سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش اتحادها یا تجزیه

آخرین ویرایش: 17 آبان 1403

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

با استفاده از مفاهیم اتحادها و همچنین تجزیه عبارات جبری، می‌توانیم بعضی از معادلات درجه دوم را حل کنیم.

یادآوری می‌کنیم که:

اتحاد اول

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از اتحاد اول حل کنید.

$\begin{array}{l} x^{2} + 6 x + 9 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} + 2 (x) (3) + {(3)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow {(x + 3)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 3) \times (x + 3) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3 \\ x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3 \end{cases} \end{array}$

معادله فوق دارای دو ريشه ساده $x = - 3$ يا يک ريشه مضاعف $x = - 3$ است.

$\begin{array}{l} 25 x^{2} + 60 x + 36 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(5 x)}^{2} + 2 (5 x) (6) + {(6)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow {(5 x + 6)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (5 x + 6) \times (5 x + 6) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 5 x + 6 = 0 \Rightarrow 5 x = - 6 \Rightarrow x = - \frac{6}{5} \\ 5 x + 6 = 0 \Rightarrow 5 x = - 6 \Rightarrow x = - \frac{6}{5} \end{cases}$

معادله فوق دارای دو ريشه ساده $x = - \frac{6}{5}$ يا يک ريشه مضاعف $x = - \frac{6}{5}$ است.

$x^{2} + 8 x + 16 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} + 2 (x) (4) + {(4)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow {(x + 4)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow (x + 4) (x + 4) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4 \\ x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4 \end{cases} \end{array}$

معادله درجه دوم فوق دارای دو ریشه ساده $x = - 4$ یا یک ریشه مضاعف $x = - 4$ می‌باشد.

$y^{2} + 12 y + 36 = 0$

$\begin{aligned} \Rightarrow y^{2} + 12 y + 36 & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} {\Rightarrow (y + 6)}^{2} & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (y + 6) (y + 6) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 6 \\ x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 6 \end{cases}$

اتحاد دوم

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از اتحاد دوم حل کنید.

$\begin{array}{l} x^{2} - 8 x + 16 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} - 2 (x) (4) + {(4)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow {(x - 4)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 4) \times (x - 4) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \\ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \end{cases} \end{array}$

معادله فوق دارای دو ريشه ساده $x = 4$ يا يک ريشه مضاعف $x = 4$ است.

$\begin{array}{l} 9 x^{2} - 24 x + 16 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(3 x)}^{2} - 2 (3 x) (4) + {(4)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow {(3 x - 4)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 x - 4) \times (3 x - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 3 x - 4 = 0 \Rightarrow 3 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \\ 3 x - 4 = 0 \Rightarrow 3 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \end{cases} \end{array}$

معادله فوق دارای دو ريشه ساده $x = \frac{4}{3}$ يا يک ريشه مضاعف $x = \frac{4}{3}$ است.

$25 x^{2} - 60 x + 36 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(5 x)}^{2} - 2 (5 x) (6) + {(6)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow {(5 x - 6)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow (5 x - 6) (5 x - 6) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 5 x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{6}{5} \\ 5 x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{6}{5} \end{cases} \end{array}$

معادله درجه دوم فوق دارای دو ریشه ساده $x = \frac{6}{5}$ یا یک ریشه مضاعف $x = \frac{6}{5}$ می‌باشد.

$\sqrt{x^{2} - 4} + 2 \sqrt{x - 2} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x^{2} - 4} = - 2 \sqrt{x - 2} \\ \Rightarrow {(\sqrt{x^{2} - 4})}^{2} = {(- 2 \sqrt{x - 2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 4 = 4 (x - 2) \\ \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 = 0 \\ \Rightarrow {(x - 2)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow x = 2 \end{array}$

اتحاد جمله مشترک

$x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از اتحاد جمله مشترک حل کنید.

$\begin{array}{l} x^{2} + 5 x + 6 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} + (2 + 3) (x) + (2) (3) = 0 \\ \Rightarrow (x + 2) (x + 3) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \\ x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3 \end{cases} \end{array}$

معادله فوق دارای دو ريشه ساده $x = - 2$ و $x = - 3$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} x^{2} - 3 x - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} + (1 - 4) (x) + (1) (- 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) (x - 4) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \end{cases} \end{array}$

معادله فوق دارای دو ريشه ساده $x = - 1$ و $x = 4$ می‌باشد.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} + (- 3 - 2) x + (- 3) (- 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 3) (x - 2) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \end{array}$

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x)}^{2} + (- 1 - 6) x + (- 1) (- 6) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) (x - 6) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \end{cases} \end{array}$

$x^{2} - x = 12$

$\Rightarrow \begin{aligned} x^{2} - x - 12 & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} (x - 4) (x + 3) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \\ x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3 \end{cases}$

$x^{2} + 40 = - 14 x$

$\begin{aligned} \Rightarrow x^{2} + 40 + 14 x & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (x + 4) (x + 10) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4 \\ x + 10 = 0 \Rightarrow x = - 10 \end{cases}$

$3 x^{2} = 2 x + 8$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 x^{2} - 2 x - 8 & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{3} [3 (3 x^{2} - 2 x - 8)] & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{3} (9 x^{2} - 6 x - 24) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \frac{1}{3} [{(3 x)}^{2} + (- 2) (3 x) + (4) (- 6)] = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{3} [(3 x + 4) (3 x - 6)] = 0$

$\Rightarrow \begin{aligned} (3 x + 4) (x - 2) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 3 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - \frac{4}{3} \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases}$

$\frac{1}{x + 1} = 1 - \frac{5}{2 x - 4}$

$\Rightarrow \begin{aligned} (x + 1) (2 x - 4) (\frac{1}{x + 1}) & = (x + 1) (2 x - 4) (1 - \frac{5}{2 x - 4}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 x - 4 & = (x + 1) (2 x - 4) - 5 (x + 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 x - 4 & = 2 x^{2} - 2 x - 4 - 5 x - 5 \end{aligned}$

$\Rightarrow 2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2} [2 (2 x^{2} - 9 x - 5)] = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2} (4 x^{2} - 18 x - 10) = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2} [{(2 x)}^{2} + (- 9) (2 x) + (- 10) (1)] = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2} (2 x - 10) (2 x + 1) = 0$

$\Rightarrow (x - 5) (2 x + 1) = 0$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2} \\ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \end{cases}$

$x + 3 + \frac{3}{x - 1} = \frac{4 - x}{x - 1}$

$\Rightarrow \begin{aligned} (x - 1) (x + 3 + \frac{3}{x - 1}) & = (\frac{4 - x}{x - 1}) (x - 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (x - 1) (x + 3) + 3 & = 4 - x \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} x^{2} + 2 x - 3 + 3 & = 4 - x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow x^{2} + 3 x - 4 & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (x - 1) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4 \end{cases}$

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = 1 - x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - \sqrt{x} = (1 - x) (1 + \sqrt{x}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - \sqrt{x} = 1 + \sqrt{x} - x - x \sqrt{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} (2 - x) = x \\ \Rightarrow {[\sqrt{x} (2 - x)]}^{2} = x^{2} \\ \Rightarrow x {(2 - x)}^{2} = x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 0 \\ \Rightarrow x (x^{2} - 5 x + 4) = 0 \\ \Rightarrow x (x - 4) (x - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 4 \\ x = 1 \end{cases} \end{array}$

$x = 4$ در معادله صادق نیست، بنابراین ریشه معادله نمی‌باشد.

$\begin{array}{l} \frac{5}{x} - \frac{4}{x (x - 2)} = \frac{x - 4}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{5}{x} - \frac{4}{x (x - 2)} - \frac{x - 4}{x - 2} = 0 \\ \Rightarrow \frac{5 (x - 2) - 4 - x (x - 4)}{x (x - 2)} = 0 \end{array}$

کسری مساوی صفر است که صورتش مساوی صفر باشد:

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x - 10 - 4 - x^{2} + 4 x = 0 \\ \Rightarrow - x^{2} + 9 x - 14 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 9 x + 14 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x - 7) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7 \end{cases} \end{array}$

جواب $x = 2$ قابل قبول نیست زیرا به‌ازای آن مخرج کسر صفر می‌شود.

$\begin{array}{l} \frac{3}{m + 2} + \frac{2}{m} = \frac{4 m - 4}{m^{2} - 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3}{m + 2} + \frac{2}{m} - \frac{4 m - 4}{(m - 2) (m + 2)} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{3 m (m - 2) + 2 (m - 2) (m + 2) - m (4 m - 4)}{m (m - 2) (m + 2)} = 0$

کسری مساوی صفر است که صورتش مساوی صفر باشد:

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 m^{2} - 6 m) + 2 (m^{2} - 4) - 4 m^{2} + 4 m = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 m^{2} - 6 m + 2 m^{2} - 8 - 4 m^{2} + 4 m = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} - 2 m - 8 = 0 \\ \Rightarrow (m + 2) (m - 4) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} m + 2 = 0 \Rightarrow m = - 2 \\ m - 4 = 0 \Rightarrow m = 4 \end{cases} \end{array}$

جواب $m = - 2$ قابل قبول نیست زیرا به‌ازای آن مخرج کسر صفر می‌شود.

تمرین

مجموع مربعات دو عدد فرد متوالی، $290$ است.

این دو عدد را پیدا کنید.

$\begin{array}{l} {(2 k + 1)}^{2} + {(2 k + 3)}^{2} = 290 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (4 k^{2} + 4 k + 1) + (4 k^{2} + 12 k + 9) = 290 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 k^{2} + 16 k - 280 = 0 \\ \Rightarrow 8 (k^{2} + 2 k - 35) = 0 \\ \Rightarrow 8 (k + 7) (k - 5) = 0 \\ \Rightarrow k = - 7, k = 5 \end{array}$

$k = - 7; \{\begin{cases} 2 k + 1 = 2 (- 7) + 1 = - 13 \\ 2 k + 3 = 2 (- 7) + 3 = - 11 \end{cases}〉 (- 11, - 13)$

$k = 5; \{\begin{cases} 2 k + 1 = 2 (5) + 1 = 11 \\ 2 k + 3 = 2 (5) + 3 = 13 \end{cases}〉 (11, 13)$

تمرین

از دبیر ریاضی کلاس سنش را پرسیدند. پاسخ داد:

سال بعد، سن من‌ توان دوم سنی خواهد بود که سال پیش از این داشتم.

این دبیر چند سال سن دارد؟

فرض کنیم سن فعلی دبیر ریاضی $x$ باشد:

$\begin{array}{l} x + 21 = {(x - 21)}^{2} \\ \Rightarrow x + 21 = x^{2} - 42 x + 441 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 43 + 420 = 0 \\ \Rightarrow (x - 28) (x - 15) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 28 = 0 \Rightarrow x = 28 \\ x - 15 = 0 \Rightarrow x = 15 \otimes \end{cases} \end{array}$

این دبیر $x = 28$ سال سن دارد.

تمرین

در ضرب دو عدد طبیعی که یکی از دیگری $10$ واحد بزرگتر است، اشتباهی رخ می‌دهد.

در نتیجه رقم دهگان $4$ واحد کوچکتر می‌شود.

برای آزمایش، حاصل ضرب را بر عدد کوچکتر تقسیم می‌کنند.

خارج قسمت $39$ و باقیمانده آن $22$ می‌شود.

آن دو عدد را پیدا کنید.

فرض کنیم عدد کوچک ‌تر $x$ و عدد بزرگ ‌تر $(x + 10)$ باشد.

حاصل‌ ضرب اشتباه $39 x + 22$ است.

حاصل ‌ضرب واقعی $40$ واحد از حاصل‌ ضرب به‌دست آمده بزرگ‌ تر است:

$\begin{array}{l} x (x + 10) = (39 x + 22) + 40 \\ \Rightarrow x^{2} + 10 x = 39 x + 62 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 29 x - 62 = 0 \\ \Rightarrow (x - 31) (x + 2) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 31 = 0 \Rightarrow x = 31 \\ x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \end{cases} \end{array}$

عدد کوچک تر $x = 31$ و عدد بزرگ تر $x = 41$ است.

تمرین

محیط یک زمین مستطیل شکل $18$ متر و مساحت آن $14$ متر مربع است.

اندازه طول و عرض این زمین را تعیین کنید.

محیط مستطیل $P = 18$ است.

مساحت مستطیل $S = 14$ است.

اگر $x$ طول مستطیل و $y$ عرض آن باشد، داریم:

$P = 18 \Rightarrow 2 (x + y) = 18 \Rightarrow x + y = 9 \Rightarrow y = 9 - x$

$\begin{array}{l} S = 14 \\ \Rightarrow x y = 14; y = 9 - x \\ \Rightarrow x (9 - x) = 14 \\ \Rightarrow 9 x - x^{2} = 14 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 9 x + 14 = 0 \\ \Rightarrow (x - 7) (x - 2) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 7 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = 7 \otimes \end{cases} \end{array}$

طول مستطیل $x = 7$ و عرض آن $y = 2$ است.

تمرین

آقای عماد چند اسباب بازی یکسان برای هدیه به مهد کودک خرید که در مجموع قیمت آنها $12000$ تومان شد.

اگر فروشنده برای هراسباب بازی $100$ تومان به او تخفیف می‌داد، او با همان پول $4$ اسباب بازی بیشتر می‌توانست بخرد.

قیمت هر اسباب بازی را قبل از تخفیف به‌دست آورید.

اگر $x$ قیمت هر اسباب ‌بازی باشد.

اگر $y$ تعداد اسباب ‌بازی باشد.

حاصل ‌ضرب تعداد اسباب ‌بازی‌‌ها در قیمت هر یک از آنها معادل $12000$ تومان است:

$x . y = 12000 \Rightarrow y = \frac{12000}{x}$

اگر فروشنده برای هر اسباب‌بازی $100$ تومان به آقای عماد تخفیف دهد، یعنی قیمت هر اسباب‌بازی $(x - 100)$ می‌شود.

آقای عماد با این تخفیف $4$ اسباب‌بازی بیشتر می‌توانست بخرد یعنی $(y + 4)$ .

$\begin{array}{l} (x - 100) (y + 4) = 12000; y = \frac{12000}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 100) (\frac{12000}{x} + 4) = 12000 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 100) (\frac{12000 + 4 x}{x}) = 12000 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x} (x - 100) (12000 + 4 x) = 12000 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 100) (12000 + 4 x) = 12000 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 12000 x + 4 x^{2} - 1 / 200 / 000 - 400 x = 12000 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{2} - 400 x - 1 / 200 / 000 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 100 x - 300 / 000 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 500) (x - 600) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 500 = 0 \Rightarrow x = - 500 \otimes \\ x - 600 = 0 \Rightarrow x = 600 \end{cases} \end{array}$

نکته

برای تجزیه عبارات درجه دوم که ضرایب بزرگ دارند، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

فرض کنید می‌خواهیم عبارت زیر را تجزیه کنیم:

$5 x^{2} + 93 x + 54$

ضریب $x^{2}$ یعنی عدد $(5)$ را در $(54)$ ضرب می‌کنیم:

$54 \times 5 = 270$

ضریب $x$ یعنی عدد $93$ را به دو عدد می‌شکنیم که ضرب آنها عدد $270$ باشد:

$\{\begin{cases} 90 \times 3 = 270 \\ 90 + 3 = 93 \end{cases}$

بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} 5 x^{2} + 93 x + 54 \\ 5 x^{2} + (90 x + 3 x) + 54 \\ = (5 x^{2} + 90 x) + (3 x + 54) \\ = 5 x (x + 18) + 3 (x + 18) \\ = (x + 18) (5 x + 3) \end{array}$

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از تجزیه عبارات جبری حل کنید.

$\begin{array}{l} 4 x^{2} + 3 x - 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{2} + (4 x - x) - 1 = 0 \\ \Rightarrow (4 x^{2} + 4 x) + (- x - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x (x + 1) - (x + 1) = 0 \\ \Rightarrow (x + 1) (4 x - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ 4 x - 1 = 0 \Rightarrow 4 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} (x - 1) (x + 1) = (x - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) (x + 1) - (x - 1) = 0 \\ \Rightarrow (x - 1) [(x + 1) - 1] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) (x) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x = 0 \end{cases} \end{array}$

$5 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x = 0$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x (x^{2} - x - 2) & = 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x (x - 2) (x + 1) & = 0 \end{aligned}$

$\{\begin{cases} \begin{aligned} 5 x & = 0 \Rightarrow \begin{aligned} x & = 0 \end{aligned} \end{aligned} \\ \begin{aligned} x - 2 & = 0 \Rightarrow \begin{aligned} x & = 2 \end{aligned} \end{aligned} \\ \begin{aligned} x + 1 & = 0 \Rightarrow \begin{aligned} x & = - 1 \end{aligned} \end{aligned} \end{cases}$

$\frac{5}{2 y - 6} = \frac{10 - y}{y^{2} - 6 y + 9}$

$\Rightarrow \frac{5}{2 (y - 3)} = \frac{10 - y}{{(y - 3)}^{2}}$

$\Rightarrow \begin{aligned} (2) {(y - 3)}^{2} (\frac{5}{2 (y - 3)}) & = (\frac{10 - y}{{(y - 3)}^{2}}) (2) {(y - 3)}^{2} \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 (y - 3) & = 2 (10 - y) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 y - 15 & = 20 - 2 y \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 y & = 35 \end{aligned}$

$\Rightarrow y = 5$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید چون $y = 5$ ریشه تساوی فوق است، بنابراین در این تساوی صدق می‌کند:

$\begin{aligned} \frac{5}{2 (5) - 6} & \overset{?}{=} \frac{10 - 5}{5^{2} - 6 (5) + 9} \\ \frac{5}{4} & = \frac{5}{4} OK \end{aligned}$

$\begin{array}{l} \frac{t - 1}{t + 4} - \frac{2}{t - 4} = \frac{7}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{t - 1}{t + 4} - \frac{2}{t - 4} - \frac{7}{6} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{6 (t - 4) (t - 1) - 2 \times 6 (t + 4) - 7 (t + 4) (t - 4)}{6 (t + 4) (t - 4)}$

کسری مساوی صفر است که صورتش مساوی صفر باشد:

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 (t^{2} - 5 t + 4) - 12 (t + 4) - 7 (t^{2} - 16) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 t^{2} - 30 t + 24 - 12 t - 48 - 7 t^{2} + 112 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - t^{2} - 42 t + 88 = 0 \\ \Rightarrow t^{2} + 42 t - 88 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (t - 2) (t + 44) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2 \\ t + 44 = 0 \Rightarrow t = - 44 \end{cases} \end{array}$

تمرین

$i f \{\begin{cases} x > 0, x \neq 0 \\ i f x + 2 \sqrt{x} = 2 \end{cases}〉 \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = ?$

روش اول -

$\begin{array}{l} x + 2 \sqrt{x} = 2; \sqrt{x} = u > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u^{2} + 2 u = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u^{2} + 2 u + 1 = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(u + 1)}^{2} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u + 1 = \pm \sqrt{3} \end{array}$

$\{\begin{cases} u + 1 = \sqrt{3} \Rightarrow u = \sqrt{3} - 1 \\ u + 1 = - \sqrt{3} \Rightarrow u = - \sqrt{3} - 1 \end{cases}$

چون $u > 0$ است، پس $u = \sqrt{3} - 1$ قابل قبول است:

$\begin{array}{l} u = \sqrt{3} - 1; \sqrt{x} = u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{3} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{x})}^{2} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 \end{array}$

$\Rightarrow x = 4 - 2 \sqrt{3}$

$\begin{array}{l} x + \frac{4}{\sqrt{x}} = (4 - 2 \sqrt{3}) + \frac{4}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = 4 - 2 \sqrt{3} + \frac{4}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}} \times \frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = 4 - 2 \sqrt{3} + \frac{4 \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}}{\sqrt{16 - 12}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = (4 - 2 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}; \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = 4 - 2 \sqrt{3} + 2 (\sqrt{3} + 1) \end{array}$

$\Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = 6$

روش دوم -

$\begin{array}{l} x + 2 \sqrt{x} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2) = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + 2 = \frac{2}{\sqrt{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sqrt{x} + 4 = \frac{4}{\sqrt{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 2 \sqrt{x}) + 4 = x + \frac{4}{\sqrt{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = (2) + 4 \end{array}$

$\Rightarrow x + \frac{4}{\sqrt{x}} = 6$

نکته

اگر $x = a$ جواب معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ باشد، این جواب در معادله صدق می‌کند.

تمرین

معادله درجه دوم زیر را حل کنید و جواب های آن را آزمایش کنید.

$x^{2} - 3 x = 10$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 3 x - 10 = 0 \\ \Rightarrow (x - 5) (x + 2) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \\ x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \end{cases} \end{array}$

$x = - 2 \overset{x^{2} - 3 x - 10 = 0}{\to} {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) - 10 = 0 \Rightarrow 4 + 6 - 10 = 0 \Rightarrow 0 = 0$

$x = 5 \overset{x^{2} - 3 x - 10 = 0}{\to} {(5)}^{2} - 3 (5) - 10 = 0 \Rightarrow 25 - 15 - 10 = 0 \Rightarrow 0 = 0$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

مجموع مقادیر $a$ در معادله زیر کدام گزینه است؟

$a^{2} + a = 1111111122222222$

$1$
$- 1$
$2$
$- 2$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

المپیاد ریاضی

مجموع ریشه های معادله زیر کدام گزینه است؟

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{x} = \frac{1}{m + n + x}$

$- (m + n)$
$m - n$
$n - m$
$m + n$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (روش اتحادها یا تجزیه)

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

فاطمه ثنائی پور (فشم)

28 اسفند 1402

سلام خیلی ممنونم ازتون بسیار کاربردی و مفید بود

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش اتحادها یا تجزیه

اتحاد اول

اتحاد دوم

اتحاد جمله مشترک

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟