌گاه سری n=1an±bn ممکن است همگرا باشد یا نباشد.   

تمرین

اگر an=1n و bn=1n دو سری واگرا باشد، آن‌گاه:

n=1an+bn=n=11n+1n=n=12n


مجموع دو سری واگرا است.

تمرین

اگر an=1n و bn=-1n دو سری واگرا باشد، آن‌گاه:

n=1anbn=n=11n1n=n=10


تفاضل دو سری همگرا است.

نکته

بستگی مقدار سری n=1an به جملات an  

حذف یا افزودن تعداد متناهی از جملات سری در همگرا یا واگرا بودن نقشی ندارد اما این تغییرات در مقدار سری تاثیر دارد، یعنی مقدار یک سری همگرا به تمام جملات سری بستگی دارد.

تمرین

دو سری زیر را با هم مقایسه کنید.

n=012n=1+12+122+...+12n+...=1112=2


در صورتی‌که:


n=112n=12+122+...12n+...= 12112=1


یعنی با کم کردن عدد 1 از سری، مقدار سری نیز یک واحد کاهش یافته است.

قضیه

اگر دنباله ak با شرط k=1  ,  2  ,  3  ,  ... یک دنباله نامتناهی باشد و فرض کنیم k=1ak=A باشد، آن‌گاه:  

k=Nak=Ak=1N1ak

N عدد طبیعی دل‌خواه است.

اثبات

k=1nak=k=1N1ak+k=Nnak

k=1ak=k=1N1ak+k=Nak    ;   n+

k=Nak=k=1akk=1N1ak     ;   A=k=1ak

k=Nak=Ak=1N1ak

قضیه

نامنفی بودن سری:

if  nN;  an0n=1an0

if  nN;  anbnn=1ann=1bn

هر دوسری n=1an و n=1bn همگرا می‌باشند. 

اثبات

an0Sn0

limn+Sn0  ;  limn+Sn=n=1an

n=1an0

if   anbnbnan0n=1bnan0

n=1bnn=1an0n=1bnn=1an

تمرین

سری زیر را در نظر بگیرید:

Sn=1+12+122+...+12n1

مجموعه جزئی nام سری را بیابید.

S1=1=2120S2=1+12=2121


S3=1+12+122=2122                    

Sn=1+12+...+12n1=212n1

ثابت کنيد سری به عدد 2 همگرا است.

S=limn+Sn=limn+212n1=20=2

تمرین

همگرايی سری های زير را با به‌دست آوردن حاصل جمع جزئی n ام سری ثابت کنيد.

n=112n12n+1

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:


12n12n+1=A2n1+B2n+1


12n12n+1=A2n+1+B2n12n12n+1


12n12n+1=n2A+2B+AB2n12n+1    ;    2A+2B=0AB=1A=12B=12


12n12n+1= 122n1 122n+1


12n12n+1=1212n112n+1


n=112n12n+1=n=11212n112n+1


جمله عمومی سری:


an=1212n112n+1


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an


Sn=12113+1315+1517+...+12n112n+1


Sn=12112n+1

limn+Sn=limn+12112n+1


limn+Sn=1210limn+Sn=12S=12


سری به عدد فوق همگراست.


n=112n12n+1=12

n=11n+12n+1nn+1

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:


2n+1nn+1=An+Bn+12n+1nn+1=An+1+Bnnn+1


2n+1nn+1=A+Bn+Ann+1   ;   A+B=2A=1A=1B=1


2n+1nn+1=1n+1n+1


1n+12n+1nn+1=1n+11n+1n+1


k=11n+12n+1nn+1=k=11n+11n+1n+1


جمله عمومی سری:


an=1n+11n+1n+1


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an


Sn=1+1212+13+....+1n+11n+1n+1


Sn=1+1n+1n+1


limn+Sn=limn+1+1n+1n+1


S=1


سری به عدد فوق همگراست.


n=11n+12n+1nn+1=1

n=12n2+3n+3nn+1n+2n+3

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:


2n2+3n+3nn+1n+2n+3


=nn+1+n+2n+3nn+1n+2n+3


=n+2n+3nn+1n+2n+3+nn+1nn+1n+2n+3


=1nn+1+1n+2n+3


=n+1nnn+1+n+3n+2n+2n+3


=n+1nn+1nnn+1+n+3n+2n+3n+2n+2n+3


=1n1n+1+1n+21n+3


اکنون n جمله اول اين سری را، به‌طور ستونی در زير يک‌ديگر می‌نويسيم و آنها را جمع می‌کنيم.


a1=112+1314


a2=1213+1415


a3=1314+1516


a4=1415+1617


a5=1516+1718                                          

an3=1n31n2+1n11n


an2=1n21n1+1n1n+1


an1=1n11n+1n+11n+2


an=1n1n+1+1n+21n+3


اگر طرفين اين تساوی را جمع کنيم، خواهيم داشت:


Sn=1+131n+11n+3


limnSn=limn1+131n+11n+3


S=43

n=1lognn+2n+12

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:


lognn+2n+12=lognn+2n+1n+1lognn+2n+12=log nn+1 n+1n+2


lognn+2n+12=lognn+1logn+1n+2


n=1lognn+2n+12=n=1lognn+1logn+1n+2


جمله عمومی سری:


an=lognn+1logn+1n+2


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an


Sn=log12log23+log23log34+...lognn+1logn+1n+2


Sn=log12logn+1n+2


limn+Sn=limnlog12logn+1n+2


limn+Sn=log12log1limn+Sn=log12S=log12


سری به عدد فوق همگراست.


n=1lognn+2n+12=log12

n=1112+22+...+n2   ;   loge2=112+1314+...

ابتدا کسر را به حاصل جمع سه کسر ساده تر تجزيه می‌کنيم:


112+22+...+n2=1 nn+12n+16


112+22+...+n2=6nn+12n+1    ;    12+22+...+n2=nn+12n+16


6nn+12n+1=An+Bn+1+C2n+1


6nn+12n+1=An+12n+1+Bn2n+1+Cnn+1nn+12n+1    ;    A=6B=6C=24


6nn+12n+1=6n+6n+1+242n+1


112+22+...+n2=6n+6n+1242n+1


n=1112+22+...+n2=n=16n+6n+1242n+1


جمله عمومی سری:


an=6n+6n+1242n+1


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


if   n=1a1=61+62243if   n=2a2=62+63245if   n=3a3=63+64247


Sn=a1+a2+...+an


Sn=61+62243+62+63245+63+64247+...+6n+6n+1242n+1


Sn=6+62+62+63+63243+64+64+65+65245+...


Sn=6+122123+124125+....


Sn=6+121213+1415+...


Sn=6+121+1213+1415+...+1


Sn=6+12112+1314+...+1


Sn=1812112+1314+...    ;    loge2=112+1314+..


Sn=1812loge2


limn+Sn=limn+1812loge2


S=1812loge2


سری به عدد فوق همگراست.


n=1112+22+...+n2=1812loge2

n=13n+4n6k

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو عبارت ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:


3n+4n6n=3n6n+4n6n


3n+4n6n=36n+46n


n=13n+4n6n=n=112n+23n


جمله عمومی سری:


an=12n+23n


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an


Sn=12+23+122+232+...+12n+23n


Sn=12+122+...+12n+23+232+...+23n


Sn=n=112n+n=123n


limn+Sn=limn+n=112n+limn+n=123n    ;    Ι


limn+Sn=1+2limk+Sn=3S=3


یادآوری) دو سری هندسی زیر را در نظر بگیرید:


n=112n    ;    a=12q=12S'=a1q=12112=1


n=123n    ;    a=23q=23S''=a1q=23123=2

n=11n+1+n

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو عبارت ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:


1n+1+n=n+1nn+1+nn+1n


1n+1+n=n+1nn+1n


1n+1+n=n+1n


n=11n+1+n=n=1n+1n


جمله عمومی سری:


an=n+1n


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an1+an


Sn=21+32+...+n+1n


Sn=n+11


limn+Sn=limn+n+11


S=+


سری واگراست.

n=1sinnα

1    if   α=kπ   ,   kZ


جمله عمومی سری:


an=sinnα


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an1+an


Sn=sinα+sin2α+...+sinnα    ;    α=kπ


Sn=sinkπ+sin2kπ+...+sinnkπ


Sn=0+0+...+0limn+Sn=limn+0S=0


در اين حالت سری به صفر همگراست.


2    if   αkπ   ,   kZ


جمله عمومی سری:


an=sinnα


اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی nام سری را بر‌حسب n به‌دست آوريم:


Sn=a1+a2+...+an1+an


Sn=12sinα22sinα2.sinα+2sinα2.sin2α+...+2sinα2.sinnα


Sn=12sinα2cosα2αcosα2+α+cosα22αcosα2+2α+...+cosα2nαcosα2+nα


Sn=12sinα2cosα2cos3α2+cos3α2cos5α2+...+cosα2nα2cosα+2nα2

Sn=sinα+sin2α+...+sinnα


Sn=12sinα2cosα2cos3α2+cos3α2cos5α2+...+cos2n1α2cos2n+1α2


Sn=12sinα2cosα2cos2n+12α


limn+Sn=limn+12sinα2cosα2cos2n+12α


S=limn+12sinα2cosα2cos2n+12α


حد فوق موجود نيست، بنابراين سری زیر حالت کلی واگرا است:


n=1sinnα


یادآوری)


2sinα.sinβ=cosαβcosα+β

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعریف سری

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید