جز صحیح و قوانین آن

آخرین ویرایش: 23 آبان 1403
دسته‌بندی: جز صحیح (براکت)
امتیاز:

تعریف جزء‌صحیح یا براکت

می‌دانیم هر عدد حقیقی مانند x را می‌توان به صورت مجموع یک عدد صحیح مانند n که n و یک عدد اعشاری مثبت مانند p که 0p<1 نوشت، به‌طوری که:

x=n+p     ;     n0p<1

در این‌صورت:

  • عدد n را جزء‌صحیح یا براکت نامیده و آن را معمولا با نماد x نمایش می‌دهند.
  • عدد p را جزء‌اعشاری x می‌نامند و آن را با نماد x نمایش می‌دهند، بنابراین:

x=n+p=x+x

تذکر

براکت هر عدد حقیقی، یک عدد صحیح می‌باشد و هیچ‌وقت برابر عدد کسری یا رادیکالی نخواهد بود.

تمرین

اعداد حقیقی زیر را به صورت یک جزء صحیح و یک جزء اعشاری، می‌نویسیم:  

x=2.5

x=2+0.5

x=2.5=2           ;    2

x=2.5=0.5    ;    00.5<1

x=9.57

x=9+0.57

x=9.57=9               ;    9

x=9.57=0.57    ;    00.57<1

x=12

x=0+12

x=12=0         ;    0

x=12=12    ;    012<1

x=6.25

x=7+0.75

x=6.25=7          ;    7

x=6.25=0.75    ;    00.75<1

x=2

x=1.4x=2+0.6

x=2=2       ;    2

x=2=0.6    ;    00.6<1

نکته

اگر عدد حقیقی x بین دو عدد صحیح متوالی باشد، براکت این عدد حقیقی، عدد صحیح کوچک‌تر از خودش است:

if   nx<n+1x=n

بدین ترتیب برای خارج کردن عبارت از داخل براکت باید آن را در فواصلی از اعداد صحیح که با هم یک واحد اختلاف دارند، قرار دهیم تا عبارت از حالت براکت خارج شود.

تمرین

دستگاه های زير را حل كنيد.

2x+3y=83xy=1

3×2×2x+3y=83xy=1

6x9y=246x2y=2


طرفین تساوی را باهم جمع می‌کنیم:

11y=22y=2      x=1       

if   x=11x<2if   y=22y<3

x+y+4=18yx+1+y1=18xy

از آنجا كه سمت چپ معادله اول و سمت چپ معادله دوم، عددهايی صحیح هستند، بنابراين دستگاه وقتی جواب دارد كه سمت راست هر دو معادله، عددهايی صحیح باشند.


نتيجه می‌شود كه x و y عددهايی صحیح هستند، به اين ترتيب، دستگاه مفروض هم ارز با دستگاه زیر می‌شود: 

x+y+4=18yx+1+y1=18xy

x+2y=142x+2y=18x=4y=5

x+y2=5xx+3=xy+6

از آنجا كه سمت چپ معادله اول و سمت چپ معادله دوم، عددهايی صحیح هستند، بنابراين دستگاه وقتی جواب دارد كه سمت راست هر دو معادله عددهايی صحیح باشند. 


نتيجه می‌شود كه x و y عددهايی صحیح هستند، به اين ترتيب، دستگاه مفروض هم ارز با دستگاه زیر می‌شود: 

x+y2=5xx+3=xy+6

2x+y=72x+y=3


دستگاه جواب ندارد.

تمرین

اگر داشته باشیم:

2x2+1=4x

آن‌گاه عبارات براکتی زیر را محاسبه کنید.

x+12

2x2+1=4x=n

n2x2+1<n+1n4x<n+1


طرفين نامساوی ها در دستگاه فوق را با هم جمع می‌كنيم:

2n2x2+1+4x<2n+22n2x2+2+4x<2n+2

2n2x2+2x+1<2n+2


2n2x+12<2n+2nx+12<n+1

x+12=nx+12=4x

تمرین

اگر داشته باشیم:

1+26+122=198

جزء صحيح عدد زیر چقدراست؟

1+26

1+26+122=198

1+26+122=198

1+26=198+122    ;    Ι

1+26=19811+26=197


Ι   :    0<126<1

1<126<0

126=1

تمرین

بخش صحیح عبارت زیر را به‌دست آورید.

n به تعداد 1366 بار تکرار شده است.

an=1366+1366+1366++1366

a1=1366an=1366+an1an2=an1+1366

a1=136636.9536<a1<37

if    n=2

a22=a1+1366a22=36.95+1366

a22=1402.95a237.4537<a2<38



if    n=3a32=a2+1366a32=37.45+1366

a32=1403.45a337.4637<a3<38


if   n=kak2=ak1+136637<ak<38

an=36      ;       n=137      ;        n>1

قضایا و قوانین جزء‌ صحیح (براکت)

قضیه

n     ;    x+n=x+n

اثبات

فرض كنيم n عدد صحیح باشد:

if    x=nnx<n+1n+nx+n<(n+1)+n

2nx+n<2n+1x+n=2nx+n=n+nx+n=x+n

تمرین

اگر n بر k بخش پذير نباشد، عبارت زیر برابر چه عددی است؟

nkn1k    ;    n,k

n=mk+r     ,    0<r<k

nkn1k=mk+rkmk+r1k

nkn1k=m+rkm+r1k

nkn1k=m+rkmr1k

nkn1k=rkr1k    ;    0<r<k


nkn1k=00nkn1k=0

تمرین

ثابت كنيد اگر برای عدد طبيعی n تساوی زیر برقرار باشد:

n1+n2++nn=2+n11+n12++n1n1

n عددی اول است.

درستی اين برابری ها روشن است:

n1=nnn=1n11=n1n1n1=1


اگر از دو طرف برابریِ فرض، جمله های مساوی را حذف كنيم، سرانجام به اين برابری می‌رسيم:

nk=n1k    ;    Ι


اين برابری بايد برای هر عدد طبيعی k با شرط زیر برقرار باشد:

2kn1


برهان خلف:


فرض می‌كنيم n عدد اول نباشد.


در اين‌صورت بايد n بر عدد اولی مثل p2 بخش پذير باشد.


np را برابر m می‌گيريم، پس:

np=m


از طرف ديگر داریم:

n1p=mp1p

n1p=m1+p1p ; 0α=p1p<1

n1p=m1


np=mn1p=m1np>n1p


نابرابری فوق، برابری Ι را نقص می‌كند.


پس n نمی‌تواند عددی غير اول (مركبی) باشد، یعنی n عددی اول است. 

تمرین

همه مقدارهای حقيقی x را پيدا كنيد كه به‌ازاء هر كدام از آنها عبارت زیر برابر با عددی صحیح باشد.

xx25x+7

فرض می‌کنیم kZ باشد:

xx25x+7=k    ;    kkx25kx+7k=xkx25k+1x+7k=0

در این‌صورت به دو حالت زیر توجه کنید:


حالت اول)
 به‌ازای k=0 اين معادله جوابی برابر صفر دارد.

kx25k+1x+7k=0k=0x=0


به‌ازای k0 وقتی اين معادله درجه دوم جواب حقيقی دارد كه دلتا بزرگتر یا مساوی با صفر باشد.

Δ0b24ac0

5k+124k7k03k210k10

5283k5+2830.09k3.43k0,1,2,3

مجموعه مقدارهای x به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

xx25x+7=kk=0    ;    xx25x+7=0x=0

k=1    ;    xx25x+7=1x25x+7=xx26x+7=0x=3+2  ,  32

k=2    ;    xx25x+7=22x210x+14=x2x211x+14=0x=72  ,  2

k=3    ;    xx25x+7=33x215x+21=x3x216x+21=0x=3  ,  73


مجموعه جواب به ‌صورت زیر می‌باشد:

D=0,2,73,3,72,32,3+2

قضیه

x+x=2x

اثبات

x+n=x+nx+x=x+n    ;    x=n

x+x=x+nx+x=x+xx+x=2x

قضیه

x+x+x+=nx

x به تعداد n مرتبه تکرار شده است.

اثبات

x+x+x+=x+x++x

x+x+x+=nx

قضیه

xx=0

اثبات

if    x=nnx<n+1xx<x+1

xxxx<x+1x

0xx<1xx=0

قضیه

0xx<1   ;   1xx<x+1   ;   2x1<xx   ;   3

اثبات

xx=00xx<1   ;   1xx<x+1   ;   20xxxx<1x

0xxxx<1xxx<1xx1<xx   ;   3

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

y=xnxn

حدود y را مشخص کنید.

یادآوری)

0xx<1

y=xnxny=nxnxn

0xnxn<10nxnxn<n0y<n


y از صفر تا n-1 متغير است.

قضیه

x+x=  0     ;    x1    ;    x

اثبات

if  xx=xx+x=0

if  xx=x1x+x=1

x+x=0    ;      x1    ;    x

پیمان گردلو

قضیه

if   x>yxy    ,    x>yx>y

اثبات

if   x>y

x+x>y+y    ;    0x,y<1

xy

قضیه

nxnx

n عدد طبیعی یا صفر است.

اثبات

x=x+xnx=nx+nxnx=nx+nxnx=nx+nx

if   0x<10nx<n

nx می‌تواند يكی از مقدارهای زیر را قبول کند:

0,1,2,,n1

بنابراین:

if  nx=nx+nxnxnx

قضیه

x,y   ;    x+yx+y

اثبات

x=x+xy=y+y

x+y=x+y+x+y

x+y=x+y+x+y

x+y=x+y+x+y

0x<10y<10x+y<2x+y=0    1

x+y ممکن است 0 یا 1 باشد، در نتیجه:

if   x+y=x+y+x+yx+yx+y

تمرین

m  و n عددهای صحیح و غير منفی اند.

ثابت كنيد نتيجه كسر  زیر، عددی صحیح است.

2m!2n!m!n!m+n!

فرض می‌كنيم:

D=m!n!m+n!N=2m!2n!


بايد ثابت كنيم حاصل كسر ND عددی درست است يعنی N بر D بخش پذير است.


p را عددی اول در نظر می‌گيريم.


اگر a و b بزرگ ترين عددهای صحیحی باشند كه به‌ازای آنها D و N به‌ترتیب بر pa و pb بخش پذير شوند، آن وقت برای بخش پذير بودن N بر D كافی است ثابت كنيم برای هر عدد اول p داریم:

ab


يادآوری می‌کنیم برای مقدارهای طبيعی و فرد n  با شرط n3m+1 عبارت زیر يک عدد طبيعی است:

N=2n!n!n+2!

a=i=1mpi+i=1npi+i=1m+npi=i=1mpi+npi+m+npi

b=i=12mpi+i=12npi=i=12mpi+2npi


برای اين‌كه ثابت كنيم ab نامساوی زیر را ثابت می‌كنيم:

mpi+npi+m+npi2mpi+2npi


فرض می‌كنيم:

npi=Smpi=R


بنابراين، بايد ثابت كنيم برای هر دو عدد غير منفی R و S داریم:

R+S+R+S2R+2S    ;    Ι


روشن است، اگر به R یا S يک واحد اضافه شود، به هر دو طرف اين نابرابری دو واحد اضافه می‌شود، به اين ترتيب كافی است فرض كنيم:

0R<1   ,0S<1


از نابرابری های اخير به‌دست می‌آيد:

ΙΙ  :0R+S<2   02R<202S<2


نابرابری Ι به‌صورت زير در می‌آيد:

R+S2R+2S    ;    ΙΙΙ


در حالتی كه داشته باشيم 0R+S<1 درستی نابرابری ΙΙ روشن است.


وقتی داشته باشيم 1R+S<2 با توجه به نابرابری های ΙΙ داريم: 

R+S=1   ,   2R+2S1


كه باز هم به‌معنای درستی نابرابری ΙΙΙ است.

قضیه

x,  n   ;    xn=xn

اثبات

یادآوری)

if  xnxnif  xn=kkxn<k+1knx<k+1nknx<k+1n

kxn<k+1xn=kxn=xn

قضیه

n     :     n2=n2           ;    n=2kn12    ;    n=2k+1

اثبات

if  n=2kn2=kn2=k

n2=kn2=n2    ;    k


if   n=2k+1n2=2k+12n2=2k+12n2=k+12

n2=k+12n2=kn2=n12

توجه)

if   n=2k+1k=n12

قضیه

2x=x+x+12

اثبات

x عددی حقيقی است و با شرط 0x<1 سازگار است. 

حالت اول)

if0x<12

x=012x+12<1x+12=002x<12x=0

2x=x+x+12

حالت دوم)

if   12x<1

x=01x+12<32x+12=112x<22x=1

2x=x+x+12

تمرین

مجموع زیر را محاسبه كنيد.

x+12+x+24+x+48+x+816++x+2n12n+

ابتدا يادآوری می‌كنيم، عبارت فوق نمی‌تواند دارای بی نهايت جمله باشد.


وقتی n را به اندازه كافی بزرگ بگيريم، جمله nام برابر است با: 

x+2n12n=x2n+12


با آغاز از عددی طبيعی برای n، مقدار x2n از لحاظ قدر مطلق كوچكتر از 12 می‌شود.


بنابراين مقدار كسری x2n+12 بين صفر و یک قرار می‌گيرد و بخش درست آن صفر می‌شود.


یادآوری)

x+x+12=2xx+12=2xx

x+12=x2+12=xx2x+24=x4+24=x2x4                                                      x2n+12=x2n1x2n

S=x+12+x+24++x+2n12n

S=x2+12+x4+12++x2n+12

S=xx2+x2x4++x2n1x2n

S=xx2n


وقتی n به قدر كافی بزرگ باشد، آن‌گاه:

S=xx2n=x0    ;    x>0x1    ;    x<0S=x    ;    x>0x+1    ;    x<0

نکته

به‌طور کلی داریم:

nx=x+x+1n+x+2n++x+n1n

قضیه

x+x+12=2x+12

اثبات

x=x+x

x=xx

2x=2x2xx+12=x+12x+12

if   2x=x+x+12

2x2x=xx+x+12x+12

x+x+12=2x+12

تمرین

m و n دو عدد طبيعی و نسبت به‌هم اول می‌باشند.

اگر m>1 باشد، مجموع زير را حساب كنيد. 

mn+2mn++n1.mn+m

فرض می‌کنیم:

m,n=1   ,   m>1if   mm=0

مجموع مورد نظر را S نظر می‌گيريم: 

S=mn+2mn++n1.mn+m

S=mn+2mn++n1.mn+0    ;    Ι

S=n1mn+n2mn++mn    ;    ΙΙ


m و n دو عدد طبيعی و نسبت به‌هم اول می‌باشند.


دو جمله kام ΙΙ,Ι یعنی عددهایی که به‌ازای 1kn1 عددهای صحیح نيستند.

kmnnkmn


مجموع اين دو عدد چنين است:

kmn+nkmn=m


بنابراين مجموع بخش های كسری آنها برابر واحد است: 

1kn1kmn+nkmn=1


با جمع ΙΙ,Ι داریم:

S+S=mn+2mn++n1.mn+n1mn+n2mn++mn

2S=mn+n1mn+2mn+n2mn++n1.mn+mn

2S=1+1++12S=n1S=n12

قضیه

n  :n2=n2+1=n2+2==n+121=n

n  :n2+n2+1++n+121=n2n+1

اثبات

تعداد رادیکال‌هایی که براکت‌شان با هم برابر است با استفاده از الگوریتم زیر به‌دست می‌آید:

0=0

1=2=3312+1=3

2=5=6=7=8822+1=5

3=10=11==151532+1=7

4=17=18==242442+1=9

           

n=n2=n2+1==n+121n+121n2+1=2n+1

تمرین

تساوی زیر را ثابت کنید.

1+2++15=34

1+2+3=1+1+1=3

4+5+6+7+8=2+2+2+2+2=10

9+10++15=3+3+3+3+3+3+3=21

1+2+3+4++8+9++15=3+10+21=34

تمرین

عددهای اولی را پيدا كنيد كه در معادله زیر صدق كند. 

1+2++x21=y

برای هر عدد صحیح n داريم:

n2=n2+1==n+121=n

n2+n2+1++n+121=n2n+1


1+2++x21

=1+2+3+4++8+++x21

=n=1x1n2n+1=2n=1x1n2+n=1x1n

=2x1x2x16+x1x2=x4x23x16


به اين ترتيب بايد عددهای اولی را پيدا كرد كه در معادله زير صدق كند: 

x4x23x16=yx4x23x1=6y

if    x=2y=3if    x=3y=13D    :    x=3,y=13  ,  x=2,y=3

نکته

n  : n33=n3+13==n+1313=n

n  : n33+n3+13++n+1313=n3n2+3n+1

قضیه

  k,x    :   kxkxkx+k1

اثبات

n   ;   nx<n+1x=n  ,  x=n+p0p<1

kx=kn+p=kn+kp=kn+kp    ;    0kp<k

knkn+kpkn+k1kxkxkx+k1    ;    kx=kn+kp

بيش‌ترين مقداری که از kp خارج می‌شود، k-1 می‌باشد.

قضیه

x+yx+y

قضیه

x  ,  y    ;    if   x+yx+y=1

تمرین

if    x=3.73y=2.27x+y=?x+y=?

x=3.73x=0.73y=2.27y=0.27

x+y=6x+y=0.73+0.27=1

قضیه

x  ,  y    ;   if    x=yxy<1

به‌عنوان نمونه، داریم:

x=1.53y=1.4

if   x=y1.53=1.4=1xy=1.531.4<1

قضیه

x12=x+121

اثبات

x12=x12+12+12=x+121=x+121

قضیه

3x=3x          ;    0x<133x+1    ;    13x<233x+2    ;    23x<1

اثبات

x+y

=x+y+x+y

=x+y+x+y

=x+y          ;    0x+y<1x+y+1    ;    1x+y<2

2x=x+x=x+x          ;    0x+x<1x+x+1    ;    1x+x<22x          ;    02x<12x+1    ;    12x<22x          ;    0x<122x+1    ;    122x<1

x+y+z

=x+y+z+x+y+z

=x+y+z+x+y+z

=x+y+z           ;    0x+y+z<1x+y+z+1     ;    1x+y+z<2x+y+z+2    ;    2x+y+z<3

3x=x+x+x=x+x+x          ;    0x+x+x<1x+x+x+1    ;    1x+x+x<2x+x+x+2    ;    2x+x+x<33x          ;    03x<13x+1    ;    13x<23x+2    ;    23x<3

3x=3x          ;    0x<133x+1    ;    13x<233x+2    ;    23x<1

نکته

در حالت کلی داریم:

nx=nx                       ;    0x<1nnx+1                ;    1nx<2n     nx+n1     ;    n1nx<1

یادآوری

اگر p یكی از عوامل اول حاصل ضرب n! باشد، تعداد عوامل p (بزرگ‌ترین توان p) در این حاصل ضرب برابر است با: 

np+np2+np3++0

تمرین

توان عامل 3 در بسط 14! را به‌دست آورید.

143+1432+1433=4+1+0=5

دریافت مثال

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی روسیه

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟ 

1+12+13+++11/000/000

  1. 1998
  2. 1999
  3. 2000
  4. 2001
مشاهده پاسخ تست بستن

تست شماره 2

آزمون ورودی انرژی اتمی

اگر داشته باشیم:

A=32×54×76××799798×801800

مقدار A10 کدام گزینه است؟

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
مشاهده پاسخ تست بستن

خرید پاسخ‌ها

جزءصحیح و قوانین آن

35,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

  • shahin
    14 فروردين 1403

    مگه داریم مگه میشه این همه اطلاعات در مورد براکت؟
    در کسری از ثانیه بتونی بهش دسترسی پیدا کنی؟
    آخه لامذهبا چطوری این سایتو ساختین که به همه ریاضی کمتر از 2 ثانیه می شه دسترسی پیدا کنیم.
    بهترین دعاها برای مسئولین و مدیران این پلت فرم ، واقعا تو کشوری که همه به فکر منافع شخصیه خودشون هستند، این سایت شگفت انگیزه.