تقارن ‌های جبری و ضرایب نامعین

برای تبدیل یک عبارت متقارن به‌عبارتی بر حسب $\sigma$ داریم: 

معادله درجه دوم $x^2+px+q=0$

به‌معادله درجه دوم زیر توجه کنید:

$x^2+px+q=0;\left(1\right)$

می‌دانیم بنا بر دستورهای زیر:

$x_1+x_2=-p,x_1{x}_2=q;\left(2\right)$

$x_1$ و $x_2$ ریشه‌های معادله $\left(1\right)$ است و $x_1+x_2$ و $\hspace{0.17em}{x}_1{x}_2$ نسبت به $x_1$ و $x_2$ متقارن هستند.

در جبر ثابت می‌کنند که هر عبارت متقارن نسبت به $x_1$ و $x_2$ را می‌توان بر حسب  $x_1+x_2$ و $\hspace{0.17em}{x}_1{x}_2$ نوشت و نام‌گذاری‌ها زیر معمول شده است:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\sigma }_1\\ x_1{x}_2={\sigma }_2\end{array}\right.$

بنابراین در هر عبارت متقارن، نسبت $x_1$ و $x_2$ را می‌توان به‌صورت عبارتی بر حسب ${\sigma }_1$ و ${\sigma }_2$ نوشت.

مجموع توان‌های برابر $x_1$ و $x_2$ را در نظر می‌گیریم:

$\begin{array}{l}{x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={{\sigma }_1}^2-2{\sigma }_2\end{array}$

$\begin{array}{l}{x_1}^3+{x_2}^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)={{\sigma }_1}^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2\end{array}$

${x_1}^4+{x_2}^4={\left({x_1}^2+{x_2}^2\right)}^2-2{x_1}^2{x_2}^2={\left({{\sigma }_1}^2-2{\sigma }_2\right)}^2-2{{\sigma }_2}^2={{\sigma }_1}^4-4{{\sigma }_1}^2{\sigma }_2+2{{\sigma }_2}^2$

عکس این حکم هم درست است، یعنی هر چند‌جمله‌ای شامل ${\sigma }_1$ و ${\sigma }_2$ نسبت به $x_1$ و $x_2$ عبارتی متقارن است.

به‌عنوان نمونه:

${{\sigma }_1}^2-4{\sigma }_1{\sigma }_2+3{{\sigma }_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-4\left(x_1+x_2\right)x_1{x}_2+3{x_1}^2{x_2}^2$

معادله درجه سوم$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را $x_{3,}{x}_2,x_1$ می‌نامیم، باید داشته باشیم:

$\begin{array}{l}{x}^3+p{x}^2+qx+r\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\end{array}$

$=x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)x-x_1{x}_2{x}_3$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-p\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=q\\ x_1{x}_2{x}_3=-r\end{array}\right.$

ساده‌ترین عبارات متقارن نسبت به سه متغیر $x_{3,}{x}_2,x_1$ به‌صورت زیر تشکیل می‌شوند:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3={\sigma }_1\end{array}$

$\begin{array}{l}{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3={\sigma }_2\end{array}$

$x_1{x}_2{x}_3={\sigma }_3$

می‌توان ثابت کرد هر عبارتی را که نسبت به سه حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب ${\sigma }_3,{\sigma }_2,{\sigma }_1$ نوشت.

دو نمونه به‌صورت زیر ذکر می‌کنیم:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_3}$

$\begin{array}{l}{x_1}^3+{x_2}^3+{x_3}^3\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(x_1+x_2+x_3\right)\left({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2-x_1{x}_2-x_1{x}_3-x_1{x}_3-x_2{x}_3\right)+3x_1{x}_2{x}_3\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(x_1+x_2+x_3\right)\left[{\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-3\left(x_1{x}_2+x_1{x}_2+x_2{x}_3\right)\right]+3{\sigma }_3\end{array}$

$\begin{array}{l}={\sigma }_1\left({{\sigma }_1}^2-3{\sigma }_2\right)+3{\sigma }_3\end{array}$

$={{\sigma }_1}^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2+3{\sigma }_3$

معادله درجه $n$ام

معادله درجه $n$ام زیر را در نظر بگیرید:

$x^n+p{x}^{n-1}+q{x}^{n-2}+r{x}^{n-3}+\cdot \cdot \cdot +s=0$

اگر ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را $x_n,\cdot \cdot \cdot ,x_2,x_1$ بنامیم، به‌سادگی در جبر ثابت می‌شود:

$\begin{array}{l}\Sigma x_1=x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_n=-p\end{array}$

$\begin{array}{l}\Sigma x_1{x}_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdot \cdot \cdot +x_{n-1}{x}_n=q\end{array}$

$\begin{array}{l}\Sigma x_1{x}_2{x}_3=-r\end{array}$

$\begin{array}{l}⋮\end{array}$

$\Sigma x_1{x}_2\cdots x_n={\left(-1\right)}^{n-1}s$

به‌عنوان نمونه در معادله درجه چهارم $x^4-7x^3+4x-3=0$ داریم:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=7\end{array}$

$\begin{array}{l}{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=0\end{array}$

$\begin{array}{l}{x}_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-4\end{array}$

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4=-3$

هر عبارت جبری را که نسبت به این $n$ حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن نوشت. این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن را با نام گذاری‌های زیر پذیرفته‌ایم:

$\begin{array}{l}\sum x_1={\sigma }_1\end{array}$

$\begin{array}{l}\sum x_1{x}_2={\sigma }_2\end{array}$

$\begin{array}{l}\sum x_1{x}_2{x}_3={\sigma }_3\end{array}$

$\begin{array}{l}⋮\end{array}$

$\sum x_1{x}_2\cdots x_n={\sigma }_n$

عبارت ${\sigma }_1$ نسبت به $x_n,\dots ,x_2,x_1$ از درجه اول است.  

عبارت ${\sigma }_2$ نسبت به $x_n,\dots ,x_2,x_1$ از درجه دوم است. 

$⋮$

عبارت ${\sigma }_n$ نسبت به $x_n,\dots ,x_2,x_1$ از درجه $n$ام است. 

بنابراین اگر عبارتی به‌صورت ${{\sigma }_1}^{m_1}.{{\sigma }_2}^{m_2}\dots .{{\sigma }_n}^{m_n}$ داشته باشیم، درجه آن نسبت به $x_n,\dots ,x_2,x_1$ برابر است با:

$1m_1+2m_2+\cdots +n{m}_n$

برای نمونه ${{\sigma }_1}^3$ از درجه سوم و ${{\sigma }_1}^2{\sigma }_2$ از درجه چهارم و ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3$ از درجه ششم است.

تبدیل عبارت متقارن به‌ عبارتی بر حسب $\sigma$

روشی را که در این‌جا به‌کار می‌بریم، روشی کلی است و می‌تواند درباره هر مثال دیگری به‌کار رود.

در تمرین زیر، این روش به تفصیل توضیح داده شده است: 

 در تمرین فوق دو حکم مهم زیر را پذیرفتیم:

• اول این‌که هر عبارت متقارن را تنها به یک صورت می‌توان بر حسب ساده‌ترین عبارات متقارن نوشت.
• در تبدیل هر عبارت متقارنی که شامل توان‌های مشابه متغیرها باشد، به‌عبارتی می‌رسیم که تنها شامل جملات درجه $n$ام است و همیشه ضریب جملات با درجه پایین‌تر از $n$ برابر صفر است.