سرفصل‌های این مبحث

نظریه اعداد

ب‌ م‌ م (مقدمه)

آخرین ویرایش: 19 دی 1402

دسته‌بندی: نظریه اعداد

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعريف ب‌م‌م

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک دو عدد، بزرگ‌ترين عدد طبيعی است که هر دو عدد بر آن بخش پذير باشند.

بزرگ‌ترين مقسوم عليه مشترک دو عدد طبيعی $a$ و $b$ را با علامت $a \prod b$ یا $(a, b)$ نمايش می‌دهند.

روش‌ های تعيين ب‌م‌م

تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی

در اين روش فرض کنيم می‌خواهيم ب‌م‌م دو عدد $a$ و $b$ را به‌دست آوريم.

ابتدا $D_{a}$ و $D_{b}$ را يافته (مجموعه مقسوم عليه‌های اعداد $a$ و $b$ ) سپس در مجموعه $D_{a} \cap D_{b}$ بزرگ‌ترين عضو مجموعه، همان ب‌م‌م دو عدد می‌باشد.

تمرین

با روش تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی، ب‌م‌م هر دسته از اعداد داده شده در زير را به‌دست آوريد.

$18 \prod 12$

$\{\begin{cases} D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \\ D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \end{cases}$

$D_{18} \cap D_{12} = \{1, 2, 3, 6\} \Rightarrow 18 \prod 12 = 6$

$14 \prod 45$

$\{\begin{cases} D_{14} = \{1, 2, 7, 14\} \\ D_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} \end{cases}$

$D_{14} \cap D_{45} = \{1\} \Rightarrow 14 \prod 45 = 1$

$15 \prod 35 \prod 45$

$\{\begin{cases} D_{15} = \{1, 3, 5, 15\} \\ D_{35} = \{1, 5, 7, 35\} \\ D_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} \end{cases}$

$D_{15} \cap D_{35} \cap D_{45} = \{1, 5\} \Rightarrow 15 \prod 35 \prod 45 = 5$

نکته

دو عدد متباين (نسبت به‌هم اول)

دو عدد را نسبت به‌هم اول گويند در صورتی که بزرگ‌ترين مقسوم عليه مشترک آنها عدد $1$ باشد.

تمرین

آیا دو عدد $8$ و $15$ نسبت به‌هم اولند؟

$\{\begin{cases} D_{8} = \{1, 2, 4, 8\} \\ D_{15} = \{1, 3, 5, 15\} \end{cases}$

$D_{8} \cap D_{15} = \{1\} \Rightarrow 8 \prod 15 = 1$

ثابت کنيد دو عدد اول متفاوت مانند $p$ و $q$ نسبت به‌هم اولند.

$\{\begin{cases} p : D_{p} = \{1, p\} \\ q : D_{q} = \{1, q\} \end{cases}$

$D_{p} \cap D_{q} = \{1\} \Rightarrow p \prod q = 1$

تقسيم‌های متوالی (روش نردبانی)

می‌خواهيم $18 \prod 12$ را که قبلا با روش تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی محاسبه کرده‌ايم، به‌روش تقسيم‌های متوالی حساب کنيم:

$\begin{array}{l} 18 12 12 6 \\ \underline{- 12} 1 \to \underline{- 12} 2 \to 18 \prod 12 = 6 \\ 6 0 \end{array}$

مرحله اول- عدد $18$ (عدد بزرگ‌تر) را بر $12$ تقسيم می‌کنيم. اين تقسيم باقيمانده‌ای برابر $6$ دارد.

مرحله دوم- مقسوم عليه قديمی (يعنی $12$ ) را بر باقيمانده غير صفر (یعنی $6$ ) تقسيم می‌کنيم. در اين مرحله باقيمانده صفر می‌شود.

مقسوم عليه اين تقسيم که همان باقيمانده تقسيم قبلی است ب‌م‌م می‌باشد.

اين الگوريتم را تا آنجا بايد ادامه دهيم که باقيمانده صفر شود.

عمليات فوق را در جدول زیر می‌توان تنظيم کرد:

$18 \prod 12 = 6$

سطر اول اين جدول سلسله خارج قسمت‌ها است و اين جدول به جدول نردبانی معروف است.

خانه‌های سطر دوم از تفاضل مقسوم و باقيمانده مربوط به همان تقسيم به‌دست می‌آيد.

تمرین

ب‌م‌م اعداد زير را به‌روش نردبانی به‌دست آوريد:

$385 \prod 15$

$385 \prod 15 = 5$

$442 \prod 286$

$442 \prod 286 = 26$

$(n + 1) \prod n$

$(n + 1) \prod n = 1$

تمرین

در تمرینات زير برای يافتن ب‌م‌م دو عدد، از روش نردبانی استفاده کرده‌ايم. جدول را کامل کنيد و اعداد $a$ و $b$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} a = b \times 1 + r_{1} \\ b = r_{1} \times 2 + 3 \end{array}$

$\begin{matrix} r_{1} = 3 \times 3 + 0 \Rightarrow r_{1} = 9 \end{matrix}$

$\begin{matrix} b = 9 \times 2 + 3 = 21 \end{matrix}$

$a = 21 \times 1 + 9 = 30$

$\begin{array}{l} a = b \times 2 + r_{1}; (1) \\ b = r_{1} \times 1 + r_{2}; (2) \end{array}$

$\begin{array}{l} r_{1} = r_{2} \times q_{3} + 2; (3) \\ r_{2} = 2 \times 3 + 0 \Rightarrow r_{2} = 6 \\ r_{1} - 2 = 18 \Rightarrow r_{1} = 20 \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{(3)}{\to} 20 = 6 \times q_{3} + 2 \Rightarrow 18 = 6 \times q_{3} \Rightarrow q_{3} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{(2)}{\to} b = 20 \times 1 + 6 = 26 \\ \overset{(1)}{\to} a = 26 \times 2 + 20 = 72 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = b \times q_{1} + r_{1}; (1) \\ b = r_{1} \times q_{2} + r_{2}; (2) \\ r_{1} = r_{2} \times q_{3} + r_{3}; (3) \end{array}$

$\begin{array}{l} r_{2} = r_{3} \times 3 + 0; (4) \\ a - r_{1} = 20; (5) \\ b - r_{2} = 7; (6) \\ r_{1} - r_{3} = 6; (7) \end{array}$

$\begin{array}{l} r_{2} - 0 = 3 \Rightarrow r_{2} = 3 \\ \overset{(4)}{\to} 3 = r_{3} \times 3 \Rightarrow r_{3} = 1 \\ \overset{(7)}{\to} r_{1} - 1 = 6 \Rightarrow r_{1} = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} b - r_{2} = 7 \overset{r_{2} = 3}{\to} b - 3 = 7 \Rightarrow b = 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} a - r_{1} = 20 \overset{r_{1} = 7}{\to} a - 7 = 20 \Rightarrow a = 27 \end{array}$

$\begin{array}{l} r_{1} = r_{2} \times q_{3} + r_{3} \to_{r_{3} = 1}^{r_{1} = 7, r_{2} = 3} 7 = 3 \times q_{3} + 1 \Rightarrow 6 = 3 \times q_{3} \Rightarrow q_{3} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} b = r_{1} \times q_{2} + r_{2} \Rightarrow 10 = 7 \times q_{2} + 3 \Rightarrow 7 = 7 \times q_{2} \Rightarrow q_{2} = 1 \end{array}$

$a = b \times q_{1} + r_{1} \Rightarrow 27 = 10 \times q_{1} + 7 \Rightarrow 20 = 10 \times q_{1} \Rightarrow q_{1} = 2$

تجزيه به حاصل ‌ضرب اعداد اول

در اين روش برای تعيين ب‌م‌م دو عدد $a$ و $b$ ابتدا آنها را به حاصل ضرب عوامل اول تجزيه می‌کنيم، سپس عوامل مشترک را با کم‌ترين توان انتخاب و درهم ضرب می‌کنيم.

تمرین

بزرگ‌ترين مقسوم عليه مشترک، هر دسته از اعداد زير را با استفاده از تجزيه هر عدد به حاصل ضرب عوامل اول به‌دست آوريد.

$18 \prod 12$

$\{\begin{cases} 18 = 2 \times 3^{2} \\ 12 = 2^{2} \times 3 \end{cases}$

$18 \prod 12 = 2 \times 3 = 6$

$336 \prod 1500 \prod 1800$

$\{\begin{cases} 336 = 2^{4} \times 3 \times 7 \\ 1500 = 2^{2} \times 3 \times 5^{3} \\ 1800 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \end{cases}$

$336 \prod 1500 \prod 1800 = 2^{2} \times 3 = 12$

$(45 \times 12 \times 18) \prod (27^{2} \times 5)$

$45 \times 12 \times 18 = (3^{2} \times 5) \times (2^{2} \times 3) \times (2 \times 3^{2}) = 2^{3} \times 3^{5} \times 5$

$27^{2} \times 5 = {(3^{3})}^{2} \times 5 = 3^{6} \times 5$

$(45 \times 12 \times 18) \prod (27^{2} \times 5) = 3^{5} \times 5 = 1215$

$9000 \prod 3600 \prod 6048$

$\{\begin{cases} 9000 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{3} \\ 3600 = 2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2} \\ 6048 = 2^{5} \times 3^{3} \times 7 \end{cases}$

$9000 \prod 3600 \prod 6048 = 2^{3} \times 3^{2} = 72$

$(8^{2} \times 10^{3} \times 12^{4}) \prod (18^{3} \times 15^{2} \times 14^{2})$

$8^{2} \times 10^{3} \times 12^{4} = {(2^{3})}^{2} \times {(2 \times 5)}^{3} \times {(2^{2} \times 3)}^{4} = 2^{6} \times 2^{3} \times 5^{3} \times 2^{8} \times 3^{4} = 2^{17} \times 3^{4} \times 5^{3}$

$18^{3} \times 15^{2} \times 14^{2} = {(2 \times 3^{2})}^{3} \times {(3 \times 5)}^{2} \times {(2 \times 7)}^{2} = 2^{3} \times 3^{6} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 2^{2} \times 7^{2} = 2^{5} \times 3^{8} \times 5^{2} \times 7^{2}$

$\begin{array}{l} (8^{2} \times 10^{3} \times 12^{4}) \prod (18^{3} \times 15^{2} \times 14^{2}) = 2^{5} \times 3^{4} \times 5^{2} \end{array}$

تمرین

اگر ب‌م‌م دو عدد زیر برابر $288$ باشد، مقدار $x$ چقدر است؟

$\{\begin{cases} M = 4^{x} \times 6^{3} \\ N = 8^{2} \times 9 \end{cases}$

$M = 4^{x} \times 6^{3} = {(2^{2})}^{x} \times {(2 \times 3)}^{3} = 2^{2 x} \times 2^{3} \times 3^{3} = 2^{2 x + 3} \times 3^{3}$

$N = 8^{2} \times 9 = {(2^{3})}^{2} \times (3^{2}) = 2^{6} \times 3^{2}$

$\begin{array}{l} M \prod N = 288 \\ \Rightarrow 2^{5} \times 3^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2^{2 x + 3} \times 3^{3}) \prod (2^{6} \times 3^{2}) = 2^{5} \times 3^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x + 3 = 5 \\ \Rightarrow 2 x = 2 \\ \Rightarrow x = 1 \end{array}$

تمرین

در دو عدد زیر، حاصل عبارات $M N \prod M$ و $M N \prod N$ را به‌دست آوريد.

$\{\begin{cases} M = 24^{2} \times 18^{3} \times 4 \\ N = 15^{4} \times 12^{5} \end{cases}$

$M = 24^{2} \times 18^{3} \times 4 = {(2^{3} \times 3)}^{2} \times {(2 \times 3^{2})}^{3} \times 2^{2} = 2^{6} \times 3^{2} \times 2^{3} \times 3^{6} \times 2^{2} = 2^{11} \times 3^{8}$

$\begin{array}{l} N = 15^{4} \times 12^{5} = {(3 \times 5)}^{4} \times {(2^{2} \times 3)}^{5} = 3^{4} \times 5^{4} \times 2^{10} \times 3^{5} = 2^{10} \times 3^{9} \times 5^{4} \end{array}$

$M N = (2^{11} \times 3^{8}) (2^{10} \times 3^{9} \times 5^{4}) = 2^{21} \times 3^{17} \times 5^{4}$

$\begin{array}{l} M N \prod M = (2^{21} \times 3^{17} \times 5^{4}) \prod (2^{11} \times 3^{8}) = 2^{11} \times 3^{8} = M \end{array}$

$M N \prod N = (2^{21} \times 3^{17} \times 5^{4}) \prod (2^{10} \times 3^{9} \times 5^{4}) = 2^{10} \times 3^{9} \times 5^{4} = N$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نظریه اعداد

ب‌ م‌ م (مقدمه)

تعريف ب‌م‌م

روش‌ های تعيين ب‌م‌م

تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی

تقسيم‌های متوالی (روش نردبانی)

تجزيه به حاصل ‌ضرب اعداد اول

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟