سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه اول

حل مساله به كمک معادلات درجه اول

آخرین ویرایش: 23 آبان 1403

دسته‌بندی: عبارات درجه اول

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

هنر تشکیل دادن معادله

زبان جبر، معادله است. این گفته نیوتن است:

برای این‌که مسئله مربوط به اعداد و یا نسبت مقادیر را حل کنیم، تنها ضروری است مسئله را از زبان مادری به زبان جبر برگردانیم.

تاجری دارای یک مقدار پول بود:

$x$

در سال اول $100$ تومان آن را خرج کرد:

$x - 100$

به پول باقیمانده یک سوم آن را اضافه کرد:

$(x - 100) + \frac{x - 100}{3} = \frac{4 x - 400}{3}$

در سال بعدی او بار دیگر $100$ تومان آن را خرج کرد:

$\frac{4 x - 400}{3} - 100 = \frac{4 x - 700}{3}$

به مقدار باقیمانده، یک سوم آن را اضافه کرد:

$\frac{4 x - 700}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{4 x - 700}{3} = \frac{16 x - 2800}{9}$

در سال سوم او بار دیگر $100$ تومان آن را خرج کرد:

$\frac{16 x - 2800}{9} - 100 = \frac{16 x - 3700}{9}$

سرمایه او دو برابر سرمایه اولیه گردید:

$\frac{16 x - 3700}{9} = 2 x$

برای این‌که سرمایه اولیه تاجر را تعییین کنیم، کافی است معادله فوق را حل کنیم.

معمای اتاق تاریک

صد سکه داریم که در کف یک اتاق تاریک قرار داده شده اند.

می‌دانیم 90 تای آنها طرف شیرشان به بالاست و 10 تا هم طرف خطشان.

دقت کنید که نمی‌توانید(مثلا با لمس کردن سطح سکه‌ها یا هر روش دیگری)شیر یا خط بودنشان را تشخیص دهید ولی به همه سکه‌ها دسترسی دارید و هر تعداد دل‌خواه می‌توانید بردارید، جابه‌جا کنید یا حتی برگردانید.

به چه طریق سکه ها را به دو دسته تقسیم کنیم که هر دو دسته به تعداد یکسان خط داشته باشند؟

مشاهده پاسخ تست

تعریف -

برای حل مسئله به کمک معادلات یک مجهولی در جه اول:

مفروضات مسئله را از آن استخراج می‌کنیم.
مسئله را به یک معادله درجه اول تبدیل و حل می‌کنیم.

به عنوان نمونه، طول یک فنر $10$ سانتی متر است:

مغادلات درجه اول - پیمان گردلو

وقتی وزنه ای به جرم $x$ به آن وصل شود، طول فنر از رابطه $y = 0 / 8 x + 10$ پیدامی‌شود.

اگر وزنه ای به جرم $5$ کیلوگرم به آن وصل شود، طول فنر را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} y = 0_{/} 8 x + 10; x = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 0_{/} 8 (5) + 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 + 10 \end{array}$

$\Rightarrow y = 14$

تمرین

حمید دانش آموز منظمی است و برای خود برنامه ریزی روزانه دارد.

او $\frac{1}{3}$ از شبانه روز را استراحت می کند.

$6$ ساعت در مدرسه است.

$\frac{1}{4}$ شبانه روز را به مطالعه درس های خود اختصاص می‌دهد.

$\frac{1}{8}$ شبانه روز را به کارهای پیش آمده اختصاص داده است.

بقیه زمان خود را به فعالیت های ورزشی می‌پردازد.

حمید در یک شبانه روز، چند ساعت فعالیت های ورزشی انجام می‌دهد؟

حمید $\frac{1}{3}$ از شبانه‌روز را استراحت می‌کند.

حمید $6$ ساعت یا $\frac{6}{24}$ از شبانه‌روز معادل $\frac{1}{4}$ از شبانه‌روز را در مدرسه است.

حمید $\frac{1}{4}$ شبانه روز را به مطالعه درس، اختصاص می‌دهد.

حمید $\frac{1}{8}$ شبانه‌روز را به کارهای پیش‌آمده اختصاص می‌دهد.

حمید بقیه‌ زمان خود مثلاً مقدار $x$ را به فعالیت‌های ورزشی اختصاص می‌دهد.

توجه شود که مجموعه‌ فعالیت‌های حمید در کل $24$ ساعت است.

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + x = \frac{24}{24} \\ \Rightarrow \frac{8 + 6 + 6 + 3}{24} + x = \frac{24}{24} \\ \Rightarrow \frac{23}{24} + x = \frac{24}{24} \\ \Rightarrow x = \frac{24}{24} - \frac{23}{24} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{24} \end{array}$

یعنی حمید از $24$ ساعت در طول یک روز فقط $1$ ساعت ورزش می‌کند.

تمرین

مجموع سه عدد فرد متوالی $135$ است.

آن سه عدد كدامند؟

اگر اعداد زیر به‌ترتیب سه عدد فرد متوالی باشند:

$x, x + 2, x + 4$

مجموع سه عدد فرد متوالی $135$ است:

$\begin{array}{l} x + (x + 2) + (x + 4) = 135 \\ \Rightarrow x + x + 2 + x + 4 = 135 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x = 135 - 2 - 4 \\ \Rightarrow 3 x = 129 \\ \Rightarrow x = \frac{129}{3} \\ \Rightarrow x = 43 \end{array}$

این سه عدد فرد عبارتند از:

$43, 43 + 2 = 45, 43 + 4 = 47$

تمرین

مجموع سه عدد زوج متوالی $42$ می‌باشد.

آن سه عدد كدامند؟

اگر اعداد زیر به‌ترتیب سه عدد زوج متوالی باشند:

$2 x, 2 x + 2, 2 x + 4$

مجموع سه عدد زوج متوالی $42$ می‌باشد:

$\begin{array}{l} (2 x) + (2 x + 2) + (2 x + 4) = 42 \\ \Rightarrow 6 x + 6 = 42 \\ \Rightarrow 6 x = 42 - 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 x = 36 \\ \Rightarrow \frac{6}{6} x = \frac{36}{6} \\ \Rightarrow x = 6 \end{array}$

این سه عدد زوج عبارتند از:

$2 (6) = 12, 2 (6) + 2 = 14, 2 (6) + 4 = 16$

تمرین

سعيد $10.000$ تومان و سارا $12.000$ تومان پول دارند.

سعيد روزی $2.000$ و سارا روزی $1.500$ تومان پس‌انداز می‌كنند.

پس از چند روز پول آنها مساوی می‌شوند؟

$\begin{array}{l} 2.000 x + 10.000 = 1.500 x + 12.000 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2.000 x - 1.500 x = 12.000 - 10.000 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 500 x = 2.000 \\ \Rightarrow x = 4 \end{array}$

تمرین

پدری $38$ سال و پسرش $8$ سال دارد.

پس از چند سال سن پدر سه برابر سن پسر می‌شود؟

فرض می‌كنيم پس از $x$ سال چنين شود.

پس از $x$ سال سن پدر $(x + 38)$ و سن پسر $x$ سال می‌شود:

$\begin{array}{l} 38 + x = 3 (8 + x) \\ \Rightarrow 38 + x = 24 + 3 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 38 - 24 = 3 x - x \\ \Rightarrow 14 = 2 x \\ \Rightarrow x = 7 \end{array}$

تمرین

مجموع نصف و ثلث و ربع عددی $13$ است.

آن عدد چيست؟

فرض كنيم $x$ عدد مطلوب باشد:

$\begin{array}{l} \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 13 \\ \Rightarrow \frac{6 x + 4 x + 3 x}{12} = 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 x + 4 x + 3 x = 13 \times 12 \\ \Rightarrow 13 x = 156 \\ \Rightarrow x = 12 \end{array}$

تمرین

نصف، ربع و ثلث عددی را جمع کرده‌ايم.

حاصل، چهار واحد از آن عدد بيشتر شده است.

آن عدد چيست؟

فرض كنيم $x$ عدد مطلوب باشد:

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{3} = x + 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{6 x + 3 x + 4 x}{12} = x + 4 \\ \Rightarrow \frac{13 x}{12} = x + 4 \\ \Rightarrow 13 x = 12 (x + 4) \\ \Rightarrow 13 x = 12 x + 48 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 13 x - 12 x = 48 \\ \Rightarrow x = 48 \end{array}$

تمرین

علی پنج برابر رضا پول دارد.

اگر علی $100$ میلیون تومان به رضا بدهد، پول او دو برابر پول رضا می‌شود.

هر کدام چقدر پول دارند؟

اگر $x$ پول رضا باشد، آن‌گاه پول علی $5 x$ است.

اگر علی $100$ میلیون تومان به رضا بدهد، پول علی $(5 x - 100)$ و پول رضا $(x + 100)$ می‌شود:

$\begin{array}{l} 5 x - 100 = 2 (x + 100) \\ \Rightarrow 5 x - 100 = 2 x + 200 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x - 2 x = 200 + 100 \\ \Rightarrow 3 x = 300 \\ \Rightarrow x = 100 \end{array}$

اگر $x = 100$ میلیون تومان پول رضا باشد، آن‌گاه پول علی $5 x = 500$ میلیون تومان است.

تمرین

مجموع پنج مضرب متوالی عدد $3$ برابر $75$ است.

این پنج مضرب متوالی را به‌دست آورید.

اعداد را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} x - 6, x - 3, x, x + 3, x + 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} (x - 6) + (x - 3) + x + (x + 3) + (x + 6) = 75 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x = 75 \\ \Rightarrow x = 15 \end{array}$

این پنج مضرب متوالی عبارتند از:

$\begin{array}{l} x - 6 = 15 - 6 = 9 \\ x - 3 = 15 - 3 = 12 \\ x = 15 \\ x + 3 = 15 + 3 = 18 \\ x + 6 = 15 + 6 = 21 \end{array}$

تمرین

کسر $\frac{7}{15}$ را در نظر بگیرید.

به صورت و مخرج این کسر چه عددی اضافه کنيم تا کسری معادل $\frac{3}{5}$ به‌دست آيد.

$\begin{array}{l} \frac{7 + x}{15 + x} = \frac{3}{5} \\ \Rightarrow 5 (7 + x) = 3 (15 + x) \\ \Rightarrow 35 + 5 x = 45 + 3 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x - 3 x = 45 - 35 \\ \Rightarrow 2 x = 10 \\ \Rightarrow x = 5 \end{array}$

تمرین

کسر $\frac{7}{20}$ را در نظر بگیرید.

از صورت این كسر، چند واحد كم كنيم تا كسر حاصل مساوی $\frac{3}{5}$ شود؟

$\begin{array}{l} \frac{17 - x}{20} = \frac{3}{5} \\ \Rightarrow 5 \times (17 - x) = 3 \times 20 \\ \Rightarrow 85 - 5 x = 60 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x = 85 - 60 \\ \Rightarrow 5 x = 25 \\ \Rightarrow x = 5 \end{array}$

تمرین

به صورت كسری $2$ واحد می‌افزاييم و از مخرج آن $2$ واحد می‌كاهيم.

كسر حاصل با كسر اوليه برابر می‌شود.

كسر اوليه چيست؟

كسر اوليه را $\frac{x}{y}$ در نظر می‌گيريم:

$\begin{array}{l} \frac{x + 2}{y - 2} = \frac{x}{y} \\ \Rightarrow y \times (x + 2) = (y - 2) \times x \\ \Rightarrow y x + 2 y = y x - 2 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 y = - 2 x \\ \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{2}{- 2} \\ \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{- 1}{1} \end{array}$

تمرین

نسبت دو عدد $x + 1$ و $y - 2$ برابر است با نسبت دو عدد $1 - x$ و $y + 2$ .

اگر $y = 1$ باشد.

مقدار $x = 1$ را بیابید.

$\begin{array}{l} \frac{x + 1}{y - 1} = \frac{1 - x}{y + 2}; y = 1 \\ \Rightarrow \frac{x + 1}{(1) - 2} = \frac{1 - x}{(1) + 2} \\ \Rightarrow \frac{x + 1}{- 1} = \frac{1 - x}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 (x + 1) = - 1 \times (1 - x) \\ \Rightarrow 3 x + 3 = - 1 + x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x - x = - 1 - 3 \\ \Rightarrow 2 x = - 4 \\ \Rightarrow x = - 2 \end{array}$

تمرین

مجموع پول سه نفر $80$ میلیون تومان است.

نفر دوم دو برابر نفر اول و نفر سوم نصف نفر دوم پول دارد.

پول هر کدام را حساب کنيد.

اگر پول نفر اول $x$ میلیون تومان باشد:

$\begin{array}{l} x + 2 x + x = 80 \\ \Rightarrow 4 x = 80 \\ \Rightarrow x = 20 \end{array}$

پول نفر اول $x = 20$ میلیون تومان است.

نفر دوم $40$ میلیون تومان و نفر سوم $20$ میلیون تومان پول دارند.

تمرین

از تعداد بیسکویتی که مریم داشت، نیمی را به مادرش و نیم بقیه را به برادرش داد.

برای خودش $5$ بیسکویت باقی ماند.

تعداد بیسکویت‌های اولیۀ او چند عدد بوده است؟

اگر تعداد بیسکویت های مریم $x$ عدد باشند، داریم:

$\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x) + 5 \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x + 5 \\ \Rightarrow x = \frac{3}{4} x + 5 \\ \Rightarrow x - \frac{3}{4} x = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{4 x - 3 x}{4} = 5 \\ \Rightarrow \frac{x}{4} = 5 \\ \Rightarrow \frac{1}{4} x = 5 \\ \Rightarrow x = 20 \end{array}$

تمرین

یک سوسمار در فصل بهار بین $30$ تا $70$ تخم می‌گذارد.

حدود $90$ روز طول می‌کشد تا نوزادان سوسمار سر از تخم بیرون آورند.

طول نوزاد تقریبا $30$ سانتی متر است.

در سال های اولیۀ زندگی، به طور متوسط هر سال $22.5$ سانتی متر به طول هر بچه سوسمار اضافه می‌شود.

پس از چه مدت طول نوزاد سوسمار به $80$ سانتی متر می‌رسد؟

طول هر نوزاد سوسمار در ابتدای تولد تقریبا $30$ سانتی ‌متر است.

اگر طول بچه سوسمار را با $L$ نشان دهیم، معادله‌ طول نوزاد پس از $x$ سال:

$\begin{array}{l} L = 30 + 22 / 5 x \\ \Rightarrow 80 = 30 + 22 / 5 x; L = 80 c m \\ \Rightarrow 80 - 30 = 22 / 5 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 50 = 22 / 5 x \\ \Rightarrow x = \frac{50}{22 / 5} ≃ 2 / 2 \end{array}$

پس از تقریبا $x ≃ 2 / 2$ سال طول نوزاد سوسمار به $80$ سانتی متر می‌رسد.

تمرین

طول یک فنر در حالتی که وزنه‌ای به آن آویزان نشده است، $8$ سانتی متراست.

وقتی وزن‌ای به جرم $m$ کیلوگرم به آن آویزان می‌کنیم، طول آن بر حسب سانتی متر از رابط زیر به‌دست می‌آید:

$L = 8 + 0 / 5 m$

اگر جسمی به جرم $3.72$ کیلوگرم به آن آویزان کنیم، طول فنر چند میلی متر افزایش می‌یابد؟

$\begin{matrix} L = 8 + 0.5 m; m = 3.72 k g \\ \Rightarrow L = 8 + 0.5 (3.72) \\ \Rightarrow L = 8 + 1.86 \\ \Rightarrow L = 9.86 c m \end{matrix}$

اندازه افزایش فنر برابر است با تفاضل طول کل فنر از طول فنر بدون وزنه:

$\begin{array}{l} 9.86 - 8 \\ = 1.86 c m \\ = 1.86 \times 10 m m \\ = 18.6 m m \end{array}$

چه وزنه‌ای به فنر آویزان کنیم تا طول آن به $123$ میلی متر برسد؟

$\begin{matrix} L = 8 + 0 / 5 m; L = 123 m m = 12 / 3 c m \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 12 / 3 = 8 + 0 / 5 m \\ \Rightarrow 12 / 3 - 8 = 0 / 5 m \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 4 / 3 = 0 / 5 m \\ \Rightarrow m = \frac{4 / 3}{0 / 5} \\ \Rightarrow m = 8 / 6 k g \end{matrix}$

تمرین

دو منبع آب $A$ و $B$ به شکل زیر در اختیار داریم.

گنجایش منبع $A$ به‌میزان $120$ لیتر و گنجایش منبع $B$ به‌میزان $70$ لیتر است.

این دو منبع را پُر از آب می‌کنیم و در لحظه $t = 0$ شیر هر دو را همزمان باز می‌کنیم.

در هر ثانیه از شیر منبع $A$ به‌میزان $3$ لیتر و از شیر منبع $B$ به‌میزان $2$ لیتر آب خارج می‌شود.

کدام منبع زودتر خالی می‌شود و چند ثانیه زودتر خالی می‌شود؟

معادله منبع $A$ به‌صورت زیر می‌باشد:

$V_{A} = 120 - 3 t$

معادله منبع $B$ به‌صورت زیر می‌باشد:

$V_{B} = 70 - 2 t$

این معادله نشان می‌دهد که به‌ازای هر ثانیه چه حجم آب از منبع $B$ کم می‌شود.

منبع $A$ زمانی خالی می‌شود که $V_{A} = 0$ شود:

$\{\begin{array}{l} V_{A} = 0 \\ V_{A} = 120 - 3 t \end{array}〉 0 = 120 - 3 t \Rightarrow 3 t = 120 \Rightarrow t_{A} = 40 s$

منبع $B$ زمانی خالی می‌شود که $V_{B} = 0$ شود:

$\{\begin{array}{l} V_{B} = 0 \\ V_{B} = 70 - 2 t \end{array}〉 0 = 70 - 2 t \Rightarrow 2 t = 70 \Rightarrow t_{B} = 35 s$

منبع $B$ بعد از $35$ ثانیه خالی می‌شود.

منبع $A$ بعد از $40$ ثانیه خالی می‌شود.

بنابراین منبع $B$ زودتر خالی می‌شود.

منبع $B$ به مدت $t_{A} - t_{B} = 5$ ثانیه زودتر خالی می‌شود.

آیا زمانی می‌رسد که حجم آب در دو منبع مساوی شود؟

اگر حجم آب در هر دو منبع مساوی باشد یعنی بایستی شرط زیر برقرار باشد:

$\begin{array}{l} V_{A} = V_{B}; \{\begin{cases} V_{A} = 120 - 3 t \\ V_{B} = 70 - 2 t \end{cases} \\ \Rightarrow 120 - 3 t = 70 - 2 t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 3 t + 2 t = 70 - 120 \\ \Rightarrow - t = - 50 \\ \Rightarrow t = 50 \end{array}$

زمان فوق، نشان می‌دهد که هر دو منبع در این زمان حجم شان مساوی می‌شود.

با توجه به این‌که منبع $B$ در زمان $t_{B} = 35 s$ خالی می‌شود، پس این امکان‌پذیر نیست.

بنابراین حجم آب در دو منبع هیچ‌گاه مساوی نمی‌شود.

آیا زمانی می‌رسد که حجم آب در منبع $B$ نصف حجم آب در منبع $A$ شود؟

اگر حجم آب در منبع $B$ نصفِ حجم در منبع $A$ باشد، بایستی شرط زیر برقرار باشد:

$\begin{array}{l} V_{B} = \frac{1}{2} V_{A}; \{\begin{cases} V_{A} = 120 - 3 t \\ V_{B} = 70 - 2 t \end{cases} \\ \Rightarrow 70 - 2 t = \frac{1}{2} (120 - 3 t) \\ \Rightarrow 70 - 2 t = 60 - \frac{3}{2} t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 t + \frac{3}{2} t = 60 - 70 \\ \Rightarrow \frac{- 1}{2} t = - 10 \\ \Rightarrow t = 20 s \end{array}$

در زمان فوق، حجم آب در منبع $B$ نصف حجم آب در منبع $A$ می‌شود.

تمرین

در یک مزرعه شالیکاری دو کارگر که با هم کار می‌کنند، کار نشاکاری را در $18$ روز تمام می‌کنند.

اگر هر کدام به تنهایی کار می‌کردند، کارگر اول $15$ روز زودتر از کارگر دوم این کار را تمام می‌کرد.

هر کدام از این دو کارگر به تنهایی کار را در چند روز تمام می‌کنند؟

فرض می‌کنیم کارگر اول در $x$ روز کار را تمام کند.

پس کارگر دوم همین کار را در $x + 15$ روز تمام می‌کند.

$\frac{1}{x}$ میزان کار کارگر اول در یک روز است.

$\frac{1}{x + 15}$ میزان کار کارگر دوم در یک روز است.

مجموع آنها مجموع کار هر دو کارگر در یک روز است که برابر $\frac{1}{18}$ است.

$\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 15} = \frac{1}{18} \\ \Rightarrow \frac{(x + 15) + x}{x (x + 15)} = \frac{1}{18} \\ \Rightarrow \frac{2 x + 15}{x^{2} + 15 x} = \frac{1}{18} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 18 (2 x + 15) = x^{2} + 15 x \\ \Rightarrow x^{2} - 21 x - 270 = 0 \\ \Rightarrow (x - 30) (x + 9) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 30 \\ x = - 9 \otimes \end{cases} \end{array}$

یعنی کارگر اول به تنهایی در $30$ روز کار را تمام می‌کند.

کارگر دوم به تنهایی در $45$ روز کار را تمام می‌کند.

تمرین

در یک مغازه ماهی‌های تزئینی، ماهی‌های آب شور در محلول‌های آب نمک با غلظت $7$ درصد نگهداری می‌شوند.

به‌علت تازه کار بودن کارگرها، $200$ کیلوگرم محلول آب نمک $4$ درصدی ساخته شده است.

چگونه می‌توان این محلول را به غلظت مورد نظر رساند؟

حالت اول)

فرض می‌کنیم نمک به اندازه کافی موجود باشد و بتوانیم با اضافه کردن نمک کافی، محلول با $7$ درصد نمک بسازیم.

ابتدا محاسبه می‌کنیم که در محلول فعلی چند کیلو گرم نمک وجود دارد:

$\frac{4}{100} \times 200 = 8 k g$

اگر $x$ کیلوگرم نمک به این محلول بیفزائیم، میزان نمک آب $8 + x$ کیلوگرم می‌شود.

وزن کل محلول $200 + x$ کیلو می‌شود.

پس برای داشتن محلول $7$ درصدی نمک باید داشته باشیم:

$\begin{array}{l} \frac{8 + x}{200 + x} = \frac{7}{100} \\ \Rightarrow 100 (8 + x) = 7 (200 + x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 800 + 100 x = 1400 + 7 x \\ \Rightarrow 93 x = 600 \\ \Rightarrow x = \frac{600}{93} \end{array}$

یعنی تقریبا $6$ کیلو و $452$ گرم نمک باید به محلول اضافه شود.

حالت دوم)

اگر نمک موجود نباشد و بخواهیم با تبخیر $y$ کیلوگرم از آب، محلول $7$ درصد نمک بسازیم، باید داشته باشیم:

$\begin{array}{l} \frac{8}{200 - y} = \frac{7}{100} \\ \Rightarrow 100 (8) = 7 (200 - y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 800 = 1400 - 7 y \\ \Rightarrow 7 y = 600 \\ \Rightarrow y = \frac{600}{7} \end{array}$

یعنی تقریبا $85$ کیلو و $714$ گرم آب را می‌توان تبخیر کرد.

توجه:

اگر مقدار نمک موجود در مغازه $5$ کیلوگرم باشد و آن را به محلول اضافه کنیم وزن محلول به $205$ کیلو و وزن نمک به $13$ کیلو افزایش می‌یابد.

می‌خواهیم $y$ کیلو از آب را تبخیر کنیم تا محلول $7$ درصد نمک بسازیم:

$\begin{array}{l} \frac{13}{205 - y} = \frac{7}{100} \\ \Rightarrow 1300 = 7 (205 - y) \\ \Rightarrow 1300 = 1435 - 7 y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 7 y = 135 \\ \Rightarrow y = \frac{135}{7} \\ \Rightarrow y = 19 / 28 \end{array}$

تمرین

در مسابقه موتورسیکلت سواری، یکی از سه موتور سیکلت‌هایی که هم‌زمان حرکت نموده‌اند با سرعت $15$ کیلومتر در ساعت کم‌تر از اولی و $3 \frac{k m}{h}$ بیش‌تر از سومی می‌رفت و $12$ دقیقه پس از اولی و $3$ دقیقه قبل از سومی به نقطه نهایی رسید، اگر حرکت بدون توقف صورت گرفته باشد، مطلوب است:

طول مسیر حرکت

سرعت موتور سیکلت دومی را به $x$ نشان می‌دهیم.

سرعت موتورسیکلت اولی $x + 15$ است.

سرعت موتورسیکلت سومی $x - 3$ است.

طول مسیر برابر است با سرعت متحرک در زمان طی شده.

اگر طول مسیر را به $y$ و سرعت را با $x$ و زمان طی شده را با $t$ نمایش دهیم، داریم:

$y = x \times t \Rightarrow t = \frac{y}{x}$

زمان حرکت موتور سوارها به‌صورت زیر است:

برای موتورسیکلت اولی، داریم:

$t_{1} = \frac{y}{x + 15}$

برای موتورسیکلت دومی، داریم:

$t_{2} = \frac{y}{x}$

برای موتورسیکلت سومی، داریم:

$t_{3} = \frac{y}{x - 3}$

می‌دانیم موتورسیکلت دومی به اندازه $12$ دقیقه، معادل $\frac{1}{5}$ ساعت بیش‌تر از اولی در راه بوده، بنابراین:

$t_{2} - t_{1} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{y}{x} - \frac{y}{x + 15} = \frac{1}{5}$

موتورسیکلت سومی به اندازه $3$ دقیقه، معادل $\frac{1}{20}$ ساعت بیش‌تر از دومی در راه بوده، بنابراین:

$\begin{array}{l} t_{3} - t_{2} = \frac{1}{5} \\ \Rightarrow \frac{y}{x - 3} - \frac{y}{x} = \frac{1}{20} \\ \Rightarrow 4 \times (\frac{y}{x - 3} - \frac{y}{x}) = \frac{4}{20} \\ \Rightarrow (\frac{4 y}{x - 3} - \frac{4 y}{x}) = \frac{1}{5} \end{array}$

دو معادله فوق را از هم کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{y}{x} - \frac{y}{x + 15} - (\frac{4 y}{x - 3} - \frac{4 y}{x}) = 0; y \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{y} \times (\frac{y}{x} - \frac{y}{x + 15} - \frac{4 y}{x - 3} + \frac{4 y}{x}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 15} - \frac{4}{x - 3} + \frac{4}{x} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(x + 15) (x - 3) - x (x - 3) - 4 x (x + 15) + 4 (x + 15) (x - 3)}{x (x + 15) (x - 3)} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 15) (x - 3) - x (x - 3) - 4 x (x + 15) + 4 (x + 15) (x - 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x - 225 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x = 75$

با دانستن $x$ از معادله اول، $y$ را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} \frac{y}{x} - \frac{y}{x + 15} = \frac{1}{5}; x = 75 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{y}{75} - \frac{y}{90} = \frac{1}{5} \end{array}$

$\Rightarrow y = 90$

طول مسیر حرکت $y = 90 \frac{k m}{h}$ است.

سرعت هر موتورسیکلت

سرعت موتورسیکلت دومی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

$x = 75 \frac{k m}{h}$

سرعت موتورسیکلت اولی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

$x + 15 = 75 + 15 = 90 \frac{k m}{h}$

سرعت موتورسیکلت سومی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

$x - 3 = 75 - 3 = 72 \frac{k m}{h}$

مدت زمان حرکت هر موتورسیکلت

$t_{1} = \frac{y}{x + 15} = \frac{90}{75 + 15} = 1 h$

مدت زمان حرکت برای موتور سیکلت اولی یک ساعت است.

$t_{2} = \frac{90}{75} = \frac{75}{75} + \frac{15}{75} = 1 + \frac{1}{5}$

مدت زمان حرکت برای موتور سیکلت دومی یک ساعت و دوازده دقیقه است.

$t_{3} = \frac{y}{x - 3} = \frac{90}{75 - 3} = \frac{90}{72} = \frac{72}{72} + \frac{18}{72} = 1 + \frac{1}{4}$

مدت زمان حرکت برای موتور سیکلت سومی یک ساعت و پانزده دقیقه است.

تمرین

اتومبیلی فاصله بین دو شهر را با سرعت $60 \frac{k m}{h}$ پیموده و با سرعت $40 \frac{k m}{h}$ بازگشته است.

سرعت متوسط حرکت آن چقدر بوده است؟

سادگی در ظاهر مسئله، بسیاری از اشخاص را گمراه می‌کند.

بدون آن‌که به شرط‌های مسئله پی ببرند، میانگین حسابی یعنی نصف مجموع $60$ و $40$ را پیدا می‌کنند.

$\frac{60 + 40}{2} = 50$

حل فوق در صورتی صحت می‌داشت که مدت زمان رفت و برگشت یکی می‌بود.

اتومبیل در هنگام بازگشت، با سرعت کم‌تر، وقت بیش‌تری را برای برگشتن گرفته است.

$x$ فاصله بین دو شهر را به‌عنوان مسافتی که متحرک طی می‌کند، در نظر بگیریم .

سرعت متوسط را با $v$ نمایش می‌دهیم.

زمان کل حرکت را با $t$ نشان می‌دهیم.

$x = v \times t \Rightarrow t = \frac{x}{v}$

اگر $t_{1}$ زمان رفت و $t_{2}$ زمان برگشت متحرک باشد و $t$ زمان کل، داریم:

$t = t_{1} + t_{2} \Rightarrow \frac{2 x}{v} = \frac{x}{60} + \frac{x}{40}; x \neq 0$

طرفین را بر $x$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{2}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{40} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow v = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow v = \frac{2}{\frac{2 + 3}{120}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow v = \frac{240}{5} \end{array}$

$\Rightarrow v = 48 \frac{k m}{h}$

تمرین

پدری $32$ سال و پسرش $5$ سال سن دارد.

بعد از چند سال، سن پدر $10$ برابر سن پسرش می‌شود؟

مدت مطلوب را به $x$ نشان می‌دهیم:

بعد از گذشت $x$ سال سن پدر $32 + x$ و سن پسر $5 + x$ می‌شود.

چون پدر $10$ برابر سن فرزندش هست، داریم:

$32 + x = 10 (5 + x) \Rightarrow x = - 2$

عبارت $x = - 2$ به معنی دو سال پیش است.

سن پدر $2$ سال پیش $10$ برابر سن پسرش بوده و در زمان حال هیچ‌گاه $10$ برابر سن پسرش نخواهد بود.

تمرین

اعداد $46$ و $96$ خصوصیت جالبی دارند:

کمیت حاصل ضرب آنها در اثر جابجایی ارقام، تغییر نمی‌کند:

$46 \times 96 = 4416 = 64 \times 69$

آیا جفت‌های اعداد دو رقمی دیگری با همان خصوصیت موجود است؟

چطور می‌شود تمام آنها را پیدا کرد؟

ارقام عدد $46$ را با $x$ و $y$ نمایش می‌دهیم:

$46 = 10 x + y$

ارقام عدد $96$ را با $z$ و $t$ نمایش می‌دهیم:

$96 = 10 z + t$

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$46 \times 96 = 64 \times 69$

با توجه به تساوی فوق، معادله زیر را تشکیل می‌دهیم:

$(10 x + y) (10 z + t) = (10 y + x) (10 t + z)$

به ساده کردن پرانتزها، می‌پردازیم:

$\Rightarrow 100 x z + 10 x t + 10 z y + y t = 100 y t + 10 y z + 10 x t + x z$

$\Rightarrow 99 x z = 99 y t$

بعد از ساده کردن پرانتزها، داریم:

$x z = y t$

در تساوی فوق، $t, z, y, x$ اعداد صحیح کوچکتر از $10$ می‌باشند.

تمام جفت‌هایی را که حاصل‌ضرب مساوی دارند را تشکیل می‌دهیم:

$\begin{array}{l} 1 \times 4 = 2 \times 2 \\ 1 \times 6 = 2 \times 3 \\ 1 \times 8 = 2 \times 4 \\ 1 \times 9 = 3 \times 3 \\ 2 \times 6 = 3 \times 4 \\ 2 \times 8 = 4 \times 4 \\ 2 \times 9 = 3 \times 6 \\ 3 \times 8 = 4 \times 6 \\ 4 \times 9 = 6 \times 6 \end{array}$

از هر کدام از تساوی‌های فوق، می‌توان یک یا دو دسته اعداد مطلوب، تشکیل داد.

به‌عنوان نمونه از برابری زیر یک جواب تشکیل می‌دهیم:

$1 \times 4 = 2 \times 2 \Rightarrow 12 \times 42 = 21 \times 24$

به‌عنوان نمونه دیگر، از برابری زیر دو جواب تشکیل می‌دهیم:

$1 \times 6 = 2 \times 3 \Rightarrow \{\begin{cases} 12 \times 63 = 21 \times 36 \\ 13 \times 62 = 31 \times 26 \end{cases}$

بدین ترتیب چهارده جواب زیر، به‌دست می‌آید:

$\begin{array}{l} 12 \times 42 = 21 \times 24 \\ 12 \times 63 = 21 \times 36 \\ 12 \times 84 = 21 \times 48 \\ 13 \times 62 = 31 \times 26 \\ 13 \times 93 = 31 \times 39 \\ 14 \times 82 = 41 \times 28 \\ 23 \times 64 = 32 \times 46 \\ 23 \times 96 = 32 \times 69 \\ 24 \times 63 = 42 \times 36 \\ 24 \times 84 = 42 \times 48 \\ 26 \times 93 = 62 \times 39 \\ 34 \times 86 = 43 \times 68 \\ 36 \times 84 = 63 \times 48 \\ 46 \times 96 = 64 \times 69 \end{array}$

تذکر

عجایب و پدیده‌های غیرمنتظره

گاهی در اثنای حل معادلات به جواب‌هایی برمی‌خوریم که می‌توانند علاقه‌مندان به ریاضی را که کم تجربه هستند به بن‌بست بکشانند.

تمرین

عدد دو رقمی با خواص زیر را در نظر بگیرید:

رقم دهگان به اندازه چهار واحد کوچک‌تر از رقم یکان می‌باشد.

اگر از عددی که با همین ارقام نوشته شده است، جای رقم یکان و دهگان را عوض کنیم و عدد مطلوب را از عدد قبلی کم کنیم، عدد $27$ به‌دست می‌آید.

این عددد دو رقمی را به‌دست آورید.

اگر رقم دهگان را $x$ و رقم یکان را $y$ در نظر بگیریم به معادلات زیر می‌رسیم:

$\{\begin{cases} x = y - 4 \\ (10 y + x) - (10 x + y) = 27 \end{cases}$

مقدار $x$ را از معادله اول در معادله دوم قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} [(10 y + (y - 4))] - [(10 (y - 4) + y)] = 27 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 11 y - 4 - (11 y - 40) = 27 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 11 y - 4 - 11 y + 40 = 27 \\ \Rightarrow 36 = 27 \end{array}$

نه تنها عدد دو رقمی مورد نظر پیدا نشد، بلکه به یک تساوی غلط رسیدیم.

این به آن معنی است که عدد دو رقمی ای که شرایط مساله را واجد باشد، وجود ندارد و معادلات تشکیل شده، مغایر یک‌دیگر می‌باشند.

اگر مفاد تمرین قبل را کمی تغییر دهیم با نوع دیگری از حالات غیر منتظره مواجه می‌شویم.

رقم دهگان نه به اندازه چهار بلکه به اندازه سه واحد از رقم یکان، کوچک‌تر باشد و بقیه شرایط را بدون می‌گذاریم.

این عددد دو رقمی را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = y - 3 \Rightarrow y = x + 3 \\ (10 y + x) - (10 x + y) = 27 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} [10 (x + 3) + x] - [10 x + (x + 3)] = 27 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{matrix} \Rightarrow (10 x + 30 + x) - (10 x + x + 3) = 27 \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (11 x + 30) - (11 x + 3) = 27 \\ \Rightarrow 27 = 27 \end{array}$

در این قسمت به یک تساوی همیشه درست رسیدیم، اما هیچ چیزی درباره مقدار $x$ به ما نمی‌گوید.

سوال آن است که آیا این به آن معناست که اعدادی وجود ندارد که جواب گوی شروط مسئله باشد؟

برعکس این بدان معناست معادله تشکیلی ما اتحاد است، یعنی در ازای هر مقدار دل‌خواه مجهول $x$ صادق است:

$\begin{array}{l} 14 + 27 = 41 \\ 25 + 27 = 52 \\ 36 + 27 = 63 \\ 47 + 27 = 74 \\ 58 + 27 = 85 \\ 69 + 27 = 96 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

گلدانی نقره ای داریم:

نسبت وزن نقره خالص آن یعنی $W_{1}$ به وزن مس خالص آن یعنی $W_{2}$ برابر $8$ است، یعنی $\frac{W_{1}}{W_{2}} = 8$ .

استاد قلم‌کار آن را ذوب و $100$ گرم مس به آن اضافه کرده و گلدان جدیدی می‌سازد. می‌دانیم $\frac{4}{5}$ وزن گلدان جدید، نقره است.

وزن گلدان را قبل از ذوب شدن محاسبه کنید.

600 گرم
700 گرم
800 گرم
900 گرم

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

اضلاع یک راست گوشه (مربع یا مستطیل) با اعداد صحیح بیان می‌شود.

طول آنها چقدر باید باشد تا محیط راست گوشه از نظر عددی مساوی با مساحت آن باشد؟

$x = 5$ یا $x = 3$
$x = 5$ یا $x = 4$
$x = 6$ یا $x = 4$
$x = 6$ یا $x = 5$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

در یک کلاس جبر در مجموع $350$ امتیاز وجود دارد.

این امتیازها از مجموعه پنج تکالیف شب که هر کدام $10$ امتیاز و شامل سه دوره امتحان هست که هر کدام $100$ امتیاز می‌باشند.

دانش آموزی نمرات $9, 7, 7, 8, 4$ را برای تکالیف خود دریافت کرده است و دو نمره $83, 78$ را به‌ترتیب از امتحانات دور اول و دوم دریافت کرده است.

با فرض این‌که نمرات بر اساس مقیاس استاندارد تعیین شده‌اند و هیچ وزنی برای هیچ یک از نمرات در نظر گرفته نشده است، آیا ممکن است این دانش آموز در کلاس، نمره A را دریافت کند و در این صورت حداقل نمره در امتحان سوم چقدر است؟

$73$
دانش آموز در کلاس جبر نمره $A$ نمی‌گیرد.
$71$
$70$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

چهار برادر، جمعا $45$ سکه طلا داشتند.

هرگاه به تعداد سکه‌های برادر اول دو سکه اضافه کنیم و از تعداد سکه‌های برادر دومی دو سکه کم کنیم و سکه برادر سومی را دو برابر زیاد کنیم و از سکه‌های برادر چهارمی دو برابر کم شود، در این‌صورت سکه‌های آنها با هم برابر می‌شوند.

هر کدام از آنها دارای چند سکه بودند؟

$20, 12, 8, 5$
$20, 13, 8, 4$
$21, 12, 7, 5$
$20, 11, 9, 5$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

یک کشتی در مدت $5$ ساعت بدون توقف از شهر $A$ به شهر $B$ در مسیر رودخانه‌ای رسیده است.

راه بازگشت را با همان سرعت و بدون توقف در $7$ ساعت پیموده است.

قایق‌ها در چند ساعت، از شهر $A$ به شهر $B$ می‌رسند، اگر سرعت قایق‌ها با سرعت جریان رودخانه یکی باشد.

$33$
$34$
$35$
$37$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

حل مسئله به كمک معادلات یک مجهولی درجه اول

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه اول

حل مساله به كمک معادلات درجه اول

هنر تشکیل دادن معادله

تعریف -

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟