مقدمه‌ ای بر نامساوی‌ ها

آخرین ویرایش: 21 بهمن 1402
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:

ویژگی اول نامساوی ها 

اعداد حقیقی a و b مفروض‌ هستند، برای مقایسه این دو عدد معمولا از دو روش استفاده می‌کنیم:

  • یا آنها را از یک‌دیگر کم می‌کنیم و تعیین می‌کنیم که یکی از این دو عدد چقدر از دیگری بیش‌تر است.
  • یا یکی را بر دیگری تقسیم می‌کنیم و تعیین می‌کنیم که یکی از این دو عدد چند برابر عدد دیگری است.

ویژگی دوم نامساوی ها

بزرگ‌تر، کوچک‌تر و مساوی بودن دو عدد

  • اگر تفاضل عدد حقیقی b از عدد a مثبت باشد، آن‌گاه می‌گویند عدد a از عدد b بزرگ‌تر است و می‌نویسیم a>b پس داریم:

ab>0a>b

پیمان گردلو

  • اگر تفاضل عدد حقیقی b از عدد a منفی باشد، آن‌گاه می‌گویند عدد a از عدد b کوچک‌تر است و می‌نویسیم a<b پس داریم:

ab<0a<b

پیمان گردلو

  • اگر تفاضل عدد حقیقی b از عدد a مساوی صفر باشد، آن‌گاه می‌گویند عدد a عدد و b با یکدیگر مساوی هستند و می‌نویسیم a=b پس داریم: 

ab=0a=b

به این ترتیب مطالب فوق به ‌صورت زیر خلاصه می‌شود:

ab>0a>b<0a<b=0a=b

تمرین

در تساوی های زیر، مقدار کدام‌یک از متغیرها، از دیگری بزرگ‌تر است؟ 

a-b=1

ab=1a=b+1


به متغیر b یک واحد اضافه شده تا با متغیر a برابر شود. پس مقدار متغیر a از مقدار متغیر b بیش‌تر است.

a>b

u-v=-2

uv=2u=v2


از متغیر v دو واحد کم شده تا با متغیر u برابر شود. پس مقدار متغیر v از مقدار متغیر u بیش‌تر است.

v>u

2(p1)=2q3

2p2=2q32p=2q1p=q12


از متغیر q نیم واحد کم شده تا با متغیر p برابر شود. پس مقدار متغیر q از مقدار متغیر p بیش‌تر است.

ویژگی سوم نامساوی ها

هر دو عدد حقیقی a و b فقط و فقط در یکی از سه رابطه a<b   ,   a>b   ,   a=b صدق می‌کند.

تمرین

علی در تیم فوتبال زیر 15 سال بازی می‌‌کند. سن علی چقدر است؟

ما دقیقا نمی‌دانیم که سن علی چقدر هست، اما می‌دانیم سن علی Age کم تر از 15 است، بنابراین می‌نویسیم: 

Age<15

برای شرکت در مسابقه نویسندگی نوجوانان، باید بالای 12 سال سن داشته باشید، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید.

بالای 12 سال به معنی بزرگتر از 12 است. اگر سن شما را با Age نشان دهیم، داریم:  

Age>12

برای این‌که بوکسور سنگین وزن باشید، بایستی 110 کیلوگرم وزن داشته باشید، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید. 

اگر وزن شما را با Weight نشان دهیم، داریم: 

Weight=110 kg

محمد تصمیم می‌گیرد که برای تناسب اندام باید بیش از 2 ساعت در روز ورزش کند، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید. 

بیش از 2 ساعت ورزش در روز، شامل دقیقا 2 ساعت نمی‌شود و بیشتر از آن است.


اگر زمان ورزش را با Time نشان دهیم، داریم:

Time>2hours

ویژگی چهارم نامساوی ها

هر عبارت را که به یکی از صورت‌های ab یا ab یا a>b یا a<b باشد یک نامساوی می‌گوییم:

ab(a<ba=b)

ab(a>ba=b)

ab(ba)

حالات a>b یا a<b را نامساوی اکید گوییم.

تمرین

برای تماشای یک فیلم، بایستی 13 سال یا بیشتر داشته باشید. این جمله را به زبان نامساوی بنویسید.

اگر سن شما را با Age نشان دهیم، داریم:

Age13

برای حضور در کلاس نقاشی، سن شما بایستی 12 سال یا کمتر باشد، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید.

اگر سن شما را با Age نشان دهیم، داریم:

Age12

حداکثر تعداد مسافری که یک اتوبوس می‌تواند جابجا کند 40 نفر است، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید.

کلمه حداکثر به این معنی هست که اتوبوس باید کمتر از 40 مسافر جابجا کند اما می‌تواند 40 نفر هم جابجا کند. 


اگر n تعداد مسافران باشد، داریم:

n40

برای رفتن به مرحله بعدی مسابقه‌ای باید حداقل 50 امتیاز داشته باشید، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید.

کلمه حداقل به این معنی هست که شما بایستی بیشتر از 50 امتیاز داشته باشید اما می‌تونید دقیقا 50 امتیاز هم داشته باشید.


اگر S امتیاز کسب شده باشد، داریم:

S50

بیشترین وزن مجاز در آسانسور 500 کیلوگرم است، این جمله را به زبان نامساوی بنویسید.

اگر بیشترین وزن مجاز در آسانسور 500 کیلوگرم باشد، وزن می‌تواند کمتر از 500 کیلوگرم باشد، یا برابر 500 کیلوگرم باشد.


اگر وزن مجاز را با Weight نشان دهیم، داریم: 

Weight500 kg

تمرین

برای ارسال بسته‌ای از طریق پست، به قیمت 100 هزار تومان:

اولا وزن آن بایستی کمتر از 10 کیلوگرم باشد.

ثانیا دور آن بیشتر از 50 سانتی متر باشد و کمتر یا مساوی 100 سانتی متر باشد. 

این جملات را به زبان نامساوی بنویسید.

وزن بسته بایستی کمتر از 10 کیلوگرم باشد.

Weight<10kg


دور بسته بایستی بیشتر از 50 سانتی متر باشدو کمتر یا مساوی 100 سانتی متر باشد.


اگر دور بسته را با Girth نشان دهیم، داریم:

50cm<Girth100cm

تمرین

برای پیوستن به یگان ویژه، سربازان بایستی خصوصیات زیر را داشته باشند:

اولا آنها بایستی بیش از 170 سانتی متر قد داشته باشند.

ثانیا وزن آنها بیشتر یا مساوی 65 کیلوگرم و کمتر یا مساوی 100 کیلوگرم باشد.

این جملات را به زبان نامساوی بنویسید.

Height>170cm65kgWeight100kg

ویژگی پنجم نامساوی ها

عدد a را مثبت می‌نامیم اگر a>0 باشد، منفی می‌نامیم اگر a<0 باشد، صفر می‌نامیم اگر a=0 باشد.

بنابر اصل تثلیث به‌ازای هر عدد دل‌خواه a همواره یکی از روابط زیر برقرار است:

a>0

a=0

a<0

ویژگی ششم نامساوی ها

نامثبت و نامنفی بودن یک عدد

  • اگر a0 باشد، می‌گوییم a نامنفی است.( a مثبت یا صفر است)
  • اگر a0 باشد، می‌گوییم a نامثبت است.( a منفی یا صفر است)

ویژگی هفتم نامساوی ها

فواصل در مجموعه اعداد حقیقی

اگر  a و b دو عدد حقیقی باشند و a<b:

الف) منظور از فاصله بسته a و b که آن را با نماد a,b نشان می‌دهیم:

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از a بزرگ‌تر و از b کوچک‌تر و شامل a و b هم هستند.

xa,baxb

ب) منظور از فاصله بسته a و باز b که آن را با نماد a,b نشان می‌دهیم:

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از a بزرگ‌تر و از b کوچک‌تر و شامل a هم هستند.

xa,bax<b

پ) منظور از فاصله باز a و بسته b که آن را با نماد a,b نشان می‌دهیم.

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از a بزرگ‌تر و از b کوچک‌تر و شامل b هم هستند:

xa,ba<xb

ت) منظور از فاصله باز a و باز b که آن را با نماد (a,b) یا a,b نشان می‌دهیم.

یعنی مجموعه کلیه اعداد حقیقی که از a بزرگتر و از b کوچک‌تر و شامل a و b نیستند: 

xa,ba<x<b

یادآوری

به‌طور کلی داریم:

تذکر

به مجموعه‌های زیر توجه کنید:

,+=0,+=0,0=<00,=>0,0=0

0 اعداد حقیقی نامنفی، >0 اعداد حقیقی مثبت، 0 اعداد حقیقی نامثبت و <0 اعداد حقیقی منفی، می‌باشند.‌ 

تمرین

بازه‌ های زیر را به‌دست آورید.

A=3,2B=,13,+AB=?


نامساوی ها - پیمان گردلو - فاصله ها

AB=3,1

A=2,3B=1,+C=,2ABC=?


نامساوی ها - پیمان گردلو - فاصله ها

BC=R1,2A=2,3

ABC=2,31,2

1,32,+1,32,+

1,32,+=1,+1,32,+=2,3


2,41,3

2,41,3=2,4


2,+,5

2,+,5=2,5


1,31,+

اشتراک دو بازه را به‌دست می‌آوریم:




1,31,+=1,3


بازه اول را روی محور رسم می‌کنیم و اشتراک را از آن حذف می‌کنیم:



هرچه از مجموعه اول باقی بماند را به‌عنوان تفاضل دو مجموعه معرفی می‌کنیم:




1,31,+=1,1

4,21,3

اشتراک دو بازه را به‌دست می‌آوریم:




4,21,3=1,2


بازه اول را روی محور رسم می‌کنیم و اشتراک را از آن حذف می‌کنیم:



هرچه از مجموعه اول باقی بماند را به‌عنوان تفاضل دو مجموعه معرفی می‌کنیم:




4,21,3=4,1

تمرین

اگر داشته باشیم:

A=x3x3=3,3B=xx>2=2,+C=xx<0=,0

بازه ‌هایی را که با مجموعه ‌های زیر تعریف شده‌اند، مشخص کنید.

AB

AB=3,32,+=3,+


AB

AB=3,32,+=2,3


ABC

ABC=3,32,+,0=,+=


AC

AC=3,3,0=3,0


BC

BC=2,+,0=


ABC

ABC=3,+,0=3,0


ABC

ABC=2,3,0=


BC

BC=2,+,0


دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مقدمه‌ای بر نامساوی‌ها

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید