تبدیل عبارات متقارن به یکدیگر

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402
دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین
امتیاز:

برای تبدیل یک عبارت متقارن به‌عبارتی بر حسب σ داریم: 

معادله درجه دوم x2+px+q=0

به‌معادله درجه دوم زیر توجه کنید:

x2+px+q=0    ;    1

می‌دانیم بنا بر دستورهای زیر:

x1+x2=p  ,  x1x2=q    ;    2

x1 و x2 ریشه‌های معادله 1 است و x1+x2 و x1x2 نسبت به x1 و x2 متقارن هستند.

در جبر ثابت می‌کنند که هر عبارت متقارن نسبت به x1 و x2 را می‌توان بر حسب  x1+x2 و x1x2 نوشت و نام‌گذاری‌ها زیر معمول شده است:

x1+x2=σ1x1x2=σ2

بنابراین در هر عبارت متقارن، نسبت x1 و x2 را می‌توان به‌صورت عبارتی بر حسب σ1 و σ2 نوشت.

مجموع توان‌های برابر x1 و x2 را در نظر می‌گیریم:

x12+x22=x1+x222x1x2=σ122σ2

x13+x23=x1+x233x1x2x1+x2=σ133σ1σ2

x14+x24=x12+x2222x12x22=σ122σ222σ22=σ144σ12σ2+2σ22

عکس این حکم هم درست است، یعنی هر چند‌جمله‌ای شامل σ1 و σ2 نسبت به x1 و x2 عبارتی متقارن است.

به‌عنوان نمونه:

σ124σ1σ2+3σ22=x1+x224x1+x2x1x2+3x12x22

تمرین

اگر اعداد مثبت a,b ريشه های معادله زیر باشند:

x2mx+n=0    ;    m,n>0

عبارت زیر را برحسب m,n محاسبه کنید.

a4+b4

a+b=mab=n

ifA=a4B=b4A4+B4=a+b=mA4B4=a.b=n


بايد از دستگاه فوق، مقدار A+B را محاسبه كنيم:

A4+B4=mA2+B222A2B2=mA2+B22=m+2nA2+B2=m+2n



A2+B2=A+B22ABA+B2=A2+B22ABA+B=A2+B22AB

a4+b4=m+2n+2n4

دریافت مثال

معادله درجه سومx3+px2+qx+r=0

ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را x3,x2,x1 می‌نامیم، باید داشته باشیم:

x3+px2+qx+r

=xx1xx2xx3

=x3x1+x2+x3x2+x1x2+x1x3+x2x3xx1x2x3

x1+x2+x3=px1x2+x1x3+x2x3=qx1x2x3=r  

ساده‌ترین عبارات متقارن نسبت به سه متغیر x3,x2,x1 به‌صورت زیر تشکیل می‌شوند:

x1+x2+x3=σ1

x1x2+x1x3+x2x3=σ2

x1x2x3=σ3

می‌توان ثابت کرد هر عبارتی را که نسبت به سه حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب σ3,σ2,σ1 نوشت.

دو نمونه به‌صورت زیر ذکر می‌کنیم:

1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3=σ2σ3

x13+x23+x33

=x1+x2+x3x12+x22+x32x1x2x1x3x1x3x2x3+3x1x2x3

=x1+x2+x3x1+x2+x323x1x2+x1x2+x2x3+3σ3

=σ1σ123σ2+3σ3

=σ133σ1σ2+3σ3

تمرین

معادله درجه سومی تشكيل دهيد كه ريشه های آن، مجذور ريشه های معادله زیر باشد.

x3+mx2+nx+p=0

روش اول) مجهول معادله جديد را y می‌ناميم، بايد داشته باشيم:

y1=x12  ,  y2=x22  ,  y3=x32


S=y1+y2+y3=x12+x22+x32=x1+x2+x322x1x2+x1x3+x2x3=m22n


P=y1y2+y1y3+y2y3=x12x22+x12x32+x22x32=x1x2+x1x3+x2x322x1x2x3x1+x2+x3=n22mp


Q=y1y2y3=x1x2x32=P2


y3Sy2+PyQ=0

y3+2nm2y2+n22mpyp2=0


روش دوم)
معادله جديد را با روش ديگری هم می‌توان به‌دست آورد:

y=x2x=±y


x3+mx2+nx+p=0

±y3+m±y2+n±y+p=0

±yy+my±ny+p=0


±y+ny=my+p

±y+ny2=my+p2


y2+2ny+n2y=m2y2+2mpy+p2


y3+2nm2y2+n22mpyp2=0

دریافت مثال

معادله درجه nام

معادله درجه nام زیر را در نظر بگیرید:

xn+pxn1+qxn2+rxn3++s=0

اگر ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را xn,,x2,x1 بنامیم، به‌سادگی در جبر ثابت می‌شود:

Σx1=x1+x2++xn=p

Σx1x2=x1x2+x1x3++xn1xn=q

Σx1x2x3=r

      

Σx1x2xn=1n1s

به‌عنوان نمونه در معادله درجه چهارم x47x3+4x3=0 داریم:

x1+x2+x3+x4=7

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=0

x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=4

x1x2x3x4=3

هر عبارت جبری را که نسبت به این n حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن نوشت. این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن را با نام گذاری‌های زیر پذیرفته‌ایم:

x1=σ1

x1x2=σ2

x1x2x3=σ3

            

x1  x2xn=σn

عبارت σ1 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه اول است.  

عبارت σ2 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه دوم است. 

عبارت σn نسبت به xn,,x2,x1 از درجه nام است. 

بنابراین اگر عبارتی به‌صورت σ1m1.σ2m2  .σnmn داشته باشیم، درجه آن نسبت به xn,,x2,x1 برابر است با:

1m1+2m2++nmn

برای نمونه σ13 از درجه سوم و σ12σ2 از درجه چهارم و σ1σ2σ3 از درجه ششم است.

تمرین

اگر داشته باشیم:

xy=σ2x+y=σ1

عبارات زیر را برحسب σ2,σ1 به‌دست آورید.

برای محاسبه عبارات، از تساوی های زیر استفاده کنید:

x2+y2=σ122σ2x3+y3=σ133σ1σ2x4+y4=σ144σ12σ2+2σ22x5+y5=σ155σ13σ2+5σ1σ22

x6+y6

x6+y6=x3+y322x3y3=σ133σ1σ222σ23=σ166σ14σ2+9σ12σ222σ23

x7+y7

x7+y7=x4+y4x3+y3x3y3x+y=σ144σ12σ2+2σ22σ133σ1σ2σ23σ1

x1+y1

x1+y1=1x+1y=x+yxy=σ1σ2

x2+y2

x2+y2=1x2+1y2=x2+y2x2y2=σ122σ2σ22

x3+y3

x3+y3=1x3+1y3=x3+y3x3y3=σ133σ1σ2σ23

x4+y4

x4+y4=x4+y4x4y4=σ144σ12σ2+2σ22σ24

x5+y5

x5+y5=x5+y5x5y5=σ155σ13σ2+5σ1σ22σ25

دریافت مثال

تبدیل عبارت متقارن به‌ عبارتی بر حسب σ

روشی را که در این‌جا به‌کار می‌بریم، روشی کلی است و می‌تواند درباره هر مثال دیگری به‌کار رود.

در تمرین زیر، این روش به تفصیل توضیح داده شده است: 

تمرین

می‌خواهیم عبارت زیر را بر حسب σ بنویسیم: 

x15+x25+x35

به مقادیر σ3,σ2,σ1 توجه کنید:

σ1=x1+x2+x3σ2=x1x2+x1x3+x2x3σ3=x1x2x3


عبارت 
σ1 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه اول است.  


عبارت 
σ2 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه دوم است. 


عبارت 
σ3 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه سوم است.
 

وقتی عبارت x15+x25+x35 برحسب σ3,σ2,σ1 نوشته شود، باید به‌عبارتی برسیم که هر جمله آن به‌صورت kσ1m1.σ2m2.σ3m3 باشد که در آن k ضریب ثابت جمله و m3,m2,m1 اعدادی درست و نامنفی هستند.


با توجه به این‌که عبارت x15+x25+x35 از درجه پنجم است، باید داشته باشیم:

m1+2m2+3m3=5    ;    1


همه جواب‌های درست و نامنفی معادله 1 را برای m3,m2,m1 پیدا می‌کنیم.

از m1 آغاز می‌کنیم:  


حالت اول) اگر داشته باشیم 
m1=5 باشد، روشن است که m2=m3=0:

5+2m2+3m3=52m2+3m3=0m2=0  m3=0


حالت دوم) 
m1 نمی‌تواند برابر 4 باشد، زیرا برای m1=4، جواب نامنفی درستی برای m3,m2 به‌دست نمی‌آید.


حالت سوم) اگر m1=3 باشد، در این حالت داریم:

3+2m2+3m3=52m2+3m3=2m2=1  m3=0


حالت چهارم) اگر m1=2 باشد در این‌صورت از معادله 2m2+3m3=3 به‌دست می‌آید:

2+2m2+3m3=52m2+3m3=3m2=0m3=1


حالت پنجم) اگر m1=1 باشد در این‌صورت از معادله 2m2+3m3=4 به‌دست می‌آید:

1+2m2+3m3=52m2+3m3=4m2=2m3=0


حالت ششم) برای m1=0 به‌دست می‌آید:

0+2m2+3m3=52m2+3m3=5m2=1  m3=1


به‌این ترتیب در تبدیل x15+x25+x35 برحسب σ3,σ2,σ1 باید به مجموعی شامل پنج جمله به‌صورت زیر برسیم:

x15+x25+x35=Aσ15+Bσ13σ2+Cσ12σ3+Dσ1σ22+Eσ2σ3    ;    2


از آنجا که برابری 2 یک اتحاد است، باید به‌ازای همه مقادیر x3,x2,x1 برقرار باشد. 


برای محاسبه ضرایب E,D,C,B,A به پنج معادله نیاز داریم.


پنج بار و هر بار مقادیر مناسبی به‌جای x3,x2,x1 در دو طرف برابری 2 قرار می‌دهیم.  

if  x1=x2=0  ,  x3=1σ1=1  ,  σ2=σ3=02A=1


if  x1=x2=1  ,  x3=2σ1=0  ,  σ2=3  ,  σ3=2E=5


if  x1=x2=1  ,  x3=0σ1=2  ,  σ2=1  ,  σ3=0A=14B+D=15


if  x1=x2=1  ,  x3=1σ1=1  ,  σ2=1  ,  σ3=1A=1BC+D=5


if  x1=x2=x3=1σ1=3  ,  σ2=3  ,  σ3=19B+C+3D=25


از حل معادلات فوق داریم:

A=1B=5C=5D=5 E=5    


به‌این ترتیب داریم:

x15+x25+x35=σ155σ13σ2+5σ12σ3+5σ1σ225σ2σ3

 در تمرین فوق دو حکم مهم زیر را پذیرفتیم:

  • اول این‌که هر عبارت متقارن را تنها به یک صورت می‌توان بر حسب ساده‌ترین عبارات متقارن نوشت.
  • در تبدیل هر عبارت متقارنی که شامل توان‌های مشابه متغیرها باشد، به‌عبارتی می‌رسیم که تنها شامل جملات درجه nام است و همیشه ضریب جملات با درجه پایین‌تر از n برابر صفر است.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تبدیل عبارات متقارن به یک‌دیگر

2,400تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید