تعریف دستگاه مختصات دکارتی
در یک صفحه، دو محور و را عمود بر هم رسم می‌کنیم:
- نقطه فصل مشترک دو محور را مبدا مختصات می‌نامیم.
- محور را محور طول ها می‌نامیم.
- محور را محور عرض ها می‌نامیم.
شکلی که به‌این ترتیب ساخته می‌شود، دستگاه مختصات دکارتی می‌گویند.
نقطه را در صفحه مختصات در نظر گرفته و از آن نقطه، عمودهای و را به‌ترتیب بر دو محور و رسم می‌کنیم.
- اندازه جبری بردار را طول نقطه گوییم و با نشان می‌دهیم.
- اندازه جبری بردار را عرض نقطه گوییم و با نشان می‌دهیم.
- نقطه را به‌صورت نشان می‌دهند که آن را به مختصات و می‌خوانند.
نکته
هر نقطه را که مختصات آن معلوم باشد، می‌توان در صفحه مختصات پیدا کرد.
اگر نقطه ای دلخواه باشد، برای نشان دادن نقطه کافی است نقطه را به طول روی محور طول‌ها و نقطه را به عرض روی محور عرض‌ها معین کرد.
از نقاط و دو عمود به‌ترتیب موازات محور طول و محور عرض رسم کنیم تا یک‌دیگر را در نقطه ای قطع کنند، این نقطه تقاطع همان نقطه است.
به‌این ترتیب هر نقطه در صفحه مختصات با یک جفت حقیقی مانند متناظر است و هر جفت عدد حقیقی را می‌توان با نقطه ای مانند از صفحه، متناظر دانست.
در این‌صورت بین مجموعه نقاط واقع در صفحه مختصات و مجموعه جفت‌های مرتب از اعداد حقیقی یک تناظر یک به یک وجود دارد.
تمرین
نقاطی را در صفحه پیدا کنید که مختصات آنها در زیر آمده است.
تمرین
مختصات دکارتی نقاط روی شکل را بنویسید.
نکته
دو محور عمود بر هم و صفحه مختصات را به چهار ناحیه تقسیم می‌کنند.
هر نقطه واقع بر محور طول ها، عرضش صفر است.
هر نقطه واقع بر محور عرض‌ها، طولش صفر است.
اگر نقطه ای در ناحیه اول یا سوم باشد، طول و عرض آن نقطه هم علامت است.
اگر نقطه ای در ناحیه دوم یا چهارم باشد، طول و عرض آن نقطه مختلف العلامت است.
تمرین
نقاط زیر را روی دستگاه مختصات نشان دهید.
نقاطی که طول آنها مثبت و عرض آنها صفر است.
نقاطی که طول آنها منفی و عرض آنها صفر است.
نقاطی که طول آنها صفر و عرض آنها منفی است.
نقاطی که طول آنها صفر و عرض آنها مثبت است.
نقاطی که طول آنها مثبت و عرض آنها مثبت است. (این ناحیه را ربع اول می‌نامیم.)
قسمت هاشورخورده ناحیه اول می‌باشد.
نقاطی از صفحه که طول و عرض آنها مثبت است.
نقاطی که روی محور طول ها و محور عرض ها هستند و همچنین مبدا مختصات، در این ناحیه نمی‌باشند.
نقاطی که طول آنها منفی و عرض آنها مثبت است. (این ناحیه را ربع دوم می‌نامیم.)
قسمت هاشورخورده، ناحیه دوم می‌باشد.
نقاطی از صفحه که طول آنها منفی و عرض آنها مثبت است.
نقاطی که روی محور طول ها و محور عرض ها هستند و همچنین مبدا مختصات، در این ناحیه نمی‌باشند.
نقاطی که طول آنها منفی و عرض آنها منفی است. (این ناحیه را ربع سوم می‌نامیم.)
قسمت هاشورخورده، ناحیه سوم می‌باشد.
نقاطی از صفحه که طول آنها منفی و عرض آنها منفی است.
نقاطی که روی محور طول ها و محور عرض ها هستند و همچنین مبدا مختصات، در این ناحیه نمی‌باشند.
نقاطی که طول آنها مثبت و عرض آنها منفی است. (این ناحیه را ربع چهارم می‌نامیم.)
قسمت هاشورخورده، ناحیه چهارم می‌باشد.
نقاطی از صفحه که طول آنها مثبت و عرض آنها منفی است.
نقاطی که روی محور طول ها و محور عرض ها هستند و همچنین مبدا مختصات، در این ناحیه نمی‌باشند.
نکته
هر نقطه از صفحه مختصات دکارتی مانند ، دقیقا توسط یک زوج مرتب مانند که مشخص می‌شود.
هر زوج مرتب مانند دقیقا یک نقطه مانند را مشخص می‌کند.
مجموعه‌ای را که شامل همه نقاط صفحه می‌باشد، به‌صورت زیر نمایش می‌دهند:
تمرین
نقشه زیر را در نظر بگیرید:
مختصات مکان های مورد نظر را از روی نقشه، بنویسید.
