سرفصل‌های این مبحث

حاصل ضرب دکارتی

حاصل‌ ضرب دکارتی دو‌ مجموعه

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: حاصل ضرب دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف

اگر $A$ و $B$ دو مجموعه باشند، حاصل‌ضرب دکارتی $A$ در $B$ را که با نماد $A \times B$ نشان می‌دهند، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$A \times B = \{(x, y) | x \in A \land y \in B\}$

به‌همین ترتیب حاصل‌ضرب دکارتی $B$ در $A$ را که با نماد $B \times A$ نشان می‌دهند، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$B \times A = \{(x, y) | x \in B \land y \in A\}$

برای دو حالت دیگر داریم:

$\begin{array}{l} A^{2} = A \times A = \{(x, y) | x \in A \land y \in A\} \end{array}$

$B^{2} = B \times B = \{(x, y) | x \in B \land y \in B\}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} y = \{0, 1\} \\ z = \{1, 0\} \end{array}$

حاصل ضرب های دکارتی زیر را بنویسید.

$\begin{array}{l} y \times z \end{array}$

$\begin{array}{l} y \times z = \{0, 1\} \times \{1, 0\} = \{(0, 1), (0, 0), (1, 1), (1, 0)\} \end{array}$

$z \times y$

$z \times y = \{1, 0\} \times \{0, 1\} = \{(1, 0), (1, 1), (0, 0), (0, 1)\}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A = \{1, 2\} \\ B = \{a, b, c\} \end{array}$

مطلوب است:

$\begin{array}{l} A \times B \end{array}$

$\begin{array}{l} A \times B = \{(x, y) | x \in A \land y \in B\} \end{array}$

$A \times B = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}$

برای تعيين عناصر $A \times B$ برای سهولت از نموداری موسوم به نمودار درختی استفاده كنيم:

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} B \times A \end{array}$

$B \times A = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

پیمان گردلو

$A \times A$

$A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$

$B \times B$

$B \times B = \{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)\}$

تمرین

حاصل ضرب های دکارتی زیر را بنویسید.

$\begin{array}{l} R \times \{0\} \end{array}$

$R \times \{0\} = \{(x, 0) | x \in R\}$

اين مجموعه شامل كليه نقاط واقع بر محور $x$ هاست و عرض تمام نقاط اين مجموعه $0$ است.

$\{0\} \times R$

$\{0\} \times R = \{(0, y) | y \in R\}$

اين مجموعه شامل كليه نقاط واقع بر محور $y$ هاست و طول تمام نقاط اين مجموعه $0$ است.

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید

$\begin{array}{l} A = \{1, 2, 3, 4\} \\ B = \{\emptyset\} \end{array}$

حاصل ضرب های دکارتی زیر را بنویسید.

$\begin{array}{l} A \times B \end{array}$

$\begin{array}{l} A \times B = \{1, 2, 3, 4\} \times \{\emptyset\} = \{(1, \emptyset), (2, \emptyset), (3, \emptyset), (4, \emptyset)\} \end{array}$

$B \times A$

$B \times A = \{\emptyset\} \times \{1, 2, 3, 4\} = \{(\emptyset, 1), (\emptyset, 2), (\emptyset, 3), (\emptyset, 4)\}$

تمرین

اگر $A = \{a\}$ باشد، مقدار زیر را به‌دست آورید:

$A^{2}$

$A^{2} = A \times A = \{a\} \times \{a\} = \{(a, a)\}$

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} A = \{m a n, w o m a n\} \\ B = \{c a t, d o g, f i s h\} \end{array}$

حاصل ضرب دکارتی زیر را بنویسید.

$A \times B$

$A \times B = \{(m a n, c a t), (m a n, d o g), (m a n, f i s h), (w o m a n, c a t), (w o m a n, d o g), (w o m a n, f i s h)\}$

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} A = \{1, 2\} \\ B = \{a, b, c\} \\ c = \{c, d\} \end{array}$

مجموعه ‌های زیر را حساب کنید:

$(A \times B) \cap (A \times C)$

$\begin{array}{l} A \times B = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \times C = \{(1, c), (1, d), (2, c), (2, d)\} \end{array}$

$(A \times B) \cap (A \times C) = \{(1, c), (2, c)\}$

$A \times (B \cap C)$

$\begin{array}{l} B \cap C = \{c\} \end{array}$

$\begin{array}{l} A = \{1, 2\} \end{array}$

$A \times (B \cap C) = \{1, 2\} \times \{c\} = \{(1, c), (2, c)\}$

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} A = \{1, - 1, 2, - 2\} \\ B = \{0, 3, 4\} \end{array}$

حاصل ضرب های دکارتی زیر را بنویسید.

$A \times B$

$\begin{array}{l} A \times B = \{(1, 0), (1, 3), (1, 4), (- 1, 0), (- 1, 3), (- 1, 4), (2, 0), (2, 3), (2, 4), (- 2, 0), (- 2, 3), (- 2, 4)\} \end{array}$

$B \times A$

$B \times A = \{(0, 1), (0, - 1), (0, 2), (0, - 2), (3, 1), (3, - 1), (3, 2), (3, - 2), (4, 1), (4, - 1), (4, 2), (4, - 2)\}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعداد اعضای مجموعه $A \times B$

فرض کنید $A$ مجموعه‌ای $m$ عضوی است که به‌صورت زیر نشان می‌دهند:

$|A| = n (A) = m$

و هم‌چنین $B$ مجموعه‌ای $n$ عضوی است که به‌صورت زیر نشان می‌دهند:

$|B| = n (B) = n$

برای تعیین تعداد اعضای مجموعه $A \times B$ یعنی تعداد زوج‌های مرتب حاصل‌ضرب دکارتی $A$ در $B$ داریم:

$n (A \times B) = n (A) \times n (B) = m \times n$

در واقع برای هر زوج مرتب $(x, y)$ در $A \times B$ :

برای $x$ به تعداد $n (A)$ انتخاب موجود است.
برای $y$ به تعداد $n (B)$ انتخاب موجود است.

تمرین

فرض كنيد داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A = \{1, 2, 3, 6\} \\ B = \{8, 9, 10\} \end{array}$

تعداد عضوهای زیر را تعيين كنيد.

$\begin{array}{l} A \times B \end{array}$

$\begin{array}{l} n (A \times B) = n (A) \times n (B) = 4 \times 3 = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} B \times A \end{array}$

$\begin{array}{l} A (B \times A) = n (B) \times n (A) = 3 \times 4 = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} n (A^{2}) = n (A) \times n (A) = 4 \times 4 = 16 \end{array}$

$B^{4}$

$n (B^{4}) = n (B) \times n (B) \times n (B) \times n (B) = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

تمرین

مجموعه $A$ دارای $32$ زير مجموعه و مجموعه $B$ دارای $4$ عضو می‌باشد.

مجموعه $A \times B$ چند عضوی است؟

مجموعه $A$ دارای $32$ زير مجموعه است:

$2^{n (A)} = 32 \Rightarrow 2^{n (A)} = 2^{5} \Rightarrow n (A) = 5$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} n (A) = 5 \\ n (B) = 4 \end{cases} \end{array}$

$n (A \times B) = n (A) \times n (B) = 5 \times 4 = 20$

تمرین

دو مجموعه $A, B$ به‌ترتيب $5, 3$ عضو دارند.

به هركدام $3$ عضو جديد اضافه نموده‌ايم.

تعداد اعضای حاصل ضرب دكارتی در مجموعه جديد، چند واحد از تعداد اعضای مجموعه $A \times B$ بيش تر است؟

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} n (A) = 3 \\ n (B) = 5 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} n (A \times B) = n (A) \times n (B) = 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} n (C) = n (A) + 3 = 3 + 3 = 6 \\ n (D) = n (B) + 3 = 5 + 3 = 8 \end{cases} \end{array}$

$n (C \times D) = n (C) \times n (D) = 6 \times 8 = 48$

$n (C \times D) - n (A \times B) = 48 - 15 = 33$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- اگر $A$ و $B$ دو مجموعه باشند و داشته باشیم:

$A \times B = B \times A$

در این‌صورت داریم:

$n (A \times B) = n (B \times A)$

2- اگر $A$ و $B$ هر یک مجموعه اعداد حقیقی یعنی $ℝ$ باشد، $A \times B$ به‌صورت $ℝ \times ℝ$ در می‌آید، که بنابر قرارداد آن‌را با $ℝ^{2}$ نشان می‌دهیم و لذا خواهیم داشت:

$ℝ^{2} = ℝ \times ℝ = \{(x, y) | x \in ℝ \land y \in ℝ\}$

مجموعه $ℝ^{2}$ مجموعه کلیه نقاط صفحه مختصات دکارتی است و با یک دستگاه دو‌بعدی می‌توان سطح را نشان داد.

هر نقطه در صفحه دارای دو مختص طول و عرض می‌باشد که این دو مختص با توجه به تعریف می‌توانند یک زوج مرتب تشکیل دهند، یعنی نقطه $A (x, y)$ می‌تواند با زوج مرتب $(x, y)$ متناظر باشد.

واضح است که $(x, y) \neq (y, x)$ می‌باشد، زیرا دو نقطه متمایز در صفحه می‌باشند.

3- برای تعیین عناصر $A \times B$ برای سهولت از نموداری موسوم به نمودار درختی استفاده کنیم:

یک نمودار درختی (ریشه دار) وسیله‌ای مفید برای شمارش تمام امکان‌های منطقی یک دنباله از پیشامدها است که در آن هر پیشامد می‌تواند با تعداد راه‌های با پایان اتفاق بیفتد.

تمرین

دو مجموعه زیر مفروض است:

$\{\begin{cases} A = \{1, - 1, 2, - 2\} \\ B = \{0, 3, 4\} \end{cases}$

نمودار مختصاتی هر یک از مجموعه‌های زیر را رسم کنید.

$A \times B$

$A \times B = \{(1, 0), (1, 3), (1, 4), (- 1, 0), (- 1, 3), (- 1, 4), (2, 0), (2, 3), (2, 4), (- 2, 0), (- 2, 3), (- 2, 4)\}$

$B \times A$

$B \times A = \{(0, 1), (0, - 1), (0, - 2), (0, 2), (3, 1), (3, - 1), (3, 2), (3, - 2), (4, 1), (4, - 1), (4, 2), (4, - 2)\}$

تمرین

نمودارهای مختصاتی زیر مفروض است:

مجموعه‌های $A$ و $B$ را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} A = \{2, 3\} \\ B = \{2, 3, 4\} \end{cases}$

تمرین

دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} A = \{2, 3, 4\} \\ B = \{2, 3\} \end{array}$

نمودار مختصاتی $A \times B$ را رسم كنيد؟

$\begin{array}{l} A \times B = \{(x, y) | x \in A \land y \in B\} \end{array}$

$A \times B = \{(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3)\}$

تمرین

بازه $A$ و مجموعه $B$ را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} A = (1, 4] \\ B = \{1, 2\} \end{array}$

نمودار مجموعه های زیر را رسم کنید.

$\begin{array}{l} A \times B \end{array}$

$A \times B = \{(x, y) |(1 < x \leq 4) \land (y = 1 \lor y = 2)\}$

$B \times A$

$B \times A = \{(x, y) |(x = 1 \lor x = 2) \land (1 < y \leq 4)\}$

تمرین

فرض کنید:

$\begin{array}{l} A = R \\ B = \{0, 1, 2\} \end{array}$

نمودار مجموعه زیر را رسم کنید.

$A \times B$

$A \times B = \{(x, y) |(x \in ℝ) \land (y = 0 \lor y = 1 \lor y = 2)\}$

تمرین

در صورتی که داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A = [1, 4] \\ B = [0, 2] \end{array}$

نمودار زیر را که بخشی از صفحه مختصات دکارتی است را هاشور بزنید.

$A \times B = \{(x, y) |(1 \leq x \leq 4) \land (0 \leq y \leq 2)\}$

تمرین

$B \times A, A \times B$ را به‌وسیله مجموعه های زیر رسم کنید.

$\begin{array}{l} A = \{3, 4\}, B = (1, 5] \end{array}$

$\begin{array}{l} A = [2, 6], B = [3, 8] \end{array}$

$\begin{array}{l} A = N, B = [1, 4] \end{array}$

$A = R, B = \{2, 3\}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$I = [0, 1] = \{x \in R | 0 \leq x \leq 1\}$

مجموعه $I \times I$ را مشخص كنيد.

$I \times I = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$

مجموعه $I \times I$ شامل تمام نقاط واقع بر داخل يا روی مربع واحد است.

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = \{x \in R | 1 \leq x \leq 2\}$

نمودار $A \times A$ را مشخص كنيد؟

$A \times A = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\}$

در واقع $A \times A$ مجموعه نقاطی از صفحه است كه طول و عرض اين نقاط در داخل و روی مربعی به طول واحد و به شكل زير می‌باشد.

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید: $(a > b)$

$\begin{array}{l} A = \{x \in R | 0 \leq x \leq a\} \\ B = \{x \in R | b \leq x \leq e\} \\ C = \{y \in R | 0 \leq y \leq c\} \end{array}$

تساوی زیر را از نظر هندسی توجیه کنید:

$(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$

وقتی $(A \cap B)$ در مجموعه $C$ ضرب شود طبق آن‌چه در مورد ضرب دكارتی گفته‌ايم، عضوهای مجموعه جديد به‌صورت زوج مرتب بوده و يک سطح را ايجاد می‌كنند.

تمرین

فرض کنید:

$\begin{array}{l} A = \{y + 2, 5, z\} \\ B = \{x + 1, 4, - 2\} \end{array}$

اگر تساوی زیر برقرار باشد:

$A \times B = B \times A$

بیش ترین مقدار را برای عبارت زیر بیابید.

$x + y + z$

$i f A \times B = B \times A \Leftrightarrow A = B$

$\begin{array}{l} A = B \Rightarrow \{y + 2, 5, z\} = \{x + 1, 4, - 2\} \end{array}$

$\begin{array}{l} x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y + 2 = 4 \\ z = - 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} y = 2 \\ z = - 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y + 2 = - 2 \\ z = 4 \end{cases}〉 \{\begin{cases} y = - 4 \\ z = 4 \end{cases} \end{array}$

$\max (x + y + z) = 4$

تمرین

مجموعه های زیر را فرض کنید:

$\begin{matrix} A = \{a - 2, 6, 2 b + 1, c\} \end{matrix}$

$B = \{\sqrt{d}, 5, - 1\}$

اگر داشته باشیم:

$A \times B = B \times A$

در چند حالت مقدار $a + b + c = 9$ است؟

یادآوری)

$i f A \times B = B \times A \Rightarrow n (A \times B) = n (B \times A)$

$\{\begin{cases} A = \{a - 2, 6, 2 b + 1, c\} \\ B = \{\sqrt{d}, 5, - 1\} \end{cases}〉 \sqrt{d} = 6 \Rightarrow d = 36$

در مجموعه جدید داریم:

$\{\begin{cases} A = \{a - 2, 6, 2 b + 1, c\} \\ B = \{6, 5, - 1\} \end{cases}$

حالت اول)

$2 b + 1 = - 1 \Rightarrow b = - 1; A = \{6, - 1, a - 2, c\}$

$\begin{array}{l} a + b + c = 9; b = - 1 \\ \Rightarrow a + (- 1) + c = 9 \\ \Rightarrow a + c = 10 \\ \Rightarrow (a - 2) + c = 8 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} i f a - 2 = 5; c = 3 \otimes \\ i f c = 5; a - 2 = 3 \otimes \end{cases} \end{array}$

حالت دوم)

$2 b + 1 = 5 \Rightarrow b = 2; A = \{6, 5, a - 2, c\}$

$\begin{array}{l} a + b + c = 9; b = 2 \\ \Rightarrow a + 2 + c = 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + c = 7 \\ \Rightarrow (a - 2) + c = 5 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} i f a - 2 = - 1; c = 6 \\ i f a - 2 = 6; c = - 1 \end{cases} \end{array}$

در دو حالت $a + b + c = 9$ است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی 1401

مجموعه های $D, C, B, A$ را در نظر بگیرید. تعداد اعضای $C$ دو واحد بیشتر از $A$ و تعداد اعضای $D$ سه واحد کمتر از $B$ است.

اگر تعداد اعضای مجموعه $C \times B$ ، $% 25$ بیشتر از تعداد اعضای مجموعه $A \times B$ و $1 / 5$ برابر تعداد اعضای مجموعه $A \times D$ باشد، اختلاف تعداد اعضای مجموعه های $A$ و $B$ چقدر است؟

$2$
$5$
$7$
$10$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

بازه های زیر بازه هایی از اعداد حقیقی می‌باشند:

$B = (3, 8), A = [2, 6]$

مساحت ناحیه متناظر با $A^{2} - B^{2}$ چقدر است؟

$5$
$11$
$9$
$7$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

حاصل‌ضرب دکارتی دو‌مجموعه

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حاصل ضرب دکارتی