سرفصل‌های این مبحث

هندسه دکارتی

مختصات وسط پاره خط

آخرین ویرایش: 18 آبان 1403

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه اول

قضیه

اگر $A (x_{A}, y_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B})$ دو نقطه در صفحه مختصات $x o y$ باشند، مختصات نقطه $M$ وسط پاره‌ خط $A B$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$M \{\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \end{matrix}$

اثبات

از نقاط $A$ و $B$ و $M$ خطوطی بر دو محور عمود می‌کنیم تا به ترتیب محور طول را در نقاط $A^{'}$ و $B^{'}$ و $M^{'}$ و محور عرض را در نقاط $A^{''}$ و $B^{''}$ و $M^{''}$ قطع کند.

نقطه $M^{'}$ وسط پاره خط $A^{'} B^{'}$ است، بنابراین:

$\begin{array}{l} \bar{B^{'} M^{'}} = \bar{M^{'} A^{'}} \\ \Rightarrow \bar{O M^{'}} - \bar{O B^{'}} = \bar{O A^{'}} - \bar{O M^{'}} \\ \Rightarrow 2 \bar{O M^{'}} = \bar{O A^{'}} + \bar{O B^{'}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \bar{O M^{'}} = \frac{\bar{O A^{'}} + \bar{O B^{'}}}{2} \\ \Rightarrow x_{M^{'}} = \frac{x_{A^{'}} + x_{B^{'}}}{2} \\ \Rightarrow x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \end{array}$

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود:

$y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

یادآوری

خلاصه مطالب فوق را در شکل زیر مشاهده می‌کنید:

هندسه دکارتی - پیمان گردلو

تمرین

اگر نقاط زیر دو سر يک پاره خط باشند، مختصات نقطه $M$ وسط پاره خط $A B$ را بیابید.

$A (1, - 4), B (- 5, - 2)$

$\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{1 + (- 5)}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- 4 + (- 2)}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3 \end{matrix}$

$M (- 2, - 3)$ وسط پاره خط $A B$ است.

تمرین

نقاط زیر سه راس مثلث $O A B$ هستند.

$A (4, 1), B (8, - 2), O (0, 0)$

طول پاره خطی كه وسط $O A$ را به وسط $O B$ وصل می‌كند، به‌دست آوريد.

پاره خطی كه وسط $O A$ را به وسط $O B$ وصل می‌كند، نصف $A B$ است.

$\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}} = \frac{5}{2}$

تمرین

اگر نقاط زیر وسط های اضلاع يک مثلث باشند، مختصات رئوس مثلث را پيدا كنيد.

$P (- 1, 2), N (3, 1), M (1, - 1)$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \overset{x_{M} = 1}{\to} x_{A} + x_{B} = 2 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \overset{y_{M} = - 1}{\to} y_{A} + y_{B} = - 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{N} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} \overset{x_{N} = 3}{\to} x_{B} + x_{C} = 6 \\ y_{N} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} \overset{y_{N} = 1}{\to} y_{B} + y_{C} = 2 \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} x_{P} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} \overset{x_{P} = - 1}{\to} x_{A} + x_{C} = - 2 \\ y_{P} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} \overset{y_{P} = 2}{\to} y_{A} + y_{C} = 4 \end{cases}$

$\{\begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 2 \\ x_{B} + x_{C} = 6 \Rightarrow x_{B} = 6 - x_{C} \end{matrix}〉 x_{A} + (6 - x_{C}) = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} - x_{C} = - 4 \\ x_{A} + x_{C} = - 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x_{A} = - 3 \\ x_{C} = 1 \\ x_{B} = 5 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y_{A} + y_{B} = - 2 \\ y_{B} + y_{C} = 2 \Rightarrow y_{B} = 2 - y_{C} \end{matrix}〉 y_{A} + (2 - y_{C}) = - 2 \Rightarrow \{\begin{cases} y_{A} - y_{C} = - 4 \\ y_{A} + y_{C} = 4 \end{cases}〉 \{\begin{cases} y_{A} = 0 \\ y_{C} = 4 \\ y_{B} = - 2 \end{cases} \\ A (- 3, 0), B (5, - 2), C (1, 4) \end{array}$

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

$A (a - 1, 2), B (2 a + b, a - b), C (6, - 2)$

مقادیر $a, b$ را چنان بيابيد كه نقطه $B$ وسط پاره خط $A C$ باشد.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} x_{B} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} \Rightarrow 2 a + b = \frac{(a - 1) + 6}{2} \Rightarrow 2 a + b = \frac{a + 5}{2} \Rightarrow 4 a + 2 b = a + 5 \Rightarrow 3 a + 2 b = 5 \end{array} \end{array}$

$y_{B} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} \Rightarrow a - b = \frac{2 - 2}{2} \Rightarrow a - b = 0$

$\{\begin{cases} 3 a + 2 b = 5 \\ a - b = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases}$

تمرین

دو نقطه ثابت $A, B$ را در صفحه در نظر بگیرید.

مكان هندسی نقاطی را به‌دست آورید كه مجموع مربعات فواصل آن از دو نقطه، برابر مقدار ثابت $k^{2}$ باشد.

محور $x$ ها را بر امتداد $A B$ در نظر می‌گیریم.

محور $y$ ها را عمود منصف $A B$ در نظر می‌گيريم.

اگر $A B = 2 A$ باشدمختصات نقاط $A, B$ به‌صورت زیر است:

$A (a, 0), B (- a, 0)$

فرض كنيم $M (x, y)$ يكی از نقاط مكان باشد.

مجموع مربعات فواصل دو $A, B$ برابر مقدار ثابت $k^{2}$ است.

$\begin{array}{l} M A^{2} + M B^{2} = k^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(x - a)}^{2} + {(y - 0)}^{2}] + [{(x + a)}^{2} + {(y - 0)}^{2}] = k^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 a^{2} = k^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = \frac{k^{2} - 2 a^{2}}{2} \end{array}$

يعنی مكانِ نقطه $M$ دايره ای است به مركز وسط $A B$ و شعاع زیر:

$r = \frac{k^{2} - 2 a^{2}}{2}$

تمرین

دو نقطه ثابت $A, B$ را در صفحه در نظر بگیرید.

مكان هندسی نقاطی را به‌دست آورید كه تفاضل مربعات فواصل آن از دو نقطه، برابر مقدار ثابت $k^{2}$ باشد.

محور $x$ ها را بر امتداد $A B$ در نظر می‌گیریم.

محور $y$ ها را عمود منصف $A B$ در نظر می‌گيريم.

اگر $A B = 2 A$ باشدمختصات نقاط $A, B$ به‌صورت زیر است:

$A (a, 0), B (- a, 0)$

فرض كنيم $M (x, y)$ يكی از نقاط مكان باشد.

$\begin{array}{l} M A^{2} - M B^{2} = k^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(x - a)}^{2} + {(y - 0)}^{2}] - [{(x + a)}^{2} + {(y - 0)}^{2}] = k^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 4 a x = k^{2} \\ \Rightarrow x = - \frac{k^{2}}{4 a} \end{array}$

يعنی مكانِ نقطه $M$ خطی است عمود بر $A B$ و به فاصله $- \frac{k^{2}}{4 a}$ از وسط $A B$ .

تمرین

خط متغيری از نقطه $(- 2, 1)$ می‌گذرد.

این خط محورهای مختصات را در نقاط $A, B$ قطع می‌كند.

معادله مكان هندسه وسط $A B$ بيابيد.

فرض كنيد $y = m x + d$ معادله خط متغير باشد.

چون اين خط از نقطه $(- 2, 1)$ می‌گذرد، مختصات اين نقطه در معادله صدق می‌كند:

$\begin{array}{l} d : y = m x + d; (- 2, 1) \in d \\ 1 = - 2 m + d \\ \Rightarrow d = 1 + 2 m; y = m x + d \\ \Rightarrow y = m x + (1 + 2 m) \end{array}$

پس معادله اين خط به شكل زیر است:

$\begin{array}{l} y = m x + (1 + 2 m) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow y = 1 + 2 m; B (0, 1 + 2 m) \end{array}$

$i f y = 0 \Rightarrow x = \frac{- (1 + 2 m)}{m}; A (- \frac{1 + 2 m}{m}, 0)$

مختصات وسط پاره خط $A B$ به‌صورت زیر است:

$M [- \frac{1}{2 m} (1 + 2 m), \frac{1}{2} (1 + 2 m)]$

برای یافتن معادله مکان هندسی وسط $A B$ پارامتر $m$ را بين معادله های زير حذف می‌کنيم:

$\begin{array}{l} x_{M} = - \frac{1}{2 m} (1 + 2 m) \Rightarrow x = - \frac{1}{2 m} - 1 \end{array}$

$y_{M} = \frac{1}{2} (1 + 2 m) \Rightarrow 2 y = 1 + 2 m \Rightarrow 2 m = 2 y - 1$

$\begin{array}{l} i f x = - \frac{1}{2 m} - 1 \\ \Rightarrow x = - \frac{1}{2 y - 1} - 1; 2 m = 2 y - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{- 1 - (2 y - 1)}{2 y - 1} \\ \Rightarrow x (2 y - 1) = - 1 - (2 y - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (2 y - 1) + 2 y + 1 - 1 = 0 \\ \Rightarrow x (2 y - 1) + 2 y = 0 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه دوم

قضیه

در یک دستگاه مختصات دکارتی، اگر چهار ضلعی $A B C D$ متوازی الاضلاع باشد، آن‌گاه:

$\{\begin{cases} x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \\ y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} \end{cases}$

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} \\ x_{M} = \frac{x_{B} + x_{D}}{2} \end{array}〉 \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{x_{B} + x_{D}}{2} \Rightarrow x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \end{array}$

$\{\begin{cases} y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{B} + y_{D}}{2} \end{cases}〉 \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{y_{B} + y_{D}}{2} \Rightarrow y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D}$

تمرین

نقاط زیر چهار راس متوازی الاضلاع $A B C D$ می‌باشند.

$\begin{matrix} A (a + 2, 2 b) \\ B (5, a) \\ C (b, 2 a) \\ D (4, 11) \end{matrix}$

$a$ و $b$ را به‌دست آوريد.

$\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \Rightarrow (a + 2) + b = 5 + 4 \Rightarrow a + b = 7 \end{array} \end{matrix}$

$y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} \Rightarrow 2 b + 2 a = a + 11 \Rightarrow 2 b + a = 11$

از حل دستگاه دو معادله و دو مجهول فوق، $a$ و $b$ به‌دست می‌آید:

$\{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \end{cases}$

تمرین

نقاط زیر سه راس متوازی الاضلاع $A B C D$ می‌باشند.

$\begin{array}{l} A (- 2, 4) \\ B (1, 2) \\ C (3, 1) \end{array}$

مختصات راس $D$ را پيدا كنيد.

$\begin{matrix} x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \Rightarrow - 2 + 3 = 1 + x_{D} \Rightarrow x_{D} = 0 \end{matrix}$

$y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} \Rightarrow 4 + 1 = 2 + y_{D} \Rightarrow y_{D} = 3$

مختصات راس $D (0, 3)$ می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه سوم

قضیه

اگر $G$ نقطه تلاقی میانه‌های مثلث ABC باشد، آن‌گاه مختصات نقطه $G$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \end{cases}$

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو

می‌دانیم نقطه برخورد میانه‌های سه راس، هر میانه را به نسبت $2$ و $1$ تقسیم می کند، یعنی:

$\frac{A G}{G M} = \frac{2}{1}$

فرض کنیم $D$ وسط $A G$ باشد:

$\begin{array}{l} x_{G} = \frac{x_{D} + x_{M}}{2} \\ \Rightarrow x_{G} = \frac{\frac{x_{A} + x_{G}}{2} + \frac{x_{B} + x_{C}}{2}}{2} \\ \Rightarrow x_{G} = \frac{x_{A} + x_{G} + x_{B} + x_{C}}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x_{G} = x_{A} + x_{G} + x_{B} + x_{C} \\ \Rightarrow 3 x_{G} = x_{A} + x_{B} + x_{C} \\ \Rightarrow x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \end{array}$

به‌همین ترتیب $y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$ ثابت می‌شود.

تمرین

نقطه $G (2, - 1)$ محل برخورد ميانه های مثلث $A B C$ است.

اگر $B (3, 0), A (0, 4)$ باشد، مختصات راس $C$ را محاسبه كنيد.

$\begin{array}{l} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \Rightarrow 2 = \frac{0 + 3 + x_{C}}{3} \Rightarrow x_{C} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \Rightarrow - 1 = \frac{4 + 0 + y_{C}}{3} \Rightarrow y_{C} = - 7 \end{array}$

مختصات راس $C (3, - 7)$ می‌باشد.

تمرین

نقاط زیر رئوس مثلث $A B C$ هستند.

$\begin{array}{l} A (2 \sin α, 2 \cos α - 2) \\ B (- 1, \cos α - 1) \\ C (1 + \sin α, 3) \end{array}$

طول بردار مكان $G$ (مركز ثقل مثلث) را محاسبه كنيد.

$O G$ طول بردار مکان $G$ (مرکز ثقل مثلث) است.

$\begin{array}{l} O G = \sqrt{x_{G}^{2} + y_{G}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{(2 \sin α) + (- 1) + (1 + \sin α)}{3} = \sin α \end{array}$

$y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{(2 \cos α - 2) + (\cos α - 1) + (3)}{3} = \cos α$

$\begin{array}{l} O G = \sqrt{x_{G}^{2} + y_{G}^{2}} \\ \Rightarrow O G = \sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α} \\ \Rightarrow O G = \sqrt{1} \\ \Rightarrow O G = 1 \end{array}$

تمرین

نقاط زیر دو راس مثلثی هستند.

$A (1, 2), B (4, 1)$

راس سوم آن روی محور طول ها و محل تلاقی ميانه های آن روی نيمساز ربع اول است.

مختصات راس سوم را پيدا كنيد.

راس سوم يعنی نقطه $C$ روی محور طول هاست.

عرض این نقطه صفر است و داریم $C (α, 0)$ .

مختصات ميانه (مرکز ثقل مثلث) روی خط $y = x$ است، يعنی:

$\begin{array}{l} x_{G} = y_{G} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1 + 4 + α}{3} = \frac{2 + 1 + 0}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 + α = 3 \\ \Rightarrow α = - 2 \\ i f α = - 2 \overset{C (α, 0)}{\to} C (- 2, 0) \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

نقاط $C (0, - 1), A (2, 0)$ دو راس یک مربع و روی یک قطر هستند.

کدام نقطه یک راس مربع روی قطر دیگر است؟

$(0, \frac{3}{2})$
$(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$
$(\frac{3}{4}, - \frac{5}{4})$
$(\frac{5}{4}, \frac{1}{4})$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مختصات وسط پاره خط

3,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه دکارتی

مختصات وسط پاره خط

قضیه اول

قضیه دوم

قضیه سوم

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟