سرفصل‌های این مبحث

مجانب در ریاضی

مجانب قائم

آخرین ویرایش: 19 آبان 1403

دسته‌بندی: مجانب در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف مجانب قائم

خط $x = a$ را مجانب قائم منحنی تابع $y = f (x)$ گوئیم، هر گاه:

$\lim_{x \to a} f (x) = \infty$

تمرین

اگر خط $x = a$ مجانب قائم تابع $y = f (x)$ باشد، برای حکم‌های زیر منحنی مناسبی رسم می‌کنیم:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\lim_{x \to a} f (x) = + \infty$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\lim_{x \to a} f (x) = - \infty$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty \\ \lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty \end{cases}$

مجانب قائم - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty \\ \lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty \end{cases}$

مجانب قائم - پیمان گردلو

تمرین

مجانب های قائم منحنی توابع زیر را به‌دست آورید.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 2 x - 3}$

محاسبه مجانب قائم:

$y \to \pm \infty \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = 3 \end{cases}$

$\lim_{x \to (- 1)} f (x) = \lim_{x \to (- 1)} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 2 x - 3} = \lim_{x \to (- 1)} \frac{(x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} = \lim_{x \to (- 1)} \frac{(x - 1)}{(x + 1)} = - \infty$

خط $x = - 1$ مجانب قائم منحنی تابع است.

$\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 2 x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1}{2}$

خط $x = 3$ مجانب قائم منحنی تابع نیست.

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{3} + x}$

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{3} + x} \Rightarrow f (x) = \frac{x + 1}{x (x^{2} + 1)}; \{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty \end{cases}$

خط $x = 0$ مجانب قائم منحنی تابع است و در مجاورت این خط نمودار تابع به‌صورت زیر خواهد بود:

مجانب قائم - پیمان گردلو

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - x - 6}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 3) (x + 2)} \\ \{\begin{cases} \lim_{x \to 3} f (x) = \infty \\ \lim_{x \to - 2} f (x) = \infty \end{cases} \end{array}$

$x = - 2, 3$ مجانب های قائم می‌باشند.

نکته

1- مجانب قائم فقط در توابع کسری وجود دارد، زیرا اگر $x$ به‌سمت ریشه های مخرج میل کند، حد تابع به سمت $\infty$ میل می کند.

در عمل برای تعیین مجانب قائم منحنی، مخرج کسر را مساوی صفر قرار می‌دهیم.

2- مجانب های قائم به‌صورت $x = a$ جزء دامنه تعریف تابع نیستند، ولی همسایگی چپ یا راست آنها یعنی $(a + α)$ یا $(a - α)$ عضو دامنه هستند. به عبارت دیگر:

الف) شرط آن‌که $f$ وقتی $x \to a^{+}$ دارای مجانب قائم باشد آن است که تابع در همسایگی راست $(a, a + α)$ از $a$ تعریف شده و بی‌کران باشد.

ب) شرط آن‌که $f$ وقتی $x \to a^{-}$ دارای مجانب قائم باشد آن است که تابع در همسایگی چپ $(a - α, a)$ از $a$ تعریف شده و بی‌کران باشد.

3- اگر تابع $f$ کراندار باشد، آن‌گاه مجانب قائم نداریم.

توابع به‎‌صورت $y = A r c \sin (g (x))$ و سایر $A r c$ ها هرگز مجانب قائم ندارند.

تمرین

مجانب قائم توابع زير را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} y = \frac{x^{2} + 3}{|x - 1| - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} |x - 1| - 3 = 0 \\ \Rightarrow |x - 1| = 3 \\ \Rightarrow x - 1 = \pm 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ x = - 2 \end{cases} \\ D_{f} = R - \{- 2, 4\} \end{array}$

توجه شود كه $x = - 2, 4$ به دامنه تعلق ندارند.

حداقل همسايگی چپ يا راستشان يعنی $(4^{+}, 4^{-})$ یا $(- 2^{+}, - 2^{-})$ در دامنه هست.

پس خطوط $x = - 2, 4$ را به‌عنوان مجانب قائم معرفی می‌كنيم.

$\begin{array}{l} y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 4} \end{array}$

$D_{f} : \{\begin{cases} x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \\ x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \end{cases}$

$D_{f} = [1, + \infty) - \{+ 2, - 2\}$

از بين خطوط $x = - 2, 2$ خط $x = 2$ را به‌عنوان مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا $2^{+}$ در دامنه تعريف هست.

اما خط $x = - 2$ را به‌عنوان مجانب قائم قبول نداريم زيرا $- 2^{-}$ یا $- 2^{+}$ در دامنه تعريف نيست.

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} + x = 0 \\ \Rightarrow x (x^{2} - 2 x + 1) = 0 \\ \Rightarrow x {(x - 1)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 1 \end{cases} \\ D_{f} = R - \{0, 1\} \end{array}$

خطوط $x = 0, 1$ مجانب قائم هستند و همسايگی راست و چپ هر دو نقطه در دامنه تعريف هست.

$i f \{\begin{cases} x \to 0 \\ x \to 1 \end{cases}〉 y \to \infty$

$y = \frac{\tan x}{2 \cos x - 1}; [0, 2 π]$

$\begin{array}{l} y = \frac{\tan x}{2 \cos x - 1} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{2 \cos x - 1} = \frac{\sin x}{\cos x (2 \cos x - 1)} \end{array}$

$\begin{matrix} \cos x (2 \cos x - 1) = 0 \end{matrix}$

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}$

$2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow 2 \cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \cos \frac{π}{3} \Rightarrow x = 2 k π \pm \frac{π}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{π}{3} \\ x = \frac{5 π}{3} \end{cases}$

خطوط زیر در فاصله $[0, 2 π]$ مجانب های قائم تابع می‌باشد.

$y = \frac{4}{\sqrt{x - 2}}$

$D_{f} : x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2; D_{f} = (2, + \infty)$

$\begin{array}{l} \sqrt{x - 2} = 0 \\ \Rightarrow {(\sqrt{x - 2})}^{2} = {(0)}^{2} \\ \Rightarrow x - 2 = 0 \\ \Rightarrow x = 2 \end{array}$

خط $x = 2$ را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل $2^{+}$ در دامنه تعريف موجود است.

$i f x \to 2^{+} \Rightarrow y \to + \infty$

$y = \frac{5 x + 4}{\sqrt{- x}}$

$D_{f} : - x > 0 \Rightarrow x < 0; D_{f} = (- \infty, 0)$

$\begin{array}{l} \sqrt{- x} = 0 \\ \Rightarrow - x = 0 \\ \Rightarrow x = 0 \end{array}$

خط $x = 0$ را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل $0^{-}$ در دامنه تعريف موجود است.

$i f x \to 0^{-} \Rightarrow y \to + \infty$

$y = \frac{- x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

$D_{f} : {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1; D_{f} = R - \{1\}$

خط $x = 1$ را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا $1^{+}, 1^{-}$ در دامنه تعريف موجود است.

$i f x \to 1 \Rightarrow y \to \infty$

$y = \frac{|x - 2|}{x - 2}$

$D_{f} : x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2; D_{f} = R - \{2\}$

$\{\begin{cases} i f x \to 2^{+} \Rightarrow y \to 1 \\ i f x \to 2^{-} \Rightarrow y \to - 1 \end{cases}$

مجانب قائم نداريم.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

$\begin{array}{l} D_{f} : \{\begin{cases} x^{2} - 1 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 1 \Rightarrow |x| \geq 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{cases} \\ x = 0 \end{cases} \end{array}$

$D_{f} = (- \infty, - 1] \cup [1, + \infty) - \{0\}$

خط $x = 0$ را مجانب قائم نیست، زيرا $0^{+}$ یا $0^{-}$ در دامنه تعريف موجود است.

$y = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$

$\begin{array}{l} D_{f} : \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \end{cases} \end{array}$

$D_{f} = [0, + \infty) - \{9\}$

خط $x = 9$ را مجانب قائم است.

$i f x \to 9 \Rightarrow y \to \infty$

$y = \frac{2 x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x - 1}$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1; D_{f} = R - \{1\}$

خط $x = 1$ را مجانب قائم است.

$i f x \to 1 \Rightarrow y \to \infty$

$y = \frac{5 x}{\sqrt{2 - x}}$

$\begin{array}{l} D_{f} : \{\begin{cases} 2 - x > 0 \Rightarrow x < 2 \\ \sqrt{2 - x} = 0 \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \end{array}$

$D_{f} = (- \infty, 2)$

خط $x = 2$ را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل $2^{-}$ در دامنه تعريف موجود است.

$y = \tan x$

$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$D_{f} : \cos x = 0 \Rightarrow x = k π + \frac{π}{2}; D_{f} = R - \{k π + \frac{π}{2}\}$

خطوط زیر همگی مجانب های قائم تابع هستند:

$x = k π + \frac{π}{2}$

$y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

$\begin{array}{l} D_{f} : x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x = 3 \end{cases} \end{array}$

$D_{f} = R - \{2, 3\}$

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 5 x + 6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1)}{(x - 3)} = - 1$

خط $x = 2$ مجانب قائم نيست.

$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 5 x + 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1)}{(x - 3)} = \infty$

خط $x = 3$ مجانب قائم است.

$i f x \to 3 \Rightarrow y \to \infty$

$y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + \frac{1}{\sqrt{x - 3}} + 1$

$\begin{array}{l} D_{f} : \{\begin{cases} x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \\ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \end{cases} \end{array}$

$D_{f} = (3, + \infty)$

$\begin{array}{l} \sqrt{x - 2} = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{array}$

خط $x = 2$ مجانب قائم نيست زیرا تابع در همسایگی این نقطه تعریف نشده است.

$\sqrt{x - 3} = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

خط $x = 3$ را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل $3^{+}$ در دامنه تعريف موجود است.

$y = L n (x - 1)$

$\begin{array}{l} D_{f} : x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1; D_{f} = (1, + \infty) \end{array}$

$\lim_{x \to 1^{+}} \ln (x - 1) = - \infty$

خط $x = 1$ را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل $1^{+}$ در دامنه تعريف موجود است.

$y = \frac{1}{x - 3} + \ln x$

$\begin{array}{l} D_{f} : \{\begin{cases} x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ x > 0 \end{cases} \end{array}$

$D_{f} = (0, + \infty) - \{3\}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} f (x) = \infty \end{array}$

خط $x = 3$ را مجانب قائم است.

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - \infty$

خط $x = 0$ را مجانب قائم است.

$y = \frac{1 + \tan x}{2 \sin x - 1}; x \in [0, 2 π]$

$y = \frac{1 + \tan x}{2 \sin x - 1} = \frac{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}{2 \sin x - 1} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x (2 \sin x - 1)}$

$\begin{array}{l} \cos x (2 \sin x - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sin x - 1 = 0 \\ \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin x = \sin \frac{π}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 k π + \frac{π}{6} \\ x = 2 k π + π - \frac{π}{6} \end{cases} \\ \Rightarrow x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6} \end{array}$

$y = \frac{\sin 2 x}{\cos 3 x}$

$y = \frac{\sin 2 x}{4 \cos^{3} x - 3 \cos x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos x (4 \cos^{2} x - 3)} = \frac{2 \sin x}{4 \cos^{2} x - 3}$

$\begin{array}{l} 4 \cos^{2} x - 3 = 0 \Rightarrow \cos^{2} x = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{π}{6} \Rightarrow x = 2 k π \pm \frac{π}{6} \Rightarrow x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6} \end{array}$

$i f \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos (π - \frac{π}{6}) = \cos \frac{5 π}{6} \Rightarrow x = 2 k π \pm \frac{5 π}{6} \Rightarrow x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

$\begin{array}{l} y = \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x}; [0, 2 π] \end{array}$

$\begin{array}{l} y = \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x} = \frac{3 \sin x - 4 \sin^{2} x}{2 \sin x \cdot \cos x} = \frac{3 - 4 \sin x}{2 \cos x} \end{array}$

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

تمرین

$m$ را چنان بيابيد تا منحنی تابع به معادله زیر فقط يک مجانب قائم داشته باشد.

$y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + m x + 4}$

برای یافتن مجانب قائم، ریشه مخرج را به‌دست می‌آوریم:

$x^{2} + m x + 4 = 0$

شرط آن‌که منحنی فقط یک مجانب قائم داشته باشد،آن است که معادله درجه دوم فوق فقط یک ریشه داشته باشد، یعنی داشته باشیم:

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow b^{2} - 4 a c = 0 \\ \Rightarrow m^{2} - 4 (1) (4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} - 16 = 0 \\ \Rightarrow m^{2} = 16 \\ \Rightarrow m = \pm 4 \end{array}$

يعنی هر يک از توابع زیر فقط دارای يک مجانب قائم می‌باشند.

$\begin{array}{l} y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4 x + 4} \\ y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 4 x + 4} \end{array}$

تمرین

$m$ را چنان تعيين كنيد تا منحنی تابع به معادله زیر فقط يک مجانب قائم داشته باشد.

$y = \frac{x - 1}{x^{2} + m x - 4}$

برای یافتن مجانب قائم، ریشه مخرج را به‌دست می‌آوریم:

$x^{2} + m x - 4 = 0$

شرط آن‌که منحنی فقط یک مجانب قائم داشته باشد،آن است که معادله درجه دوم فوق فقط یک ریشه داشته باشد:

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow b^{2} - 4 a c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} - 4 (1) (- 4) = 0 \\ \Rightarrow m^{2} + 16 = 0 \end{array}$

دلتا همواره مثبت است و از اين طريق نمی‌توانيم $m$ را بيابيم.

بايد ريشه صورت را در مخرج قرار دهيم:

$\begin{array}{l} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}$

${(1)}^{2} + m (1) - 4 = 0 \Rightarrow 1 + m - 4 = 0 \Rightarrow m = 3$

وضع جديد تابع به‌صورت زیر است كه اين تابع بيان‌گر اين مطلب است كه فقط يک مجانب قائم دارد.

$y = \frac{x - 1}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 4)} \Rightarrow \{\begin{cases} \lim_{x \to 1} y = \frac{1}{5} \\ \lim_{x \to - 4} y = \pm \infty \end{cases}$

خط $x = - 4$ را مجانب قائم است.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$y = \frac{x^{2} + x + 1}{m x^{2} + (m + n) x + m n}$

اگر خطوط $x = 10, 100$ معادلات مجانب های قائم منحنی تابع باشد، آن‌گاه:

$m, n$ را بیابید.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$m x^{2} + (m + n) x + m n = 0$

ريشه های معادله فوق، اعداد زیر هستند:

$x^{'} = 10, x^{''} = 100$

$x^{'} \cdot x^{''} = \frac{c}{a} \Rightarrow 10 \times 100 = \frac{m n}{m} \Rightarrow n = 1000$

$\begin{array}{l} x^{'} + x^{''} = - \frac{b}{a} \\ \Rightarrow 10 + 100 = - \frac{(m + n)}{m} \\ \Rightarrow 110 = - \frac{(m + 1000)}{m} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 110 m = m + 1000 \\ \Rightarrow - 111 m = 1000 \\ \Rightarrow m = - \frac{1000}{111} \end{array}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \frac{1}{x - |x|}$

نمودار این تابع در مجاورت مجانب قائم خود، چگونه است؟

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x - (+ x)}; x > 0 \\ \frac{1}{x - (- x)}; x < 0 \end{cases}〉 f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{0}; x > 0 \\ \frac{1}{2 x}; x < 0 \end{cases}$

$D_{f} : 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow D_{f} = R - \{0\}$

$0^{-} \in D_{f}$ است پس $x = 0$ مجانب قائم است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

در معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ داریم:

$\begin{array}{l} i f a \to 0 \Rightarrow \{\begin{cases} |x^{'}| \to \infty \\ x^{''} \to - \frac{c}{b} \end{cases} \\ i f a, b \to 0 \Rightarrow \{\begin{cases} |x^{'}| \to \infty \\ |x^{''}| \to \infty \end{cases} \end{array}$

تمرین

معادلات مجانب های قائم منحنی به معادله زیر را بيابيد.

$x^{2} y^{2} - 4 x y - 4 x^{2} + 5 x - y^{2} = 0$

$x^{2} y^{2} - 4 x y - 4 x^{2} + 5 x - y^{2} = 0 \Rightarrow \underset{a}{\underset{⏟}{(x^{2} - 1)}} y^{2} - 4 y x + (5 x - 4 x^{2}) = 0$

مجانب های قائم:

$i f y \to \infty \Rightarrow x^{2} - 1 \to 0 \Rightarrow x \to \pm 1$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

برای چند مقدار $a$ تابع زیر یک مجانب قائم دارد؟

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 8 x - 3}{a x^{2} + (1 - a) x + a + 1}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مجانب قائم

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مجانب

مجانب قائم

تعریف مجانب قائم

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟