سرفصل‌های این مبحث

لگاریتم

فرمول‌ های لگاریتم

آخرین ویرایش: 18 آبان 1403

دسته‌بندی: لگاریتم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضایا و فرمول های لگاریتم

قضیه

لگاریتم $1$ در مبنای هر عدد، همواره صفر است.

$\log_{a} 1 = 0$

اثبات

$\begin{array}{l} i f N = a^{x} \Rightarrow \log_{a} N = x \\ i f 1 = a^{0} \Rightarrow \log_{a} 1 = 0 \end{array}$

قضیه

لگاریتم هر عدد در مبنای خودش همواره $1$ است.

$\log_{a} a = 1$

اثبات

$\begin{array}{l} i f N = a^{x} \Rightarrow \log_{a} N = x \\ i f a = a^{1} \Rightarrow \log_{a} a = 1 \end{array}$

قضیه

$\{\begin{cases} \log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N \\ \log_{_{a}} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} N = a^{x} \Rightarrow \log_{a} N = x \\ \{\begin{cases} 1) i f M = a^{x} \Rightarrow \log_{a} M = x \\ 2) i f N = a^{y} \Rightarrow \log_{a} N = y \end{cases} \end{array}$

به اثبات تساوی زیر می‌پردازیم:

$\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$

$\begin{array}{l} (1) \times (2) : \\ M \times N = a^{x} \cdot a^{y} \\ \Rightarrow M N = a^{x + y} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{a} M N = x + y \\ \Rightarrow \log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N \end{array}$

به اثبات تساوی زیر می‌پردازیم:

$\log_{_{a}} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

$\begin{array}{l} \frac{(1)}{(2)} : \\ \frac{M}{N} = \frac{a^{x}}{a^{y}} \\ \Rightarrow \frac{M}{N} = a^{x} \cdot a^{- y} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{M}{N} = a^{x - y} \\ \Rightarrow \log_{a} \frac{M}{N} = x - y \\ \Rightarrow \log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N \end{array}$

نکته

1- اگر تعداد جملات زوج باشد، حوزه تعریف رابطه می‌تواند وسیع‌تر باشد، در این حالت در دو طرف دیگر از قدرمطلق استفاده می‌کنیم.

$\log_{a} M N K \cdot \cdot \cdot = \log_{a} M + \log_{a} N + \log_{a} K + \cdot \cdot \cdot$

2- نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

$\log_{a} \frac{1}{N} = \log_{a} 1 - \log_{a} N = 0 - \log_{a} N = - \log_{a} N$

$\log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - \log 2 \Rightarrow \{\begin{cases} \log 5 = 1 - \log 2 \\ \log 2 = 1 - \log 5 \end{cases}$

قضیه

$\log_{a^{p}} N^{m} = \frac{m}{p} \log_{a} N$

اثبات

$i f N = a^{x} \Rightarrow \{\begin{cases} \log_{a} N = x \\ N^{m} = {(a^{x})}^{m}; (1) \end{cases}$

فرض كنيم $\log_{a^{p}} N^{m} = k x$ باشد، می‌خواهيم مقدار $k$ را به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} \log_{a^{p}} N^{m} = k x \\ \Rightarrow N^{m} = {(a^{p})}^{k x} \\ \Rightarrow N^{m} = a^{p k x}; N^{m} = {(a^{x})}^{m} \\ \Rightarrow {(a^{x})}^{m} = a^{p k x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{x m} = a^{p k x} \\ \Rightarrow x m = p k x \\ \Rightarrow m = p k \\ \Rightarrow k = \frac{m}{p} \end{array}$

$i f \log_{a^{p}} N^{m} = k x \Rightarrow \log_{a^{p}} N^{m} = \frac{m}{p} \log_{a} N$

نکته

نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

$\begin{array}{l} \log_{a} N^{m} = m \log_{a} N \\ \log_{a^{p}} N = \frac{1}{p} \log_{a} N \end{array}$

در فرمول فوق اگر $p$ زوج باشد، داریم:

$\log_{a^{p}} N = \frac{1}{p} \log_{|a|} N$

$\begin{array}{l} \log_{a^{m}} N^{m} = \log_{a} N \\ \log_{\frac{1}{a}} \frac{1}{N} = \log_{a^{- 1}} N^{- 1} = \log_{a} N \end{array}$

$\log_{\sqrt[p]{a}} \sqrt[m]{N} = \log_{a^{1 / p}} N^{\frac{1}{m}} = \frac{\frac{1}{m}}{\frac{1}{p}} \log_{a} N = \frac{p}{m} \log_{a} N$

$\log_{a} N = \log_{a^{2}} N^{2} = \log_{a^{3}} N^{3} = \cdot \cdot \cdot = \log_{\sqrt{a}} \sqrt{N} = \log_{\sqrt[3]{a}} \sqrt[3]{N} = \cdot \cdot \cdot$

قضیه

$\log_{b} a \times \log_{a} b = 1$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} i f \log_{b} a = x \Rightarrow a = b^{x} \\ i f \log_{a} b = y \Rightarrow b = a^{y} \end{cases} \\ a = b^{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = {(a^{y})}^{x} \\ \Rightarrow a = a^{x y} \\ \Rightarrow x y = 1 \\ \Rightarrow \log_{b} a \times \log_{a} b = 1 \end{array}$

نکته

نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

$\begin{array}{l} i f \log_{b} a \times \log_{a} b = 1 \Rightarrow \log_{b} a = \frac{1}{\log_{a} b} \end{array}$

$i f \log_{M N} a = \frac{1}{\log_{a} M N} \Rightarrow \log_{M N} a = \frac{1}{\log_{a} M + \log_{a} N}$

قضیه

$\log_{b} a \times \log_{c} b = \log_{c} a$

اثبات

$\{\begin{cases} (1) : i f \log_{b} a = x \Rightarrow a = b^{x} \\ (2) : i f \log_{c} b = y \Rightarrow b = c^{y} \\ (3) : i f \log_{c} a = z \Rightarrow a = c^{z} \end{cases}$

$\begin{array}{l} (1), (2) : a = {(c^{y})}^{x} \Rightarrow a = c^{x y}; (4) \\ (3), (4) : \{\begin{array}{l} a = c^{z} \\ a = c^{x y} \end{array}〉 c^{z} = c^{x y} \end{array}$

$\begin{array}{l} c^{z} = c^{x y} \\ \Rightarrow x y = z \\ \Rightarrow \log_{b} a \times \log_{c} b = \log_{c} a \end{array}$

نکته

1- تعمیم فرمول فوق به‌صورت زیر است:

$\log_{b} a \times \log_{c} b \times \log_{d} c \times \cdot \cdot \cdot \times \log_{n} k = \log_{n} a$

2- نتیجه حاصل از فرمول فوق با اهمیت است:

$\log_{b} a \times \log_{c} b = \log_{c} a \Rightarrow \log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}$

3- از این فرمول برای به‌دست آوردن مبنای مورد نیاز استفاده می‌کنیم:

$\log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b} = \frac{\log_{d} a}{\log_{d} b} = \frac{\log_{100} a}{\log_{100} b} = \cdot \cdot \cdot$

به‌جای مبناهای صورت و مخرج هر عدد مساوی می‌توان قرار داد.

قضیه

$\log_{a} (\log_{b} (\log_{c} x)) = m \Rightarrow x = c^{b^{a^{m}}}$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} i f \log_{c} x = k \Rightarrow x = c^{k} \\ i f \log_{b} k = p \Rightarrow k = b^{p} \\ i f \log_{a} p = m \Rightarrow p = a^{m} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} x = c^{k}; k = b^{p} \\ \Rightarrow x = c^{b^{p}}; p = a^{m} \\ \Rightarrow x = c^{b^{a^{m}}} \end{array}$

قضیه

$N = {(a)}^{\log_{a} N}$

اثبات

$\begin{array}{l} i f \log_{a} N = x \\ \Rightarrow N = a^{x}; x = \log_{a} N \\ \Rightarrow N = a^{\log_{a} N} \end{array}$

نکته

به‌طور کلی داریم:

${(x)}^{\log_{a} y} = {(y)}^{\log_{a} x}$

یادآوری

فرمول‌ های لگاریتم - پیمان گردلو

تمرین

حاصل عبارات زیر را محاسبه کنید.

$\log_{2} 16$

$= \log_{2} 2^{4}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a$

$\begin{array}{l} = 4 \log_{2} 2; \log_{a} a = 1 \\ = 4 (1) \\ = 4 \end{array}$

$\log_{2} \sqrt{8}$

$\begin{array}{l} = \log_{2} 8^{\frac{1}{2}} \\ = \log_{2} {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} \\ = \log_{2} 2^{\frac{3}{2}}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{3}{2} \log_{2} 2; \log_{a} a = 1 \\ = \frac{3}{2} (1) \\ = \frac{3}{2} \end{array}$

$\log_{10} 4 + \log_{10} 25$

$\begin{array}{l} = \log_{10} (4 \times 25); \log_{c} a + \log_{c} b = \log_{c} a b \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} 100 \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} 10^{2}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a \\ = 2 \times \log_{10} 10; \log_{a} a = 1 \\ = 2 \times (1) \\ = 2 \end{array}$

$2 \log_{10} 4 + \log_{10} 4$

$= 3 \log_{10} 4$

$\begin{array}{l} = 3 \log_{10} 2^{2}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a \end{array}$

$\begin{array}{l} = (3 \times 2) \log_{10} 2 \\ = 6 \log_{10} 2 \end{array}$

$\log_{4} 54 - \log_{3} 2$

$\begin{array}{l} = \log_{3} \frac{54}{2}; \log_{c} a - \log_{c} b = \log_{c} \frac{a}{b} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{3} 27 \\ = \log_{3} 3^{3}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 \log_{3} 3; \log_{a} a = 1 \\ = 3 (1) \\ = 3 \end{array}$

$2 \log_{10} 5 + \log_{10} 4$

$\begin{array}{l} = \log_{10} 5^{2} + \log_{10} 4; x \log_{c} a = \log_{c} a^{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} 25 + \log_{10} 4; \log_{c} a + \log_{c} b = \log_{c} a b \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} (25 \times 4) \\ = \log_{10} 100 \\ = \log_{10} 10^{2}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \times \log_{10} 10; \log_{a} a = x \\ = 2 \times 1 \\ = 2 \end{array}$

$2 \log_{10} 2 + \log_{10} 250$

$\begin{array}{l} = \log_{10} 2^{2} + \log_{10} 250; x \log_{c} a = \log_{c} a^{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} 4 + \log_{10} 250; \log_{c} a + \log_{c} b = \log_{c} a b \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} (4 \times 250) \\ = \log_{10} 1000 \\ = \log_{10} 10^{3}; \log_{c} a^{x} = x \log_{c} a \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 \times \log_{10} 10; \log_{a} a = 1 \\ = 3 \times (1) \\ = 3 \end{array}$

$3 \log_{10} \sqrt[3]{4} - \log_{10} 25$

$\begin{array}{l} = \log_{10} {(\sqrt[3]{4})}^{3} - \log_{10} 25 \\ = \log_{10} 4 - \log_{10} 25 \\ = \log_{10} \frac{4}{25} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{10} {(\frac{2}{5})}^{2} \\ = 2 \log_{10} \frac{2}{5} \end{array}$

تمرین

درستی تساوی ‌های زير را بررسی كنيد.

$\log_{27} 3 \times \log_{3} 27 = 1$

$\begin{array}{l} l o g_{27} 3 \times l o g_{3} 27 \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 27} \times \frac{\log_{10} 27}{\log_{10} 3}; \log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b} \end{array}$

$= 1$

$\log_{7} 49 = 2$

$\begin{array}{l} l o g_{7} 49 \\ = \log_{7} 7^{2} \\ = 2 \log_{7} 7 \\ = 2 \times (1) \\ = 2 \end{array}$

$\log_{3} (\log_{3} (\log_{2} 8)) = 0$

$\begin{matrix} l o g_{3} (l o g_{3} (l o g_{2} 8)) \\ = \log_{3} (\log_{3} (\log_{2} 2^{3})) \\ = \log_{3} (\log_{3} (3 \log_{2} 2)) \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \log_{3} (\log_{3} (3 \times 1)) \\ = \log_{3} (\log_{3} 3) \\ = \log_{3} (1); \log_{a} 1 = 0 \\ = 0 \end{matrix}$

$\log_{3 \sqrt{3}} \sqrt{5} \times \log_{\sqrt{2}} 9 \times \log_{25} 8 = 2$

$\begin{array}{l} l o g_{3 \sqrt{3}} \sqrt{5} \times l o g_{\sqrt{2}} 9 \times l o g_{25} 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{{_{3}}^{\frac{3}{2}}} 5^{\frac{1}{2}} \times \log_{{_{2}}^{\frac{1}{2}}} 3^{2} \times \log_{_{5^{2}}} 2^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} \log_{3} 5 \times \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_{2} 3 \times \frac{3}{2} \log_{5} 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{3} \times 4 \times \frac{3}{2} (\log_{3} 5 \times \log_{2} 3 \times \log_{5} 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{3} \times 4 \times \frac{3}{2} \underset{1}{\underset{⏟}{(\log_{5} 5)}} \\ = 2 \times 1 \\ = 2 \end{array}$

$\sqrt{10^{2 + \frac{1}{2} \log 16}} = 20$

$\begin{array}{l} \sqrt{10^{2 + \frac{1}{2} l o g 16}} \\ = \sqrt{10^{2} \times 10^{\frac{1}{2} \log_{10} 4^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{10^{2} \times 10^{\log_{10} 4^{\frac{1}{2} \times 2}}} \\ = \sqrt{10^{2} \times 10^{\log_{10} 4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{10^{2} \times 4} \\ = 20 \end{array}$

$\log \frac{75}{16} - 2 \log \frac{5}{9} + \log \frac{32}{243} = \log 2$

$\begin{array}{l} l o g \frac{75}{16} - 2 l o g \frac{5}{9} + l o g \frac{32}{243} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log \frac{75}{16} - \log {(\frac{5}{9})}^{2} + \log \frac{32}{243} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log \frac{\frac{75}{16}}{\frac{25}{81}} + \log \frac{32}{243} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log \frac{81 \times 75}{16 \times 25} + \log \frac{32}{243} \\ = \log \frac{81 \times 75}{16 \times 25} \times \frac{32}{243} \\ = l o g 2 \end{array}$

$\frac{1}{\log_{12} 2} - \frac{1}{\log_{3} 2} = 2$

$\begin{array}{l} \frac{1}{l o g_{12} 2} - \frac{1}{l o g_{3} 2} \\ = \log_{2} 12 - \log_{2} 3 \\ = \log_{2} \frac{12}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{2} 4 \\ = \log_{2} 2^{2} \\ = 2 \log_{2} 2 \\ = 2 \end{array}$

$\frac{\log_{a} z}{\log_{a b} z} = 1 + \log_{a} b (a > b > 0, z > 0)$

$\begin{array}{l} \frac{l o g_{a} z}{l o g_{a b} z} \\ = \log_{a} z \times \log_{z} a b \\ = \log_{z} a b \times \log_{a} z \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{a} a b \\ = \log_{a} a + \log_{a} b \\ = 1 + l o g_{a} b \end{array}$

${(\log_{15} 5)}^{2} + (\log_{15} 3) \times (\log_{15} 75) = 1$

$\begin{array}{l} {(l o g_{15} 5)}^{2} + (l o g_{15} 3) \times (l o g_{15} 3 \times 5^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\log_{15} 5)}^{2} + (\log_{15} 3) (\log_{15} 3 + \log_{15} 5^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\log_{15} 5)}^{2} + (\log_{15} 3) (\log_{15} 3 + 2 \log_{15} 5) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\log_{15} 5)}^{2} + {(\log_{15} 3)}^{2} + 2 \log_{15} 5 \times \log_{15} 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\log_{15} 5 + \log_{15} 3)}^{2} \\ = {(\log_{15} 5 \times 3)}^{2} \\ = {(\log_{15} 15)}^{2} \\ = 1 \end{array}$

$\log_{n} \frac{2}{1} + \log_{n} \frac{3}{2} + \cdot \cdot \cdot + \log_{n} \frac{n}{n - 1} = 1$

$\begin{array}{l} l o g_{n} \frac{2}{1} + l o g_{n} \frac{3}{2} + \cdot \cdot \cdot + l o g_{n} \frac{n}{n - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{n} (\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{n}{n - 1}) \\ = \log_{n} n \\ = 1 \end{array}$

$\log_{x} \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt{x}}} = \frac{1}{2}, x > 0, x \neq 1$

$\begin{array}{l} l o g_{x} \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt{x}}} \\ = \log_{x} \sqrt[3]{\sqrt[3]{x^{4} \sqrt{x}}} \\ = \log_{x} \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{x^{9}}}} \\ = \log_{x} \sqrt[18]{x^{9}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{x} \sqrt{x} \\ = \log_{x} x^{\frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{2} \log_{x} x \\ = \frac{1}{2} \end{array}$

$\frac{1}{1 + \log_{5} 3} + \frac{1}{1 - \log_{3} \frac{1}{5}} = 1$

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 + l o g_{5} 3} + \frac{1}{1 - l o g_{3} \frac{1}{5}} \\ = \frac{1}{1 + \log_{5} 3} + \frac{1}{1 - \log_{3} 5^{- 1}} \\ = \frac{1}{1 + \log_{5} 3} + \frac{1}{1 + \log_{3} 5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(1 + \log_{3} 5) + (1 + \log_{5} 3)}{(1 + \log_{5} 3) (1 + \log_{3} 5)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1 + \log_{3} 5 + 1 + \log_{5} 3}{1 + \log_{3} 5 + \log_{5} 3 + (\log_{3} 5 \times \log_{5} 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1 + \log_{3} 5 + 1 + \log_{5} 3}{1 + \log_{5} 3 + \log_{3} 5 + 1} \\ = 1 \end{array}$

$\log_{\frac{1}{\sqrt[4]{8}}} \sqrt[3]{16} = - \frac{16}{9}$

$\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{\sqrt[4]{8}}} \sqrt[3]{16} = x \\ \Rightarrow \sqrt[3]{16} = {(\frac{1}{\sqrt[4]{8}})}^{x} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{2^{4}} = {[{(\sqrt[4]{8})}^{- 1}]}^{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{\frac{4}{3}} = {(2^{- \frac{3}{4}})}^{x} \\ \Rightarrow 2^{\frac{4}{3}} = 2^{- \frac{3}{4} x} \\ \Rightarrow - \frac{3}{4} x = \frac{4}{3} \\ \Rightarrow x = - \frac{16}{9} \end{array}$

$\frac{\log_{a} n \cdot \log_{b} n}{\log_{a} n + \log_{b} n} = \log_{a b} n$

$\begin{array}{l} \frac{l o g_{a} n \cdot l o g_{b} n}{l o g_{a} n + l o g_{b} n} \\ = \frac{\frac{1}{\log_{n} a} \cdot \frac{1}{\log_{n} b}}{\frac{1}{\log_{n} a} + \frac{1}{\log_{n} b}} \\ = \frac{\frac{1}{\log_{n} a \cdot \log_{n} b}}{\frac{\log_{n} b + \log_{n} a}{\log_{n} a \cdot \log_{n} b}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{\log_{n} b + \log_{n} a} \\ = \frac{1}{\log_{n} a b} \\ = l o g_{a b} n \end{array}$

$\sqrt{10^{2 + \frac{1}{2} \log 16}} = 20$

$\begin{array}{l} \sqrt{10^{2 + \frac{1}{2} l o g 16}} \\ = \sqrt{10^{2} \times 10^{\frac{1}{2} \log_{10} 4^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{10^{2} \times 10^{\log_{10} 4^{\frac{1}{2} \times 2}}} \\ = \sqrt{10^{2} \times 10^{\log_{10} 4}} \\ = \sqrt{10^{2} \times 4} \\ = 20 \end{array}$

$10^{(2 \log \sqrt[4]{6} - \log 2)} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

$\begin{array}{l} 10^{(2 l o g \sqrt[4]{6} - l o g 2)} \\ = 10^{[\log {(\sqrt[4]{6})}^{2} - \log 2]} \\ = 10^{(\log \sqrt{6} - \log 2)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 10^{\log_{10} \frac{\sqrt{6}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ = \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$

$x^{\frac{\log 2 + \log (\log x)}{\log x}} = 2 \log x$

$\begin{array}{l} x^{\frac{l o g 2 + l o g (l o g x)}{l o g x}} \\ = x^{\frac{\log (2 \times \log x)}{\log x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{\frac{\log (\log x^{2})}{\log x}} \\ = x^{\log_{x} (\log x^{2})} \\ = \log x^{2} \\ = 2 l o g x \end{array}$

$\frac{1}{\log_{x} \sqrt{x y}} + \frac{1}{\log_{y} \sqrt{x y}} = 2, 1 \neq y > 0, 1 \neq x > 0$

$\begin{array}{l} \frac{1}{l o g_{x} \sqrt{x y}} + \frac{1}{l o g_{y} \sqrt{x y}} \\ = \log_{\sqrt{x y}} x + \log_{\sqrt{x y}} y \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{\sqrt{x y}} x y \\ = \log_{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} x y \\ = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_{x y} x y \\ = 2 \end{array}$

$\log_{a} \tan 1 ° \cdot \log_{a} \tan 2 ° \cdot \cdot \cdot \log_{a} \tan 89 ° = 0$

چون در عبارت فوق جمله زیر وجود دارد، پس عبارت مساوی صفر است:

$\log_{a} \tan 45^{\circ} = \log_{a} 1 = 0$

$\log_{a} \tan 1 ° + \log_{a} \tan 2 ° + \cdot \cdot \cdot + \log_{a} \tan 89 ° = 0$

$\begin{array}{l} l o g_{a} t a n 1 ° + l o g_{a} t a n 2 ° + \cdot \cdot \cdot + l o g_{a} t a n 89 ° \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{a} (\tan 1 ° \times \tan 2 ° \times \cdot \cdot \cdot \times \tan 89 °) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{a} [(\tan 1 ° \times \tan 89 °) \times \cdot \cdot \cdot \times \tan 45 ° \times \cdot \cdot \cdot \times (\tan 2 ° \times \tan 88 °)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{a} [(\tan 1 ° \times \cot g 1 °) \times \cdot \cdot \cdot \times \tan 45 ° \times \cdot \cdot \cdot \times (\tan 2 ° \times \cot g 2 °)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log_{a} \tan 45^{\circ} \\ = \log_{a} 1 \\ = 0 \end{array}$

$\log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a y}{x d} = \log \frac{x}{y}$

$\begin{array}{l} l o g \frac{a}{b} + l o g \frac{b}{c} + l o g \frac{c}{d} - l o g \frac{a y}{x d} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - (\log a y - \log x d) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (\log a - \log b) + (\log b - \log c) + (\log c - \log d) - [(\log a + \log y) - (\log x + \log d)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \log x - \log y \\ = l o g \frac{x}{y} \end{array}$

تمرین

با استفاده از شرط های داده شده، عبارت های مورد نظر را بیابید.

$i f \log_{a b} a = 4 \Rightarrow \log_{a b} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = ?$

$\begin{array}{l} \log_{a b} a b = 1 \\ \Rightarrow \log_{a b} a + \log_{a b} b = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 + \log_{a b} b = 1 \\ \Rightarrow \log_{a b} b = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \log_{a b} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} \\ = \log_{a b} \sqrt[3]{a} - \log_{a b} \sqrt{b} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{3} \log_{a b} a - \frac{1}{2} \log_{a b} b \\ = \frac{1}{3} (4) - \frac{1}{2} (- 3) \\ = \frac{17}{6} \end{array}$

$i f \log_{12} 27 = a \Rightarrow \log_{a b} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = ?$

$\begin{array}{l} \log_{12} 27 = a \\ \Rightarrow \log_{12} 3^{3} = a \\ \Rightarrow 3 \log_{12} 3 = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{12} 3 = \frac{a}{3} \\ \Rightarrow \log_{3} 12 = \frac{3}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{3} 3 \times 2^{2} = \frac{3}{a} \\ \Rightarrow \log_{3} 3 + \log_{3} 2^{2} = \frac{3}{a} \\ \Rightarrow \log_{3} 3 + 2 \log_{3} 2 = \frac{3}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 \log_{3} 2 = \frac{3}{a} \\ \Rightarrow 2 \log_{3} 2 = \frac{3}{a} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{3 - a}{2 a} \\ \Rightarrow \log_{2} 3 = \frac{2 a}{3 - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \log_{6} 16 \\ = \log_{6} 2^{4} \\ = 4 \log_{6} 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{\log_{2} 6} \\ = \frac{4}{\log_{2} (3 \times 2)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{\log_{2} 3 + \log_{2} 2} \\ = \frac{4}{(\log_{2} 3) + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{\frac{2 a}{3 - a} + 1} \\ = \frac{4 (3 - a)}{3 + a} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \log 5 = a \Rightarrow \log_{8} 100 \end{array}$

$\begin{array}{l} \log 5 = a \\ \Rightarrow \log \frac{10}{2} = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log 10 - \log 2 = a \\ \Rightarrow 1 - \log 2 = a \\ \Rightarrow \log 2 = 1 - a \end{array}$

$\begin{array}{l} \log_{8} 100 \\ = \frac{\log 100}{\log 8} \\ = \frac{\log 10^{2}}{\log 2^{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 \log 10}{3 \log 2} \\ = \frac{2}{3 \times (1 - a)} \\ = \frac{2}{3 (1 - a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \log_{12} 27 = a \Rightarrow \log_{3} 2 = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \log_{12} 27 = a \\ \Rightarrow \log_{27} 12 = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \log_{27} 4 \times 3 = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{27} 4 + \log_{27} 3 = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \log_{3^{3}} 2^{2} + \log_{3^{3}} 3 = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \frac{2}{3} \log_{3} 2 + \frac{1}{3} \log_{3} 3 = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{3} \log_{3} 2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \frac{2}{3} \log_{3} 2 = \frac{1}{a} - \frac{1}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{3} 2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{3}) \times \frac{3}{2} \\ \Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{3 - a}{2 a} \end{array}$

$i f \log \frac{2 x + y}{3} = \frac{\log x + \log y}{2} \Rightarrow 4 x^{2} + y^{2} = ?$

$\begin{array}{l} \log \frac{2 x + y}{3} = \frac{\log x + \log y}{2} \\ \Rightarrow 2 \log \frac{2 x + y}{3} = \log x + \log y \\ \Rightarrow \log {(\frac{2 x + y}{3})}^{2} = \log x + \log y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log \frac{{(2 x + y)}^{2}}{9} = \log x y \\ \Rightarrow \frac{{(2 x + y)}^{2}}{9} = x y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(2 x + y)}^{2} = 9 x y \\ \Rightarrow 4 x^{2} + y^{2} + 4 x y = 9 x y \\ \Rightarrow 4 x^{2} + y^{2} = 5 x y \end{array}$

$i f \log_{3} 12 = \frac{1}{a} \Rightarrow \log_{9} 64 = ?$

$\begin{array}{l} \log_{3} 12 = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \log_{3} (4 \times 3) = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{3} 4 + \log_{3} 3 = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \log_{3} 4 = \frac{1}{a} - 1 \end{array}$

$\log_{9} 64 = \log_{3^{2}} 4^{3} = \frac{3}{2} \log_{3} 4 = \frac{3}{2} (\frac{1}{a} - a)$

تمرین

اگر $\log_{12} 27 = a$ باشد، آن‌گاه $\log_{3} 2$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \log_{12} 27 = a \\ \Rightarrow \log_{27} 12 = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \log_{27} 4 \times 3 = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{3} \log_{3} 2 = \frac{1}{a} - \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \log_{3} 2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{3}) \times \frac{3}{2} \\ \Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{3 - a}{2 a} \end{array}$

تمرین

در تساوی زیر مقدار $3^{x}$ را بیابید:

$3^{x^{2}} = 2^{\log_{3} 2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l o g_{3} (3^{x^{2}}) = l o g_{3} (2^{\log_{3} 2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} \log_{3} 3 = \log_{3} 2 \times \log_{3} 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = {(\log_{3} 2)}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = \log_{3} 2 \Rightarrow 3^{x} = 2 \\ x = - \log_{3} 2 = \log_{3} 2^{- 1} = \log_{3} (\frac{1}{2}) \Rightarrow 3^{x} = \frac{1}{2} \end{cases}$

تمرین

اگر $3^{a} = 5^{b} = 225$ باشد، مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید:

$\frac{a b}{a + b}$

روش اول -

$\begin{array}{l} 225 = 3^{a} \Rightarrow \log_{3} 225 = a \Rightarrow a = \frac{\log 225}{\log 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 225 = 5^{b} \Rightarrow \log_{5} 225 = b \Rightarrow b = \frac{\log 225}{\log 5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{a b}{a + b} = \frac{\frac{\log 225}{\log 3} \times \frac{\log 225}{\log 5}}{\frac{\log 225}{\log 3} + \frac{\log 225}{\log 5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a b}{a + b} = \frac{\frac{{(\log 225)}^{2}}{\log 3 \log 5}}{\log 225 (\frac{\log 5 + \log 3}{\log 3 \log 5})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a b}{a + b} = \frac{\log 225}{\log 5 + \log 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a b}{a + b} = \frac{\log 225}{\log 15} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a b}{a + b} = \frac{\log 15^{2}}{\log 15} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a b}{a + b} = \frac{2 \times \log 15}{\log 15} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{a b}{a + b} = 2$

روش دوم -

$\{\begin{cases} 3^{a} = 225 \Rightarrow 3 = 225^{\frac{1}{a}} \\ 5^{b} = 225 \Rightarrow 5 = 225^{\frac{1}{b}} \end{cases}〉 3 \times 5 = 225^{\frac{1}{a}} \times 225^{\frac{1}{b}}$

$\begin{array}{l} 3 \times 5 = 225^{\frac{1}{a}} \times 225^{\frac{1}{b}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15 = 225^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15 = 225^{\frac{a + b}{a b}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15^{\frac{a b}{a + b}} = {(225^{\frac{a + b}{a b}})}^{\frac{a b}{a + b}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15^{\frac{a b}{a + b}} = 225 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15^{\frac{a b}{a + b}} = 15^{2} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{a b}{a + b} = 2$

تمرین

المپیاد ریاضی

اگر $A = {(\log_{5} 3)}^{\cos x}$ باشد، آن‌گاه مقدار زیر را بیابید:

$\max (A)$

چون مقدار $\log_{5} 3$ كوچک‌تر از واحد است، هرچه $\cos x$ كوچک‌تر باشد، ${(\log_{5} 3)}^{\cos x}$ بزرگ‌تر است:

$\begin{array}{l} i f - 1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow \min (\cos x) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} A = {(\log_{5} 3)}^{\cos x} \\ \max (A) = {(\log_{5} 3)}^{- 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \max (A) = \frac{1}{\log_{5} 3} \\ \Rightarrow \max (A) = \log_{3} 5 \end{array}$

تمرین

مقدار $A$ در تساوی زیر چقدر است؟

$A = 100^{5^{\frac{\log (\log 2) + \log 3}{\log 5}}}$

فرض کنیم:

$A = 100^{5^{B}}$

$B = \frac{\log (\log 2) + \log 3}{\log 5}; \log m + \log n = \log (m \times n)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \frac{\log (3 \times \log 2)}{\log 5}; n \log m = \log m^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \frac{\log (\log 8)}{\log 5}; \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b} = \log_{b} a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \log_{5} (\log_{2} 8) \\ \Rightarrow 5^{B} = \log 8 \end{array}$

اینک به محاسبه $A$ می‌پردازیم:

$\begin{array}{l} A = 100^{5^{B}}; 5^{B} = \log 8 \\ \Rightarrow A = 100^{\log_{10} 8}; x^{\log_{a} y} = y^{\log_{a} x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 8^{^{\log_{10} 100}} \\ \Rightarrow A = 8^{2} \\ \Rightarrow A = 64 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} \log 2 ≃ 0 / 3 \\ \log 3 ≃ 0 / 4 \end{cases}$

اختلاف ریشه های معادله زیر چقدر است؟

$x^{2} (\log 30) + 2 x (\log 6) - \log \frac{5}{6} = 0$

$\begin{array}{l} \log 30 = \log (3 \times 10) = \log 3 + \log 10 = 0 / 4 + 1 = 1 / 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \log 6 = \log (2 \times 3) = \log 2 + \log 3 = 0 / 3 + 0 / 4 = 0 / 7 \end{array}$

$\log \frac{5}{6} = \log 5 - \log 6 = \log \frac{10}{2} - 0 / 7 = (\log 10 - \log 2) - 0 / 7 = (1 - 0 / 3) - 0 / 7 = 0$

$\begin{array}{l} x^{2} (\log 30) + 2 x (\log 6) - \log \frac{5}{6} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} (1 / 4) + 2 x (0 / 7) - 0 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 / 4 x^{2} + 1 / 4 x = 0 \\ \Rightarrow 1 / 4 x (x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \end{cases}〉 |0 - 1| = 1 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

اگر داشته باشیم:

$\log (2 - x) - \log \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 3$

مقدار $\log_{\sqrt{2}} (- x)$ کدام است؟

$- 6$
$6$
$\frac{1}{4}$
$- \frac{1}{4}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

اگر $\log_{54} 96 = a$ باشد، مقدار لگاریتم زیر برحسب $a$ کدام گزینه است؟

$\log_{24} 18$

$\begin{array}{l} \frac{9 + a}{2 + 8 a} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{8 + a}{2 + 9 a} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{9 + a}{8 + 2 a} \end{array}$
$\frac{8 + a}{9 + 2 a}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

فرمول‌های لگاریتم

50,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

لگاریتم

فرمول‌ های لگاریتم

قضایا و فرمول های لگاریتم

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟