نامساوی

ویژگی اول نامساوی ها 

اعداد حقیقی $a$ و $b$ مفروض‌ هستند، برای مقایسه این دو عدد معمولا از دو روش استفاده می‌کنیم:

• یا آنها را از یک‌دیگر کم می‌کنیم و تعیین می‌کنیم که یکی از این دو عدد چقدر از دیگری بیش‌تر است.
• یا یکی را بر دیگری تقسیم می‌کنیم و تعیین می‌کنیم که یکی از این دو عدد چند برابر عدد دیگری است.

ویژگی دوم نامساوی ها

بزرگ‌تر، کوچک‌تر و مساوی بودن دو عدد

• اگر تفاضل عدد حقیقی $b$ از عدد $a$ مثبت باشد، آن‌گاه می‌گویند عدد $a$ از عدد $b$ بزرگ‌تر است و می‌نویسیم $a>b$ پس داریم:

$a-b>0\iff a>b$

• اگر تفاضل عدد حقیقی $b$ از عدد $a$ منفی باشد، آن‌گاه می‌گویند عدد $a$ از عدد $b$ کوچک‌تر است و می‌نویسیم $a<b$ پس داریم:

$a-b<0\iff a<b$

• اگر تفاضل عدد حقیقی $b$ از عدد $a$ مساوی صفر باشد، آن‌گاه می‌گویند عدد $a$ عدد و $b$ با یکدیگر مساوی هستند و می‌نویسیم $a=b$ پس داریم: 

$a-b=0\iff a=b$

به این ترتیب مطالب فوق به ‌صورت زیر خلاصه می‌شود:

$a-b\left\{\begin{array}{l}>0\iff a>b\\ <0\iff a<b\\ =0\iff a=b\end{array}\right.$

ویژگی سوم نامساوی ها

هر دو عدد حقیقی $a$ و $b$ فقط و فقط در یکی از سه رابطه $a<b,a>b,a=b$ صدق می‌کند.

ویژگی چهارم نامساوی ها

هر عبارت را که به یکی از صورت‌های $a\ge b$ یا $a\le b$ یا $a>b$ یا $a<b$ باشد یک نامساوی می‌گوییم:

$a\le b\iff (a<b\vee a=b)$

$a\ge b\iff (a>b\vee a=b)$

$a\ge b\iff (b\le a)$

حالات $a>b$ یا $a<b$ را نامساوی اکید گوییم.

ویژگی پنجم نامساوی ها

عدد $a$ را مثبت می‌نامیم اگر $a>0$ باشد، منفی می‌نامیم اگر $a<0$ باشد، صفر می‌نامیم اگر $a=0$ باشد.

بنابر اصل تثلیث به‌ازای هر عدد دل‌خواه $a$ همواره یکی از روابط زیر برقرار است:

$\begin{array}{l}a>0\end{array}$

$\begin{array}{l}a=0\end{array}$

$a<0$

ویژگی ششم نامساوی ها

نامثبت و نامنفی بودن یک عدد

• اگر $a\ge 0$ باشد، می‌گوییم $a$ نامنفی است.( $a$ مثبت یا صفر است)
• اگر $a\le 0$ باشد، می‌گوییم $a$ نامثبت است.( $a$ منفی یا صفر است)

ویژگی هفتم نامساوی ها

فواصل در مجموعه اعداد حقیقی

اگر  $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند و $a<b$:

الف) منظور از فاصله بسته $a$ و $b$ که آن را با نماد $\left[a,b\right]$ نشان می‌دهیم:

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از $a$ بزرگ‌تر و از $b$ کوچک‌تر و شامل $a$ و $b$ هم هستند.

$\forall x\in \left[a,b\right]\iff a\le x\le b$

ب) منظور از فاصله بسته $a$ و باز $b$ که آن را با نماد $\left[a,b\right)$ نشان می‌دهیم:

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از $a$ بزرگ‌تر و از $b$ کوچک‌تر و شامل $a$ هم هستند.

$\forall x\in \left[a,b\right)\iff a\le x<b$

پ) منظور از فاصله باز $a$ و بسته $b$ که آن را با نماد $\left(a,b\right]$ نشان می‌دهیم.

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از $a$ بزرگ‌تر و از $b$ کوچک‌تر و شامل $b$ هم هستند:

$\forall x\in \left(a,b\right]\iff a<x\le b$

ت) منظور از فاصله باز $a$ و باز $b$ که آن را با نماد $(a,b)$ یا $\left]a,b\right[$ نشان می‌دهیم.

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از $a$ بزرگتر و از $b$ کوچک‌تر و شامل $a$ و $b$ نیستند: 

$\forall x\in \left(a,b\right)\iff a<x<b$