سرفصل‌های این مبحث

بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

مقدمه‌ ای بر تعریف بخش‌ پذیری

آخرین ویرایش: 23 بهمن 1402

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

چند جمله‌ ای های زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} p (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} + 1 \\ g (x) = x^{2} - 1 \end{cases}$

می‌خواهیم چند جمله ای $p (x)$ را بر $g (x)$ تقسیم کنیم:

عبارت زیر را مقسوم می‌گوییم:

$p (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} + 1$

عبارت فوق از درجه چهارم است و به‌صورت $p_{_{4}} (x)$ نشان می‌دهیم.

عبارت زیر را مقسوم‌‌علیه می‌گوییم:

$g (x) = x^{2} - 1$

عبارت فوق از درجه دوم است و به‌صورت $g_{_{2}} (x)$ نشان می‌دهیم.

عبارت زیر را خارج‌ قسمت می‌گوییم:

$q (x) = 4 x^{2} + 2 x + 4$

عبارت فوق از درجه دوم است و به‌صورت $q_{_{2}} (x)$ نشان می‌دهیم.

عبارت زیر را باقیمانده می‌گوییم:

$R (x) = 2 x^{1} + 5$

عبارت فوق از درجه اول است و به‌صورت $R_{_{1}} (x)$ نشان می‌دهیم.

رابطه تقسیم را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$\underset{p_{_{4}} (x)}{\underset{⏟}{4 x^{4} + 2 x^{3} + 1}} = \underset{g_{_{2}} (x)}{\underset{⏟}{(x^{2} - 1)}} \underset{q_{_{2}} (x)}{\underset{⏟}{(4 x^{2} + 2 x + 4)}} + \underset{R_{_{1}} (x)}{\underset{⏟}{(2 x + 5)}}$

تعریف

هرگاه باقیمانده تقسیم چند جمله‌ ای زیر:

$p_{n} (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$

بر چند جمله‌ ای زیر:

$g_{m} (x) = b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + \cdot \cdot \cdot + b_{m}$

را به $R_{m - 1} (x)$ و خارج قسمت این تقسیم را به $q_{n - m} (x)$ نمایش دهیم، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} p_{_{n}} (x) g_{_{m}} (x) \\ ⋮ q_{_{n - m}} (x) \\ \bar{\begin{array}{l} R_{m - 1} (x) \end{array}} \end{array}$

$p_{_{n}} (x) = g_{_{m}} (x) . q_{_{n - m}} (x) + R_{m - 1} (x)$

در تقسیم فوق:

اندیس $n$ را درجه چند جمله ای $p (x)$ یا درجه مقسوم می‌نامیم.
اندیس $m$ را درجه چند جمله ای $g (x)$ یا درجه مقسوم علیه می‌نامیم.
اندیس $(n - m)$ را درجه چند جمله ای $q (x)$ یا درجه خارج قسمت می‌نامیم.
اندیس $(m - 1)$ را درجه چند جمله ای $R (x)$ یا درجه باقیمانده می‌نامیم.

نکته

اندیس‌های تساوی زیر، نشان دهنده درجه چند جمله‌ ای است:

$p_{n} (x) = g_{m} (x) . q_{n - m} (x) + R_{m - 1} (x)$

برای توضیح اندیس‌ منتخب خارج‌قسمت می‌توان گفت:

بزرگ‌ترین جمله توان‌دار در خارج قسمت تقسیم $p_{n} (x)$ و $g_{m} (x)$ عبارت است از:

$\frac{a_{0} x^{n}}{b_{0} x^{m}} = \frac{a_{0}}{b_{0}} x^{n - m}$

در واقع این جمله، درجه خارج قسمت را تعیین می‌کند، به‌همین علت درجه $q (x)$ برابر $n - m$ است.

برای توضیح اندیس‌ منتخب باقیمانده می‌توان گفت:

درجه انتخاب شده برای باقیمانده به این علت است که تقسیم مقسوم بر مقسوم علیه وقتی خاتمه می‌یابد که باقیمانده حداقل یک درجه از درجه مقسوم علیه کم‌تر باشد.

به‌همین دلیل درجه باقیمانده معمولا $m - 1$ است.

تمرین

در یک تقسیم در صورتی که درجه باقیمانده $4$ و درجه خارج‌قسمت $7$ باشد، درجه مقسوم را به دست آورید.

درجه باقیمانده $m - 1 = 4$ است.

درجه خارج‌ قسمت $n - m = 7$ است.

در دستگاه زیر داریم:

$\{\begin{array}{l} m - 1 = 4 \\ n - m = 7 \end{array}〉 \{\begin{cases} m = 5 \\ n = 12 \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بخش پذیری در چند جمله ای

مقدمه‌ ای بر تعریف بخش‌ پذیری

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟