استدلال ریاضی

مقدمه

گاهی اوقات برای استدلاهایمان، از تمثیل استفاده می‌کنیم:

• مار گزیده از ریسمان سیاه و سفید می‌ترسد.
• لباس‌های احمد مثل برف سفید است.
• کودکی که قبلا شخصی عینکی، به او آمپولی را تزریق کرده است، از افراد عینکی می‌ترسد.

تعریف قیاس

قیاس، یافتن مشابهت بین مفاهیم گوناگون است.

در این روش با آوردن تمرین‌هایی شبیه مساله مطرح شده، مفهوم مساله یا قضیه را به ذهن نزدیک می‌کنیم تا بهتر بتوانیم به حل و جواب مساله پی ببریم.

تمثیل در اصل پی بردن از جزیی به جزیی دیگر است، تمثیل را می‌توان به‌صورت گزاره شرطی زیر تعریف کرد:

$\left[p\left(x\right),\left(y~x\right)\right]\Rightarrow p\left(y\right)$

یعنی اگر $x$ خاصیت $p$ داشته باشد و $y$ شبیه $x$ باشد، نتیجه می‌گیریم که $y$ هم خاصیت $p$ را دارد.

انواع تمثیل با توجه به محدودیت‌هایی که دارند، می‌توانند در ایجاد یک زمینه شهودی برای درک بسیاری از مفاهیم و اثبات‌های ریاضی کمک موثری باشند و نباید اهمیت آنها را نادیده گرفت.

به‌عنوان نمونه:

گزاره (مریخ سیاره است و دارای ماه است) یک گزاره درست است.

می‌دانیم گزاره (مریخ یک سیاره است) نیز درست است، در نتیجه اگر بپذیریم (مریخ دارای ماه است) در این‌صورت از روش تمثیلی یا قیاسی استفاده کرده‌ایم.

همان‌طور که گفته‌ایم باید توجه کرد که روش تمثیلی یک روش عملی نیست ولی به کمک تمثیل می‌توان گزاره‌های جدیدی بیان کرد و سپس درستی آنها را بررسی کرد.

تمثیل از جمله وسیله‌هایی است که کشف و بیان قضایای جدید و شهود بهتر آنها را ممکن می‌سازد.

قیاس استثنایی

یکی از انواع قیاس‌ها که در استدلالات ریاضیاتی کاربرد فراوان دارد، قیاس استثنایی است.

به‌عنوان نمونه:

مقدمه اول) اگر $p$: امشب شب چهاردهم ماه باشد، آن‌گاه $q$: ماه کامل است.

مقدمه دوم) $p$: امشب شب چهاردهم ماه است.

نتیجه) $q$: ماه کامل است.   

$\frac{\begin{array}{l}p\to q\\ p\end{array}}{\begin{array}{l}\\ \therefore q\end{array}}$

در این‌جا $\left(\therefore \right)$ نماد نتیجه است.

مغالطه

گاهی از قیاس استثنایی به شکل نادرست استفاده می‌شود و منجر به نتیجه‌گیری نادرست می‌شود، به این‌گونه استدلالات، مغالطه می‌گویند.

به‌عنوان نمونه:

مقدمه اول) اگر $p$: باران ببارد،  آن‌گاه $q$: زمین خیس می‌شود. 

مقدمه دوم) $q$: زمین خیس شده است.  

نتیجه) $p$: باران باریده است.  

$\frac{\begin{array}{l}p\to q\\ q\end{array}}{\begin{array}{l}\\ \therefore p\end{array}}$

در استدلال فوق طبق قیاس استثنایی، مقدم دوم باید $p$ باشد نه $q$ ، پس استدلال فوق نادست است.

زمین می‌تواند به‌دلیل دیگری غیر از باریدن باران خیس شده باشد.