سرفصل‌های این مبحث

حاصل ضرب دکارتی

مرتب‌ ها

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: حاصل ضرب دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف زوج مرتب

دو شی $a$ و $b$ مفروضند، اگر برای این دو شی ترتیب قایل شویم به این‌صورت که معلوم کنیم کدام‌ یک اول و کدام‌یک دوم است، این دو شی همراه با ترتیب تعریف شده را یک زوج مرتب گویند.

اگر در این ترتیب $a$ مکان اول و $b$ در مکان دوم باشد، آن‌را به‌صورت $(a, b)$ نشان می‌دهیم.

$a$ را مولفه اول می‌نامند.
$b$ را مولفه دوم می‌نامند.
$(a, b)$ زوج مرتب می‌نامند.

نکته

باید دقت کنیم که زوج مرتب $(a, b)$ با مجموعه $\{a, b\}$ فرق می‌کند.

همان‌طور که می‌دانیم ترتیب عضوها در مجموعه مهم نیست یعنی $\{a, b\} = \{b, a\}$ در صورتی‌که در یک زوج مرتب ترتیب نوشتن عضوها اهمیت دارد و در حالت کلی $(a, b)$ با $(b, a)$ مساوی نیست.

توجه کنید که برای یک مجموعه $\{a, a\} = \{a\}$ اما در یک زوج مرتب $(a, a) \neq (a)$ است.

تعریف کوراتوسکی

فرض کنید $a$ و $b$ دو شی متمایز باشند، هر مجموعه به‌صورت $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ را زوج مرتب $a$ و $b$ نامند و با نماد $(a, b)$ نشان می‌دهیم یعنی:

$(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$

در این تعریف، مجموعه تک عضوی $\{a\}$ را مولفه اول و مجموعه $\{a, b\}$ را مولفه دوم می‌نامند.

در این تعریف مفهوم ترتیب به‌گونه‌ای زیبا و دقیق بیان شده است.

برای روشن شدن مطلب به‌جای $a$ و $b$ از نمادهای $○, □$ استفاده می‌کنیم:

$(□, ○) = \{\{□\}, \{□, ○\}\}$

حال اگر جای مولفه اول و دوم را عوض کنیم، داریم:

$(○, □) = \{\{○\}, \{○, □\}\}$

به‌وضوح دیده می‌شود که:

$(□, ○) \neq (○, □)$

نکته

دو زوج مرتب $(a, b)$ و $(c, d)$ مساوی هستند، اگر و تنها اگر مولفه‌های اول آنها با هم و مولفه‌های دوم آنها نیز باهم برابر باشند، به‌عبارت دیگر:

$(a, b) = (c, d) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = c \\ b = d \end{cases}$

تمرین

متغیرهای موجود در تساوی‌های زیر را به‌دست آورید:

$(x + y, 2 x - y) = (3, 6)$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 3 \\ 2 x - y = 6 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 0 \end{cases} \end{matrix}$

$(\{2, k + 1, y\}, (x - 1, 8)) = (\{3, k, 2\}, (2, p^{3}))$

$\begin{array}{l} \{2, k + 1, y\} = \{3, k, 2\} \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{2, k + 1, y\} = \{2, 3, k\} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} k + 1 = 3 \Rightarrow k = 2 \\ y = k \overset{k = 2}{\to} y = 2 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} (x - 1, 8) = (2, p^{3}) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \\ 8 = p^{3} \Rightarrow p = 2 \end{cases} \end{array}$

$({(x - 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{4} + {(\sqrt{2} a + 3)}^{6}, 2 b + 7) = (0, - 1)$

$\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{4} + {(\sqrt{2} a + 3)}^{6} = 0 \\ 2 b + 7 = - 1 \Rightarrow b = - 4 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ 3 y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sqrt{2} a + 3 = 0 \Rightarrow a = - \frac{3}{\sqrt{2}} = - \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{array}$

یادآوری می‌کنیم که:

اگر مجموع چند عبارت مثبت برابر صفر باشند، باید تک‌تک آنها برابر صفر باشد.

$(4, - 1) = a (2, 1) + b (1, - 1)$

$\begin{array}{l} (4, - 1) = a (2, 1) + b (1, - 1) \\ \Rightarrow (4, - 1) = (2 a, a) + (b, - b) \\ \Rightarrow (4, - 1) = (2 a + b, a - b) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 2 a + b = 4 \\ a - b = - 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \end{array}$

تمرین

اگر دو زوج مرتب $(a, b)$ و $(c, d)$ با هم برابر باشند، ثابت کنید $a d = b c$ .

$(a, b) = (c, d) \Rightarrow \{\begin{cases} a = c \\ d = b \end{cases}〉 a d = b c$

طرفین تساوی را در هم ضرب کرده‌ایم.

تمرین

مقادیر $x, y$ را طوری تعیین کنید که تساوی زیر برقرار باشد:

$(x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y, 7) = (- 10, 7)$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y = - 10 \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 10 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 2 y + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ y + 1 = 0 \Rightarrow y = - 1 \end{cases} \end{array}$

تعریف سه‌تایی مرتب

اگر یکی از مولفه‌های زوج مرتبی، خود یک زوج مرتب باشد، در این‌صورت به آن یک سه‌تایی مرتب گویند، مانند $(a, (b, c))$ که طبق قرار داد آن را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$(a, (b, c)) = (a, b, c)$

$a$ را مولفه اول می‌نامیم.
$b$ را مولفه دوم می‌نامیم.
$c$ را مولفه سوم می‌نامیم.

نکته

دو سه‌تایی مرتب $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ و $(b_{1}, b_{2}, b_{3})$ مساوی هستند، اگر و تنها اگر مولفه‌های اول آنها با هم و مولفه‌های دوم آنها با هم و مولفه‌های سوم آنها نیز با هم برابر باشند، به‌عبارت دیگر:

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ a_{3} = b_{3} \end{cases}$

تمرین

متغیرهای موجود در تساوی‌ زیر را به‌دست آورید:

$(2 x, x + y, x - y - 2 z) = (4, - 1, 3)$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 2 x = 4 \Rightarrow x = 2 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} x + y = - 1 \Rightarrow (2) + y = - 1 \Rightarrow y = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} x - y - 2 z = 3 \Rightarrow (2) - (- 3) - 2 z = 3 \Rightarrow 2 z = 2 \Rightarrow z = 1 \end{array}$

تعریف $n$ تایی مرتب

هر $n$ تایی مرتب را به‌صورت $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ نشان می‌دهیم و در این $n$ تایی مرتب به‌ترتیب:

$a_{1}$ را مولفه اول می‌نامیم.
$a_{2}$ را مولفه دوم می‌نامیم.
$⋮$
$a_{n}$ را مولفه $n$ ام می‌نامیم.

نکته

دو $n$ تایی مرتب $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ و $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{n})$ مساوی هستند، اگر و تنها اگر مولفه‌های اول آنها با هم و مولفه‌های دوم آنها با هم و ....و مولفه‌های $n$ ام آنها نیز با هم برابر باشند، به‌عبارت دیگر:

$(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) = (b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} = b_{n} \end{cases}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1402

حداقل چند زوج مرتب با مولفه هایی از اعداد طبیعی انتخاب کنیم تا به‌طور قطع، لااقل در دو جفت انتخاب شده، هر کدام از مجموعه مولفه های اول و مجموعه مولفه های دوم مضرب $5$ باشند.

$13$
$14$
$25$
$26$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حاصل ضرب دکارتی

مرتب‌ ها

تعریف زوج مرتب

تعریف کوراتوسکی

تعریف سه‌تایی مرتب

تعریف $n$ تایی مرتب

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

حاصل ضرب دکارتی

مرتب‌ ها

تعریف زوج مرتب

تعریف کوراتوسکی

تعریف سه‌تایی مرتب

تعریفnتایی مرتب

تست‌های این مبحث

تعریف $n$ تایی مرتب