همگرایی در سری

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402
دسته‌بندی: سری های ریاضی
امتیاز:

مقدمه

برای ورود به بحث به سری های زیر توجه کنید:

n=155n+25n+7=17

n=2+2nn+1=1

k=1n14k21=12

n=1n1n!=1

مقدار این سری ها در مطالب پیشین مورد بررسی قرار گرفت.

سری های فوق همگرا هستند و حد جمله عمومی همه آنها صفر است.

در سری اول داریم:

limn+an=limn+55n+25n+7=0

همگرایی در سری ها

قضیه

اگر سری n=1an همگرا باشد، آن‌گاه حد جمله عمومی آن صفر است:

limn+an=0

اثبات

اگر Sn1 و Sn به‌ترتیب حاصل جمع های جزیی n-1ام و nام سری باشند، داریم:

Sn1=a1+a2+...+an1Sn=a1+a2+...+an1+an

SnSn1=a1+a2+...+an1+ana1+a2+...+an1

SnSn1=an

limn+SnSn1=limn+an

limn+Snlimn+Sn1=limn+an

SS=limn+an

limn+an=0

نکته

عکس قضیه در حالت کلی برقرار نیست یعنی اگر limn+an=0 باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که سری n=1an همگرا است.  

سری زیر را در نظر بگیرید:

n=11n+1+n

حد جمله عمومی سری فوق، صفر است:

limn+1n+1+n=0

اما سری واگراست:

n=11n+1+n=+

تذکر

1- همان‌گونه که در عنوان قضیه بالا دیده شد، شرط قضیه برای همگرایی لازم است ولی کافی نیست.

2- شرط کافی همگرایی سری به کمک آزمون های مختلفی صورت می‌گیرد که بعدا گفته می‌شود.

3- گاهی اوقات ممکن است از قضیه بالا برای واگرایی یک سری استفاده کنیم، یعنی اگر بتوانیم نشان دهیم که حد جمله عمومی سری صفر نمی‌شود، آن‌گاه به استناد قضیه فوق حکم به واگرایی سری می‌کنیم.

یعنی اگر limn+an0 آن‌گاه سری n=1an واگراست. 

تمرین

همگرایی یا واگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

n=1sinnπ

limk+ak=limk+sinkπ=0     ;     kN


شرط لازم برای همگرايی موجود است، ممکن است همگرا باشد يا نباشد، بايستی تحقيق شود:


n=1sinnπ=sinπ+sin2π+sin3π++sinnπ=0


سری به صفر همگرا است.

n=1log1+1n

limn+an=limn+log1+1n=log1=0


شرط لازم برای همگرايی موجود است، ممکن است همگرا باشد يا نباشد، بايستی تحقيق شود:


k=1log1+1k=k=1logk+1k=k=1logk+1logk


=k=1logklogk+1    ;    fk=logk


=f1limn+fn+1=log1limn+logn+1


=limn+logn+1=+


سری واگرا است.

n=15+15n

limn+an=limn+5+15nlimn+an=5+0


limn+an=5limn+an0


سری واگرا است.

n=1n2+1n2

limn+an=limn+n2+1n2limn+an=1limn+an0


سری واگرا است.

n=11n+1×3

limn+an=limn+3×1n+1


حد دنباله فوق وجود ندارد پس واگراست. 

n=1n2+2nn

limn+an=limn+n2+2nn


limn+an=limn+n+22×1n


limn+an=1limn+an0


سری واگراست.


یادآوری)


limn+an2+bn+c=an+b2a

n=1n2+5n+1n2+4n+2n2

limn+an=limn+n2+5n+1n2+4n+2n2

limn+an=limn+1n2


limn+an=1+limn+an=1limn+an0


سری واگراست.


یادآوری)


limn+cn=1c=1c=10c<1+c>1c<1

n=12n2n+1

limn+an=limn+2n2n+1limn+an=1limn+an0


سری واگراست.

n=132n

limn+an=limn+32nlimn+an=+limn+an0


سری واگراست.

دریافت مثال

همگرایی مطلق

سری an مطلقا همگراست، اگر سری |an| همگرا باشد.

اگر سری an مطلقا همگرا باشد، بنابراین همگرا هم می‌باشد. 

نکته

اگر an همگرا باشد و |an| واگرا باشد،آن سری همگرایی مشروط دارد.  

تمرین

کدام‌یک از سری های زیر همگرا مطلق، همگرای مشروط یا واگرا هستند.

n=1(1)nn

n=1|(1)nn|=n=11n


با توجه به سری همساز (هارمونیک) این سری واگراست.


بنابراین، این سری به طور مطلق همگرا نیست و به‌طور مشروط همگرا است زیرا خود سری همگرا می‌باشد.

n=1(1)n+2n2

n=1|(1)n+2n2|=n=11n2


این سری با توجه به سری ریمانی، همگراست، بنابراین سری فوق مطلقا همگراست

n=2(1)n+1n3+1

n=2|(1)n+1n3+1|=n=21n3+1


1n3+1<1n3


سری n=21n3 با توجه به سری ریمانی، همگراست، بنابراین سری فوق مطلقا همگراست. 

خرید پاسخ‌ها

همگرایی در سری

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید