مبنای شمارش

عددی است چهار رقمی که یکان آن $4$، ده‌گان آن $5$، صدگان آن $5$ و هزارگان آن $1$ می‌باشد. 

هر یک از ارقام این عدد در مکانی خاص قرار گرفته و هر مکان برای خودش ارزشی جداگانه دارد. 

$1354=\left(4\times {10}^0\right)+\left(5\times {10}^1\right)+\left(3\times {10}^2\right)+\left(1\times {10}^3\right)$

این طرز نوشتن را بسط عدد $1354$ می‌نامیم.  

یک‌دسته $3^3=27$ موجود است.

یک‌دسته $3^2=9$ موجود است.

یک‌دسته $3^1=3$ موجود است.

دو‌دسته $3^0=1$ موجود است.

این مهره‌ها با دسته‌بندی‌های انجام شده، عدد $1112$را در مبنای $3$ می‌سازند.

$\begin{array}{l}{\left(1112\right)}_3=\left(2\times 3^0\right)+\left(1\times 3^1\right)+\left(1\times 3^2\right)+\left(1\times 3^3\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}\Rightarrow {\left(1112\right)}_3=2+3+9+27\\ \\ \Rightarrow {\left(1112\right)}_3={\left(41\right)}_{10}\end{array}\end{array}$

تعداد مهره‌ها در مبنای دهدهی $41$ می‌باشد.

${\left(143\right)}_{10}={\left(10001111\right)}_2$

${\left(1375\right)}_{10}={\left(2537\right)}_8$

$\begin{array}{l}3\times 5^4+2\times 5\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(3\times 5^4\right)+\left(0\times 5^3\right)+\left(0\times 5^2\right)+\left(2\times 5^1\right)+\left(0\times 5^0\right)\end{array}$

$={\left(30020\right)}_5$

$\begin{array}{l}{5}^9+2\times 5^7+4\times 5^4+7\times 5^3+6\times 5\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(1\times 5^9\right)+\left(0\times 5^8\right)+\left(2\times 5^7\right)+\left(0\times 5^6\right)+\left(0\times 5^5\right)+\left(4\times 5^4\right)+\left(7\times 5^3\right)+\left(0\times 5^2\right)+\left(6\times 5^1\right)+\left(0\times 5^0\right)\end{array}$

$=\left(1\times 5^9\right)+\left(0\times 5^8\right)+\left(2\times 5^7\right)+\left(0\times 5^6\right)+\left(0\times 5^5\right)+\left(4\times 5^4\right)+\left[\left(5+2\right)\times 5^3\right]+\left(0\times 5^2\right)+\left[\left(5+1\right)\times 5^1\right]+\left(0\times 5^0\right)$

$\begin{array}{l}=\left(1\times 5^9\right)+\left(0\times 5^8\right)+\left(2\times 5^7\right)+\left(0\times 5^6\right)+\left(0\times 5^5\right)+\left(4\times 5^4\right)+\left(5^4\right)+\left(2\times 5^3\right)+\left(0\times 5^2\right)+\left(5^2\right)+5+\left(0\times 5^0\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(1\times 5^9\right)+\left(0\times 5^8\right)+\left(2\times 5^7\right)+\left(0\times 5^6\right)+\left(0\times 5^5\right)+\left(5\times 5^4\right)+\left(2\times 5^3\right)+\left(1\times 5^2\right)+\left(1\times 5^1\right)+\left(0\times 5^0\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(1\times 5^9\right)+\left(0\times 5^8\right)+\left(2\times 5^7\right)+\left(0\times 5^6\right)+\left(1\times 5^5\right)+\left(0\times 5^4\right)+\left(2\times 5^3\right)+\left(1\times 5^2\right)+\left(1\times 5^1\right)+\left(0\times 5^0\right)\end{array}$

$={\left(1020102110\right)}_5$

$\begin{array}{l}{\left(10101010\right)}_2\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(0\times 2^0\right)+\left(1\times 2^1\right)+\left(0\times 2^2\right)+\left(1\times 2^3\right)+\left(0\times 2^4\right)+\left(1\times 2^5\right)+\left(0\times 2^6\right)+\left(1\times 2^7\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=0+2+0+8+0+32+0+128\\ \\ ={\left(170\right)}_{10}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(100203\right)}_4\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(3\times 4^0\right)+\left(0\times 4^1\right)+\left(2\times 4^2\right)+\left(0\times 4^3\right)+\left(0\times 4^4\right)+\left(1\times 4^5\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=3+0+32+0+0+1024\\ \\ ={\left(1059\right)}_{10}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(2525\right)}_7\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(5\times 7^0\right)+\left(2\times 7^1\right)+\left(5\times 7^2\right)+\left(2\times 7^3\right)\end{array}$

$={\left(950\right)}_{10}$

ابتدا عدد ${\left(314\right)}_7$ را به مبنای $10$ می‌بريم:

$\begin{array}{l}{\left(314\right)}_7\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(4\times 7^0\right)+\left(1\times 7^1\right)+\left(3\times 7^2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=4+7+147\\ \\ ={\left(158\right)}_{10}\end{array}$

عدد ${\left(158\right)}_{10}$ را به مبنای $5$ می‌بريم:

${\left(158\right)}_{10}={\left(1113\right)}_5$

به‌طور کلی داریم:

${\left(314\right)}_7={\left(158\right)}_{10}={\left(1113\right)}_5$

ابتدا عدد ${\left(110110\right)}_2$ را به مبنای $10$ می‌بريم:

$\begin{array}{l}{\left(110110\right)}_2\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(0\times 2^0\right)+\left(1\times 2^1\right)+\left(1\times 2^2\right)+\left(0\times 2^3\right)+\left(1\times 2^4\right)+\left(1\times 2^5\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=0+2+4+0+16+32\end{array}$

$={\left(54\right)}_{10}$

عدد ${\left(54\right)}_{10}$ را به مبنای $4$ می‌بريم:

${\left(110110\right)}_2={\left(312\right)}_4$

ابتدا عدد ${\left(110110\right)}_2$ را به مبنای $10$ می‌بريم:

${\left(110110\right)}_2={\left(54\right)}_{10}$

عدد ${\left(54\right)}_{10}$ را به مبنای $8$ می‌بريم:

${\left(110110\right)}_2={\left(66\right)}_8$

${\left(11\right)}_2{\left(01\right)}_2{\left(10\right)}_2=\underset{3}{\underbrace{\left(1\times 2^0+1\times 2^1\right)}}\underset{1}{\underbrace{\left(1\times 2^0+0\times 2^1\right)}}\underset{2}{\underbrace{\left(0\times 2^0+1\times 2^1\right)}}={\left(312\right)}_4$

${\left(110\right)}_2{\left(110\right)}_2=\underset{6}{\underbrace{\left(0\times 2^0+1\times 2^1+1\times 2^2\right)}}\underset{6}{\underbrace{\left(0\times 2^0+1\times 2^1+1\times 2^2\right)}}={\left(66\right)}_8$

در این‌جا هر رقم را جداگانه باید به مبنای $2$ ببریم و به‌صورت یک عدد دو رقمی بنویسیم: 

$\begin{array}{l}\begin{array}{ccccc} 1& 3& 2& 2& 1\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ \left(01\right)& \left(11\right)& \left(10\right)& \left(10\right)& \left(01\right)\end{array}\\ \end{array}$

${\left(13221\right)}_4={\left(0111101001\right)}_2={\left(111101001\right)}_2$

در این‌جا هر رقم را جداگانه باید به مبنای $2$ ببریم و به‌صورت یک عدد سه رقمی بنویسیم: 

$\begin{array}{l}\begin{array}{ccccccc} 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ \left(001\right)& \left(010\right)& \left(011\right)& \left(100\right)& \left(101\right)& \left(110\right)& \left(111\right)\end{array}\end{array}$

${\left(1234567\right)}_8={\left(001010011100101110111\right)}_2={\left(1010011100101110111\right)}_2$