سرفصل‌های این مبحث

نامساوی

خواص نامساوی‌ ها

آخرین ویرایش: 30 آذر 1403

دسته‌بندی: نامساوی

امتیاز:

نظر کاربران: 9 تعداد نظرهای ثبت شده

خاصیت اول نامساوی ها

خاصیت مخالف بودن دو عدد

$i f a < b \Rightarrow a \neq b$

$i f a a$

$i f a > b \Rightarrow b < a$

خاصیت دوم نامساوی ها

خاصیت تعدی

$i f a < b, b < c \Rightarrow a < c$

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

$i f a > b, b > c \Rightarrow a > c$

تمرین

جمله زیر را با زبان نامساوی بنویسید.

علی بزرگتر از رضا است و رضا بزرگتر از حسن می‌باشد.

$\{\begin{cases} A l i > R e z a \\ R e z a > H a s a n \end{cases}〉 A l i > R e z a > H a s a n$

خاصیت سوم نامساوی ها

خاصیت بازتابی

$a \leq a$

خاصیت چهارم نامساوی ها

خاصیت پادتقارن

$i f a \leq b, b \leq a \Rightarrow a = b$

خاصیت پنجم نامساوی ها

می‌توان به طرفین نامساوی، عددی را اضافه یا کم كرد:

$\{\begin{cases} a < b \Leftrightarrow a \pm c < b \pm c \\ a \leq b \Leftrightarrow a \pm c \leq b \pm c \end{cases}$

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} a > b \Leftrightarrow a \pm c > b \pm c \\ a \geq b \Leftrightarrow a \pm c \geq b \pm c \end{cases}$

خاصیت ششم نامساوی ها

نامساوی‌های هم‌جهت را می‌توان عضو به عضو با هم جمع كرد:

$\begin{array}{l} a < b, c < d \Rightarrow a + c < b + d \end{array}$

$\begin{array}{l} a < b, c \leq d \Rightarrow a + c < b + d \end{array}$

$a \leq b, c \leq d \Rightarrow a + c \leq b + d$

اما نامساوی‌های هم‌جهت را نمی‌توان عضو به عضو از هم تفریق كرد.

خاصیت هفتم نامساوی ها

اگر $a$ و $b$ هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند، $a \times b$ همواره مثبت است و اگر یكی منفی و دیگری مثبت باشد، $a \times b$ همواره منفی است.

$\begin{array}{l} (a > 0, b > 0) \lor (a < 0, b < 0) \Leftrightarrow a \times b > 0 \end{array}$

$(a < 0, b > 0) \lor (a > 0, b < 0) \Leftrightarrow a \times b < 0$

خاصیت هشتم نامساوی ها

به‌ازای هر عدد حقیقی $x$ نامساوی $x^{2} \geq 0$ یا به طور كلی $x^{2 n} \geq 0$ همواره برقرار است.

${(3)}^{2} = 9 \geq 0$

${(- 3)}^{2} = 9 \geq 0$

${(0)}^{2} = 0 \geq 0$

خاصیت نهم نامساوی ها

هر عدد حقیقی با معکوس خود، هم‌علامت هست:

$i f a > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > 0$

$i f a < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < 0$

خاصیت دهم نامساوی ها

هرگاه دوطرف یک نامساوی مثبت باشند، می‌توان دو طرف را معکوس کرده، جهت نامساوی را عوض می‌کنیم، برای حالت منفی هم، همین ‌گونه عمل می‌کنیم:

$i f \begin{array}{l} 0 < a \frac{1}{b} > 0 \end{array}$

$i f b < a < 0 \Leftrightarrow 0 > \frac{1}{b} > \frac{1}{a}$

اما اگر یک طرف نامساوی مثبت و طرف دیگر منفی باشد، می‌توان دو طرف نامساوی را معکوس کرد، اما جهت نامساوی تغییر نمی‌کند.

خاصیت یازدهم نامساوی ها

حاصل‌ضرب یک عدد در طرفین یک نامساوی و حاصل تقسیم یک عدد بر طرفین یک نامساوی

$i f c > 0; \{\begin{cases} a < b \Leftrightarrow a c < b c \\ a < b \Leftrightarrow \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \end{cases}$

$i f c < 0; \{\begin{cases} a b c \\ a \frac{b}{c} \end{cases}$

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

خاصیت دوازدهم نامساوی ها

در ضرب نامساوی‌های زیر داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} i f a < b, b > 0 \\ i f 0 < c < d \end{cases}〉 a c < b d \end{array}$

$i f (b d > 0), \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow a d < b c$

$b$ و $d$ هم ‌علامت هستند.

تمرین

صحت نامساوی‌های زیر را بررسی می‌کنیم:

$\frac{- 1}{5} < \frac{1}{5}$

$\frac{- 1}{5} < \frac{1}{5} \Rightarrow - 5 < 5$

نامساوی فوق صحیح است.

$\frac{1}{x - 3} < \frac{1}{5}$

نمی‌توانیم طرفین وسطین کنیم چون نمی‌دانیم سمت چپ نامساوی عددی مثبت است یا منفی، بایستی تعیین علامت شود:

$\frac{1}{x - 3} < \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{5} < 0 \Rightarrow \frac{5 - (x - 3)}{5 (x - 3)} < 0 \Rightarrow \frac{8 - x}{5 (x - 3)} < 0$

نامساوی ها - پیمان گردلو

$D = (- \infty, 3) \cup (8, + \infty)$

خاصیت سیزدهم نامساوی ها

در به توان رساندن طرفین نامساوی، حالات زیر را در نظر می‌گیریم:

الف) طرفین هر نامساوی را می‌توان به توان فرد رساند، بدون آن‌ كه جهت نامساوی عوض شود:

$a < b \Rightarrow a^{m} < b^{m}; m = 2 k + 1$

ب) اگر دوطرف نامساوی مثبت باشند، می‌توان طرفین را به توان زوج رساند:

$0 < a < b \Rightarrow a^{m} < b^{m}; m = 2 k$

پ) اگر دوطرف نامساوی منفی باشند و طرفین آن‌ را به توان زوج برسانیم، جهت نامساوی تغییر می‌كند:

$b < a < 0 \Rightarrow a^{m} < b^{m}; m = 2 k$

ت) اگر طرفین نامساوی مختلف ‌العلامه باشند و آن را به توان زوج برسانیم، ممكن است جهت نامساوی حفظ شود یا تغییر كند.

تمرین

علامت اعداد حقیقی $a, b, c$ را طوری تعیین کنید تا نابرابری های زیر، برقرار باشد.

$\frac{a c}{b^{2}} < 0$

توان $b$ زوج است، بنابراین مخرج همواره مثبت می‌باشد.

$b^{2} > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} b > 0 \\ b < 0 \end{cases}$

برای برقراری نابرابری بالا باید $a . c$ منفی باشد و این در صورتی اتفاقی می‌افتد که علامت $a$ و $c$ مختلف العلامه باشند:

$a . c < 0 \Rightarrow \{\begin{cases} a > 0, c < 0 \\ a < 0, c > 0 \end{cases}$

برای برقراری این نابرابری، علامت $b$ می‌تواند هم مثبت باشد و هم منفی باشد و علامت $a$ و $c$ مختلف العلامه باشند.

$\frac{a}{b c} > 0$

$\frac{a}{b c} > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} a > 0, b c > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} b > 0, c > 0 \\ b < 0, c < 0 \end{cases} \\ a < 0, b c < 0 \Rightarrow \{\begin{cases} b > 0, c < 0 \\ b < 0, c > 0 \end{cases} \end{cases}$

برای برقراری این نابرابری، باید $a$ و $b . c$ هم علامت باشند.

خاصیت چهاردهم نامساوی ها

از طرفین یک نامساوی می‌توان ریشه فرد گرفت، اگر دو طرف نامساوی مثبت باشند از طرفین ریشه زوج هم می‌توان گرفت:

$\begin{array}{l} a < b \Rightarrow \sqrt[m]{a} < \sqrt[m]{b}; m = 2 k + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 < a < b \Rightarrow \sqrt[m]{a} < \sqrt[m]{b}; m = 2 k \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{m} < b^{m} \Rightarrow a < b; m = 2 k + 1 \end{array}$

$a^{m} < b^{m} \Rightarrow |a| < |b|; m = 2 k$

تمرین

اگر $a^{2} > b^{2}$ باشد، آیا همواره می‌توان نتیجه گرفت $a > b$ است؟

یادآوری)

$a^{m} < b^{m} \Rightarrow |a| < |b|; m = 2 k$

طبق قانون فوق، اگر $a^{2} > b^{2}$ باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت $a > b$ است، اما می‌توان نتیجه گرفت که $|a| > |b|$ است.

خاصیت پانزدهم نامساوی ها

اگر $m$ و $n$ اعداد طبیعی و $m < n$ باشد، نامساوی‌های زیر برقرار است:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A > 1, m < n \Rightarrow A^{m} < A^{n} \\ A > 1, m < n \Rightarrow \sqrt[m]{A} > \sqrt[n]{A} \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} 0 < A < 1, m < n \Rightarrow A^{m} > A^{n} \\ 0 < A < 1, m < n \Rightarrow \sqrt[m]{A} < \sqrt[n]{A} \end{cases}$

خاصیت شانزدهم نامساوی ها

اگر $a < b$ و $b < c$ باشد، می‌توان از نامساوی $a < b < c$ استفاده کرد.

خاصیت هفدهم نامساوی ها

اگر $a, b, ..., t$ اعداد حقیقی باشند و کثیرالجمله‌ها یا توابعی تعریف شده در مجموعه اعداد حقیقی به صورت زیر باشند:

$g (a, b, .., t), h (a, b, ..., t), f (a, b, ..., t)$

آن‌گاه در دامنه تعریف آنها ویژگی‌ها‌ی زیر صدق می‌کند:

$\begin{array}{l} f (a, b, ..., t) > g (a, b, ..., t) \Leftrightarrow f (a, b, ..., t) \pm h (a, b, ..., t) > g (a, b, ..., t) \pm h (a, b, ..., t) \end{array}$

$f (a, b, ..., t) - g (a, b, ..., t) \{\begin{cases} > 0 : f (a, b, ..., t) > g (a, b, ..., t) \\ = 0 : f (a, b, ..., t) = g (a, b, ..., t) \\ < 0 : f (a, b, ..., t) < g (a, b, ..., t) \end{cases}$

خاصیت هجدهم نامساوی ها

اگر $h (a, b, ..., t, x, y, z)$ کثیرالجمله‌ای بر حسب اعداد حقیقی $a, b, ..., t, x, y, z$ باشد که آن را برای ساده‌‌نویسی با $h$ نشان می‌دهیم و داشته باشیم:

$f (a, b, ..., t) > g (a, b, ..., t)$

آن‌گاه:

$i f h > 0; \{\begin{cases} h . f (a, b, ..., t) > h . g (a, b, ..., t) \\ \frac{f (a, b, ..., t)}{h} > \frac{g (a, b, ..., t)}{h} \end{cases}$

$i f h < 0; \{\begin{cases} h . f (a, b, ..., t) < h . g (a, b, ..., t) \\ \frac{f (a, b, ..., t)}{h} < \frac{g (a, b, ..., t)}{h} \end{cases}$

این نامساوی‌ها برای حالات $(\geq 0)$ یا $(\leq 0)$ صادق است.

خاصیت نوزدهم نامساوی ها

اگر $g (a, b, .., t), f (a, b, ..., t)$ به‌ازای همه مقادیر $a, b, ..., t$ در دامنه‌هایشان تعریف شده و $n$ فرد باشد، داریم:

$f (a, b, ..., t) \geq g (a, b, ..., t) \Leftrightarrow {[f (a, b, ... t)]}^{n} \geq {[g (a, b, ..., t)]}^{n}$

اگر $n$ زوج باشد، تنها وقتی می‌توان طرفین را به توان زوج برسانیم که دو طرف نامساوی، نامنفی باشند، یعنی:

$\{\begin{cases} f (a, b, ..., t) \geq 0 \\ g (a, b, ..., t) \geq 0 \\ f (a, b, ..., t) \geq g (a, b, ..., t) \end{cases}〉 {[f (a, b, ..., t)]}^{n} \geq {[g (a, b, ..., t)]}^{n}$

خاصیت بیستم نامساوی ها

اگر $g (a, b, .., t), f (a, b, ..., t)$ به‌ازای همه مقادیر $a, b, ..., t$ در دامنه‌هایشان تعریف شده، داریم:

$\frac{f (a, b, ..., t)}{g (a, b, ..., t)} > 0 \Leftrightarrow f (a, b, ..., t) . g (a, b, ..., t) > 0$

$\frac{f (a, b, ..., t)}{g (a, b, ..., t)} < 0 \Leftrightarrow f (a, b, ..., t) . g (a, b, ..., t) < 0$

تمرین

نامساوی های زير را ثابت كنيد.

$\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq |a| + |b| \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq |a| + |b| \\ \Rightarrow {(\sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2} \leq {(|a| + |b|)}^{2} \\ \Rightarrow (a^{2} + b^{2}) \leq a^{2} + 2 |a| |b| + b^{2} \\ \Rightarrow 2 |a| |b| \geq 0 \end{array}$

نامساوی $2 |a| |b| \geq 0$ همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است.

$\begin{array}{l} \frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k}; (a, b, k > 0, a < b) \end{array}$

$\begin{array}{l} a < b; k > 0 \\ \Rightarrow a k < b k \\ \Rightarrow a k + a b < b k + a b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (k + b) < b (k + a) \\ \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{3}; (a, b > 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ \Rightarrow (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \geq 0 \\ \Rightarrow a^{2} - a b + b^{2} \geq a b; a + b > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) \geq (a + b) a b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{3} + b^{3} \geq a b (a + b) \\ \Rightarrow 3 (a^{3} + b^{3}) \geq 3 a b (a + b) \\ \Rightarrow 3 a^{3} + 3 b^{3} \geq 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \end{array}$

$\Rightarrow 3 a^{3} + 3 b^{3} + (a^{3} + b^{3}) \geq 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + (a^{3} + b^{3})$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow 4 a^{3} + 4 b^{3} \geq {(a + b)}^{3} \\ \Rightarrow \frac{4 a^{3} + 4 b^{3}}{8} \geq \frac{{(a + b)}^{3}}{8} \\ \Rightarrow \frac{4 (a^{3} + b^{3})}{8} \geq \frac{{(a + b)}^{3}}{2^{3}} \\ \Rightarrow \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{a + b}{1 + a b} < 1; (0 < b < 1, 0 < a < 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} a, b > 0 \Rightarrow 1 + a b > 0 \\ \frac{a + b}{1 + a b} < 1 \\ \Rightarrow (1 + a b) \frac{a + b}{1 + a b} < (1 + a b) \times 1 \\ \Rightarrow a + b < 1 + a b \\ \Rightarrow a + b - (1 + a b) < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + b - 1 - a b < 0 \\ \Rightarrow (a - a b) - (1 - b) < 0 \\ \Rightarrow a (1 - b) - (1 - b) < 0 \\ \Rightarrow (1 - b) (a - 1) < 0 \end{array}$

$\{\begin{cases} 0 0 \\ 0 < a < 1 \Rightarrow a - 1 < 0 \end{cases}〉 (1 - b) (a - 1) < 0$

نامساوی $(1 - b) (a - 1) < 0$ همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}; (a, b > 0)$

$\begin{array}{l} (\sqrt{a} + \sqrt{b}) > \sqrt{a + b} \\ \Rightarrow {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} > {(\sqrt{a + b})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b) > a + b \\ \Rightarrow 2 \sqrt{a} \sqrt{b} > 0 \\ \Rightarrow 2 \sqrt{a b} > 0 \end{array}$

نامساوی $2 \sqrt{a b} > 0$ همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است.

$\begin{array}{l} \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} < 2 \sqrt{a + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} < \sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{a + 2} - \sqrt{a + 1} < \sqrt{a + 1} - \sqrt{a} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow (\sqrt{a + 2} - \sqrt{a + 1}) \cdot \frac{(\sqrt{a + 2} + \sqrt{a + 1})}{(\sqrt{a + 2} + \sqrt{a + 1})} < (\sqrt{a + 1} - \sqrt{a}) . \frac{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a}}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a}} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(a + 2) - (a + 1)}{\sqrt{a + 2} + \sqrt{a + 1}} < \frac{(a + 1) - (a)}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a}} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a + 2} + \sqrt{a + 1}} < \frac{1}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{a + 2} + \sqrt{a + 1} > \sqrt{a + 1} + \sqrt{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{a + 2} > \sqrt{a} \end{array}$

نامساوی $\sqrt{a + 2} > \sqrt{a}$ همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است.

$\sqrt{n - k} + \sqrt{n + k} < \sqrt{n - m} + \sqrt{n + m}; (0 < m < k < n)$

$\begin{array}{l} \sqrt{n - k} + \sqrt{n + k} < \sqrt{n - m} + \sqrt{n + m} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{n + k} - \sqrt{n - m} < \sqrt{n + m} - \sqrt{n - k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (\sqrt{n + k} - \sqrt{n - m}) . \frac{(\sqrt{n + k} + \sqrt{n - m})}{(\sqrt{n + k} + \sqrt{n - m})} < (\sqrt{n + m} - \sqrt{n - k}) . \frac{(\sqrt{n + m} + \sqrt{n - k})}{(\sqrt{n + m} + \sqrt{n - k})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(n + k) - (n - m)}{(\sqrt{n + k} + \sqrt{n - m})} < \frac{(n + m) - (n - k)}{(\sqrt{n + m} + \sqrt{n - k})} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{k + m}{(\sqrt{n + k} + \sqrt{n - m})} < \frac{m + k}{(\sqrt{n + m} + \sqrt{n - k})}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(\sqrt{n + k} + \sqrt{n - m})}{k + m} > \frac{(\sqrt{n + m} + \sqrt{n - k})}{m + k} \end{array}$

$\Rightarrow \sqrt{n + k} + \sqrt{n - m} > \sqrt{n + m} + \sqrt{n - k}$

$\{\begin{array}{l} k > m \Rightarrow \sqrt{n + k} > \sqrt{n + m} \\ k > m \Rightarrow \sqrt{n - m} > \sqrt{n - k} \end{array}〉 \sqrt{n + k} + \sqrt{n - m} > \sqrt{n + m} + \sqrt{n - k}$

نامساوی اخير همواره برقرار است پس نامساوی فوق هم همواره برقرار است.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} < 1; (n > 1, n \in N)$

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} = \frac{1}{2 \times 2} < \frac{1}{1 \times 2} \\ \frac{1}{9} = \frac{1}{3 \times 3} < \frac{1}{2 \times 3} \\ ⋮ \\ \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n \times n} < \frac{1}{(n - 1) n} \end{array}$

طرفين نامساوی های فوق را با هم جمع می‌كنيم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(n - 1) n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 - 1}{1 \times 2} + \frac{3 - 2}{2 \times 3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n - (n - 1)}{(n - 1) n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} < (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdot \cdot \cdot + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} < 1 - \frac{1}{n} < 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} < 1$

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 (\sqrt{n + 1} - 1)$

$2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) . \frac{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \frac{2 [(n + 1) - n]}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \frac{2}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}$

$\begin{array}{l} \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} < \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} = \frac{2}{2 \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} \cdot \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} < \frac{1}{\sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}{(n + 1) - n} < \frac{1}{\sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1}} > 2 (\sqrt{1 + 1} - \sqrt{1}) \Rightarrow 1 > 2 (\sqrt{2} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} > 2 (\sqrt{2 + 1} - \sqrt{2}) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} > 2 (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} > 2 (\sqrt{3 + 1} - \sqrt{3}) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} > 2 (\sqrt{4} - \sqrt{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \\ i f n = n \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \end{array}$

طرفين نامساوی های فوق را با هم جمع می‌كنيم:

$\begin{array}{l} 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 (\sqrt{2} - 1) + 2 (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdot \cdot \cdot + 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n}} > (2 \sqrt{2} - 2 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{4} - 2 \sqrt{3} + \cdot \cdot \cdot + 2 \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 \sqrt{n + 1} - 2 \end{array}$

$\Rightarrow 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 (\sqrt{n + 1} - 1)$

$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} > \frac{1}{2}; (n \in Z, n > 0)$

$\begin{array}{l} i f n > 1 \Rightarrow \frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2 n} \\ i f n > 2 \Rightarrow \frac{1}{n + 2} > \frac{1}{2 n} \\ ⋮ \\ \frac{1}{n + n} = \frac{1}{2 n} \end{array}$

طرفين نامساوی های فوق را جمع می‌كنيم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n + n} > \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n + n} > \frac{1}{2} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} > \frac{1}{2}$

$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{1}{2 n + 1}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3 n + 1} > (4 n + 2) \{\frac{1}{2 {(2 n + 1)}^{2}}\} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n + n} + \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2} + ... + \frac{1}{2 n + n} + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{1}{2 n + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2} + ... + \frac{1}{3 n} + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{1}{2 n + 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{3 n + 1}) + (\frac{1}{n + 2} + \frac{1}{3 n}) + \cdot \cdot \cdot + (\frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n + 2}) + \frac{1}{2 n + 1} > \frac{1}{2 n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{4 n + 2}{(n + 1) (3 n + 1)} + \frac{4 n + 2}{(n + 2) 3 n} + \cdot \cdot \cdot + \frac{4 n + 2}{2 n (2 n + 2)} + \frac{1 \times 2 (2 n + 1)}{2 (2 n + 1) (2 n + 1)} > \frac{1}{2 n + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{4 n + 2}{(n + 1) (3 n + 1)} + \frac{4 n + 2}{(n + 2) 3 n} + \cdot \cdot \cdot + \frac{4 n + 2}{2 n (2 n + 2)} + \frac{4 n + 2}{2 {(2 n + 1)}^{2}} > \frac{1}{2 n + 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (4 n + 2) [\frac{1}{(n + 1) (3 n + 1)} + \frac{1}{(n + 2) 3 n} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n (2 n + 2)} + \frac{1}{2 {(2 n + 1)}^{2}}] > \frac{1}{2 n + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{1}{2 n + 1}$

$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} < \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \\ \frac{5}{6} < \frac{6}{7} \\ ⋮ \\ \frac{99}{100} < \frac{100}{101} \end{array}$

طرفين نامساوی های فوق را در هم ضرب كنيم:

$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{99}{100} < \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{100}{101}$

$\begin{array}{l} i f x = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{99}{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{1}{x} = \frac{2}{1} \times \frac{4}{3} \times \frac{6}{5} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{100}{99} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{98}{99} \times \frac{100}{1}$

$\Rightarrow \frac{1}{101 x} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{100}{101}$

$\begin{array}{l} x < \frac{1}{101 x} \\ \Rightarrow x^{2} < \frac{1}{101} \\ \Rightarrow x < \frac{1}{\sqrt{101}} < \frac{1}{10} \end{array}$

$\Rightarrow x < \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$

$y < \frac{a x + b y}{a + b} < x; (y < x, 0 < b < a)$

$\begin{array}{l} x - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{x (a + b) - (a x + b y)}{a + b} \\ \Rightarrow x - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{a x + b x - a x - b y}{a + b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{b x - b y}{a + b} \\ \Rightarrow x - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{b (x - y)}{a + b} \\ \Rightarrow x - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{b (x - y)}{a + b}; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} x > y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - y > 0; a, b > 0, a + b > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{b (x - y)}{a + b} > 0; (1) \\ \Rightarrow x - \frac{a x + b y}{a + b} > 0 \\ \Rightarrow x > \frac{a x + b y}{a + b}; (Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} y - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{y (a + b) - (a x + b y)}{a + b} \end{array}$

$\Rightarrow y - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{a y + b y - a x - b y}{a + b}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{a y - a x}{a + b} \\ \Rightarrow y - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{a (y - x)}{a + b} \\ \Rightarrow y - \frac{a x + b y}{a + b} = \frac{a (y - x)}{a + b}; (2) \end{array}$

$\begin{array}{l} x > y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - x < 0; a, b > 0, a + b > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a (y - x)}{a + b} < 0; (2) \\ \Rightarrow y - \frac{a x + b y}{a + b} < 0 \\ \Rightarrow y < \frac{a x + b y}{a + b}; (Ι Ι) \end{array}$

$(Ι), (Ι Ι) \Rightarrow \{\begin{cases} x > \frac{a x + b y}{a + b} \\ y < \frac{a x + b y}{a + b} \end{cases}〉 y < \frac{a x + b y}{a + b} < x$

$\frac{1}{1 + 2 x^{2}} \leq \frac{1}{1 + x^{2} + x^{4}} \leq \frac{1}{1 + 2 x^{3}}; (0 \leq x \leq 1)$

$\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 1 \Rightarrow 1 + 2 x^{3} > 0 \\ \frac{1}{1 + x^{2} + x^{4}} \leq \frac{1}{1 + 2 x^{3}} \\ \Rightarrow (1 + x^{2} + x^{4}) \geq (1 + 2 x^{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} \geq 0 \\ \Rightarrow x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) \geq 0 \\ \Rightarrow x^{2} {(x - 1)}^{2}; (Ι) \end{array}$

نامساوی $(Ι)$ همواره برقرار است.

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 + x^{2} + x^{4}} \geq \frac{1}{1 + 2 x^{2}} \\ \Rightarrow (1 + x^{2} + x^{4}) \leq (1 + 2 x^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} - x^{2} \leq 0 \\ \Rightarrow x^{2} (x^{2} - 1) \leq 0 \\ \Rightarrow x^{2} (x - 1) (x + 1) \leq 0; (Ι Ι) \end{array}$

با توجه به $0 \leq x \leq 1$ نامساوی فوق همواره برقرار است، پس صورت مسئله برقرار است.

$\sqrt[3]{43} < \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} < \sqrt[3]{49}$

$\begin{array}{l} i f x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \\ \Rightarrow x^{3} = {(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = {(\sqrt[3]{3})}^{3} + 3 {(\sqrt[3]{3})}^{2} (\sqrt[3]{9}) + 3 (\sqrt[3]{3}) {(\sqrt[3]{9})}^{2} + {(\sqrt[3]{9})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = 3 + 3 \sqrt[3]{3^{2} \times 9} + 3 \sqrt[3]{3 \times 9^{2}} + 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = 12 + 3 \sqrt[3]{3^{3} \times 3} + 3 \sqrt[3]{3^{3} \times 3^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = 12 + (3 \times 3 \sqrt[3]{3}) + (3 \times 3 \sqrt[3]{9}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = 12 + 9 (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) \\ \Rightarrow x^{3} = 12 + 9 x \\ \Rightarrow x^{3} - 9 x - 12 = 0 \end{array}$

$x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ ريشه حقيقی تابع زیر است:

$f (x) = x^{3} - 9 x - 12 = x (x^{2} - 9) - 12$

اگر $x > 3$ تابع $f (x)$ صعودی است، از طرف ديگر طبق قضیه بولتزوانو داریم:

$\{\begin{cases} f (\sqrt[3]{43}) < 0 \\ f (\sqrt[3]{49}) > 0 \end{cases}〉 \sqrt[3]{43} < \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} < \sqrt[3]{49}$

$\frac{x^{3} + x}{x - 1} \geq 2 (2 + \sqrt{3}); (x > 1)$

$\begin{array}{l} \frac{x^{3} + x}{x - 1} \geq 2 (2 + \sqrt{3}) \\ \Rightarrow \frac{x^{3} + x}{x - 1} - (4 + 2 \sqrt{3}) \geq 0 \\ \Rightarrow \frac{(x^{3} + x) - (x - 1) (4 + 2 \sqrt{3})}{x - 1} \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{3} + x - (4 x + 2 \sqrt{3} x - 4 - 2 \sqrt{3})}{x - 1} \geq 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{3} + x - 4 x - 2 \sqrt{3} x + 4 + 2 \sqrt{3}}{x - 1} \geq 0$

چون $x > 1$ است عبارت صورت و مخرج هر دو مثبت است پس نامساوی اخير درست است، بنابراين نامساوی صورت مسئله برقرار است.

تمرین

دستگاه زیر را برای اعداد صحیح مثبت حل کنید.

$\{\begin{cases} a^{4} + 14 a b + 1 = n^{4} \\ b^{4} + 14 b c + 1 = m^{4} \\ c^{4} + 14 a c + 1 = k^{4} \end{cases}$

$\begin{array}{l} n^{4} > a^{4} \Rightarrow n > a \Rightarrow n \geq a + 1 \Rightarrow n^{4} \geq {(a + 1)}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} m^{4} > b^{4} \Rightarrow m > b \Rightarrow m \geq b + 1 \Rightarrow m^{4} \geq {(b + 1)}^{4} \end{array}$

$k^{4} > c^{4} \Rightarrow k > a \Rightarrow k \geq c + 1 \Rightarrow k^{4} \geq {(c + 1)}^{4}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a^{4} + 14 a b + 1 = n^{4} \geq {(a + 1)}^{4} \\ b^{4} + 14 b c + 1 = m^{4} \geq {(b + 1)}^{4} \\ c^{4} + 14 a c + 1 = k^{4} \geq {(c + 1)}^{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{4} + 14 a b + 1 = n^{4} \geq {(a + 1)}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{4} + 14 a b + 1 \geq {(a + 1)}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{4} + 14 a b + 1 \geq a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 14 a b \geq 4 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 14 a b \geq 2 a (2 a^{2} + 3 a + 2) \end{array}$

$\Rightarrow 7 b \geq 2 a^{2} + 3 a + 2$

به‌همین ترتیب داریم:

$\{\begin{cases} 7 b \geq 2 a^{2} + 3 a + 2 \\ 7 c \geq 2 b^{2} + 3 b + 2 \\ 7 a \geq 2 c^{2} + 3 c + 2 \end{cases}$

طرفین نامساوی های فوق را باهم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 7 a + 7 b + 7 c \geq 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} + 3 a + 3 b + 3 c + 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 4 a - 4 b - 4 c + 6 \leq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 2 b - 2 c + 3 \leq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} - 2 a + 1) + (b^{2} - 2 b + 1) + (c^{2} - 2 c + 1) \leq 0 \end{array}$

$\Rightarrow {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \leq 0$

نامساوی فقط درصورتی برقرار است که داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a = b = c = 1 \end{array}$

$a^{4} + 14 a b + 1 = n^{4} \Rightarrow 1 + 14 + 1 = n^{4} \Rightarrow n = 2$

به‌همین ترتیب:

$n = m = k = 2$

تمرین

كدام يک از اعداد زير بزرگ تر است.

$A = 31^{11}; B = 17^{14}$

$\begin{array}{l} A = 31^{11} < 32^{11} = {(2^{5})}^{11} = 2^{55} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 31^{11} < 2^{55} < 2^{56} = {(2^{4})}^{14} = 16^{14} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 31^{11} < 16^{14} < 17^{14} \\ \Rightarrow 31^{11} < 17^{14} = B \\ \Rightarrow A < B \end{array}$

$A = \frac{19^{1998} + 1}{19^{1999} + 1}; B = \frac{19^{1999} + 1}{19^{2000} + 1}$

$i f n = 19^{1998} \Rightarrow \{\begin{cases} A = \frac{n + 1}{19 n + 1} \\ B = \frac{19 n + 1}{19^{2} n + 1} \end{cases}〉 A = \frac{n + 1}{19 n + 1} > B = \frac{19 n + 1}{19^{2} n + 1}$

$\begin{array}{l} \frac{n + 1}{19 n + 1} > \frac{19 n + 1}{19^{2} n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (n + 1) (19^{2} n + 1) > (19 n + 1) (19 n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 361 n^{2} + n + 361 n + 1 > 361 n^{2} + 19 n + 19 n + 1 \end{array}$

$\Rightarrow 361 n^{2} + 362 n + 1 > 361 n^{2} + 38 n + 1$

$A = \sqrt[3]{3}; B = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} (\sqrt[3]{2} + 1)$

هر دو عدد را به توان $3$ می‌رسانیم:

$\begin{array}{l} A^{3} = {(\sqrt[3]{3})}^{3} = 3 \Rightarrow A^{3} = 3; (I) \\ B^{3} = {[\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} (\sqrt[3]{2} + 1)]}^{3} \\ \Rightarrow B^{3} = (\sqrt[3]{2} - 1) {(\sqrt[3]{2} + 1)}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{3} = (\sqrt[3]{2} - 1) (2 + 3 \sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{2} + 1) \\ \Rightarrow B^{3} = (\sqrt[3]{2} - 1) (3 + 3 \sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{3} = 3 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{8} + 3 \sqrt[3]{4} - 3 - 3 \sqrt[3]{4} - 3 \sqrt[3]{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{3} = 3 \sqrt[3]{8} - 3 \\ = 6 - 3 \\ = 3; (I I) \end{array}$

$(I), (I I) \Rightarrow A^{3} = B^{3} \Rightarrow A = B$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کدام گزینه در مورد دو عبارت زیر صحیح است؟

$\{\begin{cases} 59^{60} \\ 60^{59} \end{cases}$

$59^{60} > 60^{59}$
$59^{60} = 60^{59}$
$59^{60} < 60^{59}$
$59^{60} - 1011101 = 60^{59}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

مسابقات ریاضی دانشگاه هاروارد

عبارت زیر را با عدد $100$ مقایسه کنید:

$(1 + \frac{1}{1}) (1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{9999})$

کدام گزینه درست است؟

عبارت، بزرگتر از $100$ است.
عبارت، کوچکتر از $100$ است.
عبارت، مساوی با $100$ است.

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

خواص نامساوی‌ها

40,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (9)

حمید

19 ارديبهشت 1403

ممنون از مجموعه کامل و بی نظیرتون.
یه پیشنهاد داشتم،اگر پی دی اف صفحات هم موجود بود بنظرم در وقت خیلی صرفه جویی میشد.
چون من ازجزوه کاغذی استفاده میکنم و اسکرین گرفتن از صفحات و تبدیلش به پی دی اف مثل خود جزوه نوشتن کار وقت گیریه .
بابت پی دی اف هم اگر هزینه ای باشه شخصا باکمال میل پرداخت میکنم
نیک پسند (نبوت)

19 ارديبهشت 1403

تمام محتوا ها کامل و واضح ممنون
مقان(نبوت)

19 ارديبهشت 1403

مطالب خیلی مفید و گسترده هست
نوری(نبوت)

19 ارديبهشت 1403

شخصا با این متود خیلی ریاضیات برام جذاب تر و راحت تر شده
سپاس از شما
بادکوبه(نبوت)

19 ارديبهشت 1403

بسیار پرمحتوا و کامل _ یادگیری سریع و آسان
عربیان ( نبوت)

19 ارديبهشت 1403

عالی، خیلی جزوه های کامل و بدون نقصی داره.
برای من خیلی آموزنده بود.
معطع رازلیقی(نبوت)

19 ارديبهشت 1403

مفید و آموزنده و کامل بود.
حسین پور(نبوت)

19 ارديبهشت 1403

پرمحتوا و عالی ?
شریعتی (نبوت)

19 ارديبهشت 1403

عالی❤️

نامساوی

خواص نامساوی‌ ها

خاصیت اول نامساوی ها

خاصیت دوم نامساوی ها

خاصیت سوم نامساوی ها

خاصیت چهارم نامساوی ها

خاصیت پنجم نامساوی ها

خاصیت ششم نامساوی ها

خاصیت هفتم نامساوی ها

خاصیت هشتم نامساوی ها

خاصیت نهم نامساوی ها

خاصیت دهم نامساوی ها

خاصیت یازدهم نامساوی ها

خاصیت دوازدهم نامساوی ها

خاصیت سیزدهم نامساوی ها

خاصیت چهاردهم نامساوی ها

خاصیت پانزدهم نامساوی ها

خاصیت شانزدهم نامساوی ها

خاصیت هفدهم نامساوی ها

خاصیت هجدهم نامساوی ها

خاصیت نوزدهم نامساوی ها

خاصیت بیستم نامساوی ها

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (9)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟