ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

بايد در مكان اول و آخر افسر قرار گيرد چون تعداد افسران از تعداد سربازان بیشتر است.

بنابراين قرار گرفتن 5 افسر در پنج مكان مشخص شده (اول، سوم، پنجم، هفتم، نهم) به !5 طريق امكان پذير است.

به‌همين ترتيب قرار گرفتن 4 سرباز در چهار مكان موجود (مكان دوم، چهارم، ششم، هشتم) در بين افسرها به !4 طريق صورت می‌گيرد.

بنابراين تعداد حالت های ممكن طبق اصل ضرب برابر است با:

$5!\times 4!$

در اين حالت چون تعداد دانش آموزان و دانشجویان برابر است، پس در مكان اول هر نوع می‌تواند قرار گيرد.

لذا ممكن است در مكان اول دانش آموز قرار گيرد و در مكان دوم دانشجو و ... كه اين عمل به تعداد روش‌های زیر امكان پذير است.

$3!\times 3!$

ممكن است در مكان اول دانشجو و در مكان دوم دانش آموز و ... قرار گيرد، عمل اخير نيز به تعداد روش‌های زیر امكان‌پذير است:

$3!\times 3!$

طبق اصل جمع داريم:

$(3!\times 3!)+(3!\times 3!)=2\times 3!\times 3!$

اعداد اول موجود در بين اين $8$ رقم عبارتند از:

$(7,5,3)$

اين اعداد اول را در درون يک جعبه قرار می‌دهيم و 5 عدد باقی مانده را با اين جعبه به‌عنوان6 شی در نظر می‌گيريم.

جايگشت اين 6 شی برابر !6 می‌باشد.

از طرفی 3 عدد موجود در جعبه نيز به !3 روش می‌توانند كنار هم قرار گيرند.

طبق اصل ضرب داریم:

$3!\times 6!$

عدد 8 رقمی با ارقام فوق ساخته می‌شود كه اعداد اول در آنها كنار هم می‌باشند.

$9!$

چون می‌خواهيم پسرها پهلوی هم باشند، پسرها را طناب پيچ كرده و يک شی محسوب می‌كنيم.

بنابراين 4 دختر و يک شی طناب پيچ شده داريم كه !5 می‌توانند در يک رديف قرار گيرند.

در هر يک از اين حالات پسرها هم به !5 كنار هم قرار می‌گيرند:

طبق اصل ضرب داریم:

$5!\times 5!$

پسرها و دخترها را جداگانه طناب پيچ می‌کنیم.

پس عملا دو شی داريم كه به !2 جابه‌جا می‌شوند.

پسرها به !5 و دخترها به !4 کنار هم قرار می‌گیرند.

طبق اصل ضرب داریم:

$2!\times 5!\times 4!$

برای اين‌كه يک در ميان كنار هم بايستند، ابتدا با يک پسر شروع می‌كنيم.

$BGBGBGBGB$

پسرها در مکان‌های B به !5 و دخترها در مكان‌های G به !4 می‌توانند جابه‌جا شوند.

طبق اصل ضرب داریم:

$5!\times 4!$

$\begin{array}{l}3!\times \left(3!\times 2!\times 2!\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}5!\times \left(2!\times 2!\right)\end{array}$

$5!\times 3!$

كتاب‌های رياضی را طناب پیچ کرده و يک شی در نظر می‌گیریم.

اين یک شی همراه با 4 كتاب متمايز ادبی، 5 شی را تشكيل می‌دهند كه به !5 می‌توانند در كنار هم قرار گيرند.

از طرفی داخل شی طناب پیچ شده كه سه كتاب متمايز دارد خود به !3 می‌‌توانند در كنار هم قرار گيرند.

طبق اصل ضرب داريم:

$5!\times 3!$

چون شخص b بلافاصله بعد از a صحبت می‌كند پس (ab) را به‌عنوان يک شی در نظر می‌گيريم.

به‌همراه دو نفر ديگر روی هم سه شی خواهند بود و به !3 طريق ممكن است جابه‌جا شوند.

اگر شخص B بلافاصله بعد از A صحبت كند می‌توانيم (AB) را به‌عنوان يک شی در نظر بگيريم.

به‌همراه سه نفر ديگر روی هم چهار شی خواهند بود و به !4 ممكن است جابه‌جا شوند.

اين 5 نفر به !5 طريق می‌توانند سخنرانی كنند.

در نيمی از اين تعداد B بعد از A و در نيمی ديگر B قبل از A صحبت می‌كند.

تعداد حالاتی كه ممكن است B بعد از A صحبت كند:

$\frac{5!}{2}=60$

افسرها را در کنار هم یک شی به حساب می‌آوریم.

این یک شی به همراه 3 سرباز دیگر روی هم 4 شی را تشکیل می‌دهند که به !4 طریق می‌توانند در کنار هم قرار گیرند. 

از طرفی افسرها را که به‌عنوان یک شی در نظر گرفته شده‌اند به !2 طریق می‌توانند کنار هم قرار گیرند.

بر اساس اصل ضرب داریم:

$4!\times 2!$

هر زوج را به‌عنوان یک شی به‌حساب می‌آوریم.

بنابراین 4 شی داریم که به !4 طریق می‌توانند در یک ردیف جابه‌جا شوند.

ضمنا هر زوج خود به !2 طریق جابه‌جا می‌شوند. 

طبق اصل ضرب داریم:

$4!\times \left(2!\times 2!\times 2!\times 2!\right)=384$

(AD) را به‌عنوان یک شی به‌حساب می‌آوریم.

بنابراین 4 شی داریم که به !4 می‌توانند در یک نیمکت کنار هم قرار گیرند.

ضمنا (AD) خود به !2 جابه‌جا می‌شوند.

طبق اصل ضرب داریم:

$2!\times 4!$

می‌دانیم این 5 دانش آموز به !5 روش روی یک نیمکت کنار هم قرار می‌گیرند.

بنابراین اگر تعداد حالت‌هایی را که A و D در کنار هم قرار دارند را از !5 کم کنیم، تعداد حالت‌های مطلوب به‌دست می‌آید.

$5!-(2!\times 4!)$

سه نوع کلمه سه حرفی، با شرایط خواسته شده وجود دارد.

نوع اول) کلماتی که در آن هیچ A ای به کار نرفته است.

تعداد این کلمات برابر است با تعداد تبدیلات سه حرف R،N،B یعنی !3 

نوع دوم) کلماتی که در آن فقط یک A به کار رفته است.

به سه طریق می‌توان این A را در یکی از سه مکان اول، دوم، سوم گذاشت که دو جا می‌ماند که به $3\times 2$ طریق می‌توان با سه حرف R،N،B پر کرد.

طبق اصل ضرب داریم:

$3\times 3\times 2=18$

نوع سوم) کلماتی را که در آنها دو A به کار رفته است.

به سه روش می‌توان دو تا A را در این سه جا قرار داد، جای سوم را هم به سه روش با حروف N،R،B می‌توان پر کرد.

بنابر اصل ضرب داریم:

$3\times 3=9$

طبق اصل جمع داریم:

$3!+18+9=33$

وقتی افراد دست‌های خود را به‌هم داده و حلقه تشکیل می‌دهند، پس از تشکیل حلقه، حلقه جدیدی به‌دست نمی‌آید. 

با دوران حلقه پس از تشکیل حلقه، یکی از افراد را در جای ثابتی قرار می‌دهیم.

بنابراین تعداد شکل‌های مختلف حلقه برابر تعداد حالاتی می‌باشد که (n-1) عنصر دیگر می‌توانند در کنار هم قرار بگیرند پس این تعداد !(n-1) است.

فرق این مثال با مثال قبلی آن است که در حلقه مهره‌ها،با وارونه کردن هر حلقه، حلقه‌ای دیگر به‌دست می‌آید.

مانند دو حلقه زیر که با وارون کردن هر کدام، دیگری به‌دست می‌آید.

پس تعداد حالات، نصف تعداد حالات ممکنه درتمرین قبل است:

$\frac{\left(n-1\right)!}{2}$

7 مهره را به !(1-7) طریق می‌توان در یک صف دایره‌ای چید.

گردن بند، صف دایره می‌باشد که پشت و روی آن یک‌سان است.

بنابراین حالت‌ها برابر زیر می‌شود:

$\frac{\left(7-1\right)!}{2}=360$

$\left(3-1\right)!\left(2!\times 2!\times 3!\right)$

3 شی از حرف S داریم $m_1=3$  

2 شی از حرف U داریم $m_2=2$  

2 شی از حرف C داریم $m_3=2$

1 شی از حرف E داریم $m_4=1$ 

1 شی از حرف F داریم $m_5=1$

1 شی از حرف L داریم $m_6=1$

$\begin{array}{l}n=m_1+\cdots +m_6=10\end{array}$

$\frac{n!}{m_1\times m_2\times \cdots \times m_6}=\frac{10!}{3!\times 2!\times 2!\times 1!\times 1!\times 1!}=\frac{10!}{3!\times 2!\times 2!}$

4 شی از پرچم قرمز داریم $m_1=4$  

3 شی از پرچم سفیدداریم $m_2=3$  

1 شی از پرچم آبی داریم $m_3=1$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3=7\end{array}$

$\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times n_3!}=\frac{8!}{4!\times 3!\times 1!}=280$

چهار حرف وجود دارد که هیچ‌کدام تکراری نیستند.

$4!$

2 شی از حرف T داریم $m_1=2$

1 شی از حرف H داریم $m_2=1$

1 شی از حرف A داریم $m_3=1$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3=4\end{array}$

$\frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!}=\frac{4!}{2!\times 1!\times 1!}$

2 شی از حرف R داریم $m_1=2$

2 شی از حرف A داریم $m_2=2$

1 شی از حرف D داریم $m_3=1$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3=5\end{array}$

$\frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!}=\frac{5!}{2!\times 2!\times 1!}$

1 شی از حرف M داریم $m_1=1$

4 شی از حرف I داریم $m_2=4$

4 شی از حرف S داریم $m_3=4$

2 شی از حرف P داریم $m_4=2$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3+m_4=11\end{array}$

$\frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!\times m_4!}=\frac{11!}{1!\times 4!\times 4!\times 2!}$

اگر اولین مکان با I پر شود.

ده مکان باقی مانده باید با یک تا M، سه تا I، چهار تا S، و دو تا P پر شود.

1 شی از حرف M داریم $m_1=1$

3 شی از حرف I داریم $m_2=3$

4 شی از حرف S داریم $m_3=4$

2 شی از حرف P داریم $m_4=2$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3+m_4=10\end{array}$

$\frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!\times m_4!}=\frac{10!}{1!\times 3!\times 4!\times 2!}$

حرف اول و آخر با S پر می‌شوند.

توجه کنید که فقط 9 مکان باقی می‌ماند.

1 شی از حرف M داریم $m_1=1$

4 شی از حرف I داریم $m_2=4$

2 شی از حرف S داریم $m_3=2$

2 شی از حرف P داریم $m_4=2$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3+m_4=9\end{array}$

$\frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!\times m_4!}=\frac{9!}{1!\times 4!\times 2!\times 2!}$

ده حالت برای قرار دادن دو تا P در کنار یک‌دیگر وجود دارد، حرف اول و دوم یا حرف دوم و سوم یا .... حرف دهم و یازدهم که مجموعا 10 حالت می‌شود.

توجه کنید که فقط 9 مکان باقی می‌ماند.

1 شی از حرف M داریم $m_1=1$

4 شی از حرف I داریم $m_2=4$

4 شی از حرف S داریم $m_3=4$

0 شی از حرف P داریم $m_4=0$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m_3+m_4=9\end{array}$

دو تا P کنار هم را طناب پیچ می‌کنیم و به نه حرف دیگر، 10 حرف داریم.

$10\times \frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!\times m_4!}=10\times \frac{9!}{1!\times 4!\times 4!}$

3 لامپ قرمز داریم $m_1=3$

4 لامپ زرد داریم $m_2=4$

2 لامپ آبی داریم $m_3=2$

$\begin{array}{l}n=m_1+m_2+m=9\end{array}$

$\frac{n!}{m_1!\times m_2!\times m_3!}=\frac{9!}{3!\times 4!\times 2!}$

$\frac{6!}{3!\times 2!\times 1!}$

چون رقم 1 تکرار شده است لذا جایگشت این 5 رقم به تعداد زیر امکان پذیر است:

$\frac{5!}{2!}=60$

اما از میان این 60 عدد 5 رقمی، تعدادی هستند که رقم 0 در آنها در مکان ده هزارگان قرار گرفته است، که عدد چهار رقمی محسوب می‌شوند.

بنابراین اگر تعداد اعداد چهار رقمی قابل تشکیل با ارقام 3، 2 ، 1 ، 1 را بیابیم و از عدد 60 کم کنیم تعداد اعداد 5 رقمی به‌دست می‌آید.

$60-\frac{4!}{2!}=60-12=48$

برای ساختن کلمه 5 حرفی نیاز به پنج مکان زیر است.

اگر حرف اول بی‌صدا باشد، فقط حروف C,M,P,T,R به پنج طریق می‌توانند در خانه‌ اول قرار گیرند:

بقیه‌ خانه‌ها به‌صورت زیر پُر می‌شوند.

$5\times 7\times 6\times 5\times 4=4200$

از طرفی داریم:

$\begin{array}{l}5P\left(7,4\right)\\ \\ =5\times \frac{7!}{\left(7-4\right)!}\\ \\ =5\times \frac{7!}{3!}\end{array}$

$\begin{array}{l}=5\times \frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{3!}\\ \\ =5\times 7\times 6\times 5\times 4\\ \\ =4200\end{array}$

5 شطرنج‌باز می‌خواهند دو به دو با هم شطرنج بازی کنند.

هر شطرنج‌باز 4 بازی انجام خواهد داد.

تعداد کل بازی‌ها 10 تا می‌باشد.

$12,13,14,15,23,24,25,34,35,45$

در بازی‌های رو به رو ترتیب اهمیت ندارد، مثلا 21 و 12 یک حالت در نظر گرفته شده‌اند.

$\left\{3,4,9\right\}:349,394,439,493,934,943$

$\left\{5,6,8\right\}:568,586,658,685,856,865$

برای دو زیر مجموعه‌ 3 عضوی مختلف دو جایگشت یک‌سان به‌دست نمی‌آید.

هر زیر مجموعه‌ 3 عضوی، تعداد 6 جایگشت تولید می‌کند.

اگر تعداد زیر مجموعه ‌های 3 عضوی را a فرض کنیم، بنابراین تعداد کل جایگشت ‌های 3 تایی متناظر با آن 6a می‌باشد.    

کل جایگشت ‌های 3 تایی متناظر با آن 6a می‌باشد.

$\begin{array}{l}P\left(9,3\right)=6a\\ \\ \Rightarrow a=\frac{P\left(9,3\right)}{6}\\ \\ \Rightarrow a=\frac{ \frac{9!}{\left(9-3\right)!}}{6}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow a=\frac{9!}{6!\times 6}\\ \\ \Rightarrow a=\frac{9\times 8\times 7\times 6!}{6!\times 6}\\ \\ \Rightarrow a=\frac{9\times 8\times 7}{6}\\ \\ \Rightarrow a=84\end{array}$

تمام جایگشت ‌های حروف کلمه‌ water را در نظر می‌گیریم، تعداد آنها !5 می‌باشد.

برای این‌که دو حرف a و w کنار هم باشند، این دو حرف را در یک جعبه قرار داده و یک شی محسوب می‌کنیم که با سه حرف دیگر روی هم چهار شی می‌باشند که به !4 می‌توانند جابه‌جا شوند.

ضمنا این دو حرف هم در جعبه به !2 جابه‌جا می‌شوند.

$4!\times 2!$

تمام حالت ها را از حالاتی که این دو حرف کنارهم هستند، کم می‌کنیم:

$5!-\left(4!\times 2!\right)$

com را در یک جعبه قرار داده و یک شی محسوب می‌کنیم که با 5 حرف دیگر روی هم شش شی می‌باشند که به !6 می‌توانند جابه‌جا شوند و درون جعبه هم جابه‌جا نمی‌شود.

یادآوری)  تعداد توابع یک به‌ یک از یک مجموعه‌ r عضوی به یک مجموعه‌ n عضوی برابر با جایگشت r تایی از n می‌باشد:

$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!};n\ge r$

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}n=10\\ r=10\end{array}\right.\end{array}$

$P\left(10,10\right)=\frac{10!}{\left(10-10\right)!}=\frac{10!}{0!}=\frac{10!}{1}=10!$

با ارقام زیر می‌خواهیم اعداد 5 رقمی زوج با ارقام متمایز بسازیم:

$\left\{0,1,2,\mathrm{...},9\right\}$

برای آن‌که اعداد تشکیل‌ شده با ارقام داده‌ شده زوج باشند، باید در مکان یکان، یکی از اعداد زوج زیر قرار داده شود.

$\left\{8,6,4,2,0\right\}$

بنابراین رقم یکان باید از بین 5 رقم مذکور انتخاب شود.

از طرفی رقم ده‌ هزارگان نمی‌تواند رقم 0 باشد، پس دو حالت پیش می‌آید:

حالت اول) رقم یکان 0 است. (یک حالت)

بنابراین رقم‌ های دهگان، صدگان، هزارگان، ده‌ هزارگان می‌توانند به ترتیب‌های زیر پُر شوند. (تکرار مجاز نیست)

طبق اصل ضرب داریم:

$6\times 7\times 8\times 9\times 1=3024$

حالت دوم) رقم یکان صفر نیست. (2یا4یا6یا8)است یعنی چهار حالت و رقم ده‌هزارگان هم نمی‌تواند صفر باشد. 

پس مکان ده‌ هزارگان با 8 حالت و بقیه مکان‌ها به‌صورت زیر پُر می‌شود.

$8\times 8\times 7\times 6\times 4=10752$

از مجموع حالت اول و دوم تعداد اعداد 5 رقمی با ارقام متمایز، محاسبه می‌شود:

$3024+10752=13776$

تعداد جایگشت ‌های 3 شی از 25 شی متمایز را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l}P\left(25,3\right)\\ \\ =\frac{25!}{\left(25-3\right)!}\\ \\ =\frac{25!}{22!}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{25\times 24\times 23\times 22!}{22!}\\ \\ =25\times 24\times 23\\ \\ =13800\end{array}$

سه کتاب فیزیک همگی کنار هم هستند.

این سه کتاب را در یک جعبه قرار می‌دهیم و یک شی محسوب می‌کنیم که با چهار کتاب مختلف ریاضی روی هم پنج شی متمایز داریم که به !5  می‌توانند جابه‌جا شوند.

ضمنا کتاب‌های فیزیک هم در جعبه به !3 جابه‌جا می‌شوند.

طبق اصل ضرب داریم:

$5!\times 3!=120\times 6=720$

$p\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}=\frac{7!}{4!}$

چنین جایگشتی تعریف نشده است زیرا r نمی‌تواند بزرگ‌تر از n باشد.

$p\left(n,r\right)$ برای اعداد منفی تعریف نشده است.

$\Rightarrow \frac{n!}{\left(n-2\right)!}=72$

$\begin{array}{l}\Rightarrow n\left(n-1\right)=72\\ \\ \Rightarrow n^2-n-72=0\\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n=9\\ n=-8\otimes \end{array}\right.\end{array}$

$n=9$ جواب قابل قبول می‌باشد.

$\Rightarrow \frac{n!}{\left(n-4\right)!}=42\frac{n!}{\left(n-2\right)!}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)=42n\left(n-1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left(n-2\right)\left(n-3\right)=42\\ \\ \Rightarrow n^2-5n+6=42\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow n^2-5n-36=0\\ \\ \Rightarrow \left(n-9\right)\left(n+4\right)=0\\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n=9\\ n=-4\otimes \end{array}\right.\end{array}$

$n=9$ جواب قابل قبول می‌باشد.

$\Rightarrow 2\frac{n!}{\left(n-2\right)!}+50=\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-2\right)!}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\left[n\left(n-1\right)\right]+50=2n\left(2n-1\right)\\ \\ \Rightarrow 2n^2-2n+50=4n^2-2n\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2n^2=50\\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n=5\\ n=-5\otimes \end{array}\right.\end{array}$

$n=5$ جواب قابل قبول می‌باشد.

$\Rightarrow \frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!}=\frac{36n!}{\left(n-2\right)!}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{2n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)\left(2n-3\right)!}{\left(2n-3\right)!}=\frac{36n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)=36n\left(n-1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2n-1=9\\ \\ \Rightarrow n=5\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\left(n+2\right)!}{\left(n+2-2\right)!}=5n+5\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\left(n+2\right)!}{n!}=5n+5\\ \\ \Rightarrow \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n!}{n!}=5n+5\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left(n+2\right)\left(n+1\right)=5n+5\\ \\ \Rightarrow n=3\end{array}$

$\begin{array}{l}p\left(5,x\right)=xp\left(5,x-1\right)\\ \\ \Rightarrow \frac{5!}{\left(5-x\right)!}=x\times \frac{5!}{\left(6-x\right)!}\\ \\ \Rightarrow \frac{1!}{\left(5-x\right)!}=\frac{x}{\left(6-x\right)!}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\left(6-x\right)!}{\left(5-x\right)!}=x\\ \\ \Rightarrow \frac{\left(6-x\right)\left(5-x\right)!}{\left(5-x\right)!}=x\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 6-x=x\\ \\ \Rightarrow x=3\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{m!}{\left(m-a\right)!}=336\\ \\ \Rightarrow \left(m-a\right)!=\frac{40320}{336}\\ \\ \Rightarrow \left(m-a\right)!=120\end{array}$

اگر تعداد فامیل را n بگیریم، تعداد کارت‌هایی که رد و بدل می‌شود برابر است با:

$\begin{array}{l}p\left(n,2\right)=156\\ \\ \Rightarrow \frac{n!}{\left(n-2\right)!}=156\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!}=156\\ \\ \Rightarrow n\left(n-1\right)=156\\ \\ \Rightarrow n=13\end{array}$

روش اول)

طبق اصل ضرب داریم:

$18\times 17\times 16=4896$

روش دوم)

$n=p\left(18,3\right)=\frac{18!}{15!}=\frac{18\times 17\times 16\times 15!}{15!}=4896$

در جایگشت r شی از n شی:

$\begin{array}{l}p\left(n,r\right)\\ \\ =\frac{n!}{\left(n-r\right)!}\\ \\ =\frac{5!}{\left(5-3\right)!}\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{5\times 4\times 3\times 2!}{2!}\\ \\ =5\times 4\times 3\\ \\ =60\end{array}$

یادآوری) اما توجیه تمرین فوق به شرح زیر است:

برای پر کردن مکان اول یک کلمه سه حرفی، می‌توان از 5 حرف موجود در کلمه (جمشید) استفاده کرد.

بنابراین پر کردن مکان اول به 5 روش امکان پذیر است.

اما برای پر کردن مکان دوم، باید از 4 حرف باقی مانده و برای مکان سوم نیز باید از 3 حرف دیگر استفاده نمود.

لذا طبق اصل ضرب، تعداد کلمه‌های 3 حرفی بامعنی و بی‌معنی که می‌توان با حروف کلمه جمشید ساخت برابر است با:

$3\times 4\times 5=60$

$\begin{array}{l}n={10}^3=10\times 10\times 10=1000\end{array}$

$\begin{array}{l}n=p\left(10,3\right)=10\times 9\times 8=720\end{array}$

$\begin{array}{l}n={10}^4=10000\end{array}$

$n=p\left(10,5\right)=10\times 9\times 8\times 7\times 6=5824$

8 حرف در کلمه (دانش آموز) وجود دارد که 3 حرف آن نقطه‌دار می‌باشد، بنابراین:

در 4 مکان زوج (دایره‌های علامت دار) از 8 مکان، باید یکی از سه حرف نقطه‌دار قرار گیرد که این عمل به تعداد روش‌های زیر صورت می‌گیرید.

$p\left(4,3\right)$

پس از قرار گرفتن 3 حرف نقطه‌دار در سه مکان زوج، مابقی حروف یعنی 5 حرف باقی مانده به !5 روش قرار داده می شوند .

طبق اصل ضرب تعداد حالات ممکنه برابر است با:

$p(4,3)\times 5!=\frac{4!}{(4-3)!}\times 5!=4!\times 5!$

روش اول) تعداد تبدیل های r تایی n شی که در همه آنها k شی خاص موجود باشد، برابر است با:

$p(r,k)\times p(n-k,r-k);k\le r\le n$

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}n=8\\ r=5\\ k=2\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}p(5,2)\times p(8-2,5-2)\\ \\ =p(5,2)\times p(6,3)\\ \\ =\left(5\times 4\right)\times \left(6\times 5\times 4\right)\end{array}$

روش دوم)

قرار گرفتن 2 حرف u،o در 5 مکان از یک کلمه 5 حرفی به روش‌های  زیر می‌تواند صورت پذیرد:

$p\left(5,2\right)$

پس از آن، 3 حرف از 6=2-8 حرف باقی مانده انتخاب می‌گردد که این انتخاب را می توان به روش‌های زیر انجام داد:

$p\left(6,3\right)$

بنابراین طبق اصل ضرب تعداد حالت‌های ممکن برابر است با:

$\begin{array}{l}p\left(5,2\right)\times \left(6,3\right)\\ \\ =\frac{5!}{3!}\times \frac{6!}{3!}\end{array}$

$\begin{array}{l}=4\times 5\times 4\times 5\times 6\\ \\ =4^2\times 5^2\times 6\end{array}$

فرض کنیم n شی متمایز به‌صورت زیر داریم:

$a_n,\mathrm{...},a_1$

دو نوع تبدیل r تایی برای این n شی وجود دارد:

الف) تبدیل های r تایی n شی به‌طوری که فاقد شی خاصی، مانند $a_1$ می‌باشند که تعداد آنها برابر با:

$p\left(n-1,r\right)$

ب) تبدیل های r تایی n شی به‌طوری که همگی شامل شی خاصی مانند $a_1$ می‌باشند که تعداد آنها برابر با:

$rp\left(n-1,r-1\right)$

طبق اصل جمع داریم:

$p\left(n,r\right)=p\left(n-1,r\right)+rp\left(n-1,r-1\right)$