سرفصل‌های این مبحث

پیوستگی و ناپیوستگی

پیوستگی در یک نقطه

آخرین ویرایش: 19 آبان 1403

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

مقدمه

برای ورود به بحث به تمرین های زیر توجه کنید.

تمرین

دو تابع زیر را نظر می‌گیریم:

$f (x) = x + 1$

$g (x) = \{\begin{matrix} x + 1 & x \neq 2 \\ 1 & x = 2 \end{matrix}$

نمودار این دو تابع را رسم می‌کنیم:

حد این دو تابع را در نقطه $x = 2$ محاسبه می‌کنیم:

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \\ \lim_{x \to 2} g (x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \end{cases}$

حد این دو تابع در نقطه‌ $x = 2$ با هم مساوی هستند زیرا هر دو تابع در همسایگی این نقطه‌ ضابطه‌ یکسانی دارند.

مقدار دو تابع را در نقطه $x = 2$ بدست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} f (2) = 2 + 1 = 3 \\ g (2) = 1 \end{cases}$

آیا مقدار تابع $f$ در نقطه $x = 2$ با حد تابع $f$ در همسایگی این نقطه برابر هستند؟

$\{\begin{array}{l} f (2) = 2 + 1 = 3 \\ \lim_{x \to 2} f (x) = 3 \end{array}〉 f (2) = \lim_{x \to 2} f (x) = 3$

مقدار تابع $f$ در نقطه $x = 2$ با حد تابع $f$ در همسایگی این نقطه برابر هستند.

در تابع $f$ ، تساوی حد و مقدار تابع در $x = 2$ موجب پیدایش پیوستگی در کُل شکل شده است.

آیا مقدار تابع $g$ در نقطه $x = 2$ با حد تابع $g$ در همسایگی این نقطه برابر هستند؟

$\{\begin{array}{l} g (2) = 1 \\ \lim_{x \to 2} g (x) = 2 + 1 = 3 \end{array}〉 g (2) \neq \lim_{x \to 2} g (x)$

مقدار تابع $g$ در نقطه $x = 2$ با حد تابع $g$ در همسایگی این نقطه برابر نیستند.

در تابع $g$ ، تفاوت حد و مقدار تابع در $x = 2$ موجب ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (- 2) = ?$

$f (- 2)$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه $x = - 2$ تعریف نشده است.

$\lim_{x \to - 2} f (x) = ?$

$\lim_{x \to - 2} f (x)$ موجود و متناهی نمی‌باشد زیرا حد راست و حد چپ در نقطه $x = - 2$ برابر نیستند.

آیا تساوی $\lim_{x \to - 2} f (x) = f (- 2)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to - 2} f (x) \neq f (- 2)$

ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (1) = ?$

$f (1)$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه $x = 1$ تعریف نشده است.

$\lim_{x \to 1} f (x) = ?$

$\lim_{x \to 1} f (x) = L$ موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی $\lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to 1} f (x) \neq f (1)$

ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (0) = ?$

$f (0) = L$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه $x = 0$ تعریف شده است.

$\lim_{x \to 0} f (x) = ?$

$\lim_{x \to 0} f (x) = L^{'}$ موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی $\lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to 0} f (x) \neq f (0)$

ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (1) = ?$

$f (1) = 2$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه $x = 1$ تعریف شده است.

$\lim_{x \to 1} f (x) = ?$

$\lim_{x \to 1} f (x) = 2$ موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی $\lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to 1} f (x) = f (1) = 2$

پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (a) = ?$

$f (a)$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه $x = a$ تعریف نشده است.

$\lim_{x \to a} f (x) = ?$

$\lim_{x \to a} f (x) = L$ موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$

ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (a) = ?$

$f (a)$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه $x = a$ تعریف شده است.

$\lim_{x \to a} f (x) = ?$

$\lim_{x \to a} f (x) = L$ موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$

ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

$f (a) = ?$

$f (a)$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه $x = a$ تعریف شده است.

$\lim_{x \to a} f (x) = ?$

$\lim_{x \to a} f (x) = L$ موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ برقرار است؟

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a) = L$

پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تعریف پیوستگی در یک نقطه

تابع $y = f (x)$ را در نقطه $x = a$ پیوسته گویند، هر گاه:

$f (a)$ یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه $x = a$ تعریف شده است.
$\lim_{x \to a} f (x) = L$ موجود و متناهی ‌باشد.
حد تابع با مقدار تابع برابر باشد.

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

تذکر

اگر یکی یا بیشتر، از این سه شرط در $x = a$ برقرار نباشد، تابع $y = f (x)$ را در نقطه $x = a$ ناپیوسته (گسسته یا منفصل) نامیده می‌شود.

با توجه به تعریف پیوستگی یعنی $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ می‌توانیم آن را با استفاده از تعریف حد به صورت زیر معرفی کنیم:

$\forall β > 0 \exists α > 0; 0 < |x - a| < α \Rightarrow |f (x) - f (a)| < β$

تمرین

با رسم توابع زیر، نشان دهید که در هر عدد حقیقی $a$ پیوسته اند.

$\{\begin{cases} y = \cos x \\ y = |x| \\ y = x^{2} \end{cases}$

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

تمرین

با رسم توابع زیر، نشان دهید که در بعضی از نقاط، ناپیوسته هستند.

$\{\begin{cases} y = [x] \\ y = \frac{|x|}{x} \end{cases}$

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

تمرین

پیوستگی هر یک از توابع زیر را در نقطه $x = x_{0}$ بررسی کنید.

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1; x = 2$

$1) f (2) = 2 {(2)}^{2} - 5 (2) + 1 = - 1$

مقدار تابع در $x = 2$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 5 x + 1) = 2 {(2)}^{2} - 5 (2) + 1 = - 1$

$3) \lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$

تابع $f$ در $x = 2$ پیوسته است.

$f (x) = \frac{1}{x}; x = 0$

$1) f (0) = ?$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی نیست.

شرط اول در پیوستگی برقرار نیست، بنابراین تابع پیوسته نیست.

اما برای اطلاعات بیشتر، حل را ادامه می‌دهیم:

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^{+}} = + \infty \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^{-}} = - \infty$

$3) L_{1} \neq L_{2} \neq f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

بر اساس نمودار، تابع در نقطه $x = 0$ پیوسته نیست.

$f (x) = [x]; x = - 1$

$1) f (- 1) = [- 1] = - 1$

مقدار تابع در $x = - 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to - 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} [x] = [- 1^{+}] = - 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} [x] = [- 1^{-}] = - 2$

$3) f (- 1) = L_{1} \neq L_{2}$

تابع $f$ در $x = - 1$ پیوسته نیست.

بر اساس نمودار، تابع در نقطه $x = - 1$ پیوسته نیست.

تابع $y = [x]$ در نقاط به طول صحيح همواره ناپيوسته است.

$f (x) = [x]; x = 1.7$

$1) f (1.7) = [1.7] = 1$

مقدار تابع در $x = 1.7$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1.7} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to {1.7}^{+}} f (x) = [1 . 7^{+}] = [1.8] = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to {1.7}^{-}} f (x) = [1 . 7^{-}] = [1.6] = 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (1.7)$

تابع $f$ در $x = 1.7$ پیوسته است.

تابع $y = [x]$ در نقاط به طول غير صحيح همواره پيوسته است.

$f (x) = [x] + [4 - x]; x = 3$

$1) f (3) = [3] + [4 - 3] = [3] + [1] = 3 + 1 = 4$

مقدار تابع در $x = 3$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 3} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = [3^{+}] + [4 - 3^{+}] = 3 + [4 - 3.1] = 3 + [0.9] = 3 + 0 = 3 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = [3^{-}] + [4 - 3^{-}] = 2 + [4 - 2.9] = 2 + [1.1] = 2 + 1 = 3$

$3) L_{1} = L_{2} \neq f (3)$

تابع $f$ در $x = 3$ پیوسته نیست.

$f (x) = [1 - x^{2}]; x = 0$

$1) f (0) = [1 - {(0)}^{2}] = [1] = 1$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 0} f (x) = ?$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = [1 - {(0^{+})}^{2}] = [1 - 0^{+}] = [1 - 0.1] = [0.9] = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = [1 - {(0^{-})}^{2}] = [1 - 0^{+}] = [1 - 0.1] = [0.9] = 0$

$3) L_{1} = L_{2} \neq f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}; x = - 2$

$1) f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4} = 0$

مقدار تابع در $x = - 2$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to - 2} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 2} f (x) = \lim_{x \to - 2} \sqrt{x^{2} - 4} = ? \end{array}$

$D_{f} : x^{2} - 4 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq - 2 \end{cases}〉 D_{f} = (- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مقدار $(- 2^{+})$ در دامنه نیست یعنی حد راست تابع در این نقطه وجود ندارد، بنابراین تابع در این نقطه حد ندارد.

$3) \lim_{x \to - 2} f (x) \neq f (- 2)$

تابع $f$ در $x = - 2$ پیوسته نیست.

$f (x) = \frac{x + 2}{2 x - 3}; x = 3$

$1) f (3) = \frac{3 + 2}{2 (3) - 3} = \frac{5}{3}$

مقدار تابع در $x = 3$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x + 2}{2 x - 3} = \frac{3 + 2}{2 (3) - 3} = \frac{5}{3}$

$3) \lim_{x \to 3} f (x) = f (3)$

تابع $f$ در $x = 3$ پیوسته است.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + x}{x - 2}; x = - 2$

$1) f (- 2) = \frac{2 {(- 2)}^{2} + (- 2)}{(- 2) - 2} = \frac{8 - 2}{- 4} = \frac{6}{- 4} = - \frac{3}{2}$

مقدار تابع در $x = - 2$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to - 2} f (x) = \lim_{x \to - 2} \frac{2 x^{2} + x}{x - 2} = \frac{2 {(- 2)}^{2} + (- 2)}{(- 2) - 2} = - \frac{3}{2} \end{array}$

$3) \lim_{x \to - 2} f (x) = f (- 2)$

تابع $f$ در $x = - 2$ پیوسته است.

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}, x = - 1 \end{array}$

$1) f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} - 1}{{(- 1)}^{2} + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

مقدار تابع در $x = - 1$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = \frac{{(- 1)}^{2} - 1}{{(- 1)}^{2} + 1} = 0$

$3) \lim_{x \to - 1} f (x) = f (- 1)$

تابع $f$ در $x = - 1$ پیوسته است.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{3} - 1}; x = 1$

$1) f (1) = \frac{1 - 1}{{(1)}^{3} - 1} = \frac{0}{0}$

مقدار تابع نامعين است.

شرط اول در پیوستگی برقرار نیست، بنابراین تابع پیوسته نیست.

اما برای اطلاعات بیشتر، حل را ادامه می‌دهیم:

$2) \lim_{x \to 1} f (x) = ?$

برای محاسبه این حد، از مفاهیم هم ارزی یا قاعده هوپیتال استفاده شده است، برای اطلاعات بیشتر به‌قسمت حد مراجعه کنید.

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{3} - 1} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x^{2}} = \frac{1}{3}$

$3) \lim_{x \to 1} f (x) \neq f (1)$

تابع $f$ در $x = 1$ پیوسته نیست.

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{1 + |x|}; x = 0 \end{array}$

$1) f (0) = \frac{1}{1 + |0|} = 1$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{1 + (+ x)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{1 + (- x)} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - 0} = 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته است.

$f (x) = x \sin \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sin x}{x^{2} + 3 x}; x = 0$

$1) f (0) = (0) \sin \frac{1}{\sqrt{0}} + \frac{\sin 0}{0} = 0 + \frac{0}{0}$

مقدار تابع تعريف نشده است، یعنی شرط اول برقرار نیست.

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

تمرین

پیوستگی هریک از توابع چندضابطه ای زیر را در نقطه $x = x_{0}$ بررسی کنید.

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + x & x \leq 0 \\ x^{2} - x & x > 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 0$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} - x) = {(0)}^{2} - 0 = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + x) = {(0)}^{2} + 0 = 0$

$\begin{matrix} 3) L_{1} = L_{2} = f (0) \end{matrix}$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته است.

براساس نمودار، تابع در نقطه‌ $x = 0$ همواره پیوسته است.

$\begin{array}{l} x^{2} + x = (x^{2} + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \end{array}$

$x^{2} - x = (x^{2} - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{1}{x} & x \leq - 1 \\ x + 1 & x \leq - 1 \end{matrix}$

$1) f (- 1) = \frac{1}{- 1} = - 1$

مقدار تابع در $x = - 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to - 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (x + 1) = (- 1) + 1 = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{1}{x} = \frac{1}{- 1} = - 1$

$3) L_{1} \neq L_{2} = f (- 1)$

تابع $f$ در $x = - 1$ پیوسته نیست.

براساس نمودار، تابع در نقطه‌ $x = - 1$ همواره پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ - 1 & x < 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 0$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (1) = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- 1) = - 1$

$3) f (0) \neq L_{1} \neq L_{2}$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

براساس نمودار، تابع در نقطه‌ $x = 0$ همواره پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 & x \notin Z \\ 0 & x \in Z \end{matrix}$

$1) f (n) = 0; x = n \in Z$

مقدار تابع در $x = n \in Z$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to n \in Z} f (x) = 1$

$3) \lim_{x \to n \in Z} f (x) \neq f (n)$

تابع $f$ در $x = n \in Z$ پیوسته نیست.

براساس نمودار، تابع در نقاط به طول صحیح، پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} |x| & x \neq 0 \\ 2 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 2$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} |x| = \lim_{x \to 0} |0| = 0$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) \neq f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

براساس نمودار، تابع در نقطه‌ $x = 0$ پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} - x & x > - \frac{3}{2} \\ - 2 x + 3 & x < - \frac{3}{2} \end{matrix}$

$1) f (- \frac{3}{2}) = ?$

مقدار تابع در نقطه $x = - \frac{3}{2}$ تعریف نشده است، شرط اول برقرار نیست.

تابع $f$ در $x = - \frac{3}{2}$ پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1} & x > 3 \\ 2 & x = 3 \\ 5 x - 13 & x < 3 \end{matrix}$

$1) f (3) = 2$

مقدار تابع در $x = 3$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 3} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} (5 x - 13) = 5 (3) - 13 = 2$

$3) L_{1} = L_{2} = f (3)$

تابع $f$ در $x = 3$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{2} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 1$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) \neq f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} & x \neq - 1 \\ 1 & x = - 1 \end{matrix}$

$1) f (- 1) = 1$

مقدار تابع در $x = - 1$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1} = - 2$

برای محاسبه حد فوق، از مفاهیم هم ارزی یا قاعده هوپیتال استفاده شده است، برای اطلاعات بیشتر به‌قسمت حد مراجعه کنید.

$3) \lim_{x \to - 1} f (x) \neq f (- 1)$

تابع $f$ در $x = - 1$ پیوسته نیست.

براساس نمودار، تابع در نقطه‌ $x = - 1$ پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{4 x^{2} + 1} & x \geq 0 \\ {(2 x - 1)}^{2} & x < 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = \sqrt{4 {(0)}^{2} + 1} = 1$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{4 x^{2} + 1} = \sqrt{4 {(0)}^{2} + 1} = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} {(2 x - 1)}^{2} = {[2 (0) - 1]}^{2} = 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} + |x|}{x^{2} - |x|} & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = - 1$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 0} f (x) = ?$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + |x|}{x^{2} - |x|} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + (+ x)}{x^{2} - (+ x)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + x}{x^{2} - x} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + 1}{2 x - 1} = \frac{2 (0) + 1}{2 (0) - 1} = - 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + |x|}{x^{2} - |x|} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + (- x)}{x^{2} - (- x)} = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + x} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{2 (0) - 1}{2 (0) + 1} = - 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{{(x - 1)}^{n}}{1 + 2^{\frac{1}{x - 1}}} & x \neq 1 \\ 0 & x = 1 \end{matrix}$

$1) f (1) = 0$

مقدار تابع در $x = 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{{(x - 1)}^{n}}{1 + 2^{\frac{1}{x - 1}}} = \frac{{(1 - 1)}^{n}}{1 + 2^{\frac{1}{1^{+} - 1}}} = \frac{0}{1 + 2^{\frac{1}{0^{+}}}} = \frac{0}{1 + 2^{+ \infty}} = \frac{0}{+ \infty} = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{{(x - 1)}^{n}}{1 + 2^{\frac{1}{x - 1}}} = \frac{{(1 - 1)}^{n}}{1 + 2^{\frac{1}{1^{-} - 1}}} = \frac{0}{1 + 2^{\frac{1}{0^{-}}}} = \frac{0}{1 + 2^{- \infty}} = \frac{0}{1 + \frac{1}{2^{+ \infty}}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

$3) L_{1} = L_{2} = f (1)$

تابع $f$ در $x = 1$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} 2 + 10^{\frac{1}{x}} & x < 0 \\ 2 & x \geq 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 2$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} 2 = 2 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (2 + 10^{\frac{1}{x}}) = (2 + 10^{\frac{1}{0^{-}}}) = (2 + 10^{- \infty}) = 2 + \frac{1}{10^{+ \infty}} = 2 + 0 = 2$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} \sin x + \cos x & x \geq \frac{π}{2} \\ 2 \sin^{2} x - 1 & x < \frac{π}{2} \end{matrix}$

$1) f (\frac{π}{2}) = \sin \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{2} = 1 + 0 = 1$

مقدار تابع در $x = \frac{π}{2}$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to \frac{π}{2}} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} (\sin x + \cos x) = \sin \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{2} = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} (2 \sin^{2} x - 1) = 2 \sin^{2} \frac{π}{2} - 1 = 2 {(1)}^{2} - 1 = 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (\frac{π}{2})$

تابع $f$ در $x = \frac{π}{2}$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{\sin π x}{π (x - 2)} & x \neq 2 \\ 1 & x = 2 \end{matrix}$

$1) f (2) = 1$

مقدار تابع در $x = 2$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{\sin π x}{π (x - 2)} = \frac{0}{0} \overset{H}{\to} \lim_{x \to 2} \frac{+ π \cos π x}{π} = \frac{π \cos 2 π}{π} = 1$

$3) \lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$

تابع $f$ در $x = 2$ پیوسته است.

براساس نمودار، تابع در نقطه‌ $x = 2$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} [x] + [- x] & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 1$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = [0^{+}] + [- 0^{+}] = 0 + [- (0.1)] = [- 0.1] = - 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = [0^{-}] + [- 0^{-}] = - 1 + [- (- 0.1)] = - 1 + [0.1] = - 1 + 0 = - 1$

$3) L_{1} = L_{2} \neq f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} x \sin \frac{1}{2 x^{2} + 1} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = 0$

مقدار تابع در $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{2 x^{2} + 1} = (0) \sin \frac{1}{2 {(0)}^{2} + 1} = (0) \sin (\frac{1}{1}) = 0 \times \sin 1 = 0 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$

تابع $f$ در $x = 0$ پیوسته است.

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{[\sin x]} & x \neq \frac{π}{2} \\ 1 & x = \frac{π}{2} \end{matrix}$

$1) f (\frac{π}{2}) = 1$

مقدار تابع در $x = \frac{π}{2}$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to \frac{π}{2}} f (x) = \lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{[\sin x]} = {\frac{π}{2}}^{[\sin \frac{π}{2}]} = {(\frac{π}{2})}^{0} = 1; \lim_{x \to \frac{π}{2}} [\sin x] = 0$

$3) \lim_{x \to \frac{π}{2}} f (x) = f (\frac{π}{2})$

تابع $f$ در $x = \frac{π}{2}$ پیوسته است.

تمرین

مقدار پارامترهای خواسته شده را طوری بیابید که توابع زیر در نقاط $x = x_{0}$ پیوسته باشد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{a x}{|x|} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix} a = ?$

$1) f (0) = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{a x}{|x|} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{a x}{(x)} = \lim_{x \to 0^{+}} a = a \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a x}{|x|} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a x}{(- x)} = \lim_{x \to 0^{+}} (- a) = - a$

$3) L_{1} \neq L_{2} \neq f (0)$

تابع $f$ به‌ازای هیچ مقدار $a$ پیوسته نیست.

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - a x + 1 & x \leq 1 \\ x - 2 a & x > 1 \end{matrix} a = ?$

$1) f (1) = {(1)}^{2} - a (1) + 1 = 2 - a$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x - 2 a) = 1 - 2 a \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} - a x + 1) = {(1)}^{2} - a (1) + 1 = 2 - a$

$3) L_{1} = L_{2} = f (1)$

تابع‌ $f$ در $x = 1$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$\begin{array}{l} L_{1} = L_{2} \\ \Rightarrow 1 - 2 a = 2 - a \\ \Rightarrow - a = 1 \\ \Rightarrow a = - 1 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{[\cos x]} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{matrix} a = ?$

$1) f (0) = a$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} x^{[\cos x]} = {(0^{+})}^{[\cos 0^{+}]} = {(0^{+})}^{0} = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} x^{[\cos x]} = {(0^{-})}^{[\cos 0^{-}]} = {(0^{-})}^{0} = 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$a = 1$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{b \sin 2 x}{\sqrt{1 - \cos 2 x}} & x > 0 \\ a [x] + 1 & x \leq 0 \end{matrix} a, b = ?$

$1) f (0) = a [0] + 1 = a (0) + 1 = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{b \sin 2 x}{\sqrt{1 - \cos 2 x}} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{b \times 2 x}{\sqrt{\frac{1}{2} {(2 x)}^{2}}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 b x}{\frac{1}{\sqrt{2}} \times |2 x|} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 b x}{\frac{2}{\sqrt{2}} x} = \frac{2 b}{\frac{2}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} b \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (a [x] + 1) = a [0^{-}] + 1 = a (- 1) + 1 = - a + 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$\begin{array}{l} \sqrt{2} b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow b = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ - a + 1 = 1 \Rightarrow a = 0 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} [\frac{1}{x}] & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{matrix} a = ?$

$1) f (0) = a$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} x^{2} [\frac{1}{x}] \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0} (x^{2} \times \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} x = \lim_{x \to 0} 0 = 0$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$a = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{[x^{2}] - x^{2}}{1 - \cos x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{matrix} a = ?$

$1) f (0) = a$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - x^{2}}{1 - \cos x} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{2}}{\frac{1}{2} x^{2}} = - 2 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - x^{2}}{1 - \cos x} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{2}}{\frac{1}{2} x^{2}} = - 2$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$a = - 2$

$f (x) = \{\begin{matrix} x {(- 1)}^{[\frac{1}{x}]} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{matrix} a = ?$

$1) f (0) = a$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} x {(- 1)}^{[\frac{1}{x}]} = (0) {(- 1)}^{[\frac{1}{0}]} = 0$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$a = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} a & x = 0 \\ \frac{x}{x^{2} + \sin x} & x \neq 0 \end{matrix} a = ?$

$1) f (0) = a$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + \sin x} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

$3) \lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$a = 1$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{3}{x^{2}} \sin 2 x^{2} & x < 0 \\ \frac{x^{2} + 2 x + c}{1 - 3 x^{2}} & x \geq 0 \end{matrix} c = ?$

$1) f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 2 (0) + c}{1 - 3 {(0)}^{2}} = c$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + 2 x + c}{1 - 3 x^{2}} = \frac{{(0)}^{2} + 2 (0) + c}{1 - 3 {(0)}^{2}} = c \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{3}{x^{2}} \sin 2 x^{2} = \infty \times 0 \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \frac{3}{x^{2}} . (2 x^{2}) = 6$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$c = 6$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{a x}{|x|} - 4 & x > 0 \\ b + [x - \frac{7}{2}] & x = 0 \\ [x] + 4 & x < 0 \end{matrix} a, b = ?$

$1) f (0) = b + [0 - \frac{7}{2}] = b + [- 3.5] = b - 4$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{a x}{+ (x)} - 4) = a - 4 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} ([x] + 4) = [0^{-}] + 4 = - 1 + 4 = 3$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$\begin{array}{l} a - 4 = 3 \Rightarrow a = 7 \\ b - 4 = 3 \Rightarrow b = 7 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} a x^{2} + b |x| & x < 1 \\ [x] & x = 1 \\ a \sin (x - 1) + b & x > 1 \end{matrix} a, b = ?$

$1) f (1) = [1] = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (a \sin (x - 1) + b) = (a \sin (1 - 1) + b) = a (\sin 0) + b = a (0) + b = b \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (a x^{2} + b |x|) = a {(1)}^{2} + b |1| = a + b$

$3) L_{1} = L_{2} = f (1)$

تابع‌ $f$ در $x = 1$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$\begin{array}{l} b = 1 \\ a + b = 1 \Rightarrow a = 0 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} [x] + a & x < 0 \\ x \cot \frac{x}{2} & x > 0 \\ |x - 1| + b & x = 0 \end{matrix} a, b = ?$

$1) f (0) = |0 - 1| + b = 1 + b$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} x . \cot \frac{x}{2} = 0 \times \infty \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\tan \frac{x}{2}} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\frac{x}{2}} = 2 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} ([x] + a) = [0^{-}] + a = - 1 + a$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$\begin{array}{l} - 1 + a = 2 \Rightarrow a = 3 \\ 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{a |x|}{x} + 2 & x > 0 \\ 5 & x = 0 \\ b [x] + 1 & x < 0 \end{matrix} a, b = ?$

$1) f (0) = 5$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{a |x|}{x} + 2) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{a (+ x)}{x} + 2 = a + 2 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} b [x] + 1 = b [0^{-}] + 1 = b (- 1) + 1 = - b + 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (0)$

تابع‌ $f$ در $x = 0$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$\begin{array}{l} a + 2 = 5 \Rightarrow a = 3 \\ - b + 1 = 5 \Rightarrow b = - 4 \end{array}$

تمرین

مقدار $a$ را طور بیابید که تابع زیر در نقطه $x = 1$ پیوسته نباشد.

$f (x) = \{\begin{matrix} - 2 x + a & x \geq 1 \\ x^{2} + 3 x & x < 1 \end{matrix}$

$1) f (1) = - 2 (1) + a = - 2 + a$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (- 2 x + a) = - 2 (1) + a = - 2 + a \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 3 x) = {(1)}^{2} + 3 (1) = 4$

$3) L_{1} \neq L_{2} \neq f (1)$

تابع‌ $f$ در $x = 1$ پیوسته نیست:

$- 2 + a \neq 4 \Rightarrow a \neq 6$

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{|x|}{x} & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

پيوستگی $|f|$ رابررسی كنيد.

$1) |f (0)| = |- 1| = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} |f| = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} |f (x)| = \lim_{x \to 0^{+}} |\frac{+ (x)}{x}| = |1| = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} |f (x)| = \lim_{x \to 0^{-}} |\frac{- (x)}{x}| = |- 1| = 1$

$3) L_{1} = L_{2} = |f (0)| = 1$

تابع‌ $|f|$ در $x = 0$ پیوسته است.

تمرین

تابع $f$ با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = a [x] + [4 - x]$

به‌‌ازای چه مقدار $a$ تابع در $x = 3$ پيوسته است؟

$1) f (3) = a [3] + [4 - 3] = 3 a + 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 3$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 3} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} (a [x] + [4 - x]) = a [3^{+}] + [4 - 3^{+}] = 3 a + 0 = 3 a \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} (a [x] + [4 - x]) = a [3^{-}] + [4 - 3^{-}] = 2 a + 1$

$3) L_{1} = L_{2} = f (3)$

تابع‌ $f$ در $x = 3$ پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:

$3 a + 1 = 3 a = 2 a + 1$

معادله $3 a + 1 = 3 a$ به‌ازای هيچ مقدار $a$ برقرار نمی‌باشد.

در نتيجه به‌‌ازای هيچ مقدار $a$ تابع در $x = 3$ پيوسته نمی‌باشد.

تمرین

تابع $f$ با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = (a^{2} - 4 a) [x] + 3 [x] + 4 x$

به‌‌ازای چه مقدار $a$ تابع در $x \in R$ پيوسته است؟

می‌دانيم تابع $f$ به معادله زیر در نقاط به طول صحيح حد ندارد و پـيوسته نيست اما در نقاط به طول غیر صحیح پیوسته است.

$f (x) = [x]$

برای اين‌که تابع در دراین نقاط پـيوسته باشد، بايد کاری کنيم تا عامل $[x]$ از مساله حذف شود.

پـس از فاکتورگيری از $[x]$ ، ضريب آن را مساوی صفر قرار می‌دهيم:

$\begin{array}{l} f (x) = (a^{2} - 4 a) [x] + 3 [x] + 4 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = [x] (a^{2} - 4 a + 3) + 4 x \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} - 4 a + 3 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ a = 3 \end{cases} \\ f (x) = 4 x \end{cases}$

به‌ازای $a = 1, 3$ تابع $f (x) = 4 x$ همواره در $R$ پـيوسته است.

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = \frac{1}{[\sin^{2} \frac{π}{2} x]}$

اين تابع در چه نقاطی تعريف شده و آيا در اين نقاط پيوسته است؟

$D_{f} : [\sin^{2} \frac{π}{2} x] = 0$

اعدادی جزء دامنه هستند كه به‌ازای آنها مخرج صفر نشود.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} i f x = 0 \Rightarrow [\sin^{2} 0] = [0] = 0 \\ i f x = 1 \Rightarrow [\sin^{2} \frac{π}{2}] = [1] = 1 \\ i f x = 2 \Rightarrow [\sin^{2} π] = [0] = 0 \\ i f x = 3 \Rightarrow [\sin^{2} \frac{3 π}{2}] = [{(- 1)}^{2}] = [1] = 1 \end{cases} \end{array}$

$[\sin^{2} \frac{π}{2} x] = \{\begin{cases} 0; x = 2 k \\ 1; x = 2 k + 1 \end{cases}〉 f (x) = 1; x = 2 k + 1$

$D_{f} = \{\cdot \cdot \cdot, - 5, - 3, - 1, 1, 3, 5, \cdot \cdot \cdot\}, R_{f} = 1$

تمرین

تابع $f$ به‌صورت زیر تعريف شده است:

$f (x) = \{\begin{matrix} 2 x^{2} - 3 x + 1 & x \notin Z \\ 0 & x \in Z \end{matrix}$

اين تابع در چه نقاطی پيوسته است؟

شرط آن‌كه تابع $f$ پيوسته باشد آن است كه مقدار تابع با حد تابع برابر باشد.

$1) f (x \in z) = 0$

مقدار تابع در نقاط به طول صحیح موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to a \notin z} f (x) = \lim_{x \to a} (2 x^{2} - 3 x + 1) = 2 a^{2} - 3 a + 1$

$\begin{array}{l} 3) \lim_{x \to a} f (x) = f (x \in z) = 0 \end{array}$

$2 a^{2} - 3 a + 1 = 0 \Rightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ a = \frac{1}{2} \end{matrix}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \sqrt{(x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 1) (x^{2} + 1)}$

به‌ازای چه مقاديری از $m$ تابع فوق در $R$ پيوسته می‌باشد؟

$\begin{array}{l} (x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 1) (x^{2} + 1) \geq 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} (x^{2} + 1) \geq 0 \\ x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 1 \geq 0 \end{cases}$

شرط اين‌كه معادله درجه دوم، همواره مثبت باشد آن‌ است كه:

$\begin{array}{l} a > 0 \Rightarrow 1 > 0 \end{array}$

$Δ \leq 0 \Rightarrow {[- 2 (m - 1)]}^{2} - 4 (1) (m + 1) \leq 0 \Rightarrow m^{2} - 3 m \leq 0 \Rightarrow 0 \leq m \leq 3$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{matrix} |x - [- x]| & [x] = 2 k \\ x - [x] + k & [x] = 2 k + 1 \end{matrix}$

برای مقدار مشخص $k$ تابع $f (x)$ در $x = n$ و $x = - n$ پیوسته است.

نشان دهید برای مقدار مشخص $k$ تابع $f (x)$ در $n$ های فرد، پیوسته است.

حالت اول) فرض کنیم $n$ زوج است:

$\begin{array}{l} x = 2; \{\begin{cases} f (2) = |2 - [- 2]| = |2 - (- 2)| = 4 \\ f (2^{+}) = |2 - [- 2^{+}]| = |2 - (- 3)| = 5 \end{cases}〉 f (2) \neq f (2^{+}) \end{array}$

$x = - 2; \{\begin{cases} f (- 2) = |- 2 - [- (- 2)]| = |- 2 - 2| = 4 \\ f ({(- 2)}^{+}) = |- 2 - [- {(- 2)}^{+}]| = |- 2 - 1| = 3 \end{cases}〉 f (- 2) \neq f ({(- 2)}^{+})$

تابع در $n$ های زوج، پیوسته نیست.

حالت دوم) فرض کنیم $n$ فرد است:

$\begin{array}{l} f (x) = \{\begin{matrix} |x - [- x]| & [x] = 2 k \\ x - [x] + k & [x] = 2 k + 1 \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{l} x = 1; \{\begin{cases} f (1) = (1) - [1] + k = k \\ f (1^{+}) = (1) - [1^{+}] + k = k \\ f (1^{-}) = |1 - [- 1^{-}]| = |1 - (- 1)| = 2 \end{cases}〉 k = 2 \end{array}$

$x = - 1; \{\begin{cases} f (- 1) = (- 1) - [- 1] + k = k \\ f ({(- 1)}^{+}) = (- 1) - [{(- 1)}^{+}] + k = k \\ f ({(- 1)}^{-}) = |- 1 - [- {(- 1)}^{-}]| = 2 \end{cases}〉 k = 2$

برای مقدار مشخص $k$ تابع $f (x)$ در $n$ های فرد، پیوسته است.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3 x^{2} + (m - 1) x + (m - 4)}}{|x^{3} + {((m - 7) x + a)}^{2}|}; x \neq a \\ \frac{2 \sin b}{3 \sqrt{x + 2}}; x = a \end{cases}$

اگر تابع $f (x)$ در $R$ پیوسته باشد.

مقدار $b$ را به‌دست آورید.

تابع $f (x)$ در $R$ پیوسته است:

$3 x^{2} + (m - 1) x + (m - 4) \geq 0$

$\{\begin{cases} 3 > 0 \\ Δ \leq 0 \Rightarrow {(m - 1)}^{2} - 4 (3) (m - 4) \leq 0 \Rightarrow m^{2} - 14 m + 49 \leq 0 \Rightarrow {(m - 7)}^{2} \leq 0 \Rightarrow m = 7 \end{cases}$

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3 x^{2} + (7 - 1) x + (7 - 4)}}{|x^{3} + {((7 - 7) x + a)}^{2}|}; x \neq a \\ \frac{2 \sin b}{3 \sqrt{x + 2}}; x = a \end{cases}$

$\Rightarrow f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3 x^{2} + 6 x + 3}}{|x^{3} + a^{2}|}; x \neq a \\ \frac{2 \sin b}{3 \sqrt{x + 2}}; x = a \end{cases}$

$\Rightarrow f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3} |x + 1|}{|x^{3} + a^{2}|}; x \neq a \\ \frac{2 \sin b}{3 \sqrt{x + 2}}; x = a \end{cases}$

از طرفی $x = a$ بایستی عامل صفر کننده باشد، پس $a = - 1$ بنابراین داریم:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3} |x + 1|}{|x^{3} + 1|}; x \neq - 1 \\ \frac{2 \sin b}{3 \sqrt{x + 2}}; x = - 1 \end{cases}$

تابع $f (x)$ در $R$ پیوسته است، بنابراین مقدار تابع در $x = - 1$ بایستی با حد تابع برابر باشد:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{3} |x + 1|}{|x^{3} + 1|} = \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{3} |x + 1|}{|(x + 1) (x^{2} - x + 1)|} = \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{3}}{|x^{2} - x + 1|} = \frac{\sqrt{3}}{|{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1|} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

$f (- 1) = \frac{2 \sin b}{3 \sqrt{- 1 + 2}} = \frac{2 \sin b}{3}$

$\begin{array}{l} \frac{2 \sin b}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow \sin b = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin b = \sin \frac{π}{3} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} b = 2 k π + \frac{π}{3} \\ b = 2 k π + π - \frac{π}{3} \end{cases}〉 b = \frac{π}{3} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

اگر تابع چند ضابطه ای $y = f (x)$ در R پیوسته باشد، بایستی علاوه بر پیوستگی ضابطه های آن در دامنه های $D_{3}, D_{2}, D_{1}$ پیوستگی در نقاط شکست تابع برقرار باشد.

تمرین

تابع زیر در $R$ پیوسته است:

$f (x) = \{\begin{cases} x^{3} + 2; x \geq 1 \\ a x + b; - 1 < x < 1 \\ 5 x; x \leq - 1 \end{cases}$

مقادیر $a, b$ را پیدا کنید.

تابع $f$ در $R$ پیوسته است فقط كافی است پيوستگی را در نقاط شكست برقرار كنيم.

$\begin{array}{l} i f x = 1 : \{\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1) = 3 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = a + b \end{array}〉 a + b = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = - 1 : \{\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = f (- 1) = - 5 \\ \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = - a + b \end{array}〉 - a + b = - 5 \end{array}$

$\{\begin{cases} a + b = 3 \\ - a + b = - 5 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = 4 \\ b = - 1 \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

به‌ازای مقادیر طبیعی $c$ ، تابع زیر روی مجموعه اعداد حقیقی پیوسته است:

$f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}; |x| \leq c \\ a x^{2} + b x + 2; |x| > c \end{cases}$

کدام می‌تواند مقدار $[\frac{a}{b}]$ باشد؟

$- 1$
$- 2$
$- 3$
$- 4$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

تابع زیر روی مجموعه اعداد حقیقی پیوسته است:

$f (x) = \{\begin{cases} (1 - a) [x] + (3 a^{2} - 1) [- x]; x \notin z \\ b \sin (\frac{π}{a}); x \in z \end{cases}$

مقدار $\frac{a}{b}$ کدام است؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

کنکور تجربی تیر 1403

تابع غیر صفر زیر در $R$ پیوسته است.

$f (x) = a [x] + b [x + 1]$

مقدار $\frac{f (a)}{a}$ کدام است؟

$1$
$- 1$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

تابع زیر در $R$ پیوسته است:

$f (x) = \{\begin{cases} x - [x]; [x] = 2 k \\ a |\sin b x|; [x] = 2 k + 1 \end{cases}$

حاصل $a b$ کدام است؟

$\frac{π}{4}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$\frac{3 π}{4}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{cases} \sin x; x \geq a \\ \frac{x}{10}; x < a \end{cases}$

به‌ازای چند مقدار متمایز $a$ تابع فوق پیوسته است؟

هفت مقدار
شش مقدار
پنج مقدار
چهار مقدار

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

تابع با ضابطه زیر همواره پیوسته است:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{18 a (2 + \sqrt[3]{1 - x})}{x^{2} - 81}; x > 9 \\ 2; x = 2 \\ \frac{1 + \cos (π x)}{b π^{2} {(9 - x)}^{2}}; x < 2 \end{cases}$

$a . b$ کدام است؟

$1$
$6$
$- 6$
$4$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

پیوستگی در یک نقطه

40,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

علیرضا رحیمی

20 بهمن 1402

سلام
من یکی از دبیران استان سیستان و بلوچستان هستم.
سایت شما به دانش آموزان محروم منطقه ما خیلی اونقدر کمک کرده که با هزینه خیلی کم بتونند آینده خودشون رو بسازند.
این اقدام شما بدون اجر نمی مونه و درود به شیر پاکی که خوردید. الهی که دست به هرچی میزنید طلا بشه.

پیوستگی

پیوستگی در یک نقطه

مقدمه

تعریف پیوستگی در یک نقطه

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟