سرفصل‌های این مبحث

پیوستگی و ناپیوستگی

پیوستگی راست و چپ

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

پیوستگی راست در یک نقطه

مقدمه

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی می‌کنیم.

$1) f (a) = L^{'}$

مقدار تابع در نقطه $x = a$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{2) \lim} f (x) = ? \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L^{'} \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

$3) \lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) = L^{'}$

مقدار تابع با حد راست برابر است، تابع در نقطه $x = a$ پیوستگی راست دارد.

تعریف

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در یک همسایگی راست نقطه $a$ یعنی بازه $[a, a + α)$ با شرط $α > 0$ تعریف شده باشد.

$y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوستگی از راست دارد اگر و فقط اگر:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) \in R$

تمرین

پيوستگی توابع زير را در نقاط داده شده بررسی كنيد.

$f (x) = \sqrt{x}; x = 0$

$D_{f} : x \geq 0 \Rightarrow D_{f} = [0, + \infty)$

$1) f (0) = 0$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = ?$

چون $0^{-} \notin D_{f}$ نيست، تابع حد چپ ندارد.

$3) \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی راست دارد.

در نمودار زیر، پیوستگی راست را مشاهده می‌کنید:

$f (x) = [2 x]; x = \frac{1}{2}$

$1) f (\frac{1}{2}) = [2 \times \frac{1}{2}] = [1] = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = \frac{1}{2}$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to \frac{1}{2}} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = [2 \times {\frac{1}{2}}^{+}] = [2 \times (\frac{1}{2} + α)] = [1 + 2 α] = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} f (x) = [2 \times {\frac{1}{2}}^{-}] = [2 \times (\frac{1}{2} - α)] = [1 - 2 α] = 0$

$3) \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = f (\frac{1}{2})$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = \frac{1}{2}$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = x + [x]; x = 2$

$1) f (2) = 2 + [2] = 2 + 2 = 4$

مقدار تابع در نقطه $x = 2$ موجود و متناهی است.

$\underset{x \to 2}{2) \lim} f (x) = ?$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 2 + [2^{+}] = 2 + 2 = 4 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2 + [2^{-}] = 2 + 1 = 3$

$3) L_{1} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = f (2) = 4$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 2$ پیوستگی راست دارد.

$g (x) = [\frac{x + 1}{2}] + [\frac{x - 1}{2}]; x = 1$

$1) g (1) = [\frac{1 + 1}{2}] + [\frac{1 - 1}{2}] = [1] + [0] = 1 + 0 = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} g (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} g (x) = [\frac{1^{+} + 1}{2}] + [\frac{1^{+} - 1}{2}] = [\frac{2^{+}}{2}] + [\frac{0^{+}}{2}] = [1^{+}] + 0 = 1 + 0 = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} g (x) = [\frac{1^{-} + 1}{2}] + [\frac{1^{-} - 1}{2}] = [\frac{(1 - α) + 1}{2}] + [\frac{(1 - α) - 1}{2}] = [\frac{2 - α}{2}] + [\frac{- α}{2}] = 0 + (- 1) = - 1$

$3) \lim_{x \to 1^{+}} g (x) = g (1)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $g$ در نقطه $x = 1$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = {(- 1)}^{[x]}; x \in D_{f}$

$D_{f} = R$

اگر $n$ عددی صحيح باشد، آن‌گاه:

$1) f (n) = {(- 1)}^{[n]} = \{\begin{cases} 1, n = 2 k \\ - 1, n = 2 k + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to n} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to n^{+}} f (x) = {(- 1)}^{[n^{+}]} = {(- 1)}^{n} \end{array} = \{\begin{cases} 1, n = 2 k \\ - 1, n = 2 k + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to n^{-}} f (x) = {(- 1)}^{[n^{-}]} = {(- 1)}^{n - 1} \end{array} = \{\begin{cases} - 1, n = 2 k \\ 1, n = 2 k + 1 \end{cases}$

$3) \lim_{x \to n^{+}} f (x) = f (n)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = n$ پیوستگی راست دارد.

در نمودار زیر، پیوستگی راست را مشاهده می‌کنید:

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 & x = 0 \\ \frac{\sin x}{|x|} & x \neq 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 1 \end{array}$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{(+ x)} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin x}{(- x)} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{- x} = - 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} - \sin x}{|x|} & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = - 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} - \sin x}{(+ x)} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} - x}{x} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{x} = - 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} - \sin x}{(- x)} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} - x}{- x} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x}{- x} = 1$

$3) \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} (1 - x) \tan (\frac{π}{2} x) & x < 1 \\ π & x = 1 \\ \frac{\cos (\frac{π}{2} x)}{1 - \sqrt{x}} & x > 1 \end{matrix}$

$1) f (1) = π$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 1} f (x) = ?$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) \\ \Rightarrow L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\cos (\frac{π}{2} x)}{1 - \sqrt{x}} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2} x)}{\frac{1}{- 2 \sqrt{x}}} \\ \Rightarrow L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} (- \frac{π}{2}) \times (- 2 \sqrt{x}) \times \sin (\frac{π}{2} x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L_{1} = \frac{π}{2} \times 2 \times \sin \frac{π}{2} \\ \Rightarrow L_{1} = π \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) \\ \Rightarrow L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) \tan (\frac{π}{2} x) = 0 \times \infty \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) . \tan (\frac{π}{2} x) \\ \Rightarrow L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(1 - x)}{\cot g (\frac{π}{2} x)} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 1}{- \frac{π}{2} [1 + \cot g^{2} (\frac{π}{2} x)]} \\ \Rightarrow L_{2} = \frac{- 1}{- \frac{π}{2}} \\ \Rightarrow L_{2} = \frac{2}{π} \end{array}$

$3) \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 1$ پیوستگی راست دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

پیوستگی چپ در یک نقطه

مقدمه

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی می‌کنیم.

$1) f (a) = L$

مقدار تابع در نقطه $x = a$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{2) \lim} f (x) = ? \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L^{'} \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

$3) \lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) = L$

مقدار تابع با حد چپ برابر است، تابع در نقطه $x = a$ پیوستگی چپ دارد.

تعریف

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در یک همسایگی چپ نقطه $a$ یعنی بازه $(a - α, a]$ با شرط $α > 0$ تعریف شده باشد.

$y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوستگی از چپ دارد اگر و فقط اگر:

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) \in R$

تمرین

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی کنید.

$1) f (a) = L$

مقدار تابع در نقطه $x = a$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{2) \lim} f (x) = ? \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

$3) \lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) = L$

مقدار تابع با حد چپ برابر است، تابع در نقطه $x = a$ پیوستگی چپ دارد.

تمرین

پيوستگی توابع زير را در نقاط داده شده بررسی كنيد.

$f (x) = - [- x]; x = n \in Z$

همان‌طور كه ملاحظه می‌كنيد $f$ در نقاط $x = n \in Z$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = [- x + [x - [x]]]; x = 0$

$\begin{array}{l} f (x) = [- x + [x - [x]]] \\ \Rightarrow f (x) = [- x] + [x - [x]] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = [- x] + [x] - [x] \\ \Rightarrow f (x) = [- x] \end{array}$

$1) f (0) = [- 0] = 0$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} [- x] = [- 0^{+}] = [- (α)] = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} [- x] = [- 0^{-}] = [- (- α)] = [α] = 0 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 0$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} 4 - x^{2} & x \leq 1 \\ 1 + x^{2} & x > 1 \end{matrix}$

$1) f (1) = 4 - {(1)}^{2} = 3$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 + x^{2}) = 1 + {(1)}^{2} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (4 - x^{2}) = 4 - {(1)}^{2} = 3 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 1$ پيوستگی چپ دارد.

در نمودار زیر، پیوستگی چپ را مشاهده می‌کنید:

$f (x) = \{\begin{matrix} x |1 + \frac{1}{x}| & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = - 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (+ x (1 + \frac{1}{x})) = \lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x (1 + \frac{1}{x})) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x - 1) = - 0 - 1 = - 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 0$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{|x|}{x} & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1) f (0) = - 1 \end{array}$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{+ (x)}{x} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- (x)}{x} = - 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 0$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}} & x \neq 1 \\ - 4 & x = 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1) f (1) = - 4 \end{array}$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 3)}{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 3)}{|x - 1|} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 1)} = \lim_{x \to 1^{+}} (x + 3) = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x - 1) (x + 3)}{- (x - 1)} = \lim_{x \to 1^{-}} (- x - 3) = - 4 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 1$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 + x & x \leq - 1 \\ 1 - x^{2} & - 1 < x \leq 2 \\ \frac{1}{1 - x} & x > 2 \end{matrix}$

الف) بررسی پيوستگی تابع در نقطه $x = - 1$ :

$1) f (- 1) = 1 + (- 1) = 0$

مقدار تابع در نقطه $x = - 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to - 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (1 - x^{2}) = (1 - {(- 1)}^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (1 + x) = 1 + (- 1) = 0 \end{array}$

$3) L_{1} = L_{2} = f (- 1) = 0$

تابع $f$ در $x = - 1$ پيوسته است.

ب) بررسی پيوستگی تابع در نقطه $x = 2$ :

$1) f (2) = (1 - {(2)}^{2}) = - 3$

مقدار تابع در نقطه $x = 2$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 2} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{3} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - 2} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{4} = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (1 - x^{2}) = 1 - {(2)}^{2} = - 3 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 2$ پيوستگی چپ دارد.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{matrix} k [- x] & x \geq 1 \\ \frac{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}{x - 1} & x < 1 \end{matrix}$

به‌ازای چه مقدار $k$ ، تابع فوق در $x = 1$ پيوستگی چپ دارد؟

$1) f (1) = k [- 1] = - k$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$2) L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{|x - 1|}{x - 1} = \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{x \to 1^{-}} \frac{|x - 1|}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- (x - 1)}{x - 1} = - 1$