سرفصل‌های این مبحث

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل جمع و ضرب

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

مقدمه‌ ای بر شمارش

شاید شمارش در نظر برخی افراد، یک مهارت با اهمیت ریاضی نباشد و تنها یک عمل ساده باشد، اما آیا واقعا شمردن همیشه آسان است؟

می‌دانید که دو اتومبیل نباید پلاک یکسان داشته باشند.

با پلاک‌هایی به‌صورت زیر، با استفاده از حروف و اعداد، چند اتومبیل را می‌توان شماره گذاری کرد؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

امروزه به افراد جهت شناسایی آنها شناسه‌های مختلفی نسبت می‌دهند، از جمله:

شماره شناسنامه
کد ملی
پلاک ماشین

نیز جهت تعیین مالکیت آنها، شماره و کدهایی نسبت داده می‌شود که گاهی از چند رقم یا حروفی در کنار هم تشکیل شده‌اند.

در این بخش به دنبال یافتن روش‌هایی برای شمارش اعضای یک مجموعه محدود با قوانین معین و تعیین تعداد حالات ممکنه بدون شمردن هر یک از حالات هستیم به‌عبارت دیگر آنالیز ترکیبی روش‌های شمارش را ارائه می‌دهد.

اصل جمع

اگر برای انجام عمل $A$ تعداد $n (A)$ روش وجود داشته باشد

برای انجام عمل $B$ تعداد $n (B)$ روش وجود داشته باشد

با فرض مستقل بودن دو عمل آن‌گاه تعداد روش‌های انجام عمل $A$ (یا) عمل $B$ عبارت است از:

$n (A) + n (B)$

اصل جمع را می‌توان برای $n$ عمل زیر:

$A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$

که تعداد روش های انجام عمل تک تک آنها به‌صورت زیر امکان پذیر است، تعمیم داد.

$n (A_{n}), ..., n (A_{2}), n (A_{1})$

در این‌صورت تعداد روش‌های انجام عمل $A_{1}$ (یا) $A_{2}$ (یا) .... (یا) $A_{n}$ عبارت است از:

$\sum_{i = 1}^{n} n (A_{i}) = n (A_{1}) + n (A_{2}) + \cdot \cdot \cdot + n (A_{n})$

تمرین

انتخاب یک مرد از میان دو مرد به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک مرد از میان دو مرد به $(2)$ طریق امکان پذیر است.

انتخاب یک زن از میان سه زن به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک زن از میان سه زن به $(3)$ طریق امکان پذیر است.

انتخاب یک مرد از میان دو مرد (یا) یک زن از میان سه زن به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک مرد از میان دو مرد (یا) یک زن از میان سه زن به $(2 + 3 = 5)$ طریق امکان پذیر است.

تمرین

امین قصد دارد به خاطر قبولی در یک آزمون دوستش پوریا را دعوت کند.

او با خود فکر می‌کند که پوریا را به یکی از دو مکان، رستوران (یا) آب‌میوه فروشی دعوت کند.

اگر به رستوران برود، تنها یکی از دو نوع غذای چلوخورشت قورمه سبزی و قیمه را می‌تواند انتخاب کند و اگر به آب‌میوه فروشی برود، تنها یکی از سه نوع آب میوه هویج، سیب و پرتقال را می‌تواند انتخاب کند.

چند انتخاب برای پوریا وجود دارد؟

امین یکی از دو مکان را رفته یا به رستوران می‌رود و یکی از دو غذا را انتخاب می‌کند و یا به آب‌میوه فروشی می‌رود و یکی از سه نوع آب‌میوه را انتخاب می‌کند.

در این سوال به علت استفاده از (یا) تعداد حالت‌ها با هم جمع می‌شوند:

$2 + 3 = 5$

اصل ضرب

اگر برای انجام عمل $A$ تعداد $n (A)$ روش وجود داشته باشد

برای انجام عمل $B$ تعداد $n (B)$ روش وجود داشته باشد

با فرض مستقل بودن دو عمل آن‌گاه تعداد روش‌های انجام عمل $A$ (و) عمل $B$ عبارت است از:

$n (A) \times n (B)$

اصل ضرب را می‌توان برای $n$ عمل زیر:

$A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$

که تعداد روش های انجام عمل تک تک آنها به‌صورت زیر امکان پذیر است، تعمیم داد.

$n (A_{n}), ..., n (A_{2}), n (A_{1})$

در این‌صورت تعداد روش‌های انجام عمل $A_{1}$ (و) $A_{2}$ (و) .... (و) $A_{n}$ عبارت است از:

$\prod_{i = 1}^{n} n (A_{i}) = n (A_{1}) \times \cdot \cdot \cdot \times n (A_{n})$

تمرین

پوریا قصد دارد به خاطر تولدش امین را دعوت کند.

اما او می‌خواهد امین را هم به رستوران با انتخاب دو نوع غذا (و) هم به آب میوه فروشی با انتخاب سه نوع آب میوه، ببرد و در رستوران یک انتخاب و در آب‌میوه فروشی هم یک انتخاب به او بدهد.

امین چند نوع انتخاب خواهد داشت؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

در این سوال پوریا هر دو مکان را رفته که در رستوران $(2)$ انتخاب و در آب‌میوه فروشی $(3)$ انتخاب دارد.

در این تمرین به‌علت استفاده از (و) تعداد حالت‌ها در هم ضرب می‌شوند:

$2 \times 3 = 6$

تمرین

چند کلمه دو حرفی با استفاده از حروف زیر می‌توان ساخت؟

$d, c, b, a$

برای این کار کافی است مشخص کنیم حرف اول و دوم چه حروفی هستند.

خانه اول چهار حالت و خانه دوم نیز چهار حالت دارد:

در خانه اول (خانه سمت چپ) یکی از حروف به چهار حالت می‌تواند انتخاب شود.

در خانه دوم هم (خانه سمت راست) یکی از حروف به چهار حالت می‌تواند انتخاب شود.

بنابراین طبق اصل ضرب داریم:

$4 \times 4 = 16$

تمرین

ارقام زیر را نظر بگیرید:

$\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

چند عدد چهار رقمی با استفاده از ارقام می‌توان ساخت به طوری که بر $5$ بخش پذیر باشد؟

اگر چهار جایگاه به‌شکل زیر برای ارقام در نظر بگیریم و تعداد حالت‌های ارقام را بالای هر جایگاه بنویسیم، داریم:

در رقم یکان فقط دو رقم $0, 5$ به دو حالت می‌تواند قرار بگیرند. (عددی بر $5$ بخش پذیر است که رقم یکان آن بر $0, 5$ بخش پذیر باشد.)

در رقم هزارگان همه ارقام به غیر از رقم $0$ به پنج حالت می‌توانند قرار گیرند.

در رقم صدگان و دهگان، همه ارقام به شش حالت می‌توانند قرار گیرند.

بنابراین طبق اصل ضرب جواب برابر است با:

$5 \times 6 \times 6 \times 2 = 360$

تمرین

تعداد اعداد دو رقمی با ارقام فرد را بیابید.

ارقام فرد عبارتند از:

$\{1, 3, 5, 7, 9\}$

پیمان گردلو

طبق اصل ضرب داریم:

در خانه اول (خانه سمت چپ) یکی از ارقام به پنج حالت می‌تواند انتخاب شود.

در خانه دوم هم (خانه سمت راست) یکی از ارقام به چهار حالت می‌تواند انتخاب شود.

$5 \times 5 = 25$

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

$\{2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

فرض كنيد تكرار مجاز نيست.

چند عدد سه رقمی می‌توان نوشت.

در رقم صدگان، همه ارقام به شش حالت می‌توانند قرار گیرند. (مثلا رقم $2$ را قرار می‌دهیم.)

چون تکرار مجاز نیست، در رقم دهگان، همه ارقام به غیر از رقم $2$ به پنج حالت می‌توانند قرار گیرند. (مثلا رقم $3$ را قرار می‌دهیم.)

چون تکرار مجاز نیست، در رقم یکان، همه ارقام به غیر از ارقام $2, 3$ به چهار حالت می‌توانند قرار گیرند.

$6 \times 5 \times 4 = 120$

چند تا از اين اعداد كوچک‌تر از $(400)$ هستند.

در رقم صدگان، فقط ارقام $2, 3$ به دو حالت می‌توانند قرار گیرند. (مثلا رقم $2$ را قرار می‌دهیم.)

چون تکرار مجاز نیست، در رقم یکان، همه ارقام به غیر از ارقام $2, 3$ به چهار حالت می‌توانند قرار گیرند.

$2 \times 5 \times 4 = 40$

چند تا از اين اعداد زوج هستند؟

رقم يكان فقط می‌تواند اعداد $(2)$ یا $(4)$ باشد که دو حالت می‌باشد:

$5 \times 4 \times 2 = 40$

چه تعداد فرد هستند؟

رقم يكان را می‌توان با $(3, 5, 7, 9)$ یعنی چهار حالت پر کرد:

$5 \times 4 \times 4 = 80$

چه تعداد، مضرب $(5)$ می‌باشد.

رقم يكان فقط عدد $(5)$ می‌باشد که یک حالت می‌باشد:

$5 \times 4 \times 1 = 20$

تمرین

چند عدد یازده رقمی با ارقام $1$ و $2$ می‌توان نوشت به‌طوری که مضرب $6$ باشند.

$[\frac{2^{11}}{6}] = [\frac{2 \times 2^{10}}{2 \times 3}] = [\frac{2^{10}}{3}] = [\frac{1024}{3}] = [341 / 3] = 341$

تمرین

تمام اعداد سه رقمی را در نظر بگیرید که ارقام آنها از مجموعه زیر انتخاب شده است:

$\{1, 2, 7\}$

تعدادی از آنها عبارتند از:

$111, 127, 721$

چند تا از این اعداد هستند که دو رقم سمت چپ آنها برابر $12$ است؟

تمام اعداد سه ‌رقمی که ارقام آنها از مجموعه‌ زیر انتخاب شده است را در نظر می‌گیریم:

$\{1, 2, 7\}$

اعداد زیر اعدادی هستند که دو رقم سمت چپ آنها برابر $12$ می‌باشد.

$121 - 122 - 127$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تعداد آنها سه عدد می‌باشد.

با تکمیل شکل زیر تمام اعدادی که با رقم $(1)$ شروع می‌شوند را بنویسید. تعدادشان چندتا است؟

$111, 112, 117, 121, 122, 127, 171, 172, 177$

تعداد اعدادی که با رقم $(1)$ شروع می‌شوند طبق اعداد بالا نه تا می‌باشند.

تمام اعداد سه رقمی که با رقم $2$ شروع می‌شوند چندتا هستند؟

$211, 212, 217, 221, 222, 227, 271, 272, 277$

تمام اعداد سه رقمی که با رقم $2$ شروع می‌شوند نه تا هستند.

تمام اعداد سه رقمی که با رقم $7$ شروع می‌شوند چندتا هستند؟

$711, 712, 717, 721, 722, 727, 771, 772, 777$

تمام اعداد سه رقمی که با رقم $7$ شروع می‌شوند نه تا هستند.

تعداد کل اعداد سه رقمی فوق چندتا است؟

طبق اصل جمع، تعداد ارقام سه رقمی که با $1, 2, 7$ شروع می‌شوند، برابر است با:

$9 + 9 + 9 = 27$

تمرین

عبارت‌ها ی زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} (r + s) (t + u + v) \\ (x + y + z) (a + b) (c + d) \end{array}$

عبارت اول پس از محاسبه چند جمله دارد؟

عبارت اول را در هم ضرب می‌کنیم:

$(r + s) (t + u + v) = r t + r u + r v + s t + s u + s v$

عبارت فوق پس از محاسبه شش جمله دارد.

طبق اصل ضرب در عبارت فوق پرانتز اول، دو حالت و پرانتز دوم، سه حالت دارد.

بنابراین طبق اصل ضرب داریم:

$\begin{matrix} 2 \times 3 = 6 \end{matrix}$

عبارت دوم پس از محاسبه چند جمله دارد؟

در عبارت دوم، پرانتز اول، سه حالت، پرانتز دوم، دو حالت و پرانتز سوم، دو حالت دارد.

بنابراین طبق اصل ضرب داریم:

$3 \times 2 \times 2 = 12$

تمرین

ارقام $1, 2$ را در نظر بگیرید.

با استفاده از این دو رقم، چند عدد پنج رقمی می‌توان ساخت؟

برای $5$ رقم نیاز به پنج مکان داریم.

در شکل زیر، در هر مکان به دو حالت می‌توانیم ارقام $1, 2$ را قرار دهیم.

طبق اصل ضرب داریم:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{5} = 32$

با تعداد حالات فوق، می‌توانیم اعداد پنج‌ رقمی شامل ارقام $1, 2$ را بسازیم.

تمرین

هر زیر مجموعه از مجموعه زیر را می‌توان با یک کد شش تایی از $0, 1$ نشان داد.

$\{1, 2, ..., 6\}$

$1$ متناظر با بودن عضو و $0$ متناظر با نبودن است.

به‌عنوان مثال کد $010110$ متناظر با مجموعه $\{2, 4, 5\}$ است.

کد $110011$ متناظر با چه زیر مجموعه ای است؟

کد $110011$ متناظر با مجموعه زیر می‌باشد:

$\{1, 2, 5, 6\}$

تعداد کدهای شش تایی از $0, 1$ چندتا است؟

برای هر کُد، یک مکان در نظر می‌گیریم بنابراین شش مکان داریم.

برای هر کُد (هر مکان) می‌توان از ارقام $\{1, 2\}$ استفاده کرد، یعنی دو حالت در نظر گرفته شده است.

طبق اصل ضرب داریم:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6} = 64$

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

$0, 2, 3, 6, 7$

با ارقام فوق چند عدد چهار رقمی زوج و بدون ارقام تكراری می‌توان تشكيل داد؟

برای آن‌كه اعداد تشكيل شده با ارقام مفروض زوج باشند، بايد در مكان يكان، يكی از ارقام $0$ يا $2$ يا $6$ قرار داده شود.

بنابراين مکان يكان بايد از بين سه رقم مذكور انتخاب شود.

از طرفی مکان هزارگان نمی‌تواند رقم $0$ را بپذيرد، پس دو حالت پيش می‌آيد:

حالت اول)

مکان يكان رقم $0$ است (یعنی یک حالت)، بنابراين مکان های دهگان و صدگان و هزارگان را می‌توان به ترتيب‌های زير پر كرد:

طبق اصل ضرب داریم:

$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

حالت دوم)

مکان يكان رقم $0$ نيست (ارقام $2$ يا $6$ است يعنی دو حالت) و مکان هزارگان هم نمی‌تواند رقم $0$ باشد و اين مکان به سه حالت پر می‌شود.

مكان های دهگان و صدگان به تريتب زير پر می‌شود:

طبق اصل ضرب داریم:

$3 \times 2 \times 3 \times 2 = 36$

طبق اصل جمع داریم:

$n = 24 + 36 = 60$

تمرین

با عضوهای مجموعه زیر، چند عدد پنج رقمی می‌توان ساخت به‌طوری که:

$\{0, 1, ..., 9\}$

دو رقم سمت چپ آنها بر $17$ و عدد حاصل بر $5$ بخش پذير باشد؟ (تكرار ارقام مجاز است)

می‌دانيم اعداد زیر بر $17$ بخش پذيرند:

$17, 34, 51, 68, 85$

دو رقم سمت چپ اعداد مطلوب، بايد از بين $5$ عدد فوق انتخاب گردند، كه به پنج روش مكان پذير است.

برای آن‌كه عدد حاصل بر $5$ بخش پذير باشد، بايد مکان يكان ارقام $0$ يا $5$ باشد.

پس انتخاب رقم برای مکان يكان به دو طريق امكان پذير است.

مكان های دهگان و صدگان نيز هريک به ده طريق می‌توانند با ده عدد داده شده پر شوند.

چون تكرار مجاز است بنابراين تعداد حالات ممكن برابر است با:

توجه کنید که مکان های هزارگان و ده هزارگان را روی هم، یک حالت در نظر گرفتیم.

طبق اصل ضرب داریم:

$5 \times 10 \times 10 \times 2 = 1000$

تمرین

چند عدد سه رقمی از ارقام زیر می‌توان نوشت به‌طوری كه:

$5, 4, 3, 2, 1$

تكرار ارقام جايز باشد.

چون عدد، سه رقمی است و ارقام می‌توانند تكرار شوند، برای انتخاب مکان های يكان، دهگان، صدگان هر پنج رقم قابل استفاده می‌باشند:

طبق اصل ضرب داریم:

$5 \times 5 \times 5 = 125$

ارقام تكرار نشود.

طبق اصل ضرب داریم:

$5 \times 4 \times 3 = 60$

در حالت (ب) چند عدد زوج و چند عدد فرد می‌باشد.

چون می‌خواهيم اعداد انتخاب شده زوج باشد، مکان يكان آن فقط بايد ارقام $2$ يا $4$ باشد يعنی دو حالت داریم.

در مکان دهگان، چهار حالت و مکان صدگان سه حالت داریم.

طبق اصل ضرب داریم:

$3 \times 4 \times 2 = 24$

تعداد اعداد فرد برابر است با کل اعداد، منهای تعداد اعداد زوج.

$60 - 24 = 36$

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

چند عدد چهار رقمی بدون ارقام تكراری می‌توان ساخت؟

چون در مکان هزارگان نمی‌توانيم رقم $0$ بگذاريم از اين مكان شروع می‌كنيم:

به نه طریق می‌توان يک رقم در اين مكان قرار داد.

چون ارقام تكراری نيست، مکان صدگان را با احتساب رقم $0$ به نه طریق می‌توان پر كرد.

مکان دهگان را به هشت طريق و مکان يكان را به هفت طريق.

طبق اصل ضرب داریم:

$9 \times 9 \times 8 \times 7$

چند عدد چهار رقمی زوج بدون ارقام تكراری می‌توان ساخت؟

عددی زوج است كه مکان یکان آن زوج باشد.

برای شمردن تعداد اعداد مورد نظر، دو حالت در نظر می‌گيريم:

حالت اول)

مکان يكان رقم $0$ است و در این مکان، یک حالت در نظر گرفته می‌شود.

مکان های هزارگان، صدگان و دهگان به‌ترتيب به نه، هشت، هفت روش می‌تواند پر شود.

طبق اصل ضرب داریم:

$9 \times 8 \times 7 \times 1$

حالت دوم)

مکان يكان رقم $0$ نيست.

در اين صورت در مکان یکان، هر يک از ارقام $2, 4, 6, 8$ را می‌تواند به چهار طریق قرار گیرد.

مکان هزارگان را به هشت طريق می‌توان پر كرد.

توجه کنید که رقم $0$ نمی‌تواند در اين مكان قرار گيرد.

از طرفی يک رقم هم در مکان يكان قرار گرفته است پس از $10$ رقم باقی مانده $8$ رقم را می‌توان انتخاب كرد.

طبق اصل ضرب داریم:

$8 \times 8 \times 7 \times 4$

طبق اصل جمع، تعداد اعداد چهار رقمی زوج بدون ارقام تكراری برابر است با:

$(9 \times 8 \times 7 \times 1) + (8 \times 8 \times 7 \times 4)$

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

$5, 3, 2, 0$

چند عدد چهار رقمی می‌توان نوشت که بر $5$ بخش پذیر باشد. (بدون تكرار ارقام)

برای اين‌كه اعداد چهار رقمی بر $5$ بخش پذير باشد، بايد مکان يكان آن ارقام $5$ يا $0$ باشد.

حالت اول)

اگر مکان يكان اين عدد رقم $0$ باشد، يک حالت برای مكان اول (يكان) و سه مكان بعدی به ترتيب با یک، دو، سه طريق پر می‌شوند.

حالت دوم)

اگر مکان يكان اين اعداد رقم $5$ باشد، يک حالت در مکان يكان قرار می‌گيرد.

چون رقم $0$ نمی‌تواند در مكان هزارگان قرار گيرد، اين مكان به دو حالت با ارقام $2$ يا $3$ پر می‌شود.

هر كدام از مكان های صدگان و دهگان به ترتيب یک و دو حالت پر می‌شوند.

بنابر اصل جمع:

$(1 \times 2 \times 3 \times 1) + (2 \times 2 \times 1 \times 1) = 10$

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

چند عدد چهار رقمی با ارقام متمايز می‌توان ساخت به‌طوری كه هر كدام از اعداد شامل رقم $1$ باشند؟

حالت اول)

رقم $1$ در مکان اول از سمت چپ قرار دارد.

مکان اول از چپ را به يک طريق می‌توان پر كرد و سه مکان ديگر را به هفت، شش و پنج طریق می‌توان پر كرد.

طبق اصل ضرب داریم:

$1 \times 7 \times 6 \times 5$

حالت دوم)

رقم $1$ در مکان دوم يا سوم يا چهار از سمت چپ می‌تواند قرار گیرد.

نخست رقم $1$ را در يكی از سه مکان دوم، سوم، چهارم از سمت چپ قرار می‌دهيم.

اين كار به سه طريق انجام می‌شود.

در مکان اول از سمت چپ رقم $0$ نمی‌تواند قرار گيرد.

پس اين خانه را هم به شش طريق می‌توان پر كرد.

دو خانه ديگر را هم به‌ترتيب با پنج، شش طريق می‌توان پر كرد.

$3 \times (6 \times 6 \times 5)$

طبق اصل جمع داریم:

$(7 \times 6 \times 5) + (3 \times 6 \times 6 \times 5) = 750$

تمرین

فرض كنيد پلاک اتومبيل های خارجی شامل دو حرف و بعد از آن سه رقم است.

چند پلاک مختلف می‌توان توليد كرد به‌طوری كه:

رقم اول صفر نيست.

هر حرف خارجی را می‌توان به بیست‌وشش طریق مختلف انتخاب کرد.

رقم اول را می‌توان به نه طریق مختلف انتخاب کرد.

رقم اول $0$ نيست پس، از ده رقم، نه رقم در نظر گرفته می‌شود.

هريک از دو رقم ديگر را می‌توان به ده طریق مختلف توليد كرد.

طبق اصل ضرب داریم:

$26 \times 26 \times 9 \times 10 \times 10$

هر پلاک شامل دو حرف متمايز و بعد از آن سه رقم مختلف است.

طبق اصل ضرب داریم:

$26 \times 25 \times 10 \times 9 \times 8$

تمرین

تعداد راه‌هایی را به‌دست آوريد كه يک شركت با $26$ عضو می‌تواند:

رئيس، حسابدار، منشی انتخاب كند. (فرض كنيد هيچ‌كس برای بيش از يک شغل انتخاب نشود)

طبق اصل ضرب داریم:

$26 \times 25 \times 24$

تمرین

چند عدد پنج رقمی يافت می‌شود به‌ طوری كه:

رقم اول آن $2$ و رقم آخر آن $4$ باشد و هيچ‌يک از ارقام آن تكراری نباشد.

طبق اصل ضرب داریم:

$1 \times 8 \times 7 \times 6 \times 1$

تمرین

تعداد راه هايی را به‌دست آوريد به‌طور که:

شش نفر می‌توانند سورتمه برانند. (تمام اين افراد توانايی راندن سورتمه را دارند.)

$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

تنها نصف افراد توانايی راندن سورتمه را داشته باشند.

برای نفر اول تنها سه انتخاب وجود دارد.

$3 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 360$

تمرین

يک قفل رمزدار، دارای يک رمز سه رقمی فرد، با ارقام زیر می‌باشد:

$9, ..., 2, 1$

اگر رمز اين قفل را ندانيم و امتحان كردن هر رمز دو دقيقه طول بكشد:

حداكثر چند ساعت طول می‌كشد تا قفل باز شود؟

تعداد رمزها برابر است با تعداد اعداد سه رقمی فرد كه تكرار مجاز می‌باشد.

چون عدد سه رقمی مفروض فرد است، با ارقام $1, 3, 5, 7, 9$ يعنی پنج حالت می‌تواند شروع شود.

بنابراين مدت لازم بر حسب دقيقه برابر است با:

$(9 \times 9 \times 5) \times 2 = 810$

برحسب ساعت:

$\frac{810}{60} = 13 / 5$

تمرین

با حروف كلمه (جمهوری) به چند طريق می‌توان كلمات سه حرفی بدون تكرار حروف، ساخت به‌طوری که:

حرف اول آنها حرف نقطه‌دار نباشد؟

در خانه اول از اين كلمه سه حرفی، يكی از چهار حرف بی‌نقطه می‌تواند قرار گيرد، يعنی به چهار طريق می‌توانیم خانه اول اين كلمه را پر کنیم.

توجه كنيد كه حرف (ی) اگر در خانه اول قرار گيرد، نقطه دار است.

خانه دوم را با يكی از پنج حرف باقيمانده و سومين خانه را با يكی از چهار حرف باقيمانده می‌توان پر نمود.

طبق اصل ضرب داریم:

$4 \times 5 \times 4 = 80$

تمرین

تعداد كلمات چهار حرفی كه می‌توان با استفاده از حروف كلمه (شكوهمند) ساخت، به‌طوری كه:

با حرف نقطه‌دار شروع و به حرف نقطه‌دار ختم گردد.

مكان اول يكی از دو حرف (ش يا ن) به دو طریق می‌توانند قرار گيرد.

برای مكان چهارم فقط يک حالت وجود خواهد داشت.

چون از دو حرف (ش يا ن) يكی در مكان اول قرار گيرد.

پنج حرف ديگر باقی می‌ماند كه پنج حالت برای مكان سوم و چهار حالت برای مكان دوم می‌باشد.

توجه كنيد اگر پنج حالت برای مكان دوم و چهار حالت برای مكان سوم در نظر بگيريم، فرقی در جواب ندارد.

طبق اصل ضرب داریم:

$5 \times 4 \times 2 = 40$

تمرین

چند عدد هشت رقمی در مبنای $2$ وجود دارد؟

در مبنای $2$ فقط دو رقم زیر استفاده می‌شود:

$\{0, 1\}$

در مکان اول از سمت چپ رقم $0$ نمی‌تواند قرار گیرد و فقط رقم $1$ به یک حالت می‌تواند قرار گیرید

طبق اصل ضرب داریم:

$1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{7}$

چند مجموعه متفاوت از اعداد طبيعی يک رقمی می‌توان ساخت كه هر كدام حاوی همه اعداد اول يک رقمی باشند؟

اعداد اول يک رقمی عبارتند از:

$\{2, 3, 5, 7\}$

بنابراين با اضافه كردن يک یا چند عدد از بقيه اعداد يک رقمی، به اين چهار عدد، مجموعه های مختلفی به‌دست می‌آيد.

چون پنج عدد يک رقمی غير اول داريم، پس تعداد مجموعه های مورد نظر برابر است با:

$2^{5} = 32$

چند عدد چهار رقمی وجود دارد که مجموع دو رقم اول و آخر آن $12$ و مجموع دو رقم ديگر آن $9$ است؟

اعداد چهار رقمی مورد نظر را $\bar{a b c d}$ در نظر می‌گیریم.

باید داشته باشیم:

$\begin{array}{l} c + b = 9 \\ a + d = 12 \end{array}$

جدول زیر را در نظر بگیرید:

با توجه به اصل ضرب داریم:

$7 \times 10 = 70$

چند عدد سه رقمی در مبنای $8$ وجود دارد؟

در مبنای $8$ فقط هشت رقم زیر استفاده می‌شود:

$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

رقم $0$ در مکان صدگان نمی‌تواند قرار گیرد.

طبق اصل ضرب داریم:

$7 \times 8 \times 8$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

تعداد روش‌های پر کردن یک ردیف متشکل از $n$ مکان متمایز با استفاده از $m$ نوع شی که از هر نوع به تعداد کافی موجود است، در صورتی که تکرار مجاز باشد $m^{n}$ است.

اثبات

برای پر کردن مکان اول می‌توان هر یک از $m$ شی را انتخاب کرد که به $m$ روش صورت می‌گیرد.

چون تکرار مجاز است بنابراین در مکان دوم نیز می‌توان هر یک از $m$ شی را قرار داد.

به‌همین ترتیب تا مکان $n$ ام لذا، تعداد روش‌های پر کردن $n$ مکان مذکور با استفاده از $m$ نوع شی که تکرار مجاز است، برابر است با:

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

$m \times m \times ... \times m = m^{n}$

قضیه

تعداد توابع از یک مجموعه $n$ عضوی به یک مجموعه $m$ عضوی برابر $m^{n}$ است.

اثبات

دو مجموعه متناهی زیر را در نظر بگیرید:

$A = \{a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}\}$

$B = \{b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}\}$

برای ایجاد هر تابع از $A$ به $B$ باید به هر عضو $A$ یک و تنها یک عضو از $B$ نسبت دهیم، پس برای این‌کار $m$ روش وجود دارد.

چون $A$ شامل $n$ عضو می‌باشد لذا طبق اصل ضرب این عمل به تعداد روش زیر صورت می‌گیرد:

$m \times m \times ... \times m = m^{n}$

$m$ به تعداد $n$ بار تکرار شده است.

در این‌جا منظور از تابع، قانونی است که از هر عضو مجموعه $A$ فقط یک عضو از مجموعه $B$ را نسبت دهد.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

رضا می‌خواهد کتاب ریاضی و $5$ کتاب درسی دیگرش را روی هم بچیند.

در چند حالت مختلف هنگام چیدن کتاب‌ها، کتاب‌های بیشتری بالای کتاب ریاضی قرار می‌گیرد؟

$360$
$300$
$240$
$200$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

یک عدد $5$ رقمی با استفاده از دو عدد متوالی کمتر از $10$ نوشته شده است.

اگر ارقام آن عدد به‌صورت $23 n + 1$ باشد، چند عدد پنج رقمی با این ویژگی وجود دارد؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

با حروف کلمه آهنگری چند کلمه $6$ حرفی می‌توان نوشت که حروف کلمه گنه کنار هم باشند؟

$24$
$72$
$144$
$216$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

کنکور ریاضی 1402

$4$ وزیر هر کدام با یک معاون به چند طریق می‌توانند روی $8$ صندلی در دو ردیف روبه‌روی هم بنشینند به‌طوری که هر وزیر دقیقا روبه‌روی معاونش قرار بگیرد؟

$24$
$32$
$48$
$64$

مشاهده پاسخ تست

تست کنکور ریاضی 1401

چند عدد طبیعی پنج رقمی با ارقام غیر تکراری می‌توان نوشت که ارقام آن یک در میان زوج و فرد باشند؟

$1840$
$1920$
$2160$
$2400$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

اصل جمع و ضرب

14,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

فاطمه ثنائی پور (فشم)

20 فروردين 1403

سلام ، خیلی عالی و جامع بود

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل جمع و ضرب

مقدمه‌ ای بر شمارش

اصل جمع

اصل ضرب

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟