مقدمه
صبا بعد از حل یک مسئله هندسه به نکته جالبی پی برد.
او پی برد که اضلاع مثلث در مسئلهاش، سه عدد متوالی
از خواهر بزرگتر خود، درسا سوال کرد که آیا میتوان مثلث قائمالزاویه دیگری پیدا کرد که اضلاع آن سه عدد متوالی دیگر باشند؟
در پاسخ به این سوال، درسا مثلث قائمالزاویه ای رسم کرد.
طول کوچک ترین ضلع آن را
و بهکمک رابطه فیثاغورس، رابطه زیر را بین سه ضلع مثلث بهدست آورد:
اکنون او میخواست معادله بهدست آمده را حل کند، یعنی مقادیری برای
برای این کار معادله بالا را ساده کرد:
هر معادله به فرم بالا را که پس از ساده شدن، بزرگترین توان متغیر آن
تمرین
زمینی مستطیل شکل به مساحت
اگر طول و عرض این زمین بر حسب متر
از معادله دوم نتیجه میشود
معادله فوق یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روشهای حل معادله های درجه دوم، میتوانیم آن را حل کنیم.
محیط مربعی را بهدست آورید که قطر آن
شکل زیر را در نظر بگیرید:
به کمک رابطۀ فیثاغورث، داریم:
معادلۀ فوق، یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روشهای حل معادله های درجه دوم، میتوانیم آن را حل کنیم.
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
در شکل فوق، طول تمام پاره خط ها به جزء دو پاره خط مشخص شده در شکل، برابر
اگر اندازه مساحت شکل، برابر با اندازه محیط آن باشد.
مقدار
اگر مساحتِ شکل را با
مساحت
اگر محیطِ شکل را با
چون اندازه مساحت شکل، برابر با اندازه محیط آن میباشد، داریم:
معادلۀ فوق، یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روشهای حل معادله های درجه دوم، میتوانیم آن را حل کنیم.
تعریف معادله درجه دوم
فرم كلی هر معادله درجه دوم بهصورت زیر است:
كه در آن
در معادله فوق
تمرین
تعیین کنید که کدامیک از معادلات زیر، معادله درجه دوم هستند.
معادله فوق پس از ساده سازی، به شکل در میآید:
که یک معادله درجه دوم است.
معادله فوق پس از ساده سازی، به شکل در میآید:
که یک معادله درجه اول است.
نکته
معادله درجه دوم زیر مفروض است:
اگر
تمرین
نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در معادلاتشان صدق میکند.
تمرین
معادله زیر را در نظر بگیرید:
اگر
حاصل عبارت زیر را بیاید.
اگر
طرفین تساوی اولی را در
طرفین تساوی را با هم جمع میکنیم:
تمرین
معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:
اگر
برای محاسبه عبارت زیر، داریم:
میدانیم:
بنابراین داریم:
تستهای این مبحث
تست شماره 1
تعداد دسته جواب های صحیح و مثبت
orc5w7m