پیوستگی راست و چپ

آخرین ویرایش: 24 دی 1402
دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی
امتیاز:

پیوستگی راست در یک نقطه

مقدمه

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی می‌کنیم.

1 fa=L'

مقدار تابع در نقطه x=a موجود و متناهی می‌باشد.

2 lim      xafx=?

limxa+fx=L'

limxafx=L

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

3lim  xa+fx=fa=L'

مقدار تابع با حد راست برابر است، تابع در نقطه x=a  پیوستگی راست دارد.

تعریف

فرض کنیم تابع y=fx در یک همسایگی راست نقطه a یعنی بازه a,a+α با شرط α>0 تعریف شده باشد.

y=fx در نقطه x=a پیوستگی از راست دارد اگر و فقط اگر:

limxa+fx=faR

تمرین

پيوستگی توابع زير را در نقاط داده شده بررسی كنيد.

fx=x    ;    x=0

Df   :    x0Df=0,+


1    f0=0


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x=0=0


L2=limx0fx=?


چون 0Df نيست، تابع حد چپ ندارد.


3    limx0+fx=f0


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=0 پیوستگی راست دارد.


در نمودار زیر، پیوستگی راست را مشاهده می‌کنید:


fx=2x    ;    x=12

1   f12=2×12=1=1


مقدار تابع در نقطه x=12 موجود و متناهی است.


2    limx12fx=?


L1=limx12+fx=2×12+=2×12+α=1+2α=1


L2=limx12fx=2×12=2×12α=12α=0


3    limx12+fx=f12


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=12 پیوستگی راست دارد.

fx=x+x    ;    x=2

1    f2=2+2=2+2=4


مقدار تابع در نقطه x=2 موجود و متناهی است.


2 lim      x2fx=?


L1=limx2+fx=2+2+=2+2=4


L2=limx2fx=2+2=2+1=3


3    L1=limx2+fx=f2=4


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=2 پیوستگی راست دارد.

gx=x+12+x12    ;    x=1

1    g1=1+12+112=1+0=1+0=1


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی است.


2    limx1gx=?


L1=limx1+gx=1++12+1+12=2+2+0+2=1++0=1+0=1


L2=limx1gx=1+12+112=1α+12+1α12=2α2+α2=0+1=1


3    limx1+gx=g1


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ g در نقطه x=1 پیوستگی راست دارد.

fx=1x    ;    xDf

Df=R


اگر n عددی صحيح باشد، آن‌گاه:


1    fn=1n=1 , n=2k-1 , n=2k+1


2    limxnfx=?


L1=limxn+fx=1n+=1n=1 , n=2k-1 , n=2k+1


L2=limxnfx=1n=1n1=-1 , n=2k1 , n=2k+1


3   limxn+fx=fn


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=n پیوستگی راست دارد.


در نمودار زیر، پیوستگی راست را مشاهده می‌کنید:


fx=1  x=0sinxx  x0

1   f0=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+sinx+x=00limx0+xx=1


L2=limx0fx=limx0sinxx=00limx0xx=1


3    limx0+fx=f0


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=0 پیوستگی راست دارد.

fx=x2sinxx   x01   x=0

1   f0=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x2sinx+x=limx0+x2xx=limx0+xx=1


L2=limx0fx=limx0x2sinxx=limx0x2xx=limx0xx=1


3   limx0+fx=f0


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=0 پیوستگی راست دارد.

fx=1xtanπ2xx<1πx=1cosπ2x1xx>1

1    f1=π


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fxL1=limx1+cosπ2x1x=00


HL1=limx1+π2sinπ2x 12xL1=limx1+π2×2x×sinπ2x


L1=π2×2×sinπ2L1=π



L2=limx1fxL2=limx11xtanπ2x=0×


L2=limx11x.tanπ2xL2=limx11xcotgπ2x=00

HL2=limx11π21+cotg2π2xL2=1π2L2=2π


3   limx1+fx=f1


حد راست با مقدار تابع برابر است.


تابع‌ f در نقطه x=1 پیوستگی راست دارد.

دریافت مثال

پیوستگی چپ در یک نقطه

مقدمه

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی می‌کنیم.

1 fa=L

مقدار تابع در نقطه x=a موجود و متناهی می‌باشد.

2 lim      xafx=?

limxa+fx=L'

limxafx=L

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

3lim  xa-fx=fa=L

مقدار تابع با حد چپ برابر است، تابع در نقطه x=a پیوستگی چپ دارد.

تعریف

فرض کنیم تابع y=fx در یک همسایگی چپ نقطه a یعنی بازه aα,a با شرط α>0 تعریف شده باشد.

y=fx در نقطه x=a پیوستگی از چپ دارد اگر و فقط اگر:

limxafx=faR

تمرین

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی کنید.

1 fa=L


مقدار تابع در نقطه x=a موجود و متناهی می‌باشد.


2 lim      xafx=?


limxa+fx=+


limxafx=L


حدهای چپ و راست نابرابر هستند.


3lim  xa-fx=fa=L


مقدار تابع با حد چپ برابر است، تابع در نقطه x=a پیوستگی چپ دارد.

تمرین

پيوستگی توابع زير را در نقاط داده شده بررسی كنيد.

fx=x    ;    x=nZ

همان‌طور كه ملاحظه می‌كنيد f در نقاط x=nZ  پيوستگی چپ دارد.


fx=x+xx    ;    x=0

fx=x+xxfx=x+xx


fx=x+xxfx=x



1   f0=0=0


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی می‌باشد.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x=0+=α=1


L2=limx0fx=limx0x=0=α=α=0


3    limx0fx=f0


حد چپ با مقدار تابع برابر است.


تابع f در x=0 پيوستگی چپ دارد.

fx=4x2   x11+x2   x>1

1    f1=412=3


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی می‌باشد.


2   limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+1+x2=1+12=2


L2=limx1fx=limx14x2=412=3


3    limx1fx=f1


حد چپ با مقدار تابع برابر است.


تابع f در x=1 پيوستگی چپ دارد.


در نمودار زیر، پیوستگی چپ را مشاهده می‌کنید:


fx=x1+1xx01x=0

1    f0=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی می‌باشد.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0++x1+1x=limx0+x+1=0+1=1


L2=limx0fx=limx0x1+1x=limx0x1=01=1


3    limx0fx=f0


حد چپ با مقدار تابع برابر است.


تابع f در x=0 پيوستگی چپ دارد.

fx=xxx01x=0

1    f0=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی می‌باشد.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0++xx=1


L2=limx0fx=limx0xx=1


3   limx0fx=f0


حد چپ با مقدار تابع برابر است.


تابع f در x=0 پيوستگی چپ دارد.

fx=x2+2x3x22x+1    x14    x=1

1   f1=4


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی می‌باشد.


2    limx1fx=limx1x2+2x3x22x+1=limx1x1x+3x12=limx1x1x+3x1=00


L1=limx1+fx=limx1+x1x+3x1=limx1+x+3=4


L2=limx1fx=limx1x1x+3x1=limx1x3=4


3    limx1fx=f1


حد چپ با مقدار تابع برابر است.


تابع f در x=1 پيوستگی چپ دارد.

fx=1+xx11x21<x211xx>2


الف)
بررسی پيوستگی تابع در نقطه x=-1 :


1    f1=1+1=0


مقدار تابع در نقطه x=-1 موجود و متناهی می‌باشد.


2  limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+1x2=112=0


L2=limx1fx=limx11+x=1+1=0


3   L1=L2=f1=0


تابع f در x=-1 پيوسته است.


ب)
بررسی پيوستگی تابع در نقطه x=2 :


1    f2=122=3


مقدار تابع در نقطه x=2 موجود و متناهی می‌باشد.


2   limx2fx=?


L3=limx2+fx=limx2+11x=112=1


L4=limx2fx=limx21x2=122=3


3    limx2fx=f2


حد چپ با مقدار تابع برابر است.


تابع f در x=2 پيوستگی چپ دارد.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=kx   x1x12x1     x<1

به‌ازای چه مقدار k ، تابع فوق در x=1 پيوستگی چپ دارد؟

1    f1=k1=k


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی می‌باشد.


2    L2=limx1fx=limx1x12x1=limx1x1x1=00limx1x1x1=limx1x1x1=1


3   limx1fx=f1


تابع فوق در x=1  پيوستگی چپ دارد، بنابراین داریم:


1=kk=1

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

پیوستگی راست و چپ

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید