بخش‌ پذیری چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

آخرین ویرایش: 01 تیر 1403
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:

تقسیم px بر x-a

می‌خواهیم چند جمله‌ ای px را بر دو جمله‌ای x-a تقسیم کنیم و باقیمانده حاصل از این تقسیم را به‌دست آوریم.

به تقسیم زیر توجه کنید:

px      xa                    qx              R¯

چون درجه مقسوم علیه m=1 است، درجه باقیمانده، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

m-1=1-1=0

یعنی باقیمانده یک عدد حقیقی مانند R است.

با توجه به px برای یافتن مقدار باقیمانده، کافی است ریشه مقسوم‌علیه را در مقسوم قرار دهیم:

px=xaqx+Rxa=0x=apa=aaqa+Rpa=R

تمرین

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

px=2x33x2+x+2

باقیمانده تقسیم چند جمله‌ ای فوق را بر دو جمله‌ای x+1 را به‌دست آورید.

x+1=0x=1R=p1

R=213312+1+2

R=4

تمرین

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

px=x73x5+x21

باقیمانده تقسیم چند جمله‌ای زیر را بر دو جمله‌ای x+1 را به‌دست آورید.

x+1=0x=1R=p1

R=17315+121

R=2

تمرین

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید.

Px=x3+3x2+3x

اگر باقيمانده تقسيم چندجمله ای فوق بر x-a برابر 26 باشد.

a را به‌دست آورید.

xa=0x=aR=Pa26=a3+3a2+3a

a3+3a2+3a=26a3+3a2+3a+1=26+1

a+13=27a+13=33a+1=3a=2

تمرین

فرض کنیم باقيمانده px بر x-1 برابر 2 باشد.

باقيمانده px3 بر x-1 چقدر است؟

px=x1gx+2px3=x31gx3+2

px3=x1x2+x+1gx3+2

R=2

تمرین

باقيمانده px بر x33x+2 برابر است با عبارت زیر:

x2+4x+4

مقدار p-2 را به‌دست آوريد.

px=x33x+2gx+x2+4x+4    ;    x=2


p2=2332+2g2+22+42+4


p2=0

یادآوری

شرط بخش‌ پذیری px بر x-a این است که باقیمانده صفر شود، یعنی: 

pa=R=0

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

px=3x25x+2

نشان دهید px  بر x-1 بخش پذیر است.


x1=0x=1p1=R31251+2=RR=0


px بر x-1 بخش‌پذیر است.

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

px=x3+ax2+x+b

چند جمله‌ای فوق بر دو جمله‌ای x+2 بخش پذیر است. 

همچنین باقیمانده px بر x-1 برابر 4 می‌باشد.

مقادیر a و b را پیدا کنید.

باقیمانده تقسیم px بر x-1 برابر 4 می‌باشد:


x1=0x=1p1=413+a12+1+b=41+a+1+b=4a+b=2


px بر x+2 بخش‌پذیر است:


x+2=0x=2p2=0

23+a22+2+b=0

8+4a2+b=04a+b=10


با حل دستگاه زیر، مقادیر a و b محاسبه می‌شوند: 


a+b=24a+b=10a=83b=23

تمرین

اگر یک جواب معادله زیر برابر 2 باشد:

x32x2+ax+2=0

مقدار a طوری پیدا ‌کنید.

اگر x=2 جواب معادله باشد، پس در معادله صادق است:


x=2x32x2+ax+2=023222+a2+2=0a=1

جواب‌ های دیگر معادله را به‌دست ‌آورید. 

اگر a=-1 باشد، در معادله زیر داریم:


x32x2+ax+2=0x32x2+1x+2=0x32x2x+2=0x32x2x2=0

x2x2x2=0x2x21=0

x2=0x=2x21=0x2=1x=±1

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید.

Px=4x3+mx23x+6

اگر Px بر x-2 بخش پذير باشد، آن‌گاه:

m را به‌دست آورید.

Px بر x-2 بخش پذير است:


x2=0x=2P2=0423+m2232+6=0

32+4m6+6=032+4m=0m=8

تمرین

در عبارت زیر:

px=xaxb+k

برای آن‌كه px بر x-a-b  بخش پذير باشد:

مقدار k را به‌دست آورید.

Px=xaxb+kPx=x2a+bx+ab+k


xab=0x=a+bPa+b=0

a+b2a+ba+b+ab+k=0


ab+k=0k=ab

تمرین

a,b عددهای صحيحِ مثبت و p عددی اول است.

اگر ap-bp بر p بخش پذیر باشد، ثابت کنید:

ap-bp بر p2 بخش پذیر است.

طبق قضيه فرما apabpb بر p قابل قسمت هستند.


بنابراين تفاضل آنها يعنی عبارت زیر هم بر p بخش پذیر است:


apbpab


از طرف ديگر طبق فرض ap-bp مضربی از p است.


پس a-b هم بر p بخش پذیر خواهد بود.


فرض می‌كنيم:


ab=pt


در اين صورت داريم:


apbp=b+ptpbp

=bp+pbp1pt+pp12bp2p2t2++pptpbp


=pbp1pt+pp12bp2p2t2++pptp


=p2bp1t+pp12bp2t2++pp2tp

تمرین

k عددی صحيح و غير قابل قسمت بر 3 می‌باشد.

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

a+b2k+a2k+b2k

ثابت ‌كنيد عبارت فوق بر عبارت a2+ab+b2 قابل قسمت است.

فرض كنيد α مخالف واحد و يكی از ريشه های معادله x3=1 باشد.


تابع زير را در نظر می‌گيريم:


fx=1+x2k+x2k+1


به‌روشنی ديده می‌شود كه:


if  x3=1x31=0x1x2+x+1=0x2+x+1=0x+1=x2


fα=1+α2k+α2k+1fα=α22k+α2k+1

fα=α3kαk+α2k+1    ;    α3=1


fα=α2k+αk+1fα=α3k1αk1    ;    α3=1fα=0


و به‌همين ترتيب داریم:


fα2=1+α22k+α4k+1=α4k+α2k+1=α2k+αk+1=0


بنابراين عبارت زیر بر a2+ab+b2 قابل قسمت است:


a+b2k+a2k+b2k

تمرین

چند جمله ای زیر مفروض است:

px=x4+ax3+3x2+4x+1

اگر px بر x+a بخش پذير باشد.

مقدار a را تعيين كنيد.

اگر px بر x+a بخش پذير است:


x+a=0x=aR=pa=0

pa=a4+aa3+3a2+4a+1=0


a4a4+3a24a+1=03a24a+1=0a=1  ,  a=13

تمرین

چند جمله ای زیر  بر x-1 بخش پذير  است.

Px=x4+ax3+bx2+2x+c

باقيمانده تقسیم Px بر x-2 برابر -3 است.

همچنین باقيمانده تقسیم Px بر x+1 برابر 2 است.

نشان دهید -a+b+c=3 می‌باشد.

Px بر x-1 بخش پذير است:


x1=0x=1P1=0

14+a13+b12+21+c=0


a+b+c=3    ;    Ι


باقيمانده تقسیم Px بر x-2 برابر -3 است:


x2=0x=2P2=3

24+a23+b22+22+c=3


8a+4b+c=23    ;    ΙΙ


باقيمانده تقسیم Px بر x+1 برابر 2 است:


x+1=0x=1P1=2

14+a13+b12+21+c=2


a+b+c=3    ;    ΙΙΙ


a+b+c=3a+b+c=38a+4b+c=23

تمرین

عبارت زیر را بر x-12 تقسیم می‌کنیم:

px=mxm+1m+1xm+1

خارج قسمت حاصل از تقسيم را به‌دست آوريد.

px=mxm+1mxmxm1 ; mN


px=mxmx1x1xm1+xm2+xm3++1


px=x1mxmxm1+xm2+xm3++1


px=x1xmxm1+xmxm2+xmxm3++xm1


px=x1xm1x1+xm2x21+xm3x31++xm1


px=x1xm1x1+xm2x1x+1+xm3x1x2+x+1++x1xm1+xm2++1


px=x1x1xm1+xm2x+1+xm3x2+x+1++xm1+xm2++1


px=x12xm1+xm1+xm2+xm1+xm2+xm3++xm1+xm2++1


px=x12.mxm1+m1xm2+m2xm3++1qx


خارج قسمت، عبارت است از:


qx=mxm1+m1xm2+m2xm3++1

تمرین

عبارت زیر بر x-2 قابل قسمت می‌باشد. 

fx=a1xn2axn1+8

مقدار n را به‌دست آورید.

fx بر x-2 قابل قسمت است:


x2=0x=2f2=0a12n2a×2n1+8=0

a12na×2n+8=02n+8=02n=8n=3

خارج قسمت را محاسبه كنيد.

fx=a1x32ax2+8    ;    n=3

fx=ax3x32ax2+8

fx=ax32ax2x38


fx=ax2x2x2x2+2x+4

fx=x2ax2x22x4

fx=x2a1x22x4

fx=x2a1x22x4Qx


خارج قسمت برابر است با:


Qx=a1x22x4

تمرین

عبارت fx از درجه سوم و دارای خصوصیات زیر می‌باشد:

1- مجموع ضريب های آن مساوی 2 است.

2- fx بر x+1 قابل قسمت است.

3- در تقسیم بر x2+1 باقیمانده ای مساوی 1-x دارد.

عبارت fx را بیابید.

فرم کلی هر عبارت درجه سوم به‌‌صورت زیر است:


fx=ax3+bx2+cx+d1)     a+b+c+d=22)   f1=a+bc+d=0


باقیمانده fx بر x2+1 مساوی 1-x است:


x2+1=0x2=1fx=ax3+bx2+cx+dfx=axx2+bx2+cx+d



f1=Rax1+b1+cx+d=1xaxb+cx+d=1xxa+c+db=x+1a+c=1db=1


a+b+c+d=2a+bc+d=0db=1ac=1a=1   ,   b=c=0   ,   d=1


fx=x3+1

یادآوری

فرض کنیم px و a متعلق به دستگاه اعداد حقیقی  باشد، در این صورت باقیمانده px بر x-a برابر است با pa : 

الف) x-a یک فاکتور px است، اگر و فقط اگر:

pa=0

ب) x=a یک ریشه px=0 است، اگر و فقط اگر:

xapx

بنابراین اگر x=a یک ریشه px باشد، چند جمله qx وجود به‌طوری‌که داشته باشیم:

px=xaqx

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید.

fx=x3  +   2x25x6

معادله fx=0 را حل کنید.

fx=0x2x2+4x+3=0x2=0x=2x2+4x+3=0x=1x=3

تمرین

با اتحادهای زیر سال های قبل آشنا هستید:

x2-a2=x-ax+a

x3-a3=x-ax2+xa+a2

با استفاده از روش ضرایب نامعین ، اتحاد زیر را ثابت کنید:

x4-a4=x-ax3+ax2+a2x+a3

خارج قسمت چند جمله ای fx=x4-a4 را برx-a به‌دست می‌آوریم:

xa=0x=afa=rxa4a4=rxrx=0


x4a4     xa                qx        rx=0¯qx=bx3+cx2+dx+erx=0


qx خارج قسمت و از درجه سوم است:


x4a4=xaqx

x4a4=xabx3+cx2+dx+e

x4a4=bx4+cx3+dx2+exabx3acx2adxae

x4a4=bx4+x3cab+x2dac+xeadae

b=1cab=0c=abc=a1c=adac=0d=acd=aad=a2ead=0e=ade=aa2e=a3ae=a4

x4a4=xabx3+cx2+dx+e

x4a4=xa1x3+ax2+a2x+a3

تقسیم px بر ax+b

برای یافتن باقیمانده‌ تقسیم چند جمله‌‌ای px بر چند جمله‌‌ ای ax+b، داریم: 

px    ax+b                 qx              R¯

مقسوم علیه را مساوی با صفر قرار می‌دهیم و ریشه آن را محاسبه می‌کنیم:

ax+b=0ax=bx=ba

ریشه مقسوم علیه را در تساوی زیر قرار می‌دهیم:

px=ax+bqx+R    ;    x=ba

pba=aba+bqba+R

pba=b+bqba+R

pba=R

نکته

بنابراین برای یافتن باقیمانده‌ تقسیم px بر ax+b کافی است ریشه‌ مقسوم‌ علیه را در مقسوم قرار دهیم.

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

px=4x32x+1

باقیمانده تقسیم px بر 2x-1 را تعیین کنید.

2x1=02x=1x=12R=p12

R=4123212+1R=481+1R=12

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

px=x3mx2x+4

مقدار m را طوری پیدا کنید که چند جمله‌ ای px بر 2x+1 بخش پذیر باشد.

2x+1=02x=1x=12

p12=0


123m12212+4=0

18m4+12+4=0m=352

تمرین

باقيمانده px بر 4x-1 برابر R می‌باشد.

باقيمانده px بر x-14 چقدر است؟  

4x1=0x=14p14=R

x14=0x=14p14=?

p14=R

تمرین

باقيمانده px بر x2+1 برابر 4 می‌باشد.

باقيمانده px3 بر x4-x2+1 چقدر است؟ 

px=x2+1gx+4px3=x6+1gx3+4

px3=x2+1x4x2+1gx3+4


px3=x4x2+1x2+1gx3+4


R=4

دریافت مثال

نکته

برای طرح این نکته به نمونه‌ای از حل یک معادله درجه دوم می‌پردازیم:

3x2+5x+2=0x1=1   ,  x2=23

3x2+5x+2=03x2+5x=2x3x+5=2

if    x1=1z131+5=2

یعنی ریشه درست x1=-1 مقسوم‌علیهی از عدد ثابت -2 است.

if   x2=23Q23323+5=2

x2=-23 ریشه معادله درجه دوم به‌صورت گویاست که صورت آن مقسوم‌علیهی از -2 و مخرج آن مقسوم علیهی از ضریب x2 است.

حل معادلات با ضرایب عددی درست

معادله زیر را که همه ضرایب عددی آن درست هستند را در نظر می‌گیریم:  

axn+bxn1++px+q=0

فرض می‌کنیم x0 یکی از ریشه‌های درست آن باشد، یعنی عدد درست x0 در معادله فوق صدق کند، در این صورت باید داشته باشیم:

x0ax0n1+bx0n2++p=q

چون دو طرف برابری، عددهای درستی هستند، بنابراین q بر x0 بخش‌پذیر است، به این ترتیب قوانین زیر به‌دست می‌آید: 

  • اگر معادله دارای ریشه درستی باشد، این ریشه مقسوم‌علیهی از عدد ثابت q است.
  • اگر معادله ریشه گویا داشته باشد این ریشه به صورت کسری است که صورت آن مقسوم‌علیهی از q و مخرج آن مقسوم علیهی از a (ضریب بزرگ‌ترین درجه) است.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

3x520x3+18x27x+6=0

اگر اين معادله ريشه های درست داشته باشد، اين ريشه ها، مقسوم عليه هايی از عدد 6 هستند، مقسوم عليه های عدد 6 به‌صورت زیر است:


±1,±  2  ,±3  ,±6


آزمايش مستقيم نشان می‌دهد كه اگر چند جمله ای درجه پنجم سمت چپ معادله را px بناميم، داريم:

p1=0   ,  p2=0   ,p3=0


بنابراين px بر x+3  ,  x2  ,  x1 در نتيجه بر حاصل ضرب آنها بخش پذير است و معادله به صورت زیر در می‌آيد:

x1x2x+33x2+1=0


ريشه های حقيقی آن، همان عددهای 1,2,-3   هستند.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

بخش‌پذیری چند جمله‌ای بر دو جمله‌ای

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید