تعریف لگاریتم

آخرین ویرایش: 18 تیر 1403
دسته‌بندی: لگاریتم
امتیاز:

فرض کنیم عدد a مثبت و مخالف یک باشد، اگر اعدادی مانند N و x داشته باشیم به‌طوری‌که در تساوی زیر صدق کنند:

N=ax

بنا به تعریف می‌گوییم لگاریتم N در مبنای a مساوی x است و داریم:

if   N=axlogaN=x

  • عدد x را لگاریتم گوییم.
  • عدد a را مبنا گوییم.a>0   ,   a1  
  • عدد N را آنتی لگاریتم یا عدد ما‌به‌ازاء گوییم. N>0

به‌عنوان نمونه، داریم:

if   N=axlogaN=x                   if   logaN=xN=ax

if    8=23log28=3                        if    log416=216=42

if    81=34log381=4                   if    log3127=3127=33

تذکر

چون a عددی مثبت است و عدد مثبت به هر توان که برسد مثبت است پس ax همواره مثبت در نتیجه N همواره مثبت است، به‌همین علت است که می‌گوئیم اعداد منفی و صفر لگاریتم ندارند.

نکته

1- اعداد منفی لگاریتم ندارند. N>0 


2-
 لگاریتم صفر تعریف نشده است. N0


3- 
مبنای لگاریتم عددی مثبت و مخالف صفر و یک است.a>0   ,   a1

بنابراین مبناها را به دو دسته 0<a<1a>1 تقسیم می‌کنیم. 


4-
 در مبنای بزرگ‌تر از واحد یعنی a>1 لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از 1 مثبت و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از 1 منفی است.

log103>0log28>0log100.5<0log218<0


5-
 در مبنای کوچک‌تر از واحد 0<a<1 لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از 1 منفی و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از 1 مثبت است.  

log135<0log0.01100<0log0.10.01>0


6-
 لگاریتم در مبنای 10 را لگاریتم اعشاری می گوییم و معمولا مبنا را نمی‌نویسیم.

log103=log3

تمرین

در تساوی‌های زیر x را پیدا کنید.

log41=x

if   N=axlogaN=x


log41=x 1=4x  x=0    

log28=x

if   N=axlogaN=x


log28=x8=2x23=2x   x=3     

log100/01=x

if   N=axlogaN=x


log100/01=x0/01=10x1100=10x 102=10x  x=2         

log1636=x

if   N=axlogaN=x


log1636=x36=16x62=61x

62=6xx=2x=2

logx16=2

if   N=axlogaN=x


logx16=216=x242=x2x=4   

log5455=x

if   N=axlogaN=x


log5455=x55=54x554=544x

54×52=5x56=5xx=6

loga2a3x=914

if   N=axlogaN=x


loga2a3x=914x=a2a3914x=a2×9a93114x=a18a3114

x=a21114x=a2114x=a32

log333x=32

if   N=axlogaN=x


log333x=32x=33332x=31×31332

x=34332x=32x=19

logx2+3=1

if   N=axlogaN=x


logx2+3=12+3=x12+3=1xx=12+3

x=12+3×2323x=231x=23

تمرین

المپیاد ریاضی 1401

هرگاه برای اعداد حقیقی a و b داشته باشیم:

b>a>1ab=balogab+logba=52

مقدارعددی a+b چند است؟

if   logab=tlogba=1t


logab+logba=52    ;    b>a>1t+1t=522t25t+2=0t=2t=12


logab=tt=2logab=2b=a2

ab=ba    ;    b=a2aa2=a2aaa2=a2aa2=2a

a22a=0a=0a=2b=a2=4a=2a+b=6

تمرین

آزمون هاروارد 2023

اگر a,b اعداد حقیقی مثبت باشند و داشته باشیم:

a.2b=8ab=2

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

2b2.alog2a

همه مجهولات را برحسب b می‌نویسیم:

ab=2a=21blog2a=1b


a.2b=8    ;    a=21b21b.2b=821b+b=231b+b=3

2b2.alog2a=2b2.21b1b    ;    log2a=1ba=21b

2b2.alog2a=2b2.21b22b2.alog2a=2b2+1b2

2b2.alog2a=2b+1b22    ;    1b+b=3

2b2.alog2a=23222b2.alog2a=272b2.alog2a=128

تمرین

برای اعداد حقیقی مثبت m و n داریم: 

log113n=log13m+6n=log143m2

باقیمانده mn بر 4 را بیابید.

تساوی های فوق را برابر k در نظر می‌گیریم:

log113n=k3n=11klog13m+6n=km+6n=13klog143m2=km2=143k

3n×m+6n=11k×13k


3n×m+6n=11k×13k3n×m+6n=143k

3n×m+6n=m2    ;    m2=143k

m23mn18n2=0

m6nm+3n=0    ;    m,n>0


m6n=0mn=6m+3n=0  


باقیمانده mn=6 بر عدد 4 برابر است با عدد2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

  • محمدتقی ضیاوند
    05 اسفند 1402

    بی نظیر هست برخلاف کتابا که ادم رو به اشتباه میندازن این کاملا مناسبه

  • امیر مسعود پارسا
    15 دی 1402

    واقعا بی نظیره این زحماتی که کشیدید . خداقوت. دست تک تک کسایی که زحمت این کار بی نظیر رو کشیدند میبوسم