سرفصل‌های این مبحث

گزاره سوری

گزاره‌ های با سور عمومی

آخرین ویرایش: 09 اسفند 1402

دسته‌بندی: گزاره سوری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

به‌عبارت زیر توجه کنید:

همگان فانی هستند.

همان‌طورکه ملاحظه می‌کنید جمله فوق خاصیت فانی بودن را در مورد تمامی انسان‌ها بیان می‌کند، از این نوع جملات که گزاره‌هایی کلی هستند در ریاضی بسیار وجود دارد.

به‌عنوان نمونه:

در احتمال، هر مجموعه پیشامد، زیر مجموعه فضای نمونه است.
هر مستطیل، متوازی‌الاضلاع است.
هر عدد طبیعی، مثبت است.
هر عدد اول، فرد است.

مشخصه اصلی این نوع گزاره‌ها آن است که خاصیتی را در مورد تمام عناصر یک مجموعه بیان می‌کنند و از این رو است که آنها را گزاره‌های کلی می‌نامند.

در ریاضی نیز نماد به‌خصوصی برای نشان دادن این نوع گزاره‌ها به‌کار می‌برند که وارون حرف اول کلمه $A L L$ یعنی $(\forall)$ است.

تذکر

سورها علامت‌هایی هستند که در جلوی گزاره‌نما ها قرار می‌گیرند و متغیرهای گزاره‌نما را به یک مجموعه معین محدود می‌کنند و بدین ترتیب گزاره‌نما را به گزاره تبدیل می‌کنند.

سور عمومی، سور وجودی، سور صفر و سور انحصاری از اقسام سورها هستند.

سور وجودی را با $(\exists)$ نشان می‌دهند که وارون حرف اول کلمه $E X I S T$ به‌معنی وجود داشتن است.

سور صفر را با نماد $\exists$ نشان می‌دهند.

تعریف گزاره با سور عمومی

گزاره‌ای که بیان‌گر خاصیتی در مورد تمامی عناصر مجموعه‌ای باشد، یک گزاره با سور عمومی گویند.

فرض کنید $p (x)$ گزاره‌نمایی باشد که خاصیتی را در مورد عناصر مجموعه $M$ بیان می‌کند، در این‌صورت گزاره‌ای که این خاصیت را به همه عناصر $M$ نسبت دهد، به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:

$(\forall x) (p (x)) \lor \forall x; p (x)$

$M$ را مجموعه مرجع یا دامنه متغیر گزاره زیر می‌گوییم:

$\forall x; p (x)$

نکته

به‌طور کلی فرض می‌کنیم $A$ زیر مجموعه‌ای از مجموعه مرجع $M$ باشد، گزاره $\forall x \in A; p (x)$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\forall x \in A; p (x) \equiv \forall x; (x \in A \Rightarrow p (x))$

تمرین

برای هر یک از گزاره‌نماهای زیر سور مناسب به‌کار ببرید.

${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

$\forall x \in R; {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

$|x + y| \leq |x| + |y|$

$\forall x \in R, \forall y \in R; |x + y| \leq |x| + |y|$

$|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$

$\forall x \in R, \forall y \in R - \{0\}; |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ارزش درستی گزاره‌های با سور عمومی

فرض کنید $M$ مجموعه مرجع و $S$ مجموع جواب گزاره‌نمای $p (x)$ باشد، در این صورت:

گزاره $\forall x; p (x)$ درست است هرگاه مجموعه جواب $p (x)$ برابر مجموع مرجع یعنی $S = M$ باشد.

به‌عبارت دیگر گزاره $\forall x; p (x)$ درست است هرگاه برای هر $a$ از مجموع مرجع که به‌جای $x$ قرار دهیم، $p (a)$ درست باشد.

تمرین

به جدول زیر توجه کنید:

تمرین

ارزش گزاره‌های زیر را بیان کنید.

$\forall x \in R; x^{2} \geq x$

گزاره نادرست است، زیرا $x = \frac{1}{2}$ برای آن مثال نقض محسوب می‌شود.

$\forall x \in z; x (x + 1) = 2 k, (k \in z)$

چون حاصل‌ضرب هر دو عدد متوالی صحیح، عددی زوج است بنابراین برای هر عضو از دامنه متغیر $z$ گزاره‌نما به گزاره‌ای درست تبدیل می‌شود، پس این عبارت درست است.

$\forall x \in R; \tan x \times \cot x = 1$

گزاره نادرست است، زیرا $x = \frac{π}{2}$ برای آن مثال نقض محسوب می‌شود.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اثبات درستی گزاره‌های به‌صورت $\forall x; p (x)$

برای اثبات درستی $\forall x; p (x)$ باید نشان دهیم مجموعه جواب $p (x)$ یعنی $S$ برابر مجموعه مرجع یعنی $M$ به‌صورت $S = M$ می‌باشد.

برای این‌کار معمولا یک عضو دل‌خواه از مرجع مانند $a$ در نظر می‌گیریم، سپس ثابت می‌کنیم $p (a)$ درست است.

چون $a$ دل‌خواه است پس همه عناصر مجموعه مرجع را می‌تواند اختیار کند، لذا برای هر $a$ از مرجع $p (a)$ درست می‌شود، یعنی $\forall x; p (x)$ درست است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نقیض گزاره $\forall x; p (x)$

گزاره زیر را در نظر بگیرید و نقیض آن را می‌نویسیم:

علی به مدرسه رفت.

معمولا برای نقیض کردن یک گزاره، فعل آن را منفی می‌کنند:

علی به مدرسه نرفت.

اکنون گزاره زیر را در نظر می‌گیریم و نقیض آن را می‌نویسیم:

هر آسیایی، ایرانی است.

در زبان طبیعی معمولا این اشتباه رخ می‌دهد که برای نوشتن نقیض این گزاره، فقط فعل آن را منفی می‌کنند و می‌نویسند:

هر آسیایی ایرانی نیست.

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، ارزش دو گزاره قبل (هر آسیایی ایرانی است) و (هر آسیایی، ایرانی نیست) نادرست است و این غیر ممکن است که یک گزاره و نقیض آن ارزش یکسان داشته باشند.

بنابراین، جمله دوم نمی‌تواند نقیض جمله اول باشد.

برای رفع این مشکل، فرض کنیم $A$ مجموعه مردمان آسیا و ایرانی بودن $x$ را با $p (x)$ نمایش دهیم.

بنابراین گزاره (هر آسیایی، ایرانی است) به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$(\forall x \in A : P (x))$

چون ارزش این گزاره نادرست است، پس ارزش گزاره نقیض آن یعنی گزاره زیر باید درست باشد:

$~ (\forall x \in A : P (x))$

از آنجا که ارزش گزاره $(\forall x \in A : P (x))$ نادرست است، پس وجود دارد $x \in A$ به‌طوری‌که $p (x)$ نادرست است.

بنابراین ارزش $~ p (x)$ درست است در نتیجه ارزش گزاره $\exists x \in A; ~ P (x)$ درست است و ارزش این گزاره با ارزش گزاره $~ (\forall x \in A : P (x))$ یکسان است، بنابراین داریم:

$~ (\forall x : P (x)) = \exists x : ~ P (x)$

در این‌صورت نقیض گزاره (هر آسیایی، ایرانی است) به‌صورت زیر است:

بعضی از آسیایی‌ها، ایرانی نیستند.

قضیه

نقیض گزاره $\forall x \in A : P (x)$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$~ [\forall x; p (x)] \equiv \exists x; ~ p (x)$

اثبات

روش اول-

فرض کنید $~ [\forall x; p (x)]$ نادرست باشد پس گزاره $\forall x; p (x)$ درست است، یعنی $S = M$ و $S$ مجموعه جواب $p (x)$ است.

بنابراین $S^{'} = \emptyset$ اما $S^{'}$ مجموعه جواب $~ p (x)$ است پس گزاره $\exists x; p (x)$ نادرست است زیرا مجموعه جواب $~ p (x)$ تهی است.

حال فرض کنید $~ [\forall x; p (x)]$ درست باشد بنابراین گزاره $S \neq M$ و $S$ مجموعه جواب $p (x)$ است.

پس $S^{'} \neq \emptyset$ بنابراین $S^{'}$ مجموعه جواب $~ p (x)$ ناتهی است لذا گزاره $\exists x; ~ p (x)$ درست است و حکم صادق است.

روش دوم-

$\begin{array}{l} ~ [\forall x; p (x)] \\ \equiv ~ [\forall x \in A; p (x)] \\ \equiv ~ [\forall x; x \in A \Rightarrow p (x)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv \exists x; ~ (x \in A \Rightarrow p (x)); ~ (p \Rightarrow q) \equiv p \land ~ q \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv \exists x; x \in A \land ~ p (x) \\ \equiv \exists x \in A; ~ p (x) \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

گزاره‌های از نوع $\forall x, \forall y; p (x, y)$

عبارت زیر را در نظر می‌گیریم:

$\forall x; x > y$

در این عبارت دو متغیر $x$ و $y$ وجود دارند که در آن متغیر $x$ را مقید (پابند) به سور و متغیر $y$ را آزاد می‌نامند.

به‌طورکلی متغیری را در یک گزاره‌نما آزاد گویند هرگاه در مورد آن سوری بیان نشده باشد و مقید گویند هرگاه وابسته به یک سور باشد.

دقت کنید در یک گزاره متغیر آزاد نداریم، پس اگر گزاره‌نمای ما دو متغیره یعنی به‌صورت $p (x, y)$ باشد در این‌صورت باید هم $x$ و هم $y$ مقید به سور باشند.

به‌عنوان نمونه:

$\forall x; x + y > 1$ گزاره نیست زیرا متغیر $y$ وابسته به سور نیست.

$\forall x, \forall y; x + y > 1$ گزاره است.

ارزش درستی گزاره‌های سوری $\forall x, \forall y; p (x, y)$ به‌صورت زیر بررسی می‌شود:

فرض کنید گزاره‌نمای $p (x, y)$ روی $A$ تعریف شده باشد و بنابراین مجموع مرجع $p (x, y)$ مجموعه $A \times A = M$ است.

گزاره $\forall x, \forall y; p (x, y)$ درست است هرگاه مجموعه جواب $p (x, y)$ برابر $M$ باشد، یعنی برای هر $a$ و $b$ از $A$ یا از هر زوج $(a, b)$ از $A \times A$ ، $p (a, b)$ درست باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

گزاره‌های با سور عمومی

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

گزاره سوری