سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

مقدمه‌‌ ای بر معادله درجه دوم

آخرین ویرایش: 07 مرداد 1403

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: 2 تعداد نظرهای ثبت شده

مقدمه

صبا بعد از حل یک مسئله هندسه به نکته جالبی پی برد.

او پی برد که اضلاع مثلث در مسئله‌اش، سه عدد متوالی $5, 4, 3$ هستند و این مثلث، قائم‌الزاویه است.

از خواهر بزرگ‌تر خود، درسا سوال کرد که آیا می‌توان مثلث قائم‌الزاویه دیگری پیدا کرد که اضلاع آن سه عدد متوالی دیگر باشند؟

در پاسخ به این سوال، درسا مثلث قائم‌الزاویه ای رسم کرد.

طول کوچک‌ ترین ضلع آن را $x$ و طول اضلاع دیگر را اعداد متوالی بعد از $x$ یعنی $x + 1$ و $x + 2$ در نظر گرفت:

و به‌کمک رابطه فیثاغورس، رابطه زیر را بین سه ضلع مثلث به‌دست آورد:

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

اکنون او می‌خواست معادله به‌دست آمده را حل کند، یعنی مقادیری برای $x$ پیدا کند که تساوی بالا برقرار شود.

برای این کار معادله بالا را ساده کرد:

$\begin{array}{l} x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + (x^{2} + 2 x + 1) = x^{2} + 4 x + 4 \end{array}$

$\Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$

هر معادله به فرم بالا را که پس از ساده شدن، بزرگ‌ترین توان متغیر آن $2$ باشد، معادله درجه دوم می‌نامیم.

تمرین

زمینی مستطیل شکل به مساحت $600$ متر مربع را با $100$ متر نرده محصور کرده‌ایم،طول و عرض زمین را به‌دست آورید.

معادله درجه دوم - پیمان گردلو

اگر طول و عرض این زمین بر حسب متر $x$ و $y$ در نظر گرفته شود، داریم:

$\{\begin{cases} x y = 600 \\ 2 (x + y) = 100 \end{cases}$

از معادله دوم نتیجه می‌شود $y = 50 - x$ و با جایگذاری در معادله اول داریم:

$x (50 - x) = 600 \Rightarrow x^{2} - 50 x + 600 = 0$

معادله فوق یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روش‌های حل معادله های درجه دوم، می‌توانیم آن را حل کنیم.

محیط مربعی را به‌دست آورید که قطر آن $2 \sqrt{5}$ است.

شکل زیر را در نظر بگیرید:

به کمک رابطۀ فیثاغورث، داریم:

$\begin{matrix} x^{2} + x^{2} = 2 \sqrt{5} \\ \Rightarrow 2 x^{2} = 2 \sqrt{5} \\ \Rightarrow 2 x^{2} - 2 \sqrt{5} = 0 \end{matrix}$

معادلۀ فوق، یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روش‌های حل معادله های درجه دوم، می‌توانیم آن را حل کنیم.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق، طول تمام پاره خط ها به جزء دو پاره خط مشخص شده در شکل، برابر $x$ است.

اگر اندازه مساحت شکل، برابر با اندازه محیط آن باشد.

مقدار $x$ را به‌دست آورید.

اگر مساحتِ شکل را با $S$ نمایش دهیم، مساحت هر مربع $x^{2}$ است.

مساحت $S$ ، هشت تا از این مربع ها می‌باشد، بنابراین داریم:

$S = 8 x^{2}$

اگر محیطِ شکل را با $P$ نمایش دهیم، داریم:

$P = 22 x$

چون اندازه مساحت شکل، برابر با اندازه محیط آن می‌باشد، داریم:

$S = P \Rightarrow 8 x^{2} = 22 x \Rightarrow 8 x^{2} - 22 x = 0$

معادلۀ فوق، یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روش‌های حل معادله های درجه دوم، می‌توانیم آن را حل کنیم.

تعریف معادله درجه دوم

فرم كلی هر معادله درجه دوم به‌صورت زیر است:

$a x^{2} + b x + c = 0$

كه در آن $c, b, a$ اعداد حقیقی هستند و بالاترین توان $x$ از درجۀ دوم می‌باشد.

در معادله فوق $a \neq 0$ است، زیرا در غیر این صورت معادله درجه دوم به معادله درجه اول تبدیل می شود.

تمرین

تعیین کنید که کدام‌یک از معادلات زیر، معادله درجه دوم هستند.

$(3 x - 1) (x + 2) = 6$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x^{2} + 6 x - x - 2 = 6 \\ \Rightarrow 3 x^{2} + 6 x - x - 2 - 6 = 0 \\ \Rightarrow 3 x^{2} + 5 x - 8 = 0 \end{array}$

معادله فوق پس از ساده سازی، به شکل در می‌آید:

$3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$

که یک معادله درجه دوم است.

$(2 x + 1) (x - 1) = 2 x^{2} + 3$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x + x - 1 = 2 x^{2} + 3 \\ \Rightarrow - x - 4 = 0 \end{array}$

معادله فوق پس از ساده سازی، به شکل در می‌آید:

$- x - 4 = 0$

که یک معادله درجه اول است.

نکته

معادله درجه دوم زیر مفروض است:

$a x^{2} + b x + c = 0$

اگر $x = a$ جواب معادله درجه دوم باشد، در معادله فوق صدق می‌کند.

تمرین

نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در معادلاتشان صدق می‌کند.

$x^{2} - 9 = 0; x = 3$

$\begin{aligned} 3^{2} - 9 & \overset{?}{=} 0 \\ 9 - 9 & = 0 \\ 0 & = 0 OK \end{aligned}$

$t^{2} + 3 t - 10 = 4 + 8 t; t = 7$

$\begin{aligned} {(7)}^{2} + 3 (7) - 10 & \overset{?}{=} 4 + 8 (7) \\ 60 & = 60 OK \end{aligned}$

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$x^{2} + x - 1 = 0$

اگر $α$ و $β$ ریشه های معادله فوق باشند و بدانیم:

$\{\begin{cases} α^{6} + β^{6} = 18 \\ α^{7} + β^{7} = - 29 \end{cases}$

حاصل عبارت زیر را بیاید.

$α^{8} + β^{8}$

اگر $α$ و $β$ ریشه های معادله فوق باشند، بنابراین در معادله درجه دوم صدق می‌کنند:

$\{\begin{cases} α^{2} + α - 1 = 0 \\ β^{2} + β - 1 = 0 \end{cases}$

طرفین تساوی اولی را در $α^{6}$ و طرفین تساوی دومی را در $β^{6}$ ضرب می‌کنیم:

$\{\begin{cases} α^{8} + α^{7} - α^{6} = 0 \\ β^{8} + β^{7} - β^{6} = 0 \end{cases}$

طرفین تساوی را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} (α^{8} + β^{8}) + (α^{7} + β^{7}) - (α^{6} + β^{6}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (α^{8} + β^{8}) + (- 29) - (18) = 0 \\ \Rightarrow α^{8} + β^{8} = 47 \end{array}$

تمرین

معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

$x^{2} - 5 x - 8 = 0$

اگر $α$ ریشه معادله فوق باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.

$(α - 5) (α - 2) (α + 4)$

$x = α$ به‌عنوان ریشه معادله، در معادله صادق است:

$\begin{array}{l} x^{2} - 5 x - 8 = 0; x = α \\ α^{2} - 5 α - 8 = 0 \\ \Rightarrow α (α - 5) = 8 \\ \Rightarrow α - 5 = \frac{8}{α} \end{array}$

برای محاسبه عبارت زیر، داریم:

$\begin{array}{l} (α - 5) (α - 2) (α + 4) \\ = \frac{8}{α} (α - 2) (α + 4) \\ = \frac{8}{α} (α^{2} + 2 α - 8) \end{array}$

می‌دانیم:

$\begin{array}{l} α^{2} - 5 α - 8 = 0 \\ \Rightarrow α^{2} - 8 = 5 α \\ \Rightarrow α^{2} + 2 α - 8 = 5 α + 2 α \\ \Rightarrow α^{2} + 2 α - 8 = 7 α \end{array}$

بنابراین داریم:

$\frac{8}{α} (α^{2} + 2 α - 8) = \frac{8}{α} \times (7 α) = 56$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

تعداد دسته جواب های صحیح و مثبت $(a, b)$ در معادله زیر کدام گزینه است؟

$a^{2} + b^{2} + 4 b = 96$

چهار دسته جواب
سه دسته جواب
دو دسته جواب
یک دسته جواب

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

فاطمه ثنائی پور (فشم)

28 اسفند 1402

خیلی مفید بود و تمرین ها عالی بود
فاطمه ثنائی پور (فشم)

27 اسفند 1402

بسیار مفید بود ❤️
در کل بسیار خوشحالم از اینکه چنین پلتفرمی هست و لایق بودم که بتونم ازش استفاده کنم❤️

عبارات درجه دوم

مقدمه‌‌ ای بر معادله درجه دوم

مقدمه

تعریف معادله درجه دوم

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟