مثلث قائمالزاویه که در آن است را درنظر بگیرید:
در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم میگویند.
- اندازه ضلع مقابل به زاویه را با نشان میدهند.
- اندازه ضلع مقابل به زاویه را با نشان میدهند.
- اندازه ضلع مقابل به زاویه را با نشان میدهند.
قضیه فیثاغورس
قضیه
در هر مثلث قائمالزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.
اثبات
فرض آن استکه:
میخواهیم ثابت کنیم: (حکم)
مربعی بهضلع بهصورت زیر در نظر میگیریم:
مثلثهای زیر بهواسطه دوضلع و زاویه بینشان مساویند:
چهارضلعی مربعی است بهضلع :
تمرین
در شکل های زیر مقدار را حساب کنيد.
تمرین
در مثلث قائم الزاویه شکل زیر، طول ميانه های نظير اضلاع زاويه قائم و میباشند.
طول وتر مثلث را حساب کنيد.
تمرین
ثابت کنید اعداد زیر، اعداد فیثاغورسی هستند.
دریافت مثال
عکس قضیه فیثاغورس
قضیه
اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائمالزاویه است.
اثبات
فرض آن استکه:
میخواهیم ثابت کنیم: (حکم)
مثلث قائمالزاویهای که ضلعهای زاویه قائم آن برابر و باشد، رسم میکنیم و نشان میدهیم آن مثلث با مثلث مساوی است.
دو مثلث زیر بهواسطه سهضلع بینشان مساویند:
اعداد فیثاغورس
اگر سهعدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دوتای دیگر مساوی باشد، بهعبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی مینامند.
بهعنوان نمونه اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:
تمرین
اگر اعداد فيثاغورسی باشند، ثابت کنيد اعداد زیر، نيز اعداد فيثاغورسی هستند.
فرض آن است که:
میخواهیم ثابت کنیم:
نکته
اگر دو عدد طبیعی باشند، سه تایی زیر، اضلاع یک مثلم قائم الزاویه هستند:
سه تایی فوق در رابطه فیثاغورث صدق میکند و وتر آنها است.
بهعنوان نمونه داریم:
دریافت مثال
فاصله دو نقطه
قضیه
اگر و دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه بهصورت زیر محاسبه میشود:
اثبات
تمرین
نقاط زیر را در نظر بگیرید:
طول پاره خط را بهدست آوريد؟
تمرین
نقاط زیر سه رئوس يک مثلث میباشند.
ثابت کنيد مثلث قائم الزاويه است.
دریافت مثال
نکته
1- در هر مثلث قائمالزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.
2- در هر مثلث قائمالزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.
3- در هر مثلث قائمالزاویه، ضلع مقابل به زاویه نصف وتر است.
4- در هر مثلث قائمالزاویه، ضلع مقابل به زاویه با وتر مساوی است.
اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائمالزاویه باشد، زاویه حاده دیگر نیز میشود، بنابراین مثلث قائمالزاویه به مثلث قائمالزاویه متساویالساقین تبدیل میشود:
5- در هر مثلث قائمالزاویه، ضلع مقابل به زاویه با وتر مساوی است.
6- سهعدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده میشوند.
7- قطر مربعی بهضلع برابر است با .
8- قطر مستطیلی به ابعاد و برابر است با:
9- شعاع دایره محیطی هر مثلث قائمالزاویه نصف وتر است.
10- شعاع دایره محاطی مثلث قائمالزاویه برابر است با:
11- در مثلث قائمالزاویه به وتر و بهاضلاع زاویه قائمه و داریم:
12- مجموع مساحتهای هلالین با مساحت مثلث قائمالزاویه مساوی است.
13- در شکلهای زیر داریم:
14- اگر و اضلاع مجاور به زاویه قائمه و ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائمالزاویه باشد، آنگاه:
تمرین
قطر مستطیلی و عرض آن است.
طول مستطیل چقدر است؟
تمرین
در ذوزنقه قائم الزاويه ای يکی از زاويه ها و قاعده کوچک و ساق قائم آن بهترتيب و سانتی متر است.
ساق مايل و قاعده بزرگ را حساب کنيد.
ارتفاع را رسم میکنيم، چهارضلعی مستطيل است.
تمرین
اضلاع مثلثی میباشد.
مساحت مثلث را حساب کنيد.
تمرین
خط راستی دو دايره هم مرکز را قطع کرده و روی آنها وترهايی به طول و سانتی متر ايجاد کرده است.
مساحت حلقه بين دو دايره چقدر است؟
مساحت حلقه:
تمرین
مثلث متساوی الاضلاع با طول سانتی متر مفروض است.
شعاع دايره محيطی مثلث را محاسبه کنید.
مرکز دايره محيطی محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث میباشد.
در مثلث متساوی الاضلاع عمود منصف های هر ضلع نيمساز زاويه مقابل آن نيز هست.
تمرین
ضلع مثلث متساوی الاضلاع در شکل زیر سانتی متر است.
ارتفاع مثلث را بهدست آوريد؟
در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع نظير يک ضلع ، ميانه آن ضلع هم هست.
تمرین
در مثلث متساوی الساقين زیر، ارتفاع را رسم میکنيم.
ثابت کنيد مجموع مربعات سه ضلع مثلث مساوی است با:
طرفين تساوی های فوق را با هم جمع میکنيم:
تمرین
در شکل زیر، طول ضلع مربع است.
مطلوب است طول قطر مربعی که ضلع آن مساوی قطر مربع اول باشد.
اگر قطر مربع بزرگ را فرض کنيم، خواهيم داشت:
تمرین
ذوزنقه متساوی الساقين را در نظر بگیرید که در آن داشته باشیم:
مطلوب است محاسبه ارتفاع و اقطار ذوزنقه متساوی الساقين.
تمرین
در شکل زیر و شعاع دايره سانتی متر است.
طول پاره خط چقدر است؟
تمرین
در شکل زیر، مثلث قائم الزاويه و وسط است.
از نقطه پاره خطی بر وتر عمود میکنيم تا آن را در قطع کند. ثابت کنيد:
از به وصل میکنیم:
تمرین
در نيمدايره زیر داریم:
اگر شعاع نيم دايره سانتیمتر باشد، محيط چهار ضلعی را حساب کنيد.
برای محاسبه عمود را رسم میکنيم:
محيط چهار ضلعی:
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
اضلاع و سهم مربع محاط در يک دايره را بر حسب شعاع دايره حساب کنيد.
مثلث قائم الزاويه متساوی الساقين است و ارتفاع ميانه وتر هم هست، لذا:
در یک شش ضلعی منتظم که محاط در يک دايره است، سهم را بر حسب شعاع دايره حساب کنيد.
اندازه هر ضلع يک شش ضلعی منتظم محاطی با شعاع دايره مساوی است، زيرا:
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
مساحت شکل چقدر است؟
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
در شکل فوق مساحت مربع بزرگ چند برابر مساحت مربع کوچک است؟
ضلع مربع بزرگ را فرض میکنيم، مساحت آن برابر است.
ضلع مربع متوسط است.
ملاحظه میشود که مساحت مربع بزرگ چهار برابر مساحت مربع کوچک است.
دریافت مثال
قضایا و روابط طولی در مثلث قائم الزاویه
فرض کنید مثلث مانند شکل زیر یک مثلث قائمالزاویه و ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:
برخی روابط طولی در مثلث فوق بهصورت زیر است:
قضیه
اثبات
نشان میدهیم که دومثلث و متشابه هستند:
قضیه
اثبات
نشان میدهیم که دو مثلث و متشابه هستند:
قضیه
اثبات
تمرین
تابع زیر را در نظر بگیرید:
اگر نقاط برخورد نمودار سهمی فوق با محورهای مختصات، رئوس یک مثلث قائم الزاویه باشند، آنگاه:
چند برابر است؟
اگر ریشه های سهمی فوق باشند، با توجه به شرایط مساله، شکل فرضی زیر را در نظر میگیریم:
طبق روابط طولی در مثلث قائم الزاویه داریم:
قضیه
اثبات
قضیه
اثبات
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را بهدست آورید:
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
اگر از نقطه عمودی بر قطر رسم کنیم و پای این عمود را بنامیم، است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.
در مثلث با استفاده از فیثاغورس داریم:
برای محاسبه قطر مینویسم:
تستهای این مبحث
تست شماره 1
کنکور ریاضی تیر 1403
مساحت مربع شکل زیر، چقدر است؟
tdguz50
تست شماره 2
کنکور ریاضی اردیبهشت 1403
در شکل زیر است.
اگر و و باشد، اندازه کدام است؟
glmbh3f
تست شماره 3
کنکور ریاضی اردیبهشت 1403
در یک متساوی الساقین، اندازه قاعده و اندازه میانه وارد بر آن، نصف قاعده است.
اندازه میانه نظیر هر ساق کدام است؟
fbua113
تست شماره 4
کنکور تجربی تیر 1403
در مثلث قائم الزاویه ، نقطه نقطه تلاقی ارتفاع وارد بر وتر است.
اگر طول وتر و کمترین فاصله از راس های مجاورش باشد، نسبت طول اضلاع قائمه این مثلث کدام است؟
hakcgjb
تست شماره 5
کنکور تجربی دی 1401
در شکل زیر مساحت مثلث برابر است.
فاصله از کدام است؟
jjvuq59
تست شماره 6
مساحت شکل زیر کدام است؟
oqirai7
تست شماره 7
المپیاد ریاضی
در شکل زیر اگر مساحت دایره بزرگ باشد، مساحت دایره کوچک کدام گزینه است؟
tzzxr0u
تست شماره 8
المپیاد ریاضی
در شکل زیر اگر ربع یک دایره باشد، مساحت ناحیه قرمز رنگ کدام است؟
cxx848z
تست شماره 9
المپیاد ریاضی
در شکل زیر مساحت ناحیه قرمز رنگ، کدام است؟
wnr8ee9
تست شماره 10
المپیاد ریاضی
در مثلث زیر اگر باشد، مساحت ناحیه رنگی کدام است؟
gam0m36
تست شماره 11
المپیاد ریاضی
مساحت مستطیل زیر کدام یک از گزینه های زیر است؟
aqwd1c8
تست شماره 12
المپیاد ریاضی
در شکل زیر طول پاره خط کدام گزینه است؟
abfw84w
تست شماره 13
المپیاد ریاضی
در شکل زیر شعاع دایره کدام است؟
prc053z
تست شماره 14
المپیاد ریاضی
مساحت رنگی در شکل زیر کدام گزینه است؟
rjwi0c0
تست شماره 15
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگی زیر کدام گزینه است؟
etv893r
تست شماره 16
المپیاد ریاضی
شعاع نیم دایره در شکل زیر کدام گزینه است؟
elexc6h
تست شماره 17
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه سبز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟
hcf2e0b
تست شماره 18
المپیاد ریاضی
مساحت دایره در شکل زیر کدام گزینه است؟
cgv2i97
تست شماره 19
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه قرمز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟
hha0y04
تست شماره 20
المپیاد ریاضی
مقدار در شکل زیر چقدر است؟
oul5bhc
تست شماره 21
المپیاد ریاضی
مقدار زاویه در شکل زیر کدام است؟
hvz3fn6
تست شماره 22
المپیاد ریاضی
مساحت دایره در شکل زیر کدام گزینه است؟
fadgrnw
تست شماره 23
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
nib37xh
تست شماره 24
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
zao13u3
تست شماره 25
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
uef12hq
تست شماره 26
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
fsa2u29
تست شماره 27
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
crne92l
تست شماره 28
المپیاد ریاضی
مقدار در شکل زیر کدام گزینه است؟
anb95yl
تست شماره 29
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
ybvk39s
تست شماره 30
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
tez6ozn
تست شماره 31
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
wkzu0if
تست شماره 32
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
hqk6r25
تست شماره 33
المپیاد ریاضی
مقدار زاویه درشکل زیر کدام گزینه است؟
zuoo599
تست شماره 34
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
vfp7739
تست شماره 35
المپیاد ریاضی
مقدار چقدر باشد تا مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر ماکزییم شود؟
iln5guu
تست شماره 36
المپیاد ریاضی
در شکل زیر مقدار پاره خط کدام گزینه است؟
yeegome
تست شماره 37
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
mjjcz06
تست شماره 38
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
vqbpr8i
تست شماره 39
المپیاد ریاضی
طول پاره خط در شکل زیر کدام گزینه است؟
nsq4lm2
تست شماره 40
المپیاد ریاضی
مساحت مثلث در شکل زیر کدام گزینه است؟
rnr9nmj
تست شماره 41
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
ueowhi3
تست شماره 42
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
bft5d7z
تست شماره 43
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
cohs8bo
تست شماره 44
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
szhs778
تست شماره 45
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
zyc09p1
تست شماره 46
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
zfzy088
تست شماره 47
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
sjca29a
تست شماره 48
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
zlz7267
تست شماره 49
المپیاد ریاضی
طول نوار قرمز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟
wmf0l61
تست شماره 50
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
gdkcn65
تست شماره 51
المپیاد ریاضی
در مثلث های متساوی الاضلاع شکل زیر مقدار کدام گزینه است؟
vad11l1
تست شماره 52
المپیاد ریاضی
اگر در لوزی شکل زیر محیط و مساحت باشد، مقدار کدام گزینه است؟
deo91d6
تست شماره 53
المپیاد ریاضی
مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟
vmb44np