سرفصل‌های این مبحث

جز صحیح (براکت)

تابع كف و تابع سقف

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: جز صحیح (براکت)

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تابع کف

تابع $\{\begin{cases} f : ℝ \to ℤ \\ f (x) = ⌊x⌋ \end{cases}$ را تابع جزء‌صحیح یا تابع کف می‌نامیم و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$i f ⌊x⌋ = n \Leftrightarrow n \leq x < n + 1$

$f (x) = ⌊x⌋$ یک تابع پله‌ای است که مقدار آن در هر یک از فواصل $[n, n + 1)$ مقداری ثابت است.

تمرین

تابع زیر را در چند فاصله مشخص شده، رسم می‌کنیم:

$f (x) = ⌊x⌋$

$\begin{array}{l} - 2 \leq x < - 1 \Rightarrow ⌊x⌋ = - 2 \Rightarrow f (x) = - 2 \end{array}$

null

$\begin{array}{l} 0 \leq x < 1 \Rightarrow ⌊x⌋ = 0 \Rightarrow f (x) = 0 \\ 1 \leq x < 2 \Rightarrow ⌊x⌋ = 1 \Rightarrow f (x) = 1 \\ 2 \leq x < 3 \Rightarrow ⌊x⌋ = 2 \Rightarrow f (x) = 2 \end{array}$

تذکر

یکی از مهم‌ترین توابع پله‌ای، تابع جزء‌صحیح یا براکت (کف) است، که معمولا به‌جای $⌊x⌋$ از نماد $[x]$ استفاده می‌شود.

تابع سقف

تابع $\{\begin{cases} f : ℝ \to ℤ \\ f (x) = ⌈x⌉ \end{cases}$ را تابع سقف می‌نامیم و به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

$i f ⌈x⌉ = n \Leftrightarrow n < x \leq n + 1$

$f (x) = ⌈x⌉$ یک تابع پله‌ای است که مقدار آن در هر یک از فواصل $(n, n + 1]$ ثابت است.

تمرین

تابع زیر را در چند فاصله مشخص شده، رسم می‌کنیم:

$f (x) = ⌈x⌉$

$\begin{array}{l} - 3 < x \leq - 2 \Rightarrow ⌈x⌉ = - 2 \Rightarrow f (x) = - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} - 2 < x \leq - 1 \Rightarrow ⌈x⌉ = - 1 \Rightarrow f (x) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} - 1 < x \leq 0 \Rightarrow ⌈x⌉ = 0 \Rightarrow f (x) = 0 \\ 0 < x \leq 1 \Rightarrow ⌈x⌉ = 1 \Rightarrow f (x) = 1 \\ 1 < x \leq 2 \Rightarrow ⌈x⌉ = 2 \Rightarrow f (x) = 2 \end{array}$

تذکر

معمولا در ریاضیات وقتی صحبت از براکت است، منظور همان تابع کف است که $⌊x⌋$ به‌صورت $[x]$ نمایش داده می‌شود نه تابع سقف $⌈x⌉$ .

نکته

1- رسم تابع $\{\begin{cases} f : ℝ \to ℤ \\ f (x) = ⌊x⌋ + ⌈x⌉ \end{cases}$

تابع فوق را در یک بازه مثلا $[0, 2)$ رسم کرده و نظر کلی را در مورد این تابع بیان می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow ⌊x⌋ = ⌈x⌉ = 0 \Rightarrow f (x) = 0 \\ 0 < x < 1 \Rightarrow \{\begin{cases} ⌊x⌋ = 0 \\ ⌈x⌉ = 1 \end{cases}〉 f (x) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow ⌊x⌋ = ⌈x⌉ = 1 \Rightarrow f (x) = 2 \\ 1 < x < 2 \Rightarrow \{\begin{cases} ⌊x⌋ = 1 \\ ⌈x⌉ = 2 \end{cases}〉 f (x) = 3 \end{array}$

در هر نقطه صحیح $x = n$ داریم:

$⌊x⌋ = ⌈x⌉ = n$

به‌طور کلی داریم:

$f (x) = ⌊x⌋ + ⌈x⌉ = \{\begin{cases} 2 n; x = n \\ 2 n + 1; n < x < n + 1 \end{cases}〉 f (x) = \{\begin{cases} 2 n; x \in ℤ \\ 2 n + 1; x \notin ℤ \end{cases}$

2- رسم تابع $\{\begin{cases} f : ℝ \to ℤ \\ f (x) = ⌈x⌉ - ⌊x⌋ \end{cases}$

تابع فوق را در یک بازه مثلا $[0, 2]$ رسم کرده و نظر کلی را در مورد این تابع بیان می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow ⌊x⌋ = ⌈x⌉ = 0 \Rightarrow f (x) = 0 \\ 0 < x < 1 \Rightarrow \{\begin{cases} ⌈x⌉ = 1 \\ ⌊x⌋ = 0 \end{cases}〉 f (x) = 1 \\ x = 1 \Rightarrow ⌊x⌋ = 1, ⌈x⌉ = 1 \Rightarrow f (x) = 0 \\ 1 < x < 2 \Rightarrow \{\begin{cases} ⌈x⌉ = 2 \\ ⌊x⌋ = 1 \end{cases}〉 f (x) = 1 \\ x = 2 \Rightarrow ⌊x⌋ = ⌈x⌉ = 2 \Rightarrow f (x) = 0 \end{array}$

به‌طور کلی داریم:

$f (x) = ⌈x⌉ - ⌊x⌋ = \{\begin{cases} 0; x = n \\ 1; n < x < n + 1 \end{cases}〉 f (x) = \{\begin{cases} 0; x \in ℤ \\ 1; x \notin ℤ \end{cases}$

3- رسم تابع $\{\begin{cases} f : ℝ \to ℤ \\ f (x) = ⌊x⌋ - ⌈x⌉ \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f f (x) = ⌊x⌋ - ⌈x⌉ = \{\begin{cases} 0; n \in ℤ \\ - 1; n \notin ℤ \end{cases}〉 f (x) = ⌊x⌋ + ⌊- x⌋ \end{array}$

$⌊x⌋ - ⌈x⌉ = ⌊x⌋ + ⌊- x⌋ \Rightarrow ⌈x⌉ = - ⌊- x⌋$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

جزءصحیح (براکت)

تابع كف و تابع سقف

تابع کف

تابع سقف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟