تغییر مبنا

آخرین ویرایش: 19 دی 1402
دسته‌بندی: مبنای شمارش
امتیاز:

مقدمه

دسته‌بندی زیر را در نظر بگیرید:

تغییر مبنا - پیمان گردلو

در این‌جا دو‌دسته ده‌تایی و یک‌دسته هشت‌تایی موجود است که عدد28 را برای ما به‌وجود می‌آورند.

تمرین

عدد 1354در نظر بگیرید:  

جایگاه ارقام آن را مشخص کنید.

عددی است چهار رقمی که یکان آن 4، ده‌گان آن 5، صدگان آن 5 و هزارگان آن 1 می‌باشد. 

ارزش هر مکان را مشخص کنید.

هر یک از ارقام این عدد در مکانی خاص قرار گرفته و هر مکان برای خودش ارزشی جداگانه دارد. 

1354=4×100+5×101+3×102+1×103


این طرز نوشتن را بسط عدد 1354 می‌نامیم.  

سوال اول

چرا در عدد 1354 توان‌های عدد 10 مورد نظر بودند؟

بهترین دلایلی که برای انتخاب توان‌های مختلف 10 می‌توان آورد، عبارتند از: 

تعداد انگشتان دو دست برابر 10 است.

عدد 10 را مبنای اعشاری (دهدهی) گویند.  

سوال دوم

آیا می‌توانستیم توان‌های عدد دیگری به‌غیر از 10 را مورد توجه قرار دهیم؟

می‌توانیم هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 را مبنا قرار دهیم.

تمرین

دسته‌بندی زیر را در نظر بگیرید:

تغییر مبنا - پیمان گردلو

مهره‌های شکل فوق را در مبنای عدد 3 دسنه‌بندی کنید.

یک‌دسته 33=27 موجود است.


یک‌دسته 32=9 موجود است.


یک‌دسته 31=3 موجود است.


دو‌دسته 30=1 موجود است.

چه عددی با دسته‌بندی‌های انجام شده در مبنای 3 تولید می‌شود؟

این مهره‌ها با دسته‌بندی‌های انجام شده، عدد 1112را در مبنای 3 می‌سازند.

11123=2×30+1×31+1×32+1×33

11123=2+3+9+2711123=4110


تعداد مهره‌ها در مبنای دهدهی 41 می‌باشد.

حالت مختلف تغییر مبنا

حالت اول

عددی در مبنای 10 داده شده و می‌خواهیم این عدد را به مبنایی غیر از 10 ببریم.  

برای بردن عددی از مبنای 10 به مبناهای دیگر، کافی است آن عدد به‌طور متوالی بر مبنای جدید تقسیم کنیم تا جایی که خارج قسمت از مقسوم‌علیه کوچک‌تر شود.

آخرین خارج قسمت و همه باقی مانده‌ها را می‌نویسیم.

تمرین

مقدار x را در تساوی های زیر به‌دست آورید.

14310=x2


14310=100011112

137510=x8


137510=25378

3×54+2×510=x5

3×54+2×5


=3×54+0×53+0×52+2×51+0×50


=300205

59+2×57+4×54+7×53+6×510=x5

59+2×57+4×54+7×53+6×5


=1×59+0×58+2×57+0×56+0×55+4×54+7×53+0×52+6×51+0×50


=1×59+0×58+2×57+0×56+0×55+4×54+5+2×53+0×52+5+1×51+0×50


=1×59+0×58+2×57+0×56+0×55+4×54+54+2×53+0×52+52+5+0×50


=1×59+0×58+2×57+0×56+0×55+5×54+2×53+1×52+1×51+0×50


=1×59+0×58+2×57+0×56+1×55+0×54+2×53+1×52+1×51+0×50


=10201021105

دریافت مثال

حالت دوم

عددی در مبنای غیر 10 داده شده و می‌خواهیم این عدد را به مبنای 10 ببریم.  

برای بردن یک عدد از مبنای غیر 10 به مبنای 10 ابتدا عدد را بسط داده و محاسبات را انجام می‌دهیم.

عدد به‌دست آمده در مبنای 10 می‌باشد.

تمرین

مقدار x را در تساوی های زیر به‌دست آورید.

101010102=x10

101010102


=0×20+1×21+0×22+1×23+0×24+1×25+0×26+1×27


=0+2+0+8+0+32+0+128=17010

1002034=x10

1002034


=3×40+0×41+2×42+0×43+0×44+1×45


=3+0+32+0+0+1024=105910

25257=x10

25257


=5×70+2×71+5×72+2×73


=95010

دریافت مثال

حالت سوم

عددی در مبنای غیر 10 داده شده و می‌خواهیم این عدد را به مبنایی غیر از 10 ببریم.  

ابتدا عدد را به مبنای 10 می‌بریم، سپس عدد حاصل را به مبنایی که می‌خواهیم، می‌بریم.

تمرین

مقدار x را در تساوی های زیر به‌دست آورید.

3147=x5

ابتدا عدد 3147 را به مبنای 10 می‌بريم:


3147


=4×70+1×71+3×72


=4+7+147=15810


عدد 15810 را به مبنای 5 می‌بريم:



15810=11135


به‌طور کلی داریم:


3147=15810=11135

1101102=x4

ابتدا عدد 1101102 را به مبنای 10 می‌بريم:


1101102


=0×20+1×21+1×22+0×23+1×24+1×25


=0+2+4+0+16+32


=5410


عدد 5410 را به مبنای 4 می‌بريم:



1101102=3124

1101102=x8

ابتدا عدد 1101102 را به مبنای 10 می‌بريم:


1101102=5410


عدد 5410 را به مبنای 8 می‌بريم:



1101102=668

دریافت مثال

نکته

1- اگر مبنای عددی ذکر نشود، منظور مبنای 10 خواهد بود.

2- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 4 کافی‌است از سمت راست عدد، دو رقم دو رقم جدا کنیم سپس به‌جای هر عدد دو رقمی در مبنای 2 مقدار آن در مبنای 4 را بنویسیم.

تمرین

عدد 1101102 را مستقیما به مبنای 4 ببرید.

112012102=1×20+1×2131×20+0×2110×20+1×212=3124

نکته

3- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 8 کافی‌است از سمت راست عدد، سه رقم سه رقم جدا کنیم سپس به‌جای هر عدد دو رقمی در مبنای 2 مقدار آن در مبنای 8 را بنویسیم.

تمرین

عدد 1101102 را مستقیما به مبنای 8 ببرید.

11021102=0×20+1×21+1×2260×20+1×21+1×226=668

نکته

4- به‌طور کلی در مبنای n، عددی بر n-1 بخش‌پذیر است که مجموع ارقام آن بر n-1 بخش‌پذیر باشد.  

5- در مبنای دهدهی هیچ رقمی کم‌تر از صفر و بیش‌تر از 9 نیست، به‌عبارتی اگر a یک رقم در مبنای دهدهی باشد، داریم:

0a9

به‌طور کلی در مبنای عدد طبیعی n>1، رقم a باید در شرط زیر صدق کند:   

0an1


6- اگر عدد abcde¯ در مبنای x نوشته شده باشد، برای نوشتن این عدد در مبنای 10 به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:  

abcde¯x=ax4+bx3+cx2+dx1+ex0=ax4+bx3+cx2+dx+e


7- اگر n عددی طبیعی باشد، حاصل جمع زیر: 

20+21+22+...+2n

از طریق مبنا قابل محاسبه است و مقدار آن 2n+1-1 می‌شود. 


8- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 4 به مبنای 2 هر رقم را به‌صورت یک عدد دو رقمی در مبنای 2 می‌نویسیم.

اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر می‌گذاریم.

تمرین

عدد 132214 را مستقیما به مبنای 2 ببرید.

در این‌جا هر رقم را جداگانه باید به مبنای 2 ببریم و به‌صورت یک عدد دو رقمی بنویسیم: 

 13221 0111101001

132214=01111010012=1111010012

نکته

9- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 8 به مبنای 2 هر رقم را به‌صورت یک عدد سه رقمی در مبنای 2 می‌نویسیم. 

اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر می‌گذاریم.

تمرین

عدد 12345678 را مستقیما به مبنای 2 ببرید.

در این‌جا هر رقم را جداگانه باید به مبنای 2 ببریم و به‌صورت یک عدد سه رقمی بنویسیم: 

   1234567   001010011100101110111


12345678=0010100111001011101112=10100111001011101112

تمرین

حداقل مبنايی که در  عدد زیر معنی داشته باشد، چيست؟

122333456

بزرگ ترين رقم اين عدد 6 است.


حداقل مبنايی که اين عدد، در آن مبنا دارای معنی است عدد 7 است.

تمرین

در مبنای 7 :

چند عدد سه رقمی وجود دارد؟ 

عدد سه رقمی را به‌صورت abc¯ نشان می‌دهيم.


به جای a ارقام 1,2,3,4,5,6 می‌تواند به شش حالت قرار گیرد.


عدد 0 نمی‌تواند در این مکان قرار گیرد، زیرا عدد سه رقمی abc¯ به عدد دو رقمی bc¯ تبدیل می‌شود.


به جای b,c ارقام 0,1,2,3,4,5,6 می‌تواند به هفت حالت قرار گیرد.



طبق اصل ضرب، تعداد اعداد سه رقمی در مبنای 7 برابر است با:


6×7×7=294

بزرگ ترين عدد سه رقمی کدام است؟

بزرگ ترين عدد سه رقمی در مبنای 7 عدد 666 است.

تمرین

عددی در مبنای 2 دارای 156 رقم است.

اين عدد در مبنای 4 چند رقمی خواهد بود؟

156÷2=78

اين عدد در مبنای 8 چند رقمی خواهد بود؟

156÷3=52

تمرین

عددی در مبنای 4 دارای 27 رقم است.

اين عدد در مبنای 2 حداقل و حداکثر چند رقم خواهد بود.

اگر آخرين رقم سمت چپ اين عدد 1 باشد، اين عدد در مبنای 2 دارای 53 رقم است:


26×2+1=52+1=53


اگر آخرين رقم سمت چپ اين عدد 2 يا 3 باشد، اين عدد در مبنای 2 دارای 54 رقم است: 


27×2=54

تمرین

عددی در مبنای 8 دارای 34 رقم است.

اين عدد در مبنای 2 حداقل و حداکثر چند رقم خواهد بود.

اگر آخرين رقم سمت چپ اين عدد 1 باشد، اين عدد در مبنای 2 دارای 100 رقم است:


33×3+1=99+1=100


اگر آخرين رقم سمت چپ اين عدد 2 يا 3 باشد، اين عدد در مبنای 2 دارای 101 رقم است: 


33×3+2=101


اگر آخرين رقم سمت چپ اين عدد 4 يا 5 یا 6 یا 7 باشد:


اين عدد در مبنای 2 دارای 102 رقم است: 


34×3=102

تمرین

عدد 10x11x¯ در مبنای 2 مفروض است.

اگر اين عدد در مبنای 4 برابر 212 باشد.

مقدار x چقدر است؟

10x11x¯2=21241x¯2=24x=0

تمرین

قاعده بخش پذيری عدد abcd5 بر 4 را به‌دست آوريد.

abcd¯5


=a×53+b×52+c×51+d×50


=a×124+1+b×24+1+c×4+1+d


=124a+a+24b+b+4c+c+d


=124a+24a+4c+a+b+c+d


=431a+6b+c+a+b+c+d


عبارت فوق در صورتی بر 4 بخش پذير است که:


a+b+c+d یعنی مجموع ارقام عدد abcd بر 4 بخش پذیر باشد. 

چند عدد مضرب 7 در مبنای 7 وجود دارد که 10 رقمی باشد.

در مبنای 7 عددی بر 7 بخش پذير است که رقم يکانش صفر باشد.


یعنی مکان یکان فقط یک حالت در نظر گرفته می‌شود.


طبق اصل ضرب داریم:


6¯×7¯×7¯×7¯×7¯×7¯×7¯×7¯×7¯×1=6×78

چند عدد nN رقمی در مبنای b>1 وجود دارد؟

فرض کنيم a1a2a3...an¯ يک عدد دل‌خواه n رقمی در مبنای b باشد.


برای نوشتن a1 هر يک از b-1 رقم از b-1,...2,1 را می‌توان اختيار کرد.


رقم 0 را نمی‌توان به‌جای a1 قرار داد.


برای نوشتن a2 هر يک از  ارقام b-1,...2,1,0 را می‌توان اختيار کرد.


هم‌چنين برای نوشتن هر يک از ارقام an,...,a3 نيز b  انتخاب موجود است.


بنابراين طبق اصل ضرب، تعداد اعداد  رقمی در مبنای  عبارت است از:

b1×b×b×...×b=b1×bn1=b×bn1bn1=bnbn1


در تساوی فوق b به تعداد n-1 بار تکرار شده است.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تغییر مبنا

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید