سرفصل‌های این مبحث

نظریه اعداد

قضیه تقسیم

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: نظریه اعداد

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

نظریه اعداد شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه اعداد صحیح $(Z)$ و در حالت خاص، اعداد طبیعی $(N)$ در هم نهشتی ها، کاربردهای بسیاری در دانش کامپیوتر، از جمله حساب با اعداد صحیح بزرگ، رمز نگاری فایل حافظه کامپیوتری و ایجاد اعداد تصادفی دارد.

وقتی با اعداد صحیح سروکار داریم، نمی‌توانیم نسبت به الگوها و خواص بسیاری که این اعداد از خودشان نشان می‌دهند، بی‌تفاوت باشیم.

مجموعه اعداد صحیح $(Z)$ به‌صورت زیر، معرفی می‌شود:

$Z = \{\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots\}$

مجموعه اعداد طبیعی $(N)$ به‌صورت زیر، معرفی می‌شود:

$N = \{1, 2, 3, ...\}$

هم‌چنین هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از $1$ مانند $P$ که هیچ مقسم علیه مثبتی جز $P$ و $1$ نداشته باشد عدد اول نامیده می‌شود و مجموعه اعداد اول را با $P$ نمایش می‌دهیم:

$P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$

یادآوری

اگر $S \subseteq Z$ ناتهی و از پایین (بالا) کراندار باشد، آن‌گاه $S$ عضو ابتدا (عضو انتها) دارد. اصل استقرای ریاضی معادل خوش ترتیب بودن $Z$ است.

الگوریتم تقسیم

قضیه

فرض کنید $a$ و $b$ دو عدد صحیحی باشند به‌طوری‌که $b \neq 0$ در این‌صورت اعداد صحیح منحصر به‌فردی مانند $q$ و $r$ می‌توان یافت به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{b} \\ ⋮ \\ \bar{} \\ r \end{array}〉 a = b q + r; (0 \leq r < |b|)$

$a$ را مقسم می‌نامیم.

$b$ را مقسم علیه می‌نامیم.

$q$ را خارج قسمت می‌نامیم.

$r$ را باقیمانده می‌نامیم.

اثبات

حالت اول- اگر $b > 0$ باشد.

مجموعه زیر را در نظر می‌گیریم:

$S = \{a - x b |x \in z, a - x b \geq 0\}$

این مجموعه ناتهی است زیرا کافی است قرار دهیم $x = - |a|$ ، بنابراین خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} a - x b = a - (- |a|) b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - (- |a|) b = a + |a| b; a + |a| b \geq a + |a| \end{array}$

$\Rightarrow a - (- |a|) b \geq 0$

بنابراین $S$ زیرمجموعه ناتهی از اعداد طبیعی است و بنابر اصل خوش ترتیبی دارای عضو ابتدایی است که آن را $r$ می‌نامیم.

چون $r \in S$ می‌باشد، پس عدد صحیحی مانند $q$ وجود دارد به‌طوری‌که:

$r = a - b q; r \geq 0$

حال ادعا می‌کنیم که $r < b$ است زیرا در غیر این‌صورت طبق برهان خلف بایستی $r \geq b$ باشد:

$\begin{array}{l} r \geq b \\ \Rightarrow r - b \geq 0; r = a - b q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r - b = (a - b q) - b \geq 0 \\ \Rightarrow r - b = a - b (q + 1) \geq 0 \\ \Rightarrow r - b \in S \end{array}$

با توجه به‌فرض که $r \geq b$ اما $r - b > r$ یعنی $r - b \notin S$ که یک تناقض است، بنابراین:

$0 \leq r < b$

حال نشان می‌دهیم $q$ و $r$ منحصر به فرد است، برای این کار فرض کنیم $a$ به دو صورت زیر نوشته شود:

$\{\begin{cases} a = b q + r \\ a = b q^{'} + r^{'} \end{cases}$

طرفین سمت راست دو تساوی فوق با هم برابر هستند:

$b q + r = b q^{'} + r^{'}$

$\Rightarrow r^{'} - r = b q - b q^{'}$

$\Rightarrow r^{'} - r = b (q - q^{'})$

$\Rightarrow |r^{'} - r| = b |q - q^{'}|$

$\{\begin{cases} 0 \leq r^{'} < b \\ 0 \leq r < b \end{cases}$

$|r^{'} - r| < b$

$\Rightarrow b |q - q^{'}| < b$

$\Rightarrow |q - q^{'}| < 1$

$\Rightarrow |q - q^{'}| = 0$

حالت دوم- اگر $b < 0$ باشد.

در این حالت $|b| = - b > 0$ لذا به‌حالت اول بر می‌گردیم.

تمرین

بر اساس الگوریتم تقسیم اعداد زیر را بر هم تقسیم کنید:

$25 \div 7$

$\{\begin{array}{l} 25 \underset{3}{7} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} 4 \end{array}} \end{array}〉 25 = (7) (3) + 4; (0 \leq 4 < |7|)$

$(- 25) \div 7$

$\{\begin{array}{l} - 25 \underset{- 3}{7} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} - 4 \end{array}} \end{array}〉 - 25 = (7) (- 3) + (- 4)$

در تقسیم فوق نمی‌توانیم $(- 4)$ را به‌عنوان باقیمانده معرفی کنیم زیرا طبق قضیه تقسیم باقیمانده باید نامنفی و کوچک‌تر از مقسوم علیه باشد.

در این‌صورت با اضافه و کم کردن مضارب مثبتی از مقسوم علیه، شرایط قضیه تقسیم را برقرار می‌کنیم:

$\begin{array}{l} - 25 = (7) (- 3) - 4 \\ \Rightarrow - 25 = (7) (- 3) - 4 - 7 + 7 \\ \Rightarrow - 25 = (7) (- 3) - 7 + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 25 = 7 (- 3 - 1) + 3; q = (- 3 - 1) \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow - 25 = 7 (q) + 3 \end{matrix}$

در تساوی جدید باقیمانده را به‌صورت $r = 3$ معرفی می‌کنیم.

تمرین

اگر باقیمانده تقسیم اعداد $m$ و $n$ بر $17$ به‌ترتیب $5$ و $3$ باشد، باقیمانده تقسیم عدد زیر را بر $17$ را به‌دست آورید.

$(2 m - 5 n)$

$\begin{matrix} m = 17 q_{1} + 5 \Rightarrow 2 m = 2 (17 q_{1} + 5) \Rightarrow 2 m = 2 \times 17 q_{1} + 10 \end{matrix}$

$n = 17 q_{2} + 3 \Rightarrow 5 n = 5 (17 q_{2} + 3) \Rightarrow 5 n = 5 \times 17 q_{2} + 15$

$\begin{array}{l} 2 m - 5 n = (2 \times 17 q_{1} + 10) - (5 \times 17 q_{2} + 15) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (2 q_{1} - 5 q_{2}) - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (2 q_{1} - 5 q_{2}) - 5 - 17 + 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (2 q_{1} - 5 q_{2} - 1) + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (q) + 12 \\ \Rightarrow r = 12 \end{array}$

تمرین

اگر باقیمانده تقسیم عدد $a$ بر دو عدد $7, 8$ به‌ترتیب $7, 5$ باشد:

باقیمانده تقسیم عدد $a$ را بر $56$ بیابید.

$\{\begin{cases} a = 7 q_{1} + 5 \Rightarrow 8 \times a = 8 \times (7 q_{1} + 5) \Rightarrow 8 a = 56 q_{1} + 40 \\ a = 8 q_{2} + 7 \Rightarrow 7 \times a = 7 \times (8 q_{2} + 7) \Rightarrow 7 a = 56 q_{2} + 49 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 8 a - 7 a = (56 q_{1} + 40) - (56 q_{2} + 49) \\ \Rightarrow a = 56 q_{1} - 56 q_{2} - 9 \\ \Rightarrow a = 56 q_{1} - 56 q_{2} + (- 56 + 47) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = (56 q_{1} - 56 q_{2} - 56) + 47 \\ \Rightarrow a = 56 (q_{1} - q_{2} - 1) + 47 \\ \Rightarrow a = 56 (q) + 47 \\ \Rightarrow r = 47 \end{array}$

تمرین

بزرگ‌ترين عدد طبيعی $a$ را بيابيد كه چون بر $11$ تقسيم كنيم، باقيمانده تقسيم، نصف خارج قسمت شود.

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{11} \\ ⋮ \\ \bar{r = \frac{q}{2}} \end{array}〉 a = 11 q + r = 11 q + \frac{q}{2}; (0 \leq r < |11|)$

$\begin{array}{l} a = 11 q + \frac{q}{2}; 0 \leq r < b \\ 0 \leq r < b \Rightarrow \frac{q}{2} < 11 \Rightarrow q < 22 \end{array}$

$\max (q) = 21 \Rightarrow a = 11 \times 21 + \frac{21}{2} \notin N$

$\max (q) = 20 \Rightarrow a = 11 \times 20 + \frac{20}{2} = 230 \in N$

بزرگ‌ترين عدد طبيعی را بيابيد، به‌طوری كه باقيمانده تقسيم آن عدد بر $167$ ، دو برابر مكعب خارج قسمت باشد.

اگر عدد مورد نظر را $a$ بناميم، طبق داده های مساله و قضيه تقسيم داريم:

$a = 167 q + r = 167 q + (2 q^{3}); 0 \leq r < 167$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < 167; r = 2 q^{3} \\ \Rightarrow 0 \leq 2 q^{3} < 167 \\ \Rightarrow 0 \leq q^{3} < 83.5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \leq q^{3} \leq 83 \\ \Rightarrow 0 \leq q \leq 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} r = 2 q^{3} : \end{array}$

$\begin{matrix} q = 0 \Rightarrow r = 0 \Rightarrow a = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 1 \Rightarrow r = 2 \Rightarrow a = 167 \times 1 + 2 = 169 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 2 \Rightarrow r = 16 \Rightarrow a = 167 \times 2 + 16 = 350 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 3 \Rightarrow r = 54 \Rightarrow a = 167 \times 3 + 54 = 555 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 4 \Rightarrow r = 128 \Rightarrow a = 167 \times 4 + 128 = 796 \end{matrix}$

$\max (a) = 796$

تمرین

خارج قسمت و باقیمانده را در الگوریتم تقسیم برای هریک از اعداد زیر، وقتی که بر $17$ تقسیم شوند به‌دست آورید؟

$a = 100$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow 100 = 17 q + r \\ \Rightarrow 100 = 17 (5) + 15 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} q = 5 \\ r = 15 \end{cases} \end{array}$

$a = - 44$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow - 44 = 17 q + r \\ \Rightarrow - 44 = 17 (- 3) + 7 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} q = - 3 \\ r = 7 \end{cases} \end{array}$

تمرین

عدد زوج $a$ را بر $23$ تقسیم می‌کنیم، باقیمانده $17$ می‌شود.

باقیمانده $\frac{a}{2}$ تقسیم $23$ بر را بیابید.

$a = 23 q + 17; \{\begin{cases} a = 2 k \\ 23 q = 2 k + 1 \end{cases}$

با توجه به مفهوم فوق، $23 q$ همواره فرد است، زیر مجموع دو عدد فرد همواره زوج است:

$\begin{array}{l} a = 23 (2 k + 1) + 17 \\ \Rightarrow a = 46 k + 23 + 17 \\ \Rightarrow a = 46 k + 40 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{46 k}{2} + \frac{40}{2} \\ \Rightarrow \frac{a}{2} = 23 k + 20 \\ \Rightarrow r = 20 \end{array}$

تمرین

در صورتی‌که $a$ عددی صحیح زوج بوده و باقی مانده تقسیم آن بر $23$ برابر $13$ باشد.

ثابت کنید باقیمانده تقسیم عدد $\frac{a}{2}$ بر $23$ برابر $18$ می‌باشد؟

$a = 23 q + 13; \{\begin{cases} a = 2 k \\ 23 q = 2 k + 1 \end{cases}$

با توجه به مفهوم فوق، $23 q$ همواره فرد است، زیر مجموع دو عدد فرد همواره زوج است:

$\begin{array}{l} a = 23 (2 k + 1) + 13 \\ \Rightarrow a = 23 (2 k) + 23 + 13 \\ \Rightarrow a = 2 (23 k) + 36 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{2 (23 k)}{2} + \frac{36}{2} \\ \Rightarrow \frac{a}{2} = 23 k + 18 \\ \Rightarrow r = 18 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم $14$ برابر باقی مانده است و باقی مانده حداکثر مقدار خود را دارا می‌باشد.

اجزای این تقسیم را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} a = 14 r \\ \max (r) = b - 1; 0 \leq r < b \end{cases}$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow 14 r = b q + (b - 1) \\ \Rightarrow 14 (b - 1) = b q + b - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 13 b - b q = 13 \\ \Rightarrow (13 - q) \times b = 1 \times 13 (I) \end{array}$

با توجه به رابطه $(I)$ و این که $13$ عددی اول بوده و تجزیه آن منحصر به‌فرد می‌باشد، داریم:

یکی از دو عامل سمت چپ باید مساوی با $1$ و دیگری باید $13$ باشد:

$\begin{array}{l} (13 - q) \times b = 1 \times 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι) \{\begin{cases} (13 - q) = 13 \Rightarrow q = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} q = 0 \\ a = b q + r \end{cases}〉 a = r \\ b = 1 \end{cases} \end{array}$

$Ι Ι Ι) \{\begin{cases} (13 - q) = 1 \Rightarrow q = 12 \\ b = 13 \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} r = b - 1 \Rightarrow r = 13 - 1 \Rightarrow r = 12 \\ a = 14 r \Rightarrow a = 14 \times 12 \Rightarrow a = 168 \end{cases} \end{matrix}$

در حالت $(Ι Ι)$ با تساوی $a = r$ می‌رسیم که با تساوی $a = 14 r$ در تناقض است.

تمرین

در یک تقسیم اگر $48$ واحد از مقسوم کم کنیم، $2$ واحد از خارج قسمت کم شده و به باقی مانده $10$ واحد اضافه شود.

مقسوم علیه در این تقسیم چه عدد است؟

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a - 48 = b (q - 2) + (r + 10) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 48 = (b q + r) + 10 - 2 b; a = b q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 48 = (a) + 10 - 2 b \\ \Rightarrow - 58 = - 2 b \\ \Rightarrow b = 29 \end{array}$

تمرین

اگر خارج قسمت های دو عدد $a, b$ بر عدد طبیعی $c$ برابر باشد و باقی مانده ها یکی نباشد:

ثابت کنید $(a - b)$ همواره از $c$ کم تر است.

$\begin{array}{l} a = b q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} (Ι) : a = c q + r_{1}; 0 \leq r_{1} < c \end{array}$

$(Ι Ι) : b = c q + r_{2}; 0 \leq r_{2} < c$

اگر فرض کنیم $r_{2} < r_{1}$ در این‌صورت داریم:

$\begin{array}{l} (Ι) - (Ι Ι) : \end{array}$

$\begin{array}{l} a - b = (c q + r_{1}) - (c q + r_{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - b = r_{1} - r_{2}; \{\begin{cases} r_{2} < r_{1} \\ 0 < r_{1} - r_{2} < c \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow a - b < c$

تمرین

باقی مانده تقسیم $a, b$ بر $23$ به‌ترتیب $19, 18$ می‌باشد.

باقی مانده تقسیم $a - 2 b$ بر $23$ را بیابید.

$\begin{array}{l} a = 23 q_{1} + 18 \end{array}$

$b = 23 q_{2} + 19$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 b = 2 (23 q_{2} + 19) \\ \Rightarrow 2 b = (2 \times 23 q_{2}) + (2 \times 19) \\ \Rightarrow 2 b = 46 q_{2} + 38 \end{array}$

$\begin{array}{l} a - 2 b \\ = (23 q_{1} + 18) - (46 q_{2} + 38) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 (q_{1} - 2 q_{2}) - 20; q_{1} - 2 q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 q - 20 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 q - 23 + 3 \\ = 23 (q - 1) + 3; q - 1 = q^{'} \\ = 23 q^{'} + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f a - 2 b = 23 q^{'} + 3 \Rightarrow r = 3 \end{array}$

تمرین

باقی مانده تقسیم $b, a$ بر $27$ به‌ترتیب $13, 12$ می‌باشد.

باقی مانده تقسیم $(2 a - 3 b)$ بر $27$ را بیابید.

$\begin{array}{l} a = 27 q_{1} + 12 \Rightarrow 2 a = 2 (27 q_{1} + 12) = 2 \times 27 q_{1} + 24 \end{array}$

$b = 27 q_{2} + 13 \Rightarrow 3 b = 3 (27 q_{2} + 13) = 3 \times 27 q_{2} + 39$

$\begin{array}{l} 2 a - 3 b \end{array}$

$\begin{array}{l} = (2 \times 27 q_{1} + 24) - (3 \times 27 q_{2} + 39) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 27 (2 q_{1} - 3 q_{2}) - 15; 2 q_{1} - 3 q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} = 27 q - 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 27 q - 27 + 12 \\ = 27 (q - 1) + 12; q - 1 = q^{'} \\ = 27 q^{'} + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f 2 a - 3 b = 27 q^{'} + 12 \Rightarrow r = 12 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم علیه $37$ و باقی مانده $12$ می‌باشد.

اگر به مقسوم $179$ واحد اضافه کنیم، باقی مانده چه تغییری می‌کند؟

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a = 37 q + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 q + 12 + 179 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 q + 191 \\ \Rightarrow 179 + a = 37 q + (185 + 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = (37 q + 185) + 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 (q + 5) + 6; q + 5 = q^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 q^{'} + 6 \end{array}$

باقی مانده جدید $6$ واحد کم شده است.

تمرین

اگر عدد زوج $a$ بر $21$ تقسیم شود، باقی مانده برابر $13$ خواهد شد.

باقی مانده تقسیم $\frac{a}{2}$ بر $21$ را بیابید.

$a = b q + r$

$a$ زوج است و داریم:

$a = 21 q + 13$

پس باید $q$ فرد باشد تا سمت چپ تساوی زوج شود:

$\begin{array}{l} a = 21 q + 13 \\ \Rightarrow a = 21 (2 k + 1) + 13 \\ \Rightarrow a = 42 k + 34 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{42 k}{2} + \frac{34}{2} \\ \Rightarrow \frac{a}{2} = 21 k + 17 \\ \Rightarrow r = 17 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم $900$ واحد بیش از مقسوم علیه و باقی مانده $87$ می‌باشد.

خارج قسمت را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r; \{\begin{cases} a = b + 900 \\ r = 87 \end{cases} \\ \Rightarrow (b + 900) = b q + 87 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 813 = b (q - 1) \\ \Rightarrow 271 \times 3 = b (q - 1) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} b = 271 \\ q - 1 = 3 \Rightarrow q = 4 \end{cases} \end{array}$

تمرین

باقی مانده تقسیم عدد طبیعی $a$ بر $29$ ، برابر $12$ است ، اگر $a + 17$ مضرب $21$ باشد:

رقم وسط کوچک ترین عدد a را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a = 29 q + 12; \{\begin{cases} a + 17 = 21 q^{'} \\ a = 21 q^{'} - 17 \end{cases} \\ \Rightarrow (21 q^{'} - 17) = 29 q + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 21 q^{'} = 29 q + 29 \\ \Rightarrow 21 q^{'} = 29 (q + 1) \\ \Rightarrow \frac{21}{29} = \frac{q + 1}{q^{'}} \end{array}$

چون حداقل مقدار را برای $a$ باید محاسبه کنیم پس داریم:

$\{\begin{cases} q + 1 = 21 \\ q^{'} = 29 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a + 17 = 21 q^{'} \\ \Rightarrow a + 17 = 21 \times 29 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 21 \times 29 - 17 \\ \Rightarrow a = 609 - 17 \\ \Rightarrow a = 592 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، $4$ واحد به مقسوم علیه و $52$ واحد به مقسوم اضافه کردیم و باقی مانده و خارج قسمت تغییر نکرده‌اند.

خارج قسمت را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a + 52 = (b + 4) q + r \\ \Rightarrow a + 52 = b q + 4 q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (b q + r) + 4 q; b q + r = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (a) + 4 q \\ \Rightarrow 52 = 4 q \\ \Rightarrow q = 13 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، $4$ واحد به مقسوم علیه و $52$ واحد به مقسوم اضافه کرده‌ایم و باقی مانده و خارج قسمت تغییر نکرده‌اند.

خارج قسمت را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a + 52 = (b + 4) q + r \\ \Rightarrow a + 52 = b q + 4 q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (b q + r) + 4 q; b q + r = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (a) + 4 q \\ \Rightarrow 52 = 4 q \\ \Rightarrow q = 13 \end{array}$

تمرین

اگر باقی مانده تقسیم عددی بر $5, 3$ به‌ترتیب $3, 2$ باشد.

باقی مانده تقسیم این عدد بر $15$ را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 q + 2 \Rightarrow 10 a = 30 q + 20 \end{array}$

$a = 5 q^{'} + 3 \Rightarrow 9 a = 45 q^{'} + 27$

توجه شود که دو طرف تساوی های را باید در اعدادی ضرب کنیم که در تفاضل آنها:

اولا) عدد $a$ حاصل شود

ثانیا) در طرف دیگر، مضربی از $15$ ظاهر شود.

$\begin{array}{l} 10 a - 9 a = (30 q + 20) - (45 q^{'} + 27) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 (2 q - 3 q^{'}) - 7; 2 q - 3 q^{'} = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 k - 7 \\ \Rightarrow a = 15 k - 15 + 8 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 (k - 1) + 8; k - 1 = k^{'} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 k^{'} + 8 \\ \Rightarrow r = 8 \end{array}$

تمرین

اگر $a, b$ دو عدد طبیعی بوده و داشته باشیم:

$a^{4} = b^{4} + 65$

مقدار $a$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} a^{4} = b^{4} + 65 \\ \Rightarrow a^{4} - b^{4} = 65 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = 5 \times 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} - b^{2} = 5 \\ a^{2} + b^{2} = 13 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases} \end{array}$

تمرین

عدد فرد $a$ را بر $22$ تقسیم می‌کنیم ، باقی مانده برابر $17$ می‌باشد.

اگر $\frac{a + 1}{2}$ را بر $22$ تقسیم کنیم، باقی مانده را بیابید؟

$a = b q + r \Rightarrow a = 22 q + 17$

چون $a$ عدد فرد می‌باشد لذا $q$ هم می‌تواند فرد و هم می‌تواند زوج باشد، پس داریم:

$\begin{array}{l} Ι) q = 2 k \\ \Rightarrow a = 22 \times 2 k + 17 \\ \Rightarrow a + 1 = 44 k + 17 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 1 = 44 k + 18 \\ \Rightarrow \frac{a + 1}{2} = 22 k + 9 \\ \Rightarrow r = 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι) q = 2 k + 1 \\ \Rightarrow a = 22 \times (2 k + 1) + 17 \\ \Rightarrow a + 1 = 44 k + 39 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 1 = 44 k + 40 \\ \Rightarrow \frac{a + 1}{2} = 22 k + 20 \\ \Rightarrow r = 20 \end{array}$

تمرین

بزرگ ترین عدد طبیعی $a$ را بیابید که چون بر $92$ تقسیم کنیم، باقیمانده تقسیم $3$ برابر مجذور خارج قسمت شود.

$a = b q + r \Rightarrow a = 92 q + 3 q^{2}$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < b : \\ 0 \leq 3 q^{2} < 92 \\ \Rightarrow q^{2} < \frac{92}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow q^{2} < 30. \bar{6} \\ \Rightarrow q < 5.53 \\ \Rightarrow \max (q) = 5 \end{array}$

$\{\begin{cases} a = 92 q + 3 q^{2} \\ \max (a) = 92 \times 5 + 3 \times 25 = 535 \end{cases}$

کوچک ترین عدد طبیعی $a$ را بیابید که چون بر $7, 5$ تقسیم کنیم، باقی مانده ها به‌ترتیب $4, 2$ شود.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 5 q + 2 \\ a = 7 q^{'} + 4 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a + 3 = 5 q + 5 = 5 (q + 1) = 5 k_{1} \\ a + 3 = 7 q^{'} + 7 = 7 (q^{'} + 1) = 7 k_{2} \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow a + 3 = [5, 7] k$

$[5, 7]$ کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد مفروض است.

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 3 = 35 k \\ \Rightarrow a = 35 k - 3; k = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \min (a) = 35 (1) - 3 \\ \Rightarrow \min (a) = 32 \end{array}$

کوچک ترین عدد چهار رقمی را بیابید چون بر $19, 18, 8$ تقسیم کنیم باقی مانده آن برابر $3$ شود.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 8 q_{1} + 3 \\ a = 18 q_{2} + 3 \\ a = 19 q_{3} + 3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a - 3 = 8 q_{1} \\ a - 3 = 18 q_{2} \\ a - 3 = 19 q_{3} \end{cases} \\ a - 3 = [8, 18, 19] k \end{array}$

$[8, 18, 19]$ کوچک ترین مضرب مشترک سه عدد مفروض است.

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 3 = 1368 k \\ \Rightarrow a = 1368 k + 3; k = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \min (a) = 1368 (1) + 3 \\ \Rightarrow \min (a) = 1371 \end{array}$

تفاضل بزرگ ترین و کوچک ترین اعداد صحیح و مثبتی که چون بر $93$ تقسیم شوند، باقی مانده تقسیم دو برابر مجذور خارج قسمت شود، را بیابید.

$a = b q + r \Rightarrow a = 93 q + (2 q^{2})$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < b \\ \Rightarrow 0 \leq r < 93 \\ \Rightarrow 0 \leq 2 q^{2} < 93 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow q^{2} < \frac{93}{2} \\ \Rightarrow q^{2} < 46.5 \\ \Rightarrow q < 6.81 \\ \Rightarrow q \leq 6 \end{array}$

$q = 1 \lor q = 2 \lor q = 3 \lor .... \lor q = 6$

$\begin{array}{l} i f q = 1 \Rightarrow \min (a) = 93 \times 1 + 2 = 95 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f q = 6 \Rightarrow \max (a) = 93 \times 6 + 72 = 630 \end{array}$

$\max (a) - \min (a) = 630 - 95 = 535$

در تقسیم عدد صحیح $a$ بر $17$ ، باقی مانده نصف خارج قسمت می‌باشد، حداکثر مقدار $a$ را به‌دست آورید؟

$a = b q + r \Rightarrow a = 17 q + \frac{q}{2}$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < 17 \\ \Rightarrow 0 \leq \frac{q}{2} < 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 17 q + 0 \leq 17 q + \frac{q}{2} < 17 q + 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 17 q \leq a < 17 q + 17; \frac{q}{2} = r = 16 \Rightarrow q = 32 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 17 (32) \leq a < 17 (32) + 17 \\ \Rightarrow 544 \leq a < 561 \\ \Rightarrow \max (a) = 560 \end{array}$

بدیهی است که حداکثر مقدار $a$ به‌ازای $16$ به‌دست می‌آید.

در تقسیم عدد صحیح $a$ بر $56$ باقی مانده، مربع خارج قسمت می‌باشد، حداکثر مقدار $a$ را به‌دست آورید؟

$a = b q + r \Rightarrow a = 56 q + q^{2}$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < 56 \\ \Rightarrow 0 \leq q^{2} < 56 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow q < 7.48; \{\begin{cases} \max (q) = 7 \\ a = 56 q + q^{2} \end{cases} \\ \Rightarrow \max (a) = 56 \times 7 + 49 \\ \Rightarrow \max (a) = 441 \end{array}$

تمرین

اگر در یک تقسیمريال مقسوم و مقسوم علیه هر دو بر عدد صحیح $n$ بخش پذیر باشند، ثابت کنید:

باقی مانده تقسیم همواره بر $n$ بخش پذیر است.

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{b} \\ ⋮ \\ \bar{r} \end{array}〉 \Leftrightarrow a = b q + r \overset{(0 \leq r < b)}{\leftrightarrow} r = a - b q$

$\begin{matrix} \{\begin{array}{l} n| a \\ n| b \Rightarrow n| b q \end{array}〉 n| a - b q \Rightarrow n| r \end{matrix}$

تمرین

اگر $a$ عدد صحیح و دل‌خواه باشد:

ثابت کنید همواره یکی از اعداد صحیح $a, a + 2, a + 4$ بر $3$ بخش پذیر است.

طبق قضیه تقسیم خواهیم داشت:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{3} \\ ⋮ \\ \bar{r} \end{array}〉 \Leftrightarrow a = 3 q + r; (0 \leq r < 3)$

با توجه به این‌که $0 \leq r < 3$ یعنی $r = 0, 1, 2$ می‌باشد.

عدد صحیح $a$ را می‌توان به يكی از سه صورت زير نوشت:

$\begin{array}{l} a = 3 k \Rightarrow 3| a \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 k + 1 \Rightarrow a + 2 = (3 k + 1) + 2 \Rightarrow a + 2 = 3 k + 3 \Rightarrow a + 2 = 3 (k + 1) \Rightarrow 3| a + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 k + 2 \Rightarrow a + 4 = (3 k + 2) + 4 \Rightarrow a + 4 = 3 k + 6 \Rightarrow a + 4 = 3 (k + 2) \Rightarrow 3| a + 4 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

افراز مجموعه $ℤ$ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم

مقدمه

اگر عدد صحیح $a$ را بخواهیم بر $5$ تقسیم کنیم:

این عدد صحیح یا بر $5$ تقسیم پذیر است یعنی $(r = 0)$ یا باقیمانده تقسیم آن بر $5$ عدد $1$ یا $2$ یا $3$ یا $4$ است، به‌عبارت دیگر:

$\begin{array}{l} a = 5 q + 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 5 q + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 5 q + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 5 q + 3 \end{array}$

$a = 5 q + 4$

و چون $a \in Z$ یک عدد دل‌خواه در نظرگرفته شده بود، می‌توان گفت که هر عدد صحیح را می‌توان به یکی از $5$ صورت فوق نوشت.

تعریف

فرض کنید $a$ و $k$ دو عدد صحیحی باشند به‌طوری‌که $k \neq 0$ در این‌صورت اعداد صحیح منحصر به‌فردی مانند $q$ و $r$ می‌توان یافت به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{k} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 a = k q + r; (0 \leq r < k)$

با توجه به این‌که $(0 \leq r < k)$ یعنی مقادیری که $r$ می‌پذیرد، به‌صورت زیر است:

$r = 0, 1, 2, ....., (k - 1)$

هر عدد صحیح مانند $a$ را می‌توان به یکی از $k$ صورت زیر نوشت:

$\begin{array}{l} a = k q + 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = k q + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = k q + 2 \\ ⋮ \end{array}$

$a = k q + (k - 1)$

با این کار توانسته‌ایم مجموعه $Z$ را دقیقا به $k$ زیر مجموعه خودش افراز کنیم.

تمرین

عدد صحیح و فرد $a$ را در نظر بگیرید:

این عدد را به یکی از دو صورت $4 k + 1$ یا $4 k + 3$ بنویسید.

فرض کنیم $a \in Z$ و عددی فرد باشد. اگر $a$ را بر $4$ تقسیم کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{4} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 a = 4 q + r; (0 \leq r < 4)$

با توجه به این‌که $(0 \leq r < 4)$ یعنی داریم:

$r = 0, 1, 2, 3$

عدد $a$ را می‌توان به یکی از $4$ صورت زیر نوشت:

$\begin{array}{l} (1) : p = 4 k + 0; A_{1} = \{a \in ℤ| a = 4 k\} \end{array}$

$\begin{array}{l} (2) : p = 4 k + 1;_{2} = \{a \in ℤ| a = 4 k + 1\} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} (3) : p = 4 k + 2; A_{3} = \{a \in ℤ| a = 4 k + 2\} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} (4) : p = 4 k + 3; A_{4} = \{a \in ℤ| a = 4 k + 3\} \end{array}$

چهار مجموعه $A_{4}, A_{3}, A_{2}, A_{1}$ مجموعه $Z$ را افراز می‌کند.

حالات زیر زوج هستند:

$\{\begin{cases} a = 4 k \\ a = 4 k + 2 \end{cases}$

حالات زیر فرد هستند:

$\{\begin{cases} a = 4 k + 1 \\ a = 4 k + 3 \end{cases}$

نشان دهید که مربع هر عدد فرد به شکل $(8 t + 1)$ نوشته می‌شود. (باقیمانده تقسیم مربع هر عدد فرد بر $8$ مساوی با $1$ است.)

$\begin{matrix} a = 4 k + 1 \Rightarrow a^{2} = {(4 k + 1)}^{2} \Rightarrow a^{2} = 16 k^{2} + 8 k + 1 \Rightarrow a^{2} = 8 (2 k^{2} + k) + 1 \Rightarrow a^{2} = 8 (t^{'}) + 1 \end{matrix}$

$a = 4 k + 3 \Rightarrow a^{2} = {(4 k + 3)}^{2} \Rightarrow a^{2} = 16 k^{2} + 24 k + 9 \Rightarrow a^{2} = 8 (2 k^{2} + 3 k + 1) + 1 \Rightarrow a^{2} = 8 (t^{''}) + 1$

تمرین

ثابت کنید اگر $p > 3$ عددی اول باشد، آن‌گاه به یکی از دو صورت $\{\begin{cases} p = 6 k + 1 \\ p = 6 k + 5 \end{cases}$ نوشته می‌شود.

کافی است $p$ را بر $6$ تقسیم کنیم، طبق قضیه الگوریتم تقسیم خواهیم داشت:

$\{\begin{array}{l} p \underset{q}{6} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 p = 6 q + r; (0 \leq r < 6)$

با توجه به این‌که $(0 \leq r < 6)$ یعنی داریم:

$r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$

$\begin{array}{l} (1) : p = 6 k + 0 = 2 (3 k) \\ (2) : p = 6 k + 1 \\ (3) : p = 6 k + 2 = 2 (3 k + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} (4) : p = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1); 3| p \end{array}$

$\begin{array}{l} (5) : p = 6 k + 4 = 2 (3 k + 2) \\ (6) : p = 6 k + 5 \end{array}$

$p$ در حالات $(5), (3), (1)$ زوج است و با اول بودنِ آن در تناقض است.

$p$ در حالت $(4)$ مضربی از عدد $3$ است و با اول بودنِ آن در تناقض است.

$p$ در حالات $(6), (2)$ صحیح است.

تمرین

عدد $a$ مضرب $5$ نيست، صورت های ممكنه آن را بنويسيد.

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{5} \\ ⋮ \\ \bar{r} \end{array}〉 a = 5 q + r; (0 \leq r < |5|)$

$\begin{array}{l} a = 5 q + r; 0 \leq r < 5 \\ r = 0 \Rightarrow a = 5 q \\ r = 1 \Rightarrow a = 5 q + 1 \\ r = 2 \Rightarrow a = 5 q + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} r = 3 \Rightarrow a = 5 q + 3 = 5 q + (5 - 2) = (5 q + 5) - 2 = 5 (q + 1) - 2 = 5 q^{'} - 2 \end{array}$

$r = 4 \Rightarrow a = 5 q + 4 = 5 q + (5 - 1) = (5 q + 5) - 1 = 5 (q + 1) - 1 = 5 q^{'} - 1$

از حالات فوق در چهار حالت، عدد $a$ مضرب $5$ نيست.

$\{\begin{cases} a = 5 k \pm 1 \\ a = 5 k \pm 2 \end{cases}$

نشان دهيد هر عدد صحيح به يكی از دو صورت $2 k$ یا $2 k + 1$ نوشته می‌شود.

فرض كنيد $a$ يک عدد صحيح دل‌خواه باشد.

$a$ را بر $2$ تقسیم می‌کنیم، بنابر الگوريتم تقسيم داريم:

$\begin{array}{l} a = 2 k + r; 0 \leq r < 2 \\ i f r = 0 \Rightarrow a = 2 k \\ i f r = 1 \Rightarrow a = 2 k + 1 \end{array}$

اعداد به شكل $2 k$ را اعداد زوج و اعداد به شكل $2 k + 1$ را فرد گويند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- اگر $a$ عدد فردی باشد که نتوان آن را به‌صورت $(8 k + 1)$ نوشت، در این‌صورت $a$ مربع کامل نیست.

به‌عنوان نمونه عدد $25$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

${(5)}^{2} = 25 = 8 (3) + 1$

بنابراین مربع کامل است.

تمرین

اگر $x$ عددی صحيح و فرد باشد، باقيمانده تقسيم $x^{2} - 5$ بر $8$ را بنویسید.

یادآوری)

مربع هر عدد فرد، به‌شكل $(8 k + 1)$ است که قبلا بررسی شد، این مطلب با مثال های عددی زیر هم مشخص می‌شود:

$\begin{array}{l} {(1)}^{2} = 1 = 8 (0) + 1 \\ {(3)}^{2} = 9 = 8 (1) + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(5)}^{2} = 25 = 8 (3) + 1 \\ {(7)}^{2} = 49 = 8 (6) + 1 \\ ⋮ \\ {(x)}^{2} = x^{2} = 8 (k) + 1 \end{array}$

پس اگر $x$ عددی صحيح و فرد باشد:

$\begin{array}{l} x^{2} = 8 k + 1 \\ \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k + 1 - 5 \\ \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k - 8 + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 (k - 1) + 4; k - 1 = k^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k^{'} + 4 \\ \Rightarrow r = 4 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

2- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند به‌طوری‌که $a < b$ باشد، در این‌صورت باقیمانده تقسیم $a$ بر $b$ خود عدد $a$ است.

$\begin{array}{l} a b \\ \underline{0} 0 \\ a \Rightarrow a = b (0) + a \end{array}$

بنابراین باقیمانده هر یک از اعداد زیر:

$(n - 1), ..., 4, 3, 2, 1$

بر $n$ به‌ترتیب برابر است با:

$(n - 1), ..., 4, 3, 2, 1$

نکته

3- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند، آن‌گاه:

$i f \{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases}〉 q = [\frac{a}{b}]$

منظور از $[\frac{a}{b}]$ جزءصحیح کسر $\frac{a}{b}$ است.

اثبات

$\begin{matrix} a = b q + r \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{b} q + \frac{r}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = q + \frac{r}{b} \end{matrix}$

$0 \leq r < b$

$\Rightarrow 0 \leq \frac{r}{b} < 1$

$\Rightarrow 0 + q \leq \frac{r}{b} + q < q + 1$

$\Rightarrow q \leq \frac{a}{b} < q + 1$

$\Rightarrow [\frac{a}{b}] = q$

تعداد مضارب صحیح مثبتی از $b$ که کوچک‌تر یا مساوی $a$ هستند، برابر است با $[\frac{a}{b}]$

تمرین

تعداد مضارب مثبت $5$ که کوچک‌تر یا مساوی $138$ است را بیابید.

$138 = 5 (27) + 3$

تعداد مضارب مثبت $5$ که کوچک‌تر یا مساوی $138$ برابر است با:

$[\frac{138}{5}] = 27$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

4- در هر تقسیم $a = b q + r$ حداکثر به اندازه $x = [\frac{r}{q}]$ واحد می‌توان به مقسوم علیه اضافه کرد تا مقسوم و خارج قسمت تغییر نکنند.

اثبات

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a = (b + x) q + r^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = b q + x q + r^{'}; a = b q + r \end{array}$

$\Rightarrow (b q + r) = b q + x q + r^{'}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r^{'} = r - x q; r - x q \geq 0 \\ \Rightarrow r - x q \geq 0 \\ \Rightarrow x \leq \frac{r}{q} \\ \Rightarrow x = [\frac{r}{q}] \end{array}$

تمرین

در يک تقسيم، خارج قسمت $35$ و باقيمانده $421$ است.

حداكثر چند واحد به مقسوم عليه اضافه كرد تا مقسوم و خارج قسمت تغيير نكنند.

$a = b q + r \Rightarrow a = b (35) + 421$

در حقيقت بايد معلوم كنيم كه در $421$ چند بار عدد $35$ را می‌توان گنجاند:

$[\frac{421}{35}] = [12 / 03] = 12$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

5- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند به‌طوری‌که:

$\{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases}$

با شرط $(a > b)$ مقسوم از دو برابر باقیمانده بزرگ‌تر است:

$a > 2 r$

اثبات

روش اول-

$\{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases}$

$a = b q + r > b + r > r + r = 2 r \Rightarrow a > 2 r$

روش دوم- واضح است که چون $a$ و $b$ دو عدد طبیعی هستند و $(a > b)$ باشد، بنابراین $q \geq 1$ :

$\begin{array}{l} q \geq 1 \\ \Rightarrow b q \geq b; b > r \\ \Rightarrow b q > r \\ \Rightarrow b q + r > r + r \\ \Rightarrow a > 2 r \end{array}$

نکته

6- در هر تقسیم، هرگاه هر مضرب صحیح و مثبتی از مقسوم علیه را به مقسوم بیفزاییم، باقیمانده تغییر نمی‌کند.

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases} \end{array}$

$a = b q + r \Rightarrow a + n b = b q + n b + r = b (q + n) + r$

واضح است که رابطه اخیر یک تقسیم را معرفی می‌کند که باقیمانده آن همان باقیمانده تقسیم عدد $a$ بر عدد $b$ یعنی $r$ است.

در حالت کلی، اگر $n$ برابر مقسوم علیه را به مقسوم اضافه کنیم، خارج قسمت جدید با عدد $n$ جمع می‌شود.

تمرین

در يک تقسيم، خارج قسمت برابر $21$ و مقسوم عليه $8$ است.

اگر $24$ به مقسوم اضافه كنيم، خارج قسمت جديد را به‌دست آورید.

طبق نكته بالا بايد $3$ واحد به خارج قسمت قديم اضافه كنيم تا خارج قسمت جديد حاصل شود.

سه برابر مقسوم عليه را به مقسوم اضافه كرده ايم.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = b q + r \Rightarrow a = (8) (21) + r \\ 0 \leq r < b \end{cases} \end{array}$

$a = (8) (21) + r \Rightarrow a + 24 = (8) (21) + 24 + r = 8 (21 + 3) + r$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

7- به کسر زیر توجه کنید:

$a = b q + r \Rightarrow b q = a - r \Rightarrow q = \frac{a - r}{b}$

می‌توانیم مقادیری مختلف را به $a$ و $r$ و $b$ اضافه کنیم، به‌طوری که $q$ یعنی خارج قسمت، تغییری نکند.

تمرین

در تقسيم عدد صحيح $a$ بر $b$ خارج قسمت $12$ و باقيمانده $93$ شده است.

حداكثر چه مقدار می‌توان به مقسوم عليه اضافه نموده تا خارج قسمت تغيير نكند؟

اگر حداكثر مقدار را $x$ در نظر بگیریم:

$\begin{array}{l} a = b q + r \Rightarrow \{\begin{cases} a = 12 b + 93 \\ a = 12 (b + x) + r^{'} \Rightarrow a = 12 b + 12 x + r^{'} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 12 b + 93 = 12 b + 12 x + r^{'} \\ \Rightarrow 12 x = 93 - r^{'} \\ \Rightarrow x = \frac{93 - r^{'}}{12} \end{array}$

$x$ باید ماکزیمم باشد.

بايد عددی را از $93$ كم كنيم كه در ازای تقسيم آن بر $12$ عددی به‌دست آيد كه در $Z$ باشد، بنابراين:

$i f r^{'} = 9 \Rightarrow x = \frac{93 - 9}{12} = 7$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

8- همواره در تقسیم $a$ بر $b$ به‌طوری‌که $a = b q + r$ باشد:

حداکثر $n = b - r - 1$ واحد می‌توان به مقسوم اضافه کرد تا خارج قسمت تغییر نکند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

عدد صحیح $a$ مضرب $8$ و باقیمانده تقسیم آن بر $23$ برابر $5$ است.

باقیمانده تقسیم $\frac{a}{4}$ بر $23$ کدام است؟

$5$
$7$
$13$
$19$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

قضیه تقسیم

15,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نظریه اعداد

قضیه تقسیم

مقدمه

الگوریتم تقسیم

افراز مجموعه $ℤ$ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم

مقدمه

تعریف

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

نظریه اعداد

قضیه تقسیم

مقدمه

الگوریتم تقسیم

افراز مجموعه ℤ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم

مقدمه

تعریف

تست‌های این مبحث

افراز مجموعه $ℤ$ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم