سرفصل‌های این مبحث

قضیه تالس و نتایج آن

قضایای تالس

قضایای تالس

آخرین ویرایش: 21 آبان 1403

دسته‌بندی: قضیه تالس و نتایج آن

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

خطوط موازی

اگر چند خط موازی روی یک خط، پاره‌خط‌های مساوی بسازند، روی هر خط دیگری که آنها را قطع کند نیز پاره‌ خط‌ های مساوی پدید می‌آورند.

اثبات

فرض آن‌است که:

$\{\begin{cases} A B = B C \\ m ||n ||t \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'}$

پاره‌ خط‌ های $A D$ و $B E$ را به‌موازات خط $d'$ رسم می‌کنیم.

چهار ضلعی‌ های $A A^{'} B^{'} D$ و $B B^{'} C^{'} E$ متوازی‌ الاضلاع هستند، بنابراین:

$B E = B^{'} C^{'}, A D = A^{'} B^{'}; (1)$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} n ||t \\ d (m o var a b) \end{cases}〉 {\hat{B}}_{2} = {\hat{C}}_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A D ||B E \\ d (m o var a b) \end{cases}〉 {\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1} \end{array}$

$A B = B C$

مثلث‌های زیر از طریق دو زاویه و یک ضلع برابرند:

$A \overset{△}{B} D = B \overset{△}{C} E \Rightarrow A D = B E \overset{(1)}{\to} A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'}$

تمرین

يک پاره خط رسم کنيد و بدون استفاده از خط کش آن‌را به پنج قسمت مساوی تقسيم کنيد.

نيم خط $A x$ را رسم می‌کنيم و روی آن پنج قسمت مساوی جدا می‌کنيم.

آخرين نقطه حاصل يعنی $G$ را به $B$ وصل می‌کنيم.

سپس از نقاط $F, E, D, C$ خطوطی به موازات رسم می‌کنيم.

بدين ترتيب پاره خط $A B$ را نيز به پنج قسمت مساوی تقسيم می‌شود.

يک پاره خط رسم کنيد و آن را به دو قسمت چنان تقسيم کنيد که يک قسمت سه برابر قسمت ديگر باشد.

ابتدا پاره خط را به چهار قسمت مساوی تقسيم می‌کنيم.

$A M = 3 M B$

نشان دهيد پاره خطی که از وسط يک ساق از ذوزنقه به موازات دو قاعده رسم می‌شود از وسط ساق ديگر می‌گذرد.

بر اساس قضيه خطوط موازی، سه خط زیر پاره خط $A D$ را به دو قسمت مساوی تقسيم کرده‌اند.

$A B, E F, D C$

پس پاره خط $B C$ را نيز به دو قسمت مساوی تقسيم می‌کنند.

$B F = F C$

تمرین

در شکل های زير خطوط افقی موازيند، مقدار $x$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 3 \div 2 = 1.5 \\ x \div 3 = 1.5 \end{cases} \\ x \div 3 = 1.5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x \times \frac{1}{3} = 1.5 \\ \Rightarrow x = 3 \times 1.5 \\ \Rightarrow x = 4.5 \end{array}$

$x = \frac{24}{3} \Rightarrow x = 8$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 \frac{1}{2} \div 2 = \frac{5}{2} \div 2 = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \\ x \div 3 = \frac{5}{4} \end{cases} \end{array}$

$x \div 3 = \frac{5}{4} \Rightarrow x \times \frac{1}{3} = \frac{5}{4} \Rightarrow x = \frac{15}{4} \Rightarrow x = 3 \frac{3}{4}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 4 \div 6 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\ 1 \frac{1}{3} \div a = \frac{2}{3} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1 \frac{1}{3} \div a = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{4}{3} \div a = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{4}{3} \times \frac{1}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow a = 2 \end{array}$

$x = 6 + a \overset{a = 2}{\to} x = 6 + 2 \Rightarrow x = 8$

تمرین

شکل زير را در نظر بگیرید:

ثابت کنید:

$\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$

از $A$ خطی موازی $D F$ رسم می‌کنیم تا $B E$ و $C F$ را در نقاط $M$ و $N$ قطع کنند.

چهار ضلعی های $M E F N, A D E M$ متوازی الاضلاعند، بنابراين داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} M N = E F \\ A M = D E \end{cases} \end{array}$

$A \overset{△}{C} N : B M ||C N \Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A M}{M N} \Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه تالس

قضیه

در شکل زیر اگر $D E ||B C$ باشد، آن‌گاه:

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$

اثبات

از نقطه $D$ به $C$ و از نقطه $E$ به $B$ وصل می‌کنیم.

نشان می‌دهیم مساحت‌های دو مثلث $D E C$ و $D E B$ با هم برابرند:

$C H$ ارتفاع وارد بر امتداد $D E$ است:

$S_{D E C} = \frac{1}{2} C H . D E$

$B H'$ ارتفاع وارد بر امتداد $D E$ است:

$S_{D E B} = \frac{1}{2} B H' . D E$

با توجه به این‌که $D E ∥ B C$ است، پس فاصله‌ این دو خط، همواره مقداری ثابتی است:

$C H = B H'$

$\Rightarrow \{\begin{cases} S_{D E C} = \frac{1}{2} C H . D E \\ S_{D E B} = \frac{1}{2} B H' . D E \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} S_{D E C} = \frac{1}{2} C H . D E \\ S_{D E B} = \frac{1}{2} C H . D E \end{cases}$

$S_{D E C} = S_{D E B}$

از نقطه $E$ به ضلع $A B$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $H_{1}$ می‌نامیم.

سپس از نقطه $D$ به ضلع $A C$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $H_{2}$ می‌نامیم.

$\begin{array}{l} \frac{S_{A D E}}{S_{D E B}} = \frac{\frac{1}{2} E H_{1} \times A D}{\frac{1}{2} E H_{1} \times D B} = \frac{A D}{D B} \end{array}$

$\frac{S_{A D E}}{S_{D E C}} = \frac{\frac{1}{2} D H_{2} \times A E}{\frac{1}{2} D H_{2} \times E C} = \frac{A E}{E C}$

$\begin{array}{l} \frac{S_{A D E}}{S_{D E B}} = \frac{A D}{D B}; \frac{S_{A D E}}{S_{D E C}} = \frac{A E}{E C}; S_{D E B} = S_{D E C} \end{array}$

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$

تمرین

در شکل زیر پاره خط های $B C, G H$ موازیند.

اندازه پاره خط های $A C, H C$ را به دست آورید.

طبق قضیه تالس داریم:

$\begin{array}{l} G H ∥ B C \\ \Rightarrow \frac{A G}{G B} = \frac{A H}{H C} \\ \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{2}{H C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow H C = \frac{5 \times 2}{3} \\ \Rightarrow H C = \frac{10}{3} \end{array}$

$A C = A H + H C = 2 + \frac{10}{3} \Rightarrow A C = \frac{16}{3}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

با تشکیل یک معادله، مقدار $x$ و اندازه پاره خط های $A J, A I$ را به‌دست آورید.

طبق قضیه تالس داریم:

$\begin{array}{l} I J ∥ B C \\ \Rightarrow \frac{A I}{I B} = \frac{A J}{J C} \\ \Rightarrow \frac{2 x}{5} = \frac{x + 4}{7_{/} 5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15 x = 5 x + 20 \\ \Rightarrow 10 x = 20 \\ \Rightarrow x = 2 \end{array}$

$\{\begin{cases} A I = 2 x = 2 \times 2 = 4 \\ A J = x + 4 = 2 + 4 = 6 \end{cases}$

تمرین

در شکل زیر داریم:

$D E ||B C, A B = 2, A D = 1, A C = 4$

طول پاره خط های $E C, A E$ را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} D E ||B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{A E}{4} \Rightarrow A E = 2 \end{array}$

$E C = A C - A E = 4 - 2 = 2$

تمرین

در شکل زير $D E ||B C$ است.

اندازه $E C$ چقدر است.

$\begin{array}{l} D E ||B C \\ \Rightarrow \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{E C} \\ \Rightarrow E C = 2 \times \frac{3}{2} \\ \Rightarrow E C = 3 \end{array}$

تمرین

در شکل زير $A D = \frac{1}{2} C D$ است.

نسبت های $\frac{D E}{A B}, \frac{C E}{E B}$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} D E ||A B \Rightarrow \frac{C D}{A D} = \frac{C E}{E B} \Rightarrow \frac{C D}{\frac{1}{2} C D} = \frac{C E}{E B} \Rightarrow \frac{C E}{E B} = 2 \end{array}$

$D E ||A B \Rightarrow \frac{C D}{C A} = \frac{D E}{A B} \Rightarrow \frac{C D}{\frac{3}{2} C D} = \frac{D E}{A B} \Rightarrow \frac{D E}{A B} = \frac{2}{3}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق داریم:

$D E ||B C, E F ||A B$

آيا تساوی درست است؟ اگر جواب منفی است آن‌را درست کنيد.

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} = \frac{D E}{B C}$

تساوی فوق درست نيست، يعنی داريم:

$\begin{array}{l} \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \neq \frac{D E}{B C} \\ \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A D}{A B - A D} = \frac{A E}{A C - A E} = \frac{D E}{B C - D E} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} = \frac{D E}{B C - B F} \\ \Rightarrow \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} = \frac{D E}{F C} \end{array}$

تمرین

سه پاره خط به طول های $a, b, c$ مفروضند.

اگر داشته باشیم:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

پاره خطی به طول $d$ را پيدا کنيد.

زاويه دل‌خواه $\hat{x O y}$ را رسم می‌کنيم.

بر روی $O x$ پاره خط های زیر را جدا می‌کنيم:

$A B = b, O A = a$

هم‌چنين بر روی ضلع $O y$ پاره خط $O C = c$ را جدا کرده و از $A$ به $C$ وصل می‌کنيم.

از $B$ خطی موازی $A C$ رسم می‌کنيم تا $O y$ را در $d$ قطع کند.

طول پاره خط $C D$ برابر $d$ می‌شود.

$\begin{array}{l} A C ∥ B D \\ \Rightarrow \frac{O A}{A B} = \frac{O C}{C D} \\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{array}$

تمرین

در تناسب زیر مقدار مجهول را با رسم شکل پيدا کنيد.

$\frac{2}{3} = \frac{x}{4.5}$

تناسب فوق را به‌صورت زیر می‌نويسيم:

$\frac{3}{2} = \frac{4.5}{x}$

زاويه دل‌خواه $x O y$ را رسم کرده و روی ضلع $O x$ پاره خط های $O A, A B$ را به نسبت $3$ به $2$ جدا می‌کنيم.

روی $O y$ نيز پاره خط $O C$ را به اندازه $4.5$ سانتی‌متر جدا می‌کنيم.

از $A$ به $C$ وصل کرده و از $B$ خطی به موازات $A C$ را رسم می‌کنيم تا $O y$ را در $D$ قطع کند.

اندازه پاره خط $C D$ همان جزء مجهول است، زيرا:

$A C ||B D \Rightarrow \frac{O A}{A B} = \frac{O C}{C D}$

تمرین

چهار ضلعی $A B C D$ زیر ذوزنقه است:

اگر داشته باشیم:

$E F ||D C$

ثابت کنید.

$\frac{A E}{E D} = \frac{B F}{F C}$

ساق های ذوزنقه را امتداد می‌دهيم تا يک‌ديگر را در $O$ قطع کنند، خواهيم داشت:

$\begin{array}{l} O \overset{△}{E} F : A B ||E F \Rightarrow \frac{O A}{A E} = \frac{O B}{B F} \Rightarrow \frac{O A}{O B} = \frac{A E}{B F} \end{array}$

$O \overset{△}{D} C : A B ||D C \Rightarrow \frac{O A}{A D} = \frac{O B}{B C} \Rightarrow \frac{O A}{O B} = \frac{A D}{B C}$

$\begin{array}{l} \frac{A E}{B F} = \frac{A D}{B C} \\ \Rightarrow \frac{A E}{A D} = \frac{B F}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A E}{A D - A E} = \frac{B F}{B C - B F} \\ \Rightarrow \frac{A E}{E D} = \frac{B F}{F C} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعمیم قضیه تالس

قضیه

در شکل زیر اگر $D E ||B C$ باشد، آن‌گاه:

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

اثبات

روش اول) بر اساس قضیه تالس داریم:

$D E ∥ B C$

$\Rightarrow \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$

$\Rightarrow \frac{A D}{A D + D B} = \frac{A E}{A E + E C}$

$\Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}; (1)$

پاره‌خط $E F$ را موازی $A B$ رسم می‌کنیم:

با توجه به نتیجه‌ تالس داریم:

$E F ∥ A B \Rightarrow \frac{B F}{B C} = \frac{A E}{A C}; (2)$

$(1), (2) \Rightarrow \{\begin{array}{l} \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \\ \frac{B F}{B C} = \frac{A E}{A C} \end{array}〉 \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{B F}{B C}$

روش دوم) برای اثبات $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ داریم:

نقاط $D$ و $E$ را به‌ترتیب به $C$ و $B$ وصل می‌کنیم.

دو مثلث $D B C$ و $E B C$ پدید می‌آیند که ضلع $B C$ در آنها مشترک است و ارتفاع‌های نظیر $B C$ در دو مثلث مساویند، بنابراین مساحت‌های این دو مثلث برابرند.

$S_{D \overset{△}{B} C} = S_{E \overset{△}{B} C} \Rightarrow C H^{'} \times D B = B H \times E C \Rightarrow \frac{D B}{E C} = \frac{B H}{C H^{'}}; (1)$

در مثلث $A B C$ داریم:

$S_{A \overset{△}{B} C} = \frac{B H \times A C}{2} = \frac{C H^{'} \times A B}{2} \Rightarrow B H \times A C = C H^{'} \times A B \Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{B H}{C H^{'}}; (2)$

$(1), (2) : \frac{D B}{E C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \frac{D B}{A B} = \frac{E C}{A C}$

تساوی فوق را تفضیل نسبت در صورت می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A B - D B}{A B} = \frac{A C - E C}{A C} \\ \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \end{array}$

نکته

از نتایح قضیه تالس به نسبت‌های زیر می‌توان اشاره کرد:

$\begin{matrix} D E ∥ B C : \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow \frac{A D}{A D + D B} = \frac{A E}{A E + E C} \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}; \frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E} \end{matrix}$

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \Rightarrow \frac{A B - A D}{A B} = \frac{A C - A E}{A C} \Rightarrow \frac{D B}{A B} = \frac{E C}{A C}; \frac{A B}{D B} = \frac{A C}{E C}$

تمرین

در شکل زیر $P Q ∥ B C$ است.

طول پاره خط های $A P, P Q$ را به‌دست آورید.

با استفاده از قضیه‌ تالس می‌نویسم:

$\begin{array}{l} P Q ∥ B C \\ \Rightarrow \frac{A P}{P B} = \frac{A Q}{Q C} \\ \Rightarrow \frac{A P}{6} = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow A P = 4 \end{array}$

حالا با استفاده از تعمیم قضیه‌ تالس می‌نویسم:

$\begin{array}{l} P Q ∥ B C \\ \Rightarrow \frac{A P}{A B} = \frac{A Q}{A C} = \frac{P Q}{B C} \\ \Rightarrow \frac{4}{4 + 6} = \frac{P Q}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P Q = \frac{9 \times 4}{10} \\ \Rightarrow P Q = 3_{/} 6 \end{array}$

تمرین

در شکل زیر $S T ∥ B C$ است.

مقادیر $x$ و $y$ را به‌دست آورید.

با استفاده از قضیه‌ تالس می‌نویسم:

$\begin{array}{l} S T ∥ B C \\ \frac{A S}{S B} = \frac{A T}{T C} \Rightarrow \frac{8}{4} = \frac{3 y + 3}{6} \\ \Rightarrow 4 (3 y + 3) = 6 \times 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 12 y + 12 = 48 \\ \Rightarrow 12 y = 48 - 12 \\ \Rightarrow 12 y = 36 \\ \Rightarrow y = 3 \end{array}$

حالا با استفاده از تعمیم قضیه‌ تالس می‌نویسم:

$\begin{array}{l} S T ∥ B C \\ \Rightarrow \frac{A S}{A B} = \frac{A T}{A C} = \frac{S T}{B C} \\ \Rightarrow \frac{8}{8 + 4} = \frac{6}{4 x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 (4 x + 1) = 12 \times 6 \\ \Rightarrow 32 x + 8 = 72 \\ \Rightarrow 32 x = 64 \\ \Rightarrow x = 2 \end{array}$

تمرین

در مثلث $A B C$ از نقطه $M$ روی $B C$ دو خط به موازات دو ضلع ديگر رسم می‌کنيم تا آنها را در $E, D$ قطع کند.

ثابت کنيد:

$\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = 1$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} E M ||A C \Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{M C}{B C} \\ D M ||A B \Rightarrow \frac{C D}{A C} = \frac{M C}{B C} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{A E}{A B} = \frac{C D}{A C} \\ \Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A C - A D}{A C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A C}{A C} - \frac{A D}{A C} \\ \Rightarrow \frac{A E}{A B} + \frac{A D}{A C} = 1 \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر $D E ∥ B C$ باشد، ثابت کنید:

$\frac{D A}{A C} = \frac{E A}{A B}$

پاره خط های $A M, A N$ را به‌ترتيب مساوی $E A, D A$ و بر اضلاع $A B, A C$ جدا می‌کنيم.

دو مثلث $A D E, A M N$ با هم مساوی می‌شوند.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{M} = \hat{E} \\ \hat{B} = \hat{E} \end{cases} \\ \hat{M} = \hat{B} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M N ||B C \\ \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} \\ \Rightarrow \frac{E A}{A B} = \frac{D A}{A C} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

اگر $M$ وسط $A B$ و $M N ||B C$ باشد، آن‌گاه $N$ وسط $A C$ است.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که:

$\{\begin{cases} A M = M B \\ M N ||B C \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A N = N C$

$M N ||B C$

$\Rightarrow \frac{A N}{N C} = \frac{A M}{M B} = 1$

$\Rightarrow \frac{A N}{N C} = 1$

$\Rightarrow A N = N C$

از تساوب اخبر نتیجه می‌شود که $N$ وسط $A C$ است.

عکس قضیه تالس

قضیه

اگر خطی دو ضلع یک مثلث را قطع کند و بر آن دو ضلع پاره‌خط‌هایی متناسب با آن دو ضلع پدید آورد با ضلع سوم مثلث موازی است.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که:

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$D E ||B C$

فرض کنیم $D E$ موازی $B C$ نباشد، بنابراین $D F$ را به موازات $B C$ رسم می‌کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{cases} D F ||B C \overset{T a l e s}{\to} \frac{A D}{A B} = \frac{A F}{A C} \\ \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \end{cases}$

$\frac{A F}{A C} = \frac{A E}{A C} \Rightarrow A F = A E$

با توجه به این‌که $E$ و $F$ هر دو روی ضلع $A C$ قرار دارند، پس بر هم منطبق هستند، بنابراین $D F$ نیز بر $D E$ منطبق می‌شود، لذا $D E ||B C$ .

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ثابت کنید $B C ∥ D E$ .

$\begin{array}{l} \frac{A D}{A B} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5} \\ \frac{A E}{A C} = \frac{3.6}{3.6 + 2.4} = \frac{3.6}{6} = \frac{3}{5} \\ \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \end{array}$

با توجه به عکس تالس داریم:

$D E ||B C$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

اگر $M$ و $N$ اوساط اضلاع $A B$ و $A C$ باشند، آن‌گاه $M N$ و $B C$ موازیند.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که:

$\{\begin{cases} A N = N C \\ A M = M B \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$M N ||B C$

$\{\begin{cases} A M = M B \Rightarrow \frac{A M}{M B} = 1 \\ A N = N C \Rightarrow \frac{A N}{N C} = 1 \end{cases}$

$\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} \Rightarrow M N ||B C$

قضیه

اگر خطی موازی یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن‌را قطع کند با آن دو ضلع مثلثی می‌سازد که اضلاع آن با اضلاع مثلث اصلی متناسبند.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که:

$D E ||B C$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

$D E ||B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}; (1)$

$E F$ را به‌موازات $A B$ رسم می‌کنیم، خواهیم داشت:

$E F ||A B$

$\Rightarrow \frac{C E}{A C} = \frac{C F}{B C}$

$\Rightarrow \frac{A C - C E}{A C} = \frac{B C - C F}{B C}$

$\Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{B F}{B C}$

$\Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}; (2)$

$(1), (2) : \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق:

$A E = D E = D B$

اندازه پاره خط های $D E, C E$ را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} D E ||B C \\ \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \\ \Rightarrow \frac{6 - x}{6} = \frac{x}{A C} = \frac{x}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{6 - x}{6} = \frac{x}{9} \Rightarrow 54 - 9 x = 6 x \Rightarrow 54 = 15 x \Rightarrow x = 3.6 \Rightarrow D E = 3.6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{A C} = \frac{x}{9} \Rightarrow \frac{3.6}{A C} = \frac{3.6}{9} \Rightarrow A C = 9 \end{array}$

$E C = A C - A E = 9 - 3.6 = 5.4$

تمرین

در شکل های زير مقادير مجهول را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} D E ||B C \\ \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \\ \Rightarrow \frac{5}{5 + x} = \frac{y}{y + 6} = \frac{7.5}{12} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{5}{5 + x} = \frac{7.5}{12} \Rightarrow 37.5 + 7.5 x = 60 \Rightarrow 7.5 x = 22.5 \Rightarrow x = 3 \end{array}$

$\frac{y}{y + 6} = \frac{7.5}{12} \Rightarrow 7.5 y + 45 = 12 y \Rightarrow 45 = 4.5 y \Rightarrow y = 10$

$\begin{array}{l} D E ||B C \\ \Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3.2}{8} = \frac{3}{x} \\ \Rightarrow x = 7.5 \end{array}$

تمرین

در شکل زير $D E ||B C$ است.

مقادير $x, y$ را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} D E ||B C \\ \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{6}{6 + x} = \frac{y}{y + 4} = \frac{12}{18} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{6}{6 + x} = \frac{12}{18} \Rightarrow \frac{6}{6 + x} = \frac{2}{3} \Rightarrow 12 + 2 x = 18 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3 \end{array}$

$\frac{y}{y + 4} = \frac{12}{18} \Rightarrow \frac{y}{y + 4} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2 y + 8 = 3 y \Rightarrow 3 y - 2 y = 8 \Rightarrow y = 8$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر در شکل فوق داشته باشیم:

$A D = 3 D B, D E ||B C$

مقادير $x, y$ را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} D E ||B C \\ \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \\ \Rightarrow \frac{3 D B}{4 D B} = \frac{12}{12 + y} = \frac{15}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{12}{12 + y} = \frac{15}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{4} = \frac{12}{12 + y} \Rightarrow 36 + 3 y = 48 \Rightarrow 3 y = 12 \Rightarrow y = 4 \end{array}$

$\frac{3}{4} = \frac{15}{x} \Rightarrow x = \frac{4 \times 15}{3} \Rightarrow x = 20$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر در شکل فوق داشته باشیم:

$D E ||A B, D F ||A C$

با استفاده از رابطه تالس ثابت کنيد:

$\begin{array}{l} D E \times A C = D F \times A B \end{array}$

$\begin{array}{l} D E ||A B \Rightarrow \frac{M D}{M A} = \frac{M E}{M B} = \frac{D E}{A B} \end{array}$

$D F ||A C \Rightarrow \frac{M D}{M A} = \frac{M F}{M C} = \frac{D F}{A C}$

$\begin{array}{l} \frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} \Rightarrow D E \times A C = A B \times D F \end{array}$

$M F \times B C = M C \times E F$

$\frac{M E}{M B} = \frac{M F}{M C} = \frac{M E + M F}{M B + M C} \Rightarrow \frac{M F}{M C} = \frac{E F}{B C} \Rightarrow M F \times B C = E F \times M C$

تمرین

در مثلث ميانه را رسم می‌کنيم:

$B M = C M$

از نقطه دل‌خواه $D$ بر ضلع $B C$ خطی موازی $A M$ رسم می‌کنيم تا $A C$ را در $E$ و امتداد $A B$ را در $F$ قطع کند.

ثابت کنيد:

$D E + D F = 2 A M$

$\begin{array}{l} C \overset{△}{A} M : D E ||M A \Rightarrow \frac{C D}{C M} = \frac{D E}{A M} \end{array}$

$B \overset{△}{D} F : A M ||D F \Rightarrow \frac{B D}{B M} = \frac{D F}{A M}$

$\begin{array}{l} \frac{C D}{C M} + \frac{B D}{B M} = \frac{D E}{A M} + \frac{D F}{A M} \\ \Rightarrow \frac{C D}{B M} + \frac{B D}{B M} = \frac{D E}{A M} + \frac{D F}{A M} \\ \Rightarrow \frac{C D + B D}{B M} = \frac{D E + D F}{A M} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{B C}{B M} = \frac{D E + D F}{A M} \\ \Rightarrow \frac{2 B M}{B M} = \frac{D E + D F}{A M} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 = \frac{D E + D F}{A M} \\ \Rightarrow D E + D F = 2 A M \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ثابت کنید:

$\frac{B F}{A F} = \frac{C G}{A G} = \frac{D H}{A H} = \frac{E K}{A K}$

$\begin{array}{l} B F ||C G \Rightarrow \frac{B F}{C G} = \frac{A F}{A G} \Rightarrow \frac{B F}{A F} = \frac{C G}{A G} \end{array}$

$\begin{array}{l} B F ||D H \Rightarrow \frac{B F}{D H} = \frac{A F}{A H} \Rightarrow \frac{B F}{A F} = \frac{D H}{A H} \end{array}$

$\begin{array}{l} B F ||E K \Rightarrow \frac{B F}{E K} = \frac{A F}{A K} \Rightarrow \frac{B F}{A F} = \frac{E K}{A K} \end{array}$

$\frac{B F}{A F} = \frac{C G}{A G} = \frac{D H}{A H} = \frac{E K}{A K}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

در هر مثلث نیمساز هر زاویه، ضلع مقابل آن‌را به دو پاره‌خط که با دو ضلع آن زاویه متناسبند، تقسیم می‌کند.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که:

${\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

از راس $C$ خطی موازی نیمساز $A D$ رسم می‌کنیم تا امتداد $B A$ را در $E$ قطع کند، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A D ||C E \\ B E (m o var a b) \end{cases}〉 {\hat{A}}_{1} = \hat{E} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A D ||C E \\ A C (m o var a b) \end{cases}〉 {\hat{A}}_{2} = \hat{C} \end{array}$

$\hat{C} = \hat{E} \Rightarrow A E = A C; (1)$

$B \overset{△}{E} C : A D ||C E \Rightarrow \frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A E} \overset{(1)}{\to} \frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

قضیه

در هر مثلث، پاره‌خطی که اوساط دو ضلع مثلث را به‌هم وصل کند، با ضلع سوم موازی و مساوی نصف آن است.

اثبات

با توجه به‌فرض مساله $M$ و $N$ به‌ترتیب وسط $A B$ و $A C$ هستند پس:

فرض آ‌ن‌است‌که:

$\{\begin{cases} A M = M B \\ A N = N C \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$M N = \frac{1}{2} B C$

با توجه به عکس تالس:

$\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} = 1 \Rightarrow M N ∥ B C$

از تعمیم قضیه‌ تالس استفاده می‌کنیم:

$M N ∥ B C \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

با توجه به این‌که $M$ و $N$ به‌ترتیب وسط $A B$ و $A C$ هستند پس $\frac{A M}{A B}$ و $\frac{A N}{A C}$ برابرند با $\frac{1}{2}$ در نتیجه:

$\frac{M N}{B C} = \frac{1}{2} \Rightarrow M N = \frac{1}{2} B C$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

در شکل زیر، دو مثلث $A B C$ و $B E H$ همنهشت هستند.

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A B = 4 \\ E H = 8 \\ D F ∥ E H \end{array}$

اندازه $B F$ کدام است؟

$1.4$
$1.6$
$2.4$
$2.6$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور تجربی تیر 1403

در چهار ضلعی $A B C D$ ، از نقاط $B, D$ دو پاره خط به‌ترتیب موازی $A D, A B$ طوری رسم می‌کنیم تا یکدیگر را در نقطه $M$ (درون چهار ضلعی) قطع کند.

اگر $\overset{\land}{B D C} = 2 \overset{\land}{B D M}$ باشد، فاصله نقطه M از وسط ضلع BC چقدر است؟

$1.5$
$2$
$2.5$
$3$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

در شکل زیر، $B D$ نیمساز است.

اگر در مثلث $B D E$ ارتفاع وارد بر ضلع $B E$ موازی $B C$ باشد، طول $A E$ کدام است؟

$6.6$
$5.4$
$3.6$
$2.4$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

کنکور تجربی دی 1401

در شکل زیر اگر $\frac{A C}{C G} = \frac{D E}{E F} = 4$ باشد، اندازه $F G$ کدام است؟

$1$
$1.25$
$1.5$
$2$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

المپیاد ریاضی

در شکل زیر مساحت $A B C$ نه برابر $A F D$ می‌باشد.

اگر $F O = 4$ باشد، مساحت ناحیه رنگی کدام است؟

$(12 - \sqrt{3}) π$
$(12 - 2 \sqrt{3}) π$
$(12 - 3 \sqrt{3}) π$
$(12 - 6 \sqrt{3}) π$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

المپیاد ریاضی

قطر نیم دایره در شکل زیر کدام گزینه است.

$22$
$23$
$24$
$25$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 7

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$9.5$
$8.5$
$7.8$
$6.8$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 8

المپیاد ریاضی

در شکل زیر نقطه $m$ مرکز ثقل هندسی مثلث می‌باشد.

طول پاره خط $D E \in N$ کدام گزینه است؟

$4, 5$
$5, 6$
$6, 7$
$7, 8$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

قضایای تالس

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

قضیه تالس و نتایج آن

قضایای تالس

قضیه تالس

تعمیم قضیه تالس

عکس قضیه تالس

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟