سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

همگرایی در سری

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

برای ورود به بحث به سری های زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5}{(5 n + 2) (5 n + 7)} = \frac{1}{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{2}{n (n + 1)} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4 k^{2} - 1} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n!} = 1$

مقدار این سری ها در مطالب پیشین مورد بررسی قرار گرفت.

سری های فوق همگرا هستند و حد جمله عمومی همه آنها صفر است.

در سری اول داریم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{5}{(5 n + 2) (5 n + 7)} = 0$

همگرایی در سری ها

قضیه

اگر سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ همگرا باشد، آن‌گاه حد جمله عمومی آن صفر است:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$

اثبات

اگر $S_{n - 1}$ و $S_{n}$ به‌ترتیب حاصل جمع های جزیی $(n - 1)$ ام و $n$ ام سری باشند، داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S_{n - 1} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} \\ S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} - S_{n - 1} = (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n}) - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} - S_{n - 1} = a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} (S_{n} - S_{n - 1}) = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} - \lim_{n \to + \infty} S_{n - 1} = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S - S = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$

نکته

عکس قضیه در حالت کلی برقرار نیست یعنی اگر $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ همگرا است.

سری زیر را در نظر بگیرید:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

حد جمله عمومی سری فوق، صفر است:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = 0$

اما سری واگراست:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = + \infty$

تذکر

1- همان‌گونه که در عنوان قضیه بالا دیده شد، شرط قضیه برای همگرایی لازم است ولی کافی نیست.

2- شرط کافی همگرایی سری به کمک آزمون های مختلفی صورت می‌گیرد که بعدا گفته می‌شود.

3- گاهی اوقات ممکن است از قضیه بالا برای واگرایی یک سری استفاده کنیم، یعنی اگر بتوانیم نشان دهیم که حد جمله عمومی سری صفر نمی‌شود، آن‌گاه به استناد قضیه فوق حکم به واگرایی سری می‌کنیم.

یعنی اگر $\lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0$ آن‌گاه سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ واگراست.

تمرین

همگرایی یا واگرایی سری های زیر را بررسی کنید.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \sin n π$

$\lim_{k \to + \infty} a_{k} = \lim_{k \to + \infty} \sin k π = 0; k \in N$

شرط لازم برای همگرايی موجود است، ممکن است همگرا باشد يا نباشد، بايستی تحقيق شود:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \sin n π = \sin π + \sin 2 π + \sin 3 π + \dots + \sin n π = 0$

سری به صفر همگرا است.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \log (1 + \frac{1}{n})$

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} \log (1 + \frac{1}{n}) = \log 1 = 0$

شرط لازم برای همگرايی موجود است، ممکن است همگرا باشد يا نباشد، بايستی تحقيق شود:

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{\infty} \log (1 + \frac{1}{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \log (\frac{k + 1}{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} [\log (k + 1) - \log (k)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = - \sum_{k = 1}^{\infty} [\log (k) - \log (k + 1)]; f (k) = \log (k) \end{array}$

$\begin{array}{l} = - [f (1) - \lim_{n \to + \infty} f (n + 1)] \\ = - [\log 1 - \lim_{n \to + \infty} \log (n + 1)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{n \to + \infty} \log (n + 1) \\ = + \infty \end{array}$

سری واگرا است.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (5 + \frac{1}{5^{n}})$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} (5 + \frac{1}{5^{n}}) \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 5 + 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 5 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \end{array}$

سری واگرا است.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n^{2}}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 1}{n^{2}} \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 1 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \end{array}$

سری واگرا است.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \times 3$

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} 3 \times {(- 1)}^{n + 1}$

حد دنباله فوق وجود ندارد پس واگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} [(n + \frac{2}{2 \times 1}) - n] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 1 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \end{array}$

سری واگراست.

یادآوری)

$\lim_{n \to + \infty} \sqrt{a n^{2} + b n + c} = \sqrt{a} (n + \frac{b}{2 a})$

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{n^{2} + 5 n + 1}{n^{2} + 4 n + 2})}^{n^{2}}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} {(\frac{n^{2} + 5 n + 1}{n^{2} + 4 n + 2})}^{n^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} {(1)}^{n^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 1^{+ \infty} \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 1 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \end{array}$

سری واگراست.

یادآوری)

$\lim_{n \to + \infty} c^{n} = \{\begin{matrix} 1 & c = 1 \\ \otimes & c = - 1 \\ 0 & |c| < 1 \\ + \infty & c > 1 \\ \otimes & c < - 1 \end{matrix}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n}{2 n + 1}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{2 n + 1} \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 1 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \end{array}$

سری واگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{3}{2})}^{n}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} {(\frac{3}{2})}^{n} \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \end{array}$

سری واگراست.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

همگرایی مطلق

سری $\sum a_{n}$ مطلقا همگراست، اگر سری $\sum | a_{n} |$ همگرا باشد.

اگر سری $\sum a_{n}$ مطلقا همگرا باشد، بنابراین همگرا هم می‌باشد.

نکته

اگر $\sum a_{n}$ همگرا باشد و $\sum | a_{n} |$ واگرا باشد،آن سری همگرایی مشروط دارد.

تمرین

کدام‌یک از سری های زیر همگرا مطلق، همگرای مشروط یا واگرا هستند.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{{(- 1)}^{n}}{n} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

با توجه به سری همساز (هارمونیک) این سری واگراست.

بنابراین، این سری به طور مطلق همگرا نیست و به‌طور مشروط همگرا است زیرا خود سری همگرا می‌باشد.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 2}}{n^{2}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{{(- 1)}^{n + 2}}{n^{2}} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

این سری با توجه به سری ریمانی، همگراست، بنابراین سری فوق مطلقا همگراست

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{3} + 1}$

$\sum_{n = 2}^{\infty} | \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{3} + 1} | = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + 1}$

$\frac{1}{n^{3} + 1} < \frac{1}{n^{3}}$

سری $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ با توجه به سری ریمانی، همگراست، بنابراین سری فوق مطلقا همگراست.

خرید پاسخ‌ها

همگرایی در سری

1,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

همگرایی در سری

مقدمه

همگرایی در سری ها

همگرایی مطلق

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟